giúp học sinh phát hiện và tránh những sai lầm trong khi giải toán về tích phân

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã pháthiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kémtrong đó có rất nhiều học sinh45 55 % chưa t

TÊN SÁNG KIẾN GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM

TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN

-  PHẦN I MỞ ĐẦU

-I – Lý do chọn đề tài :

Như chúng ta đã biết trong thế kỷ 21 này, đầu các thập kỷ của thế kỷnày muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóngtiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới Do sự phát triển như vũbão của khoa học, kỹ thuật và công nghệ, kho tàng kiến thức của nhân loạităng lên nhanh chóng Cái mà hôm nay còn là mới thì ngày mai đã trở thànhlạc hậu Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh nhữnghiểu biết cập nhật được Điều quan trọng là phải trang bị cho các em nănglực tự học, tự tiếp thu kiến thức để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thứckhi cần thiết trong tương lai

Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế trithức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo

và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnhtranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trởlên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạnginternet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồngkhông chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháptốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của

xã hội

Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng vềviệc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lựchoạt động cho học sinh Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng

bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp,hình thức tổ chức, phương tiện, cuối cùng là khâu kiểm tra đánh giá

- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THPT đã được mở rộng, các kiếnthức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :+ Năng lực hành động

+ Năng lực thích ứng

+ Năng lực cùng chung sống và làm việc

+ Năng lực tự khẳng định mình.

Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lựcchính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳngđịnh mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong những thành tố của nănglực học sinh

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã pháthiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kémtrong đó có rất nhiều học sinh(45 55 %) chưa thực sự hiểu kỹ về khái niệm

và làm bài toán về nguyên hàm - tích phân và trong khi thực hiện các phéptoán về tích phân rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mụcđích, tôi thấy học sinh nhận đề bài khi làm về tích phân được các thầy côgiáo phát đề song thường có thói quen đọc qua loa là làm ngay tức khắc,miễn là áp dụng đúng công thức là được, điều đó là tình trạng trung của họcsinh ngày nay, khi gặp những bài toán về tích phân không theo công thứcnào, một dạng nào cả thì học sinh hết sức lúng túng Việc giúp học sinh pháthiện và nhìn nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó

là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá vàmang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một năng lực thực sự am hiểuvững chắc về lượng kiến thức tích phân tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứucác dạng toán cao hơn sau này

+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắcphải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương NGUYÊN HÀM – TÍCHPHÂN để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắcphải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra… Cũng qua sángkiến này tôi muốn giúp Giáo viên toán 12 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn,chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về nguyên hàm – tíchphân cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy

lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong conngười học sinh.

+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinhnghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những nămtiếp theo

III – Phạm vi nghiên cứu:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinhthường mắc phải trong quá trình làm bài tập về tích phân và ứng dụng củatích phân trong chương III – Giải tích 12

Phát hiện sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy đượcnhững lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác

Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về tích phân

đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng địnhnghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tíchphân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số, tìmđược có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân haykhông? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tínhtích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai Quathực tế, giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh

vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN

VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN ” Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ

đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quảcao trong quá trình học tập nói chung

+ Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sựtrở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với tích phân Cùng với sự tíchluỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua một số năm giảng dạy Kết hợpvới những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình học Đại học

Toán mà đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo ; sự học hỏi

từ phía các đồng nghiệp trong cơ quan Mặt khác tích phân là khái niệm chỉxuất hiện ở lớp 12, tức là cuối chương trình phổ thông trung học mà học sinhđược học ở môn toán, khái niệm rất là mới, sách giáo khoa trình bày rất làtrừu tượng , lúc đầu học sinh rất lúng túng về cách hiểu, cộng với công thứcphải học thuộc vận dụng vào bài tập rất nhiều, kiến thức thì đa dạng , nhiềubài tập đòi hỏi tư duy rất cao, có những bài tập phối hợp các kiến thức phổthông trước đây Chúng tôi từng dậy những em học lực trung bình , yếu kếtquả thu được học ở nguyên hàm - tích phân gặp rất nhiều khó khăn, vìnhững đối tượng học sinh này hầu như đã quên, hỏng kiến thức

PHẦN II NỘI DUNG

* Phần lý thuyết cần nêu tóm tắt như sau:

- Khi dạy học về khái niệm tích phân hoặc các bài về tích phân, các thầy - côgiáo rất là băn khoăn về dạy khái niệm thế nào để học sinh của mình hiểu,nắm chắc kiến thức cần truyền đạt Đó cũng là mục đích nhỏ mà tôi muốnkhai thác một phần – chỉ một phần thôi Như các thầy cô đã biết kiến thứctích phân là rất rộng , mà lại còn khó dạy, học sinh có em tiếp thu đượcngay, bên cạnh có những em thầy dạy rồi nhưng khi hỏi lại thì rất lúng túngtrả lời Chính vì lẽ đó tôi nêu một phần lý thuyết giảng dạy như sau :

Trong thực tiễn ta thường gặp những hình phẳng được giới hạn bởi nhữngđường cong, chẳng hạn bờ biển cong, cánh cổng có vòm parabol, Vấn đềđặt ra là tính diện tích những hình phẳng đó như thế nào, để quy về tính diệntích một hình thang cong như thế nào ?

+) Tiếp cận phương pháp giải quyết vấn đề:

Xét một trường hợp cụ thể : hình thang cong được giới hạn bởi các đường :

Cách 1 : Thay cạnh cong của nó bằng cạnh thẳng

Cách 2 : Chia đôi hình thang cong bằng đường

trung bình song song với trục tung Oy và tính

mỗi nửa của nó theo cách 1

Cách 3 : Chia đôi tiếp mỗi nửa ở trên, lặp lại

cách 2

- Trong ba cách trên, kết quả nào

phản ánh chính xác hơn diện tích hình thang cong cần tính?

- Có thể tính kết quả chính xác hơn nữa được không, bằng

10

5 2

4 3 2 1 O y

x

Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x)

Từ đó ta có diện tích của Ta b;  là S(b) – S(a), kí hiệu là   x

b

a

f x d

+ Hoạt động 2 (Kiểm nghiệm) : Kiểm nghiệm bằng diện tích hình chữ nhật,hình thang, nửa đường tròn

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn a b;  Khi đó diện tích Scủa hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox vàhai đường thẳng x = a, x= b là

Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F(x) làmột nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số

Trong đó : a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f(x) làhàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x làbiến số lấy tích phân

 tính chất: tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân

+ Hoạt động 4: Nêu các tính chất của tích phân như sau

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc

+ Hoạt động 5 : Các phương pháp tính tích phân

1) Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây

Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liêntục và sao cho hàm hợp f u x   xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.Cách 1: Giả sử ta cần tính  .

Cơ sở của phương pháp này là công thức sau đây

f u x u x dx   f u du

Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộcK.

Công thức (2) gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết dướidạng:

* Phần thực hành làm rõ cho đề tài như sau :

I/ Vấn đề I : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính các tích phân:

1- Tránh những câu hỏi đáp của giáo viên và học sinh khi dạy và học

1.1.Bài toán 1: Tính tích phân sau đây 2

0

sinx

x sinx cosx d







*Phát hiện vấn đề như sau :

- Dưới dấu tích phân gồm những hàm số nào ? ( Câu hỏi bình thường )

- Có nhận xét gì về hàm số dưới dấu tích phân ? ( Câu hỏi khó, không rõràng, học sinh biết nhận xét thế nào ?)

tay chỉ việc”)

* Giúp học sinh sửa lại cho đúng là : Nếu tính được tích phân “liên kết” với

0

cos

x sinx osx

x d c





hàm số dưới dấu tích phân bằng 1 ) thì có tính được tích phân đã cho hay

không ? Ngoài tính chất liên kết nói trên, hãy phát hiện hai tích phân này còn

có quan hệ gì khác

* Lời giải bài toán : Học sinh có thể tự giải

Suy ra: kết luận

2 – Phát hiện đổi biến số nhưng không đổi cận

2.1.Bài toán 2: Tính tích phân sau đây I   x dx

2 cos 1 cos

cos sin 1 1

4 0

4 0 2 4

0

2 0

dt t t dx

x I

 Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt x = sint suy ra dx =

t x

4

arcsin 4

1 4

arcsin 2

1 2

2 cos 1 cos

cos sin 1

1

4 arcsin 0

4 arcsin 0 2 4

dt t t I

dx x I

Kết luận: Học sinh cần nhớ các bước giải tích phân: đổi biến số, tính vi

phân, đổi cận

3 – Phát hiện khi đổi biến không tính vi phân

3.1.Bài toán 3 : Tính tích phân sau đây

+ Hướng dẫn :

 Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt t = 2x + 1

- Đổi cận của tích phân :

3 1

t x

t x

Do đó

20 1 3

1 4

1 4

1

3 1

4 3

1 5 1

3 1

t x

t x

Do đó

10 1 3

1 8

1 8

2

1 1

3 1

4 3

1 5 1

4 – Phát hiện tính nguyên hàm sai , hiểu sai bản chất công thức

4.1.Bài toán 4 : Tính tích phân sau đây I x e x dx

 Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt :

dv

x u

2

0

2 0 2

5– Phát hiện học sinh cách hiểu giới hạn của hàm số chưa rõ ràng

5.1.Bài toán 5 : Tính tích phân 0

1 s

dx I

không xác định nên tích phân trên không tồn tại

của tổng vô hạn các hạng tử nên

0 tan 1

0 2

*Những điều chú ý đối với học sinh :

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm sốliên tục và có đạo hàm liên tục trên a; b

6 – Phát hiện phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân là không tương đương

6.1.Bài toán 6 : Tính tích phân sau

4 2 0

 ta phải xét dấu hàm số f(x) trên a; b rồi dùng

tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt

đối

6.2 Bài toán 7 Tính tích phân sau đây

2 0

3 0

7 – Phát hiện học sinh còn thiếu xót trong áp dụng công thức

7.1.Bài toán 8 : Tính tích phân sau đây :

0 2

dx I

1

1 arctan 1 arctan1 arctan 0

d x dx

Trong cách tính nguyên hàm ta đã áp dụng kết quả biểu diễn theo arctan làkhái niệm không có trong sách giáo khoa lớp 11 nhưng một vài năm trở lạiđây ký hiệu trên lại được dùng trở lại.

tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệmkhông còn trong sách giáo một vài năm, mấy năm nay lại được dùng trởlại

1 1

4

1

t dt t

tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệm đã

bị bỏ một vài năm, bây giờ lại dùng trở lại ký hiệu đó

Các khái niệm arcsinx, arctanx bị bỏ trong một vài năm Học sinh có thể đọcthấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một số sách tham khảo, vìcác sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000đến 2009 do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinhkhông được áp dụng phương pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng

thì đặt x = sint hoặc x = cost

8 – Phát hiện cách đặt ẩn phụ chưa hợp lý với đổi cận tích phân

8.1.Bài toán 11: Tính tích phân :I = 



4 1

3

1 x dx x

* Phát hiện học sinh suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt

2

sin cos cos 1

* Phát hiện nguyên nhân sai lầm:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x2 thì thường đặt x = sint nhưng

đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

* Những điều chú ý đối với học sinh :

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x2 thì thường đặt x = sint hoặcgặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đếncận của tích phân đó.Vì nó không cho ta số cụ thể nếu có phương pháp giảinào hay thì ưu tiên phương pháp đó được giải trước

9 – Phát hiện học sinh chưa biết tận dụng công thức sau đây :

2

1

1

dx x x

* Phát hiện sai lầm thường mắc ở học sinh : I =  

2

2

2 1

1 1 1

1 1

dx x

x

x x

x x

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;

1 (

2 2 2 2 ln 2

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

là sai vì trong  1 ; 1 chứa

x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được

Xét hàm số F(x) =

1 2

1 2 ln

2 2

x x

F’(x) =

1

1 )

1 2

1 2 (ln

2 2

1

4 2 2

x

x x

x

=

1 2

1 2 ln

2 2

1

2 2

2 2





*Những điều chú ý đối với học sinh :

Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằngtrong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0

10- Phát hiện các sai lầm thông thường ở học sinh khi giải các bài toán sau:

Đó là những sai lầm liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm vàvận dụng sai các định lý, quy tắc

10.1 Bài toán 13 Tính tích phân sau đây  

0

2 2

10.2 Bài toán 14 Với 0 <  < , tính tích phân sau đây

1 2

Chúng tôi chủ yếu nghiên cứu những nguyên nhân về kiến thức của học sinh

H Ể H I Ệ N

S A I

Biến đổi sai

Không phân tích

Không củng cố

1.2.Nguyên nhân 2 : Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý

Nhiều học sinh lớp 12 vẫn dùng định lý Newton - Leibnitz để tính tích phân1

2

2

dx

x

 mặc dù hàm số không xác định và liên tục tại x = 0 thuộc đoạn 2;1

để có đáp số sai là - 1,5, thực ra tích phân này không tồn tại

1.3 Nguyên nhân 3 Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic

Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán - một trong cáchình thức của tư duy Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở củalôgic học Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầmtrong suy luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán

1.4 Nguyên nhân 4 Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bàitoán cơ bản

- Học sinh không nắm vững phương pháp giải của các bài toán cơ bản thìdẫn tới sai lầm trong lời giải

- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không nghĩ được đủ các khảnăng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai

- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ cáctrường hợp xảy ra của bài toán

- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ áp dụng không đúng phạm

vi và dẫn tới bế tắc không đi tới lời giải

Các dạng bài tập tương tự : Tính các tích phân sau đây