ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN ĐÀM VĂN THƯỢNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục 1 Cơ sở lý thuyết 3 1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Ban- nach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert . . . . 6 1.3 Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Định lý vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Định lý Lax Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian Hilbert phức . . . . . . 14 1.7 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . 17 1.7.1 Không gian Sobolev H 1 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 18 1.7.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 20 2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn 27 2.1 Bài toán Dirichlet với phần chính là toán tử Schr¨odinger . . . . . 28 2.1.1 Không gian V 0 q (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 i 2.1.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 29 2.1.3 Toán tử của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt. . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . 36 2.2.3 Sự tồn tại điểm rẽ nhánh của bài toán Dirichlet . . . . . . 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ii Danh mục các kí hiệu R n không gian thực n - chiều C n không gian phức n - chiều Du =  ∂u ∂x 1 , , ∂u ∂x n  = (D x 1 u, , D x n u), ∆u = n  i=1 ∂ 2 u ∂x 2 i = ∂ 2 u ∂x 2 1 + · · · + ∂ 2 u ∂x 2 n là toán tử Laplace α = (α 1 , , α n ) với α i ∈ N (i = 1, 2, , n), được gọi là một đa chỉ số bậc |α| = α 1 + · · · + α n . D α u = D α 1 x 1 D α 2 x 2 . . . D α n x n đạo hàm cấp α của hàm u  kết thúc chứng minh. iv Lời Mở Đầu Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ. Vấn đề tương tự đối với phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính cũng được nghiên cứu nhiều nhưng đó vẫn là bài toán mà chúng ta đang quan tâm. Trong luận văn này tác giả xét bài toán Dirichlet đối với một lớp phương trình Elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Schr¨odinger trong miền không bị chặn P (λ) :  (−∆ + q(x)) u − λu = f(x, u) − h(x) trong Ω, u| ∂Ω = 0, u(x) → 0 khi |x| → +∞. trong đó Ω là miền không bị chặn cùng với biên ∂Ω trơn trong R n , λ > 0, q(x) là hàm số xác định trên Ω thỏa mãn q(x) ∈ C 0 (R), ∃q 0 > 0, q(x) > q 0 , ∀x ∈ Ω q(x) → +∞ khi |x| → +∞, f(x, u) liên tục Lipschitz theo biến u với hằng số k |f(x, u 1 ) − f(x, u 2 )| ≤ k|u 1 − u 2 |. Nhiều bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mà đặc biệt là phương trình không tuyến tính không có nghiệm trơn, và ngay cả tính duy nhất nghiệm cũng không còn đúng nữa. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán phải được hiểu theo nghĩa rộng hơn. Vì vậy, người ta đi đến khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán. Các phương pháp thường được sử dụng khi nghiên cứu phương trình vi phân không tuyến tính đó là: Phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương 1 pháp nghiệm trên, nghiệm dưới, các phương pháp dựa trên định lý về điểm bất động Bannach và Schauder Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt mà thực chất là phương pháp trực giao. Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1 tác giả trình bày một số định lý cơ bản về điểm bất động; phổ của toán tử tuyến tính bị chặn; các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic; không gian Sobolev; định lý Lax Milgram; bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace Chương 2 tác giả tập trung tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt, từ đó trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tồn tại điểm rẽ nhánh của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn. 2 Chương 1 Cơ sở lý thuyết Trong chương này tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về: Định lý điểm bất động; phổ của toán tử tuyến tính; định lý Lax Milgram; bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 1.1 Một số định lý điểm bất động cơ bản Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X. Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x 0 trong C mà T x 0 = x 0 ?. Điểm x 0 như vậy là gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X. Sau đây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cơ bản nhất. 1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer Định lý 1.1. (Brouwer). Giả sử C là một tập con lồi, compact, khác rỗng trong R n và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Chứng minh. Chứng minh định lý này có thể tìm thấy trong [3]. 3 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lý ánh xạ co Bannach. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, ta sẽ định nghĩa ánh xạ co. Định nghĩa 1.2. Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, Ty) ≤ k.d(x, y)∀x, y ∈ X. Như vậy ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục. Định lý 1.3. (Nguyên lý ánh xạ co Bannach). Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là ánh xạ co trong X. Khi đó tồn tại duy nhất x ∗ ∈ X mà T x ∗ = x ∗ . Ngoài ra, ∀x 0 ∈ X ta có T n x 0 → x ∗ khi n → ∞. Chứng minh. Chứng minh định lý có thể tìm thấy trong [2], [3]. 1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder Định lý 1.4. (Định lý xấp xỉ các toán tử compact) Giả sử X, Y là các không gian Bannach, M là một tập con bị chặn của X, T : X → Y là ánh xạ đã cho. Khi đó, T là compact khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact P n : M → Y sao cho sup x∈M ||T (x) − P n (x)|| ≤ 1/n và dim(spanP n (M)) < ∞. Chứng minh. Phần chứng minh định lý xem [5]. Định lý 1.5. (Định lý điểm bất động Schauder). Giả sử M là tập con lồi, compact, khác rỗng của một không gian Bannach X. Giả sử T : M → M là ánh xạ liên tục. Khi đó, T có điểm bất động. Hệ quả 1.6. Giả sử M là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không gian Bannach X. Giả sử T : M → M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động. Phần chứng minh định lý và hệ quả trên được tìm thấy trong [5]. 4 1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Bannach Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian X vào chính nó (hay còn nói toán tử A tác dụng trong không gian X). Ta xét phương trình dạng (A − λI)x = y; x, y ∈ X, λ ∈ P, (1.1) trong đó I là toán tử đồng nhất. Và phương trình thuần nhất tương ứng với (1.1) có dạng (A − λI)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P. (1.2) Nếu phương trình (1.2) có nghiệm x 0 = 0 với giá trị λ 0 nào đấy thì λ 0 gọi là giá trị riêng của toán tử A, x 0 gọi là vectơ riêng của toán tử A ứng với giá trị riêng λ 0 . Trong trường hợp này, hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược R λ = (A − λI) −1 của toán tử A λ = A − λI, do đó phương trình (1.1) vô nghiệm với mọi y = 0. Toán tử R λ được gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A. Định nghĩa 1.7. Số λ gọi là giá trị chính quy (hay điểm chính quy) của toán tử A, nếu tồn tại toán tử giải R λ xác định và bị chặn trên toàn không gian X. Số λ được gọi là phổ (hay điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị chính quy của toán tử A. Định nghĩa 1.8. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của toán tử A. Lập luận trên chứng tỏ, phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của toán tử A. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A gọi là phổ điểm của toán tử A, tập hợp các giá trị còn lại của phổ của toán tử này gọi là phổ liên tục. Định lý 1.9. Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Bannach X, thì với mọi số α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α. Chứng minh. Giả sử toán tử compact A có một dãy vô hạn (x n ) các vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với dãy các giá trị riêng (λ n ) mà |λ n | ≥ α với mọi n = 1, 2, 3, 5 Ta kí hiệu X n là không gian con đóng sinh bởi các vectơ x 1 , x 2 , , x n (n = 1, 2, 3, ). Khi đó, đối với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, tồn tại phần tử y n ∈ X n , ||y n || = 1 sao cho d(y n , X n−1 ) = inf x∈X n−1 ||y n − x|| > 1 2 . Khi đó dãy  y n λ n  bị chặn nhưng dãy  A y n λ n  không chứa dãy con nào hội tụ. Thật vậy, giả sử y n =  n k=1 a k x k thì A y n λ n = n  k=1 a k Ax k λ k = n−1  k=1 a k λ k λ n x k + a n x n = y n + z n , trong đó z n = n−1  k=1 a k  λ k λ n − 1  x k ∈ X n−1 (n = 1, 2, ). Với hai số tự nhiên bất kỳ p, q, p > q ta có     A y p λ p − A y q λ q     = ||y p + z p − (y q + z q )|| = ||y p − (y q + z q − z p )|| > 1 2 , trong đó y q + z q − z p ∈ X p−1 . Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact của toán tử A. Vì vậy chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α. 1.2.2 Phổ của toán tử bị chặn trong không gian Hilbert 1.2.2.1 Phổ của toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.10. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu (Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H. Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng. Định lý 1.11. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số thực đối với mọi x ∈ H. Cho A là toán tử tự liên hợp tác dụng trong không gian Hilbert H. Ta có các kết quả sau đây Định lý 1.12. Các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp A đều là số thực. 6 [...]... elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn Phương pháp Lyapunov - Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền bị chặn đã được trình bày một cách rõ ràng (xem[9]) Trong chương này tác giả sử dụng phương pháp này vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn như một cách tương tự Xét bài toán Dirichlet P (λ)... của phương trình (1.5) nếu đẳng thức Au = f được thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω Định lý 1.24 Nếu số chiều của không gian Rn lớn hơn 2 thì bậc của phương trình elliptic là chẵn Định nghĩa 1.25 Bài toán tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.5) sao cho u(x) = g(x) với mọi x ∈ ∂Ω được gọi là bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính Khi u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω thì phương trình ĐHR (1.5) gọi là bài toán. .. đó bài toán (1.20) được đưa về bài toán −∆v = g = ∆F v|∂Ω = 0 (1.21) Với g ≡ ∆F ∈ C ∞ (Ω) tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.21) có dạng: v = T g ∈ H1 (Ω) 0 Hơn nữa theo định lý 1.42 nghiệm v = T g ∈ C ∞ (Ω) Như vậy với mỗi f ∈ C ∞ (∂Ω) tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) của bài toán Dirichlet (1.20) 26 Chương 2 Phương pháp Lyapunov Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa. .. tại nghiệm và sự tồn tại điểm rẽ nhánh của bài toán trên, trước hết ta đi xây dựng không gian Vq0 (Ω) và trình bày các kết quả của bài toán Dirichlet với phần chính là toán tử Schr¨dinger o 2.1 2.1.1 Bài toán Dirichlet với phần chính là toán tử Schr¨dinger o Không gian Vq0 (Ω) Giả sử Ω là miền không bị chặn liên thông cùng với biên ∂Ω trơn trong Rn ∞ Trong không gian C0 (Ω) ta xác định chuẩn |Du|2... nghĩa vết) Khi đó H1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.13) và phép nhúng 0 1 H0 (Ω) vào L2 (Ω) liên tục và compact 1.7.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng Ta xét bài toán Dirichlet: −∆u = f (x) trong Ω, u=0 trên ∂Ω (1.14) trong đó Ω là miền bị chặn có biên ∂Ω trơn trong Rn , f (x) là hàm liên tục trong Ω Giả sử u ∈ C 2 (Ω) là nghiệm của bài toán (1.14) Khi đó với mỗi ϕ(x) ∈ ∞ C0 (Ω) ta... mỗi điểm của miền Điều kiện elliptic có thể viết dưới dạng: |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 |ξ|m , ở đó γ0 = const > 0 và trên mặt cầu đơn vị |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 và A0 là hàm thuần nhất bậc m đối với ξ Hằng số γ0 được gọi là hằng số elliptic Định nghĩa 1.23 Giả sử Ω là một miền trong Rn Phương trình A(x, D)u = f (x), x ∈ Ω, (1.5) được gọi là phương trình elliptic trong miền Ω nếu A là toán tử elliptic trong miền Ω Hàm... trong Vq0 (Ω) thì u|ΩR là bị chặn trong H 1 (ΩR ) (do ΩR là một tập bị chặn) Phép nhúng H 1 (ΩR ) → L2 (ΩR ) là liên tục, compact Do vậy, ta có một dãy hội tụ mạnh trong L2 (ΩR ) Lấy R đủ lớn và từ (2.3) ta được {uk }k∈N là dãy Cauchy trong L2 (Ω) Do đó, {uk }k∈N hội tụ trong L2 (Ω) 2.1.2 Bài toán Dirichlet và nghiệm suy rộng Ta xét bài toán Dirichlet: (−∆ + q)u = f (x) trong Ω, u=0 trên ∂Ω (2.4) trong. .. đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình Ở đây (1.3) là phương trình cấp k Ta nói rằng phương trình (1.3) giải được nếu ta tìm được tất cả các hàm số u thỏa mãn (1.3) Định nghĩa 1.21 nó có dạng (i) Phương trình ĐHR (1.3) được gọi là tuyến tính nếu aα (x)Dα u = f (x) (1.4) |α|≤k trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho Phương trình tuyến tính cấp k (1.4) được gọi... dựng trong định lý Lax-Milgram sao cho (Au, v) = a(u, v), ∀ u, v ∈ X (1.9) được gọi là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) trên không gian Hilbert X hay ngược lại a(u, v) được gọi là dạng song tuyến tính liên kết với toán tử A 1.6 Định lý Lax Milgram đối với không gian Hilbert phức Xét V là không gian Hilbert phức với tích vô hướng (u, v), u, v ∈ V thỏa mãn điều kiện (u, v) = (v, u) với. .. (ii) Phương trình (1.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = 0 |α|=k (iii) Phương trình (1.3) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng aα (x, u, Du, , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = 0 |α|=k (iv) Phương trình (1.3) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu nó phụ thuộc không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất aα (x)Dα , ở đó aα (x) Định nghĩa 1.22 Xét toán . văn này tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt mà thực chất là phương pháp trực giao. Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1 tác giả trình bày một số định lý cơ bản về điểm bất động;