Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM  ĐỒNG VĂN HƢƠNG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM  ĐỒNG VĂN HƢƠNG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN Chuyên ngành: Lý luân và phƣơng pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Anh Tuấn THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Để hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, chúng tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Anh Tuấn giảng viên khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội, các thầy, cô giáo Khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các Thày, Cô giáo phản biện, Ban giám hiệu, trường THPT Tứ Sơn, Bắc Giang và tổ toán của các trường THPT trên địa bàn huyện Lục nam – Bắc giang. Chúng tôi xin bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn cùng các thầy, cô giáo trong khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các thầy cô giáo phản biện và các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp CH toán khoá 16 - Chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học toán. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN BĐT : Bất đẳng thức DH : Dạy học GV : Giáo viên HĐ : Hoạt động HS : Học sinh KN : Kĩ năng PPDH : Phương pháp dạy học PT : Phương trình THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trường THPT 3 1.1.1. Khái niệm kĩ năng 3 1.1.2. Kĩ năng giải toán 5 1.1.3. Phân biệt KN và kĩ xảo 5 1.1.4. Cách thức rèn luyện KN cho HS 6 1.2. Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán ở THPT. 7 1.2.1. Sơ lược về số phức 7 1.2.1.1. Lịch sử 7 1.2.1.2. Định nghĩa 7 1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức  . 8 1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán ở trường THPT 14 1.3. Kết luận chương 1 15 CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT 16 2.1. Định hướng sư phạm 16 2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT 16 2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác 17 2.2.2. Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp. 24 2.2.3. Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.4. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức 42 1.2.4.1. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình 42 1.3.4.2. Ứng dụng số phức chứng minh một số bất đẳng thức 44 2.3. Hệ thống bài tập rèn luyện 47 2.3.1. Các bài toán lượng giác 47 2.3.2 Các bài toán đại số tổ hợp 52 2.3.3 Các bài toán hình học phẳng 56 2.3.4 Các bài toán giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức 61 2.4 Các bài tập tự rèn luyện 65 2.5 Kết luận chương 2 66 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 67 3.1. Mục đích thực nghiệm 67 3.2. Nội dung thực nghiệm 67 3.3. Đối tượng thực nghiệm. 67 3.4. Kế hoạch thực nghiệm. 67 3.5. Kết quả thực nghiệm 69 3.6. Kết luận chương 3 70 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu và yêu cầu của giáo dục phổ thông nói chung, giáo dục môn Toán nói riêng đòi hỏi tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn. Số phức được đưa vào chương trình toán THPT nhằm hoàn thiện cho HS về hệ thống số sau khi học xong bậc này, ngoài ra số phức còn có rất nhiều ứng dụng đặc biệt là ứng dụng để giải một số dạng toán ở THPT. Một trong những mục tiêu dạy học của bộ môn toán là rèn luyện kĩ năng, tính ứng dụng các nội dung để giải toán. Nội dung số phức mới được đưa vào chương trình SGK ở bậc học THPT, việc khai thác ứng dụng của chúng cho HS là cần thiết. Với mỗi nội dung được đưa vào chương trình toán phổ thông, chúng đều có những ứng dụng nhất định. Số phức cũng không nằm ngoài những nội dung đó, do vậy đòi hỏi người làm toán cần nghiên cứu tính ứng dụng của nó. Căn cứ vào khả năng và hứng thú của bản thân về số phức và tầm quan trọng của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức vào giải toán THPT, chúng tôi đã chọn đề tài “Dạy học số phức ở THPT theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán” 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu: Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT. Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức trong giải toán cho HS THPT. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu tổng quan về kĩ năng, và vấn đề rèn luyện kĩ năng. - Điều tra, tìm hiểu thực tiễn: Thực trạng DH số phức và ứng dụng số phức trong giải toán THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 - Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT. - Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng phương án đề ra. 3. Giả thuyết khoa học Xác định được một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải toán và xây dựng hệ thống bài toán cùng với những hướng dẫn DH thì có thể rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức vào giải toán cho HS. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lí học, từ điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan tới đề tài của luận văn. - Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và ngoài nước có liên quan đến nội dung kĩ năng, ứng dụng số phức vào giải toán THPT. 4.2. Phương pháp điều tra quan sát - Điều tra tìm hiểu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán ở trường THPT trong Huyện Lục nam, Bắc giang. 4.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm - Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương án đề ra tại trường THPT Tứ Sơn, Lục nam, Bắc giang. 5. Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán ở THPT. Chương 3: Thử nghiệm sư phạm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trƣờng THPT 1.1.1. Khái niệm kĩ năng Khi nghiên cứu các tài liệu bàn về kĩ năng (KN), ta thấy có hai quan niệm về lĩnh vực này, đó là: Quan niệm 1: Coi KN là mặt kĩ thuật của một thao tác, hành động hay một hoạt động nào đó. Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải hiểu được mục đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta nắm được các tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau tức ta đã có KN về hành động. Theo Xavier Roegier quan niệm: Kĩ năng là khả năng thực hiện một hoạt động. Theo V.A.Kruchexki thì: “KN là các phương thức thực hiện hoạt động, những cái mà con người đã nắm vững”. Ông cho rằng: Chỉ cần nắm vững phương thức của hành động là con người có KN, không cần đến kết quả hoạt động của cá nhân [1, 78]. Trong cuốn “Tâm lí học cá nhân”. Côvaliôp.A.G cũng xem: “KN là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và điều kiện của hành động” [3, 11]. Khi bàn về KN, Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng: “KN là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được cách thức hành động - tức kĩ thuật của hành động là có KN” [24, 2]. Quan niệm 2: Coi KN không đơn thuần là mặt kĩ thuật của hành động mà còn là một biểu hiện năng lực của con người. KN theo quan niệm này vừa có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính mục đích. Chẳng hạn, theo N.D.Lêvitôp: KN là sự thực hiện có kết quả một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định [13, 3]. K.K.Platơnôp, nhà tâm lí học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lí của KN là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động” [22, 77]. Nói đến kĩ năng, A.V. Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định, được gọi là kĩ năng (A.V. Petrovski (1982), tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Giáo dục, HN). Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “KN là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [5, 132]. Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động. Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN mà thôi. Có thể hiểu: KN là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng và lựa chọn những tri thức, kinh nghiệm đã có. Khi bàn về KN cần lưu ý một số điểm sau đây: Điểm thứ nhất: KN trước hết là mặt kĩ thuật của một thao tác hay một hành động nhất định, không có KN chung chung, trừu tượng tách rời hành động cá nhân của con người. Khi nói tới KN là nói tới một hành động cụ thể đạt tới mức đúng đắn và thuần thục nhất định. [...]... về ứng dụng số phức để giải toán còn ít 1.3 Kết luận chƣơng 1 Trong chương 1 tôi đã trình bày khái niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán, một số nội dung cơ bản về số phức được đưa vào chương trình toán THPT. Trên cơ sở đó trong chương 2 chúng tôi xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức giải một số dạng toán ở trường THPT và hệ thống các bài toán được vận dụng các kĩ năng ứng dụng số phức để giải Số hóa... thống bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng trên 2.2 Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT Để sử dụng số phức trong giải toán, về cơ bản, HS thường tiến hành các hoạt động sau: + Chuyển đổi bài toán hoặc yêu cầu của bài toán từ dạng thông thường sang dạng bài toán với số phức + Sử dụng công cụ số phức để giải bài toán ở dạng đã chuyển đổi + Chuyển đổi kết quả bài toán đã giải được về dạng. .. như: đại số, lượng giác, giải tích, hình học, … liên quan đến số phức Một trong những nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay là tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn Trong các kì thi có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng công cụ số phức để giải một cách ngắn ngọn, xúc tích Theo định hướng này, ở chương 2, chúng tôi tiến hành: + Xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số dạng toán trong. .. Trong khuôn khổ, phạm vi của một đề tài luận văn Thạc sỹ, chúng tôi đề xuất một số kĩ năng cụ thể ứng dụng số phức vào giải bốn loại toán sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 + Giải toán lượng giác; + Giải toán Đại số tổ hợp; + Giải toán Hình học phẳng; + Giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức 2.2.1 Ứng dụng số phức để giải một số bài toán. .. phức để giải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT 2.1 Định hƣớng sƣ phạm Căn cứ vào nội dung (lý thuyết và bài tập) số phức trong chương trình, SGK toán THPT hiện hành ta có thể khai thác các ứng dụng của chúng để giải các dạng toán khác Trong nội bộ môn toán ở trường phổ thông, có... Vậy số tập con X có p phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho p của tập 1, 2, , 2 p là C2pp  2 p 2.2.3 .Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng Để giải được bài toán hình học phẳng bằng số phức, ta cần phải chuyển được bài toán hoặc yêu cầu của bài toán sang ngôn ngữ số phức Sau đây là một số kĩ năng biến đổi các đại lượng của hình học phẳng sang đại lượng số phức: Kĩ năng. .. giác Chuyển bài toán hay yêu cầu của bài toán lượng giác sang bài toán có chứa ngôn ngữ số phức, sau đó sử dụng các kiến thức về số phức và lượng giác để giải bài toán Đối với mỗi bài toán ta có thể chuyển đổi sang ngôn ngữ số phức theo những cách khác nhau, sau đây là một số kĩ năng chuyển đổi đối với một số biểu thức lượng giác sang biểu thức số phức: Kỹ năng 1 Chuyển biểu thức lượng giác dạng f (a1... 5cos3x  10cosx  16 2.2.2 Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp Trong chương trình môn toán ở trường THPT các bài toán về đại số tổ hợp là tương đối khó đối với HS cũng như GV, việc giải các bài toán này thường được vận dụng các công thức, tính chất của đại số tổ hợp hoặc ứng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 dụng nguyên hàm và tích phân... 5: Chứng minh rằng: sin a sin(b  c)cos(b  c  a)  sin b sin(c  a)cos(c  a  b)  sin c sin(a  b)cos(a  b  c)  0 với a, b, c  Gợi ý sư phạm: Ở bài toán này, biểu thức lượng giác đã cho chứa biểu thức dạng sin kx,cos nx nên ta có thể vận dụng kĩ năng 6 và kĩ năng 7 hoặc kĩ năng 4, 5 để chuyển sang bài toán số phức và giải bài toán Sau đây là lời giải bài toán vận dụng kĩ năng 6 và kĩ năng. .. tập các số thực  với tập con các số phức dạng (a,0) , khi đó tập các số thực  là tập con của tập số phức  và  được xem là một mở rộng của  Ký hiệu i là cặp (0,1) Ta có i 2  (0,1) *(0,1)  ( 1, 0)   1 Số i được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng a * i được gọi là các số ảo (thuần ảo) 1.2.1.3 Một số khái niệm trong trường số phức  Dạng đại số của số phức Trong trường số phức, tính . NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT 16 2.1. Định hướng sư phạm 16 2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT 16 2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số. định một số kỹ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT. - Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT. . tài Dạy học số phức ở THPT theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu: Xác định một số kỹ năng ứng dụng