ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Cơ sở vật lý của sóng âm 4 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Hiện tượng Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Tần số Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Súng bắn tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Siêu âm Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các sóng AM và FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Nguyên lý phát và thu sóng AM . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các sóng siêu âm và hạ âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Sóng siêu âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Sóng hạ âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương trình sóng âm. Sóng âm điều hòa. Địa chấn khúc xạ 14 2.1 Các định luật và phương trình sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Các ký hiệu toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Các ký hiệu cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law) . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law) . . . . 15 2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation) . . . . . . . . . . 16 2.3 Sóng âm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Sóng điều hoà một chiều trong môi trường đồng nhất . . . 16 2.3.2 Sóng hai chiều trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . 17 2 2.3.3 Sóng ba chiều trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . 17 2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.1 Vận tốc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.2 Vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Năng lượng của quá trình truyền sóng âm . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.2 Véctơ mật độ năng thông (mật độ dòng năng lượng ) . . . 21 2.6 Truyền sóng phẳng trong hai nửa không gian . . . . . . . . . . . . 21 2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách . . . . . . . . . . 21 2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách. Định luật Snell (Snell’s Law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.3 Hệ số phản xạ của vận tốc hạt . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng . 28 2.7.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.2 Môi trường hai lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7.3 Môi trường ba lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng 33 3.1 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm suy rộng . . . . . . . . . 33 3.1.2 Các không gian hàm cơ bản D và S . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Không gian hàm suy rộng D  và S  . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.4 Đạo hàm của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thông thường . . . . . . . . . 36 3.2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 37 3.3 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng và ứng dụng . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 Nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy đối với toán tử sóng 38 3.3.3 Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . 39 4 Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng 41 4.1 Phép tính gần đúng sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế, nên bản luận văn chắc không tránh khỏi những khiếm khuyết. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 08 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thu Hương 1 MỞ ĐẦU Âm học là một nhánh của vật lý học, nghiên cứu về sự lan truyền của sóng âm thanh trong các môi trường khác nhau và sự tác động qua lại của chúng với môi trường vật chất. Âm thanh phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như tiếng nói của người, tiếng động vật kêu, tiếng trống tiếng đàn phát ra từ các nhạc cụ v.v Nói chung, âm thanh được phát ra khi có sự va chạm giữa các vật. Trong thực tế, âm thanh được tạo ra từ nhiều cách khác nhau. Trong không gian rộng mở sóng âm thanh truyền đi tự do theo mọi hướng. Trong không gian hạn hẹp hay bị vật cản, sóng âm thanh sẽ bị phản hồi và sẽ giao thoa với các sóng khác, tạo nên giao thoa sóng. Sóng âm được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật và y học. Người ta sử dụng sóng âm để tìm vị trí của các dị tật trong một khối nào đó, vị trí của các mỏ trong lòng đất. Sóng âm khi bị một vật cản sẽ bị phản xạ, sóng phản xạ cho biết vị trí của các vật bên trong một khối hay trong lòng Quả Đất. Các sóng hạ âm và siêu âm được ứng dụng nhiều trong y học và kỹ thuật cao. Âm học đóng vai trò quan trọng trong hệ thống thông tin viễn thông, như radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một trong những ứng dụng quan trọng của âm học là phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứu bên trong lòng Quả Đất. Các hiện tượng âm được mô tả bởi phương trình toán học ∂ 2 P ∂t 2 − c 2 ∆P = f, (1) trong đó P = P (x, t), x = (x 1 , x 2 , , x n ) biểu thị áp suất trong môi trường do sóng âm gây ra, c là vận tốc truyền âm của môi trường. Phương trình (1) là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của vật lý toán. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học tập sâu thêm về các hiện tượng âm và những ứng dụng của chúng trong địa chấn,tìm hiểu các phương pháp toán học hữu hiệu giải phương trình sóng âm. Bố cục của luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 : Cơ sở vật lý của sóng âm Chương này trình bày cơ sở vật lý của sóng âm, bao gồm các khái niệm về âm học, các đặc trưng vật lý của sóng âm, hiệu ứng Doppler và ứng dụng. Nguyên lý phát và thu sóng AM và FM. Các sóng siêu âm và hạ âm v.v Chương 2 : Phương trình sóng âm. Sóng âm điều hòa. Địa chấn khúc xạ Chương này trình bày Định luật Hooke, Định luật hai Newton và thành lập phương trình sóng âm trên cơ sở hai định luật trên đây. Xét phương trình sóng âm điều hòa, các định luật về sóng khúc xạ và phản xạ, vận tốc pha, vận tốc nhóm, năng lượng sóng v.v Các ứng dụng của sóng âm trong địa chấn học. Chương 3 : Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng Chương này trình bày bài toán Cauchy cho phương trình sóng âm. Đã tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và biến đổi tích phân Fourier trình bày nghiệm suy rộng và nghiệm cổ điển tường minh của bài toán Cauchy đối với phương trình sóng với các số chiều n = 1, 2 và 3. Chương 4 : Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng Chương này trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng một chiều trên khoảng hữu hạn. 3 Chương 1 Cơ sở vật lý của sóng âm Chương này trình bày những cơ sở vật lý của các hiện tượng âm và những ứng dụng thường nhật của các hiện tượng âm. Nội dung của chương này được hình thành từ nhiều tài liệu khác nhau, đặc biệt là tài liệu [2]. 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Sóng âm là sóng áp suất trong môi trường vật chất(sóng cơ học) dao động nén-giãn theo phương truyền sóng (sóng dọc). Tai người chỉ cảm nhận được những sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz. Sóng có tần số dưới 16 Hz gọi là sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, các sóng sinh học, v.v ). Sóng có tần số cao hơn 20 000 Hz gọi là sóng siêu âm. Tai người nghe thính với các âm có tần số từ 1000 Hz đến 5 000 Hz. 1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng Khoảng thời gian ngắn nhất để thực hiện một dao động(động toàn phần) gọi là chu kỳ (period) và được hiệu là T, đơn vị của chu kỳ là giây (s). Số lần dao động thực hiện trong một giây gọi là tần số (frequency) và ký hiệu là f. Đơn vị của chu kỳ là hec (Hz). Như vậy : f = 1 T . (1.1) Tần số góc (angular frequency) (rad/s): ω = 2πf = 2π T . (1.2) 4 Khoảng cách giữa hai điểm gần nhất của môi trường dao động đồng pha trên một phương truyền sóng gọi là bước sóng (wavelength). Bước sóng ký hiệu là λ và có đơn vị là mét (m). Nếu c là vận tốc của sóng (vận tốc truyền pha dao động: wave propagation velocity) thì λ = cT = c f . (1.3) • Vận tốc của sóng âm trong dây kim loại hoặc lò xo: c =  F D ,  F lực căng (N), D khối lượng của một đơn vị dài(kg/m). • Vận tốc của sóng âm trong chất lưu: c ≈ 331, 3 √ 273 √ τ, τ nhiệt độ tuyệt đối (K o ), • Vận tốc trung bình của sóng âm trong một số chất: c thép ≈ 4980m/s, c nước ≈ 1450m/s c không khí ≈ 332m/s Độ rời cực đại của phần tử dao động so với vị trí cân bằng gọi là biên độ (biên độ sóng). Biên độ sóng ký hiệu là A (Amplitute), có đơn vị là mét (m). Năng lượng của sóng không định cứ tại một chỗ, nó luôn được truyền từ chỗ này đến chỗ khác. Do đó người ta đưa ra khái niệm " cường độ âm" là lượng năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích vuông góc với véctơ vận tốc sóng trong một đơn vị thời gian. Như vậy, cường độ âm có thứ nguyên là oát/mét vuông. Dòng năng lượng của sóng được cho bởi công thức I = 1 2 ρω 2 A 2 c = 2ρπ 2 f 2 A 2 c. (1.4) • Tiếng nói thì thầm: I ≈ 10 −6 w/m 2 . • Tiếng còi ô tô: I ≈ 10 −3 w/m 2 . • Tiếng còi báo động: I ≈ 1w/m 2 . • Nếu f = 50Hz, thì I ngưỡng nghe ≈ 10 −7 w/m 2 . • Nếu f = 1000Hz, thì I ngưỡng nghe ≈ 10 −12 w/m 2 . Mức cường độ âm tại một điểm là đại lượng vật lý được xác định theo công thức L = lg I I o ,  I 0 = 10 −12 w/m 2 cường độ âm chuẩn, I −cường độ âm tại điểm được xét. (1.5) 5 Đơn vị của mức cường độ âm là ben (B). Thông thường người ta đo mức cường độ âm là dexiben (dB): 1B=10 dB. • Tiếng nói thì thầm: L ≈ 20dB. • Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB. • Tiếng nói to: L ≈ 80dB. Sóng âm có mức cường độ âm càng cao thì nghe càng rõ. Khi mức cường độ của một âm lớn đến mức nào đó sẽ gây ra cảm giác đau trong tai. Độ to của một âm nằm trong phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau. 1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng 1.2.1 Hiện tượng Doppler Khi chúng ta di chuyển, hoặc khi nguồn phát ra âm thanh di chuyển, chúng ta chúng ta sẽ nghe thấy sự thay đổi âm thanh (cao, thấp) truyền đến tai. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler. Hiện tượng vật lý này được đặt theo tên của nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann) Doppler, là người đã phát hiện ra hiện tượng trên. Doppler cho rằng, nếu tiếng động đi đến gần bạn, thì có thể là do nguồn phát ra nó tiến lại gần bạn, hoặc bạn đi về phía phát ra âm thanh, thì cường độ của nó có vẻ như tăng lên hơn cường độ thật sự của nó. Ngược lại, khi nguồn phát ra âm thanh đi ra xa, hoặc bạn đi ra xa nguồn âm, thì âm thanh mà bạn nghe được có vẻ như có cường độ của thật nó. Hiện tượng Doppler xảy ra do khoảng cách đến nguồn âm thay đổi và độ dài ngắn của thời gian nghe âm thanh. Nếu bạn nghe một sóng âm có tần số không đổi trong khoảng thời gian ngắn hoặc dài, thì bạn sẽ có cảm giác âm thanh đó có tần số, cao thấp khác nhau. Biểu diễn toán học của hiệu ứng Doppler Đối với sóng chuyển động trong môi trường, như sóng âm, nguồn sóng và người quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường. Hiệu ứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi hai chuyển động này. Công thức biểu thị giữa tần số thật của sóng âm và tần số cuả âm do 6 [...]... tần âm thanh sau khi tách sóng điều tần có chất lượng tốt, cho âm thanh trung thực và có thể truyền âm thanh theo Stereo Sóng FM ít bị can nhiễu hơn so với sóng AM Nhược điểm của sóng FM là cự ly truyền sóng ngắn, chỉ vào khoảng vài 10 chục đến vài trăm km, do đó sóng FM thường được sử dụng làm sóng phát thanh trên các đài địa phương 1.4 1.4.1 Các sóng siêu âm và hạ âm Sóng siêu âm Siêu âm là âm thanh... của sóng hạ âm là trong quá trình lan truyền chúng ít bị suy giảm, khó bị không khí và nước hấp thụ Sóng hạ âm có bước sóng dài hàng trăm, thậm chí hàng nghìn mét Theo nguyên lý nhiễu xạ sóng, các sóng hạ âm rất dễ chạy vòng qua các vật cản Sóng hạ âm thâm nhập vào tất cả các công trình kiến trúc, tàu ngầm v.v •Ảnh hưởng của sóng hạ âm tới sức khỏe con người Sóng hạ âm là một loại sóng âm, so với âm. .. ồn trong môi trường cũng là biện pháp quan trọng để giảm thiểu sự nguy hại của sóng hạ âm đối với con người 13 Chương 2 Phương trình sóng âm Sóng âm điều hòa Địa chấn khúc xạ Chương này trình bày về cách thiết lập phương trình sóng âm, sóng âm điều hòa, hiện tượng khúc xạ, phản xạ và ứng dụng của sóng âm. Nội dung của chương này được hình thành dựa trên các tài liệu [3] và [4] 2.1 Các định luật và phương... màu xanh Siêu âm Doppler được ứng dụng trong khá nhiều hợp, như: • Khảo sát các mạch máu • Xem xét tình hình phát triển của thai nhi • Khảo sát bệnh lý của gan, thận 8 1.3 1.3.1 Các sóng AM và FM Nguyên lý phát và thu sóng AM • Tín hiệu âm tần Tín hiệu âm tần là tín hiệu của sóng âm thanh sau khi được đổi thành tín hiệu điện thông qua Micro Sóng âm thanh là một dạng của sóng cơ học truyền trong không... siêu âm để xác định các vật thể xung quanh trong không gian 1.4.2 Sóng hạ âm •Khái niệm về sóng hạ âm và nguồn gốc phát sinh Sóng hạ âm là sóng âm có tần số rất thấp, dưới 20 Hz, tai người không nghe thấy được Nguồn phát sinh ra sóng hạ âm có thể là do tự nhiên và 11 do nhân tạo Nguồn phát ra hạ âm tự nhiên là do mưa to gió lớn, tiếng sấm sét, ánh chớp, mưa thiên thạch, núi lửa v.v Tần số của những sóng. .. bước sóng của siêu âm ngắn hơn rất nhiều của âm thanh Nhờ bước sóng ngắn, độ phân giải của ảnh chụp siêu âm thường đủ để phân biệt các vật thể ở kích thước cỡ centimet, hoặc milimet Do đó sóng siêu âm được ứng dụng trong chẩn đoán hình ảnh y khoa (siêu âm y khoa), hoặc chụp ảnh bên trong các cấu trúc cơ khí trong kiểm tra không phá hủy Nhờ khả năng không bị nhận biết bởi con người, sóng siêu âm còn... sóng hạ âm này thường dưới 0,1 Hz Sóng hạ âm do con người gây ra là máy bay bay qua, xe chạy với tốc độ cao, phóng tên lửa, thử bom nguyên tử, v.v Tần số của những sóng hạ âm này vào khoảng 1-5 Hz Bản thân con người cũng sinh ra sóng hạ âm, chẳng hạn như tiếng hít thở gây ra sóng hạ âm có tần số khoản 0.25-0,30 Hz, nhịp tim đập gây ra sóng hạ âm với tần số khoảng 1,2 Hz •Đặc điểm của sóng hạ âm Một... được dùng trong các ứng dụng quan trọng khác, như đo khoảng cách hay vận tốc, làm sạch siêu âm, hàn siêu âm, v.v Sóng siêu âm ứng dụng trong siêu chẩn đoán thuộc loại sóng ngang Siêu âm có thể được tạo ra từ một số loài hoa, hay từ dao động của tinh thể áp điện Nhiều loài động vật có thể tạo ra, hoặc cảm nhận được siêu âm, chẳng hạn như Dơi là loài có thị giác kém phát triển, nhưng lại tạo ra và cảm nhận... hiệu âm tần vào sóng cao tần, gọi là sóng mang Sau đó cho sóng mang bức xạ thành sóng điện từ truyền đi xa với vận tốc ánh sáng • Tín hiệu cao tần và sóng điện từ Tín hiệu cao tần là các tín hiệu có tần số trên 30KHz Tín hiệu cao tần có tính chất bức xạ thành sóng điện từ Sóng điện từ là sóng truyền trong không gian với vận tốc ánh sáng, có tần số từ 30KHz đến hàng ngàn MHz Con người đã sử dụng sóng. .. tốc độ thực của xe Những hệ thống sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trăm khoảng cách khác nhau chỉ trong khoảng thời gian nửa giây 1.2.4 Siêu âm Doppler Siêu âm Doppler là phương pháp ứng dụng hiệu ứng Doppler Người ta phát sóng siêu âm tới bộ phận cần khảo sát và thu hồi sóng phản xạ Từ sự khác biệt tần số tới và tần số phản hồi ta sẽ có các thiết bị xử lý và hiển thị lên màn ảnh Ảnh này cho . THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN Chuyên. sóng âm, hiệu ứng Doppler và ứng dụng. Nguyên lý phát và thu sóng AM và FM. Các sóng siêu âm và hạ âm v.v Chương 2 : Phương trình sóng âm. Sóng âm điều hòa. Địa chấn khúc xạ Chương này trình. truyền sóng ngắn, chỉ vào khoảng vài 10 chục đến vài trăm km, do đó sóng FM thường được sử dụng làm sóng phát thanh trên các đài địa phương. 1.4 Các sóng siêu âm và hạ âm 1.4.1 Sóng siêu âm Siêu âm