ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP

CHƯƠNG 1 Tập hợp và lôgíc Số tiết: 15 Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết * Mục tiêu: - Sinh viên cần hiểu ñược một số khái niệm về tập hợp, cách xác ñịnh một tập hợp, các p

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Tập hợp và lôgíc 2

1.1 Tập hợp 2

1.1.1 Khái niệm về tập hợp 2

1.1.2 Cách xác ñịnh một tập hợp 3

1.1.3 Các phép toán và tính chất trên tập hợp 3

1.1.4 Tích ðềcác của các tập hợp 4

1.2 Quan hệ 4

1.2.1 Quan hệ hai ngôi 4

1.2.2 Quan hệ tương ñương 5

1.2.3 Quan hệ thứ tự 6

1.3 Ánh xạ 7

1.3.1 ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ 7

1.3.2 ðồ thị của ánh xạ 8

1.3.3 Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 8

1.3.4 Ảnh và tạo ảnh 8

1.3.5 Tích ánh xạ 9

1.3.6 ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 10

1.3.7 Ánh xạ ngược 11

1.4 Lôgic mệnh ñề 12

1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic 12

1.4.2 Các lượng từ 14

1.4.3 Về các phương pháp chứng minh: Trực tiếp, Phản chứng, quy nạp 14

CHƯƠNG 2 Cấu trúc ñại số 24

2.1 Sơ lược về nhóm, vành, trường 24

2.1.1 Phép toán hai ngôi 24

2.1.1 Nhóm 25

2.1.3 Vành 28

2.1.4 Trường 29

2.2 Vành số thập phân và trường số thực, trường số hữu tỷ, trường số phức 30

2.2.1 Vành các số thập phân 30

2.2.2 Trường số hữu tỷ 31

2.2.3 Trường số thực 31

2.2.4 Trường số phức 32

2.3.2 Phép chia với dư 35

2.3.4 Nghiệm của ña thức 36

2.3.5 ða thức trên trường số phức và trường số thực 36

2.4 Trường phân thức hữu tỷ 37

2.4.1 Trường các thương của vành ña thức [X]K 37

2.4.2 Phân thức tối giản 37

2.4.3 Phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng những phân thức ñơn giản 37

2.4.4 Ứng dụng trong trường hợp K là trường số thực ℝ 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

CHƯƠNG 1 Tập hợp và lôgíc

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

*) Mục tiêu:

- Sinh viên cần hiểu ñược một số khái niệm về tập hợp, cách xác ñịnh một tập hợp, các phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương ñương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, ñơn ánh, toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ

- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan

1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm về tập hợp

Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những khái niệm cơ bản nhất của Toán học

Ví d ụ Tập hợp các số tự nhiên, tập các ñiểm cách ñều một ñiểm cho trước, tập nghiệm của một

phương trình, …

- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không ñịnh nghĩa Quan niệm tập hợp như sự tụ tập các ñối tượng có chung những tính chất nào ñó

- Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp

- ðể chỉ: a là phần tử của tập A ta viết: a A∈ , ñọc là a thuộc A

a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a A∉ , ñọc là a không thuộc A

- Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: ∅

- Tập hợp ñơn tử là tập hợp chỉ gồm 1 phần tử

ðịnh nghĩa 1 Cho hai tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì

ta nói rằng A bao hàm trong B hay A là tập con của B

Kí hiệu: A⊂B

Ta có: A⊂B⇔ ∀ ∈x A⇒ ∈ x B

Ví d ụ ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

ðịnh nghĩa 2 Giả sử A là một tập hợp, tất cả các tập con của A là phần tử của một tập hợp mới,

kí hiệu: p( )A , ñược gọi là tập tất cả các tập con của X

Ví d ụ A= a, b { }

Khi ñó: p( )A = ∅{ , a , b , a, b{ } { } { } }

ðịnh nghĩa 3 Hai tập A và B ñược gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A ñều là

phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B ñều là phần tử của A Kí hiệu: A = B

ðịnh nghĩa 4 Cho hai tập hợp A và B Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B∪ là một tập

hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B Vậy A B∪ ={x x A x B/ ∈ ∨ ∈ }

ðịnh nghĩa 5 Cho hai tập hợp A và B Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A B ,∩ là một

tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Vậy A B = x x A, x B∩ { ∈ ∈ }

+ Cho B⊂A khi ñó hiệu của A và B ñược gọi là phần bù của tập B ñối với tập A Kí

C ặp sắp thứ tự Cho hai ñối tượng a, b bất kỳ, từ hai ñối tượng này ta có thể lập thành ñối

tượng thứ ba kí hiệu: (a, b) và gọi là cặp (a, b)

Chú ý: Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c, b = d

Nếu a ≠ b thì cặp (a, b) ≠ (b, a)

Ta nói rằng: Một cặp (a, b) là một dãy có thứ tự của hai phần tử a, b

Tích ðềcác của hai tập hợp Cho hai tập hợp A và B khác rỗng Ta gọi tập gồm tất cả các cặp

sắp thứ tự (a, b) với a thuộc A và b thuộc B là tích ðềcác của tập A và tập B

Kí hiệu: A B× hoặc A.B

ðịnh nghĩa 7 Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ta gọi mỗi tập con R của tập tích ðềcác X Y× là một quan hệ trên X Y ×

Nếu (x, y) R∈ ta nói “ x có quan hệ R với y” và viết xRy Nếu (x, y) R∉ ta nói “ x không có

quan hệ R với y” và viết xRy

Ví d ụ Cho X là tập hợp những người ñàn bà, Y là tập những người ñàn ông của làng nọ R là tập

các cặp sắp thứ tự (x, y) trong ñó x X y Y∈ , ∈ sao cho x là mẹ ñẻ của y

ðịnh nghĩa 8 Cho X là tập không rỗng tuỳ ý Ta gọi mỗi tập con R của bình phương ðềcác

X X× là một quan hệ hai ngôi xác ñịnh trên tập X

Nếu (x , ) R1 x ∈ ta nói “ 2 x1 có quan hệ R với x2” và viết x Rx1 2.Nếu (x , ) R1 x ∉ ta nói “ 2

1

x không có quan hệ R với x ” và viết 2 x Rx 1 2

Ví d ụ Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên tập số thực R xác ñịnh bởi tập con

R={( , )x x ∈R2/x≤ y}

là một quan hệ hai ngôi trên R

M ột số tính chất thường gặp Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X Ta bảo:

(i) R có tính chất phản xạ trong X nếu và chỉ nếu x X , (x, x) R∀ ∈ ∈

(ii) R có tính chất ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu x X , y X∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R∈ ⇒(y, x) R∈

(iii) R có tính chất phản ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu

x X , y X

∀ ∈ ∀ ∈ (x, y) R hay (y, x) R∈ ∈

Ví dụ

1 Quan hệ “ bằng nhau” trong một tập hợp X nào ñó có tính phản xạ

2 Quan hệ “ chia hết cho” trong tập N các số tự nhiên có tính phản xạ

3 Quan hệ “ nguyên tố cùng nhau” trong tập N các số tự nhiên không có tính phản xạ

4 Quan hệ “ ≤ ” trên tập R các số thực có tính phản xạ

1.2.2 Quan hệ tương ñương

ðịnh nghĩa 9 Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của X X× Thế thì S gọi là một quan

hệ tương ñương trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn:

1 Quan hệ “=” là quan hệ tương ñương

2 Gọi X là tập các ñường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương là một quan hệ tương ñương

3 Gọi X là tập các tam giác khi ñó quan hệ ñồng dạng giữa các tam giác là một quan hệ tương ñương

ðịnh nghĩa 10 Giả sử S là một quan hệ tương ñương trong X và a X∈ Tập hợp:

B ổ ñề Với hai phần tử bất kì a và b ta ñều có hoặc C(a) C(b) = ∩ ∅ hoặc C(a)=C(b)

ðịnh nghĩa 11 Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp trên một tập hợp X khi ta chia nó thành những bộ phận A, B, C, … khác ∅ , rời nhau từng ñôi một sao cho mọi phần tử của X thuộc một trong các bộ phận ñó

ðịnh lý 1 Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X Thế thì các lớp

tương ñương phân biệt của X ñối với S thành lập một sự chia lớp trên X

ðịnh nghĩa 12 Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X Tập hợp các

lớp tương ñương phân biệt của X ñối với S gọi là tập thương của X trên quan hệ tương ñương S

và kí hiệu là X/S

Ví d ụ Cho X là tập người trên trái ñất Nếu chia X thành các tập con U, V, W,… sao cho các tập

con ñó là tập các người cùng quốc tịch, coi rằng không có ai có hai quốc tịch và bất kì người nào cũng thuộc một quốc tịch nào ñó thì ta có một sự phân lớp trên tập X

1.2.3 Quan hệ thứ tự

ðịnh nghĩa 13 Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của X X× Thế thì S ñược gọi là một

quan hệ thứ tự trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn:

1 Quan hệ “ ≤ ” trong tập N là một quan hệ thứ tự

2 Quan hệ “chia hết” trong N không là một quan hệ thứ tự

3 Quan hệ bao hàm giữa các bộ phận của một tập hợp X

- Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X thì người ta thường kí hiệu S bằng “ ≤ ” và ñọc “ a b≤ ” là

“a bé hơn b”

ðịnh nghĩa 14 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Một phần tử a X∈ gọi là phần tử tối tiểu

( phần tử tối ñại) của X nếu quan hệ x a≤ ( a≤ ) kéo theo x x = a

ðịnh nghĩa 15 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Một phần tử a X∈ gọi là phần tử bé nhất

( phần tử lớn nhất) của X nếu với mọi x X∈ ta có a x≤ ( x≤ ) a

ðịnh nghĩa 17 Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý Ta gọi là ánh xạ từ X ñến Y một quy tắc nào

ñó cho ứng mỗi phần tử x X∈ với một phần tử duy nhất y Y∈

Kí hiệu: f, g, h,…

f là một ánh xạ ñi từ X ñến Y, f:X→Y hoặc Xf→Y

y = f(x) : y là giá trị của f tại x

Tập X: Tập nguồn (miền xác ñịnh) của ánh xạ f

Tập Y: Tập ñích (miền giá trị) của ánh xạ f

+ Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh xạ từ X ñến Y khi có những phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y hoặc khi có phần tử của X ứng với hơn một phần tử trong Y

+ Trong một ánh xạ mỗi phần tử thuộc nguồn ñều có ảnh duy nhất ñiều ñó có nghĩa là nếu: f:X→Y là một ánh xạ thì từ x1=x (x , x2 1 2∈X)

Là hai ánh xạ không bằng nhau

S ự thu hẹp một ánh xạ Giả sử cho ánh xạ f:X→Y, A⊂X Khi ñó ta xác ñịnh một ánh xạ g:A→Y sao cho x A: g(x) = f(x).∀ ∈ Ánh xạ g xác ñịnh như vậy gọi là ánh xạ thu hẹp của f

vào tập con A và thường ñược kí hiệu: g = f A

Cho ánh xạ f:X→Y Giả sử x và y là các phần tử của X và Y sao cho y = f(x) ta gọi phần tử y

là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, còn phần tử x gọi là một tạo ảnh của phần tử y

a, Ảnh của một tập hợp

ðịnh nghĩa 20 Cho ánh xạ f:X→Y và A là một tập con của X Tập con của Y gồm ảnh của tất

cả các phần tử của A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A)

Từ ñịnh nghĩa ta thấy rằng: y Y, y f(A) ∈ ∈ ⇔ ∃ ∈ x A: y = f(x)

Ta cũng có f:X→Y tuỳ ý ta luôn có: 1Y f = f 1 X =f trong ñó 1X, 1Y là các ánh xạ ñồng nhất

1 Tích của hai ñơn ánh là một ñơn ánh

2 Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh

3 Tích của hai song ánh là một song ánh

ðịnh lý 6 Cho f:X→Y, g :Y→U và h = g f

1 Nếu h là ñơn ánh thì f là ñơn ánh

2 Nếu h là ñơn ánh và f là toàn ánh thì g là ñơn ánh

3 Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh

4 Nếu h là toàn ánh và g là ñơn ánh thì f là toàn ánh

1.3.6 ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh

a, ðơn ánh

ðịnh nghĩa 23 Ta gọi ánh xạ f:X→Y là ñơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x , x 1 2của X và x1≠x2 ta luôn có f(x ) f(x )1 ≠ 2

Nói khác ñi f:X→Y là ñơn ánh nếu mọi phần tử của Y có tối ña một tạo ảnh trong X

ðơn ánh f:X→Y còn ñược gọi là ánh xạ một- một từ X ñến Y Ta có thể phát biểu ñịnh nghĩa dưới dạng tương ñương: f:X→Ylà ñơn ánh nếu từ f(x ) f(x )1 = 2 ta luôn có x1=x2

ðịnh nghĩa 25 Ánh xạ f: X→Y là một song ánh nếu nó vừa là ñơn ánh vừa là toàn ánh

Nói khác ñi: ánh xạ f: X→Y là một song ánh nếu với mọi y Y∈ có một và chỉ một x X∈ sao cho f(x) = y (Mọi y Y∈ tạo ảnh f (y)−1 bao giờ cũng là tập một phần tử)

Song ánh: f:X→Ycòn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y

1 , 1 là các ánh xạ ñồng nhất) Khi ñó g gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Y

Do tính chất ñối xứng trong ñịnh nghĩa nên nếu g là ánh xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ ngược của g

Ví d ụ Ánh xạ ngược của ánh xạ f: →ℝ ℝ là ánh xạ f: →ℝ ℝ

x֏x3 x֏3x

ðịnh lý 7 Ánh xạ f:X→Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.

ðịnh lý 8 Giả sử g :Y→X và g :Y′ →X ñều là ánh xạ ngược của ánh xạ f:X→Y Khi ñó:

g = g′

1.4 Lôgic mệnh ñề

1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic

a Mệnh ñề Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh ñề là những câu biểu thị, diễn ñạt một ý

gì ñó

Những câu phản ánh ñúng hoặc sai thực tế khách quan ñược gọi là các mệnh ñề

ðối tượng của lôgic mệnh ñề là các mệnh ñề Ta qui ước các mệnh ñề phải thoả mãn hai ñiều kiện sau:

- Mỗi mệnh ñề ñều phải hoặc ñúng hoặc sai

- Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai

Trong lôgic mệnh ñề ta chỉ quan tâm tới tính ñúng sai của mệnh ñề mà không quan tâm tới ý nghĩa, nội dung, cấu trúc ngữ pháp của nó

Ta qui ước mệnh ñề có giá trị bằng 1 nếu nó ñúng, có giá trị bằng 0 nếu nó sai

Vì mỗi mệnh ñề chỉ có thể hoặc ñúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận ñược một trong hai giá trị

0 hoặc 1 Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lí của các mệnh ñề

Ví d ụ Mệnh ñề: 1 + 2 = 4

Số 15 chia hết cho 3

Giá trị chân lí của mệnh ñề (1) bằng 0

Giá trị chân lí của mệnh ñề (2) bằng 1

Các mệnh ñề ñơn giản, tức là các mệnh ñề không thể chia nhỏ thành các mệnh ñề khác ñược gọi

là các mệnh ñề sơ cấp

b Các phép toán lôgic trên mệnh ñề

Với các phép toán ñại số, từ các số x, y nào ñó ta có thể lập ñược các số mới – x, x + y, x – y, x.y, … Tương tự như thế trên tập hợp các mệnh ñề với một vài mệnh ñề cho trước bằng một qui tắc nhất ñịnh ta có thể lập ñược các mệnh ñề mới Các quy tắc thiết lập mệnh ñề mới này gọi là các phép toán mệnh ñề

ðịnh nghĩa 28 Hội của hai mệnh ñề p và q, kí hiệu là: p q∧ , ñọc là “ p và q” là mệnh ñề ñúng

khi cả hai cùng ñúng và sai trong các trường hợp còn lại

ðịnh nghĩa 29 Tuyển của hai mệnh ñề p và q, kí hiệu là p q∨ , ñọc là p hoặc q, là một mệnh ñề

sai khi cả hai cùng sai và ñúng trong các trường hợp còn lại

*) Phép kéo theo

ðịnh nghĩa 30 Cho hai mệnh ñề p và q Mệnh ñề kéo theo p⇒ ñọc là “p kéo theo q” hay “ q

Nếu p thì q” là mệnh ñề chỉ sai kho p ñúng q sai

ðịnh nghĩa 31 Cho hai mệnh ñề p và q Mệnh ñề “p tương ñương với q” hay “p nếu và chỉ nếu

q”, kí hiệu p⇔ , là một mệnh ñề ñúng khi và chỉ khi cả hai mệnh ñề cùng ñúng hoặc cùng sai, qsai trong các trường hợp còn lại

E ≠ ∅ và sai trong các trường hợp còn lại

Ký hiệu ∃ (ñọc là “tồn tại”) gọi là lượng từ tồn tại

Chú ý

a) Mệnh ñề x X P x( )

∈

∀ gọi là mệnh ñề phổ dụng Theo ñịnh nghĩa ta có mệnh ñề x X P x( )

∈

∀ là ñúng khi và chỉ khi hàm mệnh ñề P(x) là hằng số ñúng trên X

b) Mệnh ñề

x XP x( )

∈∃ gọi là mệnh ñề tồn tại Theo ñịnh nghĩa ta có mệnh ñề

1.4.3 Về các phương pháp chứng minh: Trực tiếp, Phản chứng, quy nạp

Có nhiều phương pháp chứng minh Dưới ñây là một vài phương pháp chứng minh thông dụng nhất

(ii), Ph ương pháp chứng minh trực tiếp

Khi ta chứng minh mệnh ñề B bằng cách vạch rõ B là kết luận lôgic của những tiên ñề ñúng A1, A2,…, An nghĩa là B là một kết luận chứng minh thì ta bảo là ñã chứng minh trực tiếp mệnh ñề B

Ví dụ

Ta xét chứng minh ñịnh lý sau trong sách giáo khoa phổ thông (Hình học 7) “ðịnh lý – Trong tam giác cân hai góc ở ñáy bằng nhau”

(ii), Ph ương pháp chứng minh bằng phản chứng

Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh bằng phản chứng là như sau: Muốn chứng

minh mệnh ñề p là ñúng, ta giả thiết p là sai, tức là p là ñúng Sau ñó chứng minh rằng p⇒ q

là ñúng và q là sai tức p là ñúng (hoặc chỉ ra rằng q là mệnh ñề ñúng ñã biết)

Từ ñó, theo ñịnh nghĩa của phép kéo theo, q sai thì p sai, p sai thì p ñúng (luật bài

trung)

Ta cũng có thể rút ra kết luận p ñúng bằng cách áp dụng quy tắc suy luận sau:

, ;

Chú ý. Các mệnh ñề toán học cần phải chứng minh thường có dạng p ⇒ q Vì vậy khi chứng

minh mệnh ñề p ⇒ q bằng phản chứng ta giả thiết p ⇒ q là sai, tức p ⇒ là ñúng hay p ∧ q q

là ñúng Sau ñó chứng minh rằng p ∧ q ⇒ r là ñúng và r là ñúng Áp dụng quy tắc suy luận

Một ñường thẳng cắt một trong hai ñường thẳng song song thì cũng phải cắt ñường kia

(iii) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Giả sử P(n) là một tính chất nào ñó liên quan ñến số tự nhiên n, nói khác ñi, P(n) là một mệnh ñề xác ñịnh trên tập N các số tự nhiên

ðể chứng minh tính chất P(n) ñúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là chứng minh mệnh ñề phổ dụng sau ñây là ñúng

n N ∈∀ P(n), người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Cơ sở lôgic của phương pháp này là quy tắc suy luận tổng quát sau

[3] Phan Doãn Thoại (chủ biên), (2003), Bài tập ðại số và Số học, Nhà xuất bản ðại học Sư

Cho A là tập hợp gồm các ước số chung của a & b Gọi d là ước số chung lớn nhất của a & b

và B là tập hợp các ước số của d Chứng minh A = B Cho ví dụ minh hoạ

Giả sử A, B là các tập con của tập X Chứng minh rằng:

CX(A) = B khi và chỉ khi A ∪ B = X và A ∩ B = ∅

Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ S Xét xem quan hệ S có những tính chất nào

b) Trong tập các số thực R cho quan hệ S xác ñịnh như sau: x S y khi và chỉ khi

x2 + y2 + 4x = 6y – 15 Chứng minh rằng quan hệ S là tập rỗng

1.15

Trên tập ℤ các số nguyên xác ñịnh quan hệ S như sau:

a S b khi và chỉ khi a + b chia hết cho 2 Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?

1.16

Trên tập ℤ các số nguyên xác ñịnh quan hệ ρ như sau: a ρ b khi và chỉ khi

a – b chia hết cho 3 Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?

1.17

Trong mặt phẳng cho ñường thẳng a cố ñịnh Trên tập X các ñiểm của mặt phẳng xác ñịnh quan hệ ρ như sau: Với M, N ∈ X, M ρ N khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới ñường thẳng a bằng khoảng cách từ N tới ñường thẳng a

a) Chứng tỏ rằng ρ là một quan hệ tương ñương

b) Cho A là ñiểm cố ñịnh Hãy xác ñịnh tập [A] bằng cách sử dụng ngôn ngữ quỹ tích

1.18

Giả sử X là tập các ñiểm trên mặt phẳng, O là ñiểm cố ñịnh thuộc X Trên X xác ñịnh quan hệ S như sau:

M S N khi và chỉ khi M, N, O cùng nằm trên ñường thẳng nào ñó

a) S có phải là quan hệ tương ñương trên X không ?

b) S có phải là quan hệ tương ñương trên X – {O} không ? Nếu phải, xác ñịnh lớp tương ñương chứa ñiểm A Hãy mô tả tập thương X – {O}/ S

1.19

Trong tập các số thực ℝ xác ñịnh quan hệ S như sau: x S y ⇔ |x| = |y|

a) Chứng tỏ S là quan hệ tương ñương

b) Cho a là số thực, tìm [a]

1.20

Trong tập ×ℝ ℝ ta xác ñịnh quan hệ S như sau: (x1, y1) S (x2, y2) ⇔ x1 = x2

Chứng tỏ S là quan hệ tương ñương Hãy xác ñịnh lớp [a, b] và tập thương ×ℝ ℝ/ S Sau ñó minh hoạ bằng hình vẽ (coi (x, y) là ñiểm có toạ ñộ (x, y) trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy)

1.21

Trong tập ℤ×ℕ* ta xác ñịnh quan hệ ~ như sau: (a, n) ~ (b, m) ⇔ a.m= b.n

a) Chứng minh rằng ~ là quan hệ tương ñương

b) Hãy xác ñịnh tập thương ℤ×ℕ*/ ~

1.22

Trong tập các số thực R Chứng minh rằng quan hệ S trên R xác ñịnh bởi:

x S y khi và chỉ khi x3 – y3 = x – y là quan hệ tương ñương

Tuỳ theo giá trị của a, tìm các phần tử trong lớp tương ñương [a]

1.23

Cho X = {1, 2, 3} và một quan hệ hai ngôi S trên X

a) Chứng minh rằng nếu S là quan hệ tương ñương trên X chứa các phần tử (1, 2) và (1, 3) thì S

= X×X

b) Trong trường hợp S là tập con thực sự của X×X, chứa (1, 2), hãy tìm S sao cho S là một quan

hệ tương ñương trên X

1.24

a) Trong tập R các số thực xét quan hệ S như sau: x S y ⇔ x3 ≤ y3 S có là quan hệ thứ tự

không ? Tập R cùng với quan hệ S có là tập sắp thứ tự tuyến tính không ?

b) Cũng trong tập R xét quan hệ T như sau: x T y ⇔ x2 ≤ y2 Quan hệ T có là

quan hệ thứ tự không ?

1.25

Trong tập các số nguyên Z xét quan hệ S như sau: n S m ⇔ |n| ≤ |m| Quan hệ S có là quan hệ

thứ tự không ? tại sao ?

c) Tìm chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất (nếu có) của các tập A, B

d) Tìm các phần tử tối ñại , tối tiểu của X

b) Ảnh của tập các ñiểm trên ñoạn [–1, 2]

c) Tìm tạo ảnh toàn phần của 1 , –1

a) f là ñơn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho g.f = 1X

b) f là toàn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho f.g = 1Y

Cho ba ánh xạ f: X → Y và h, h′: Y → X Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh và hf =h f′thì

h h′= Ngược lại nếu với mọi h, h′có hf =h f′luôn kéo theo h h′= thì f là một toàn ánh

a) ( x∀ ∈N) [ P(x) ∨T(x)] c) ( x∀ ∈N) [ H(x)⇒P(x)]

b) ( x∀ ∈N) [ P(x) ∧T(x)] d) ( x∀ ∈N) [ P(x)⇒ H(x)]

1.45

Hãy dùng ký hiệu lôgic ñể viết các mệnh ñề sau rồi chỉ ra tính ñúng sai của nó

a) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = x ”

b) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = y ”

c) “ Với mọi cặp số nguyên x, y tồn tại số nguyên z sao cho x + z = y ”

1.46 Xác ñịnh xem trong số các câu sau ñây câu nào là mệnh ñề, câu nào là hàm mệnh ñề?

Trong trường hợp câu là hàm mệnh ñề hãy tìm miền ñúng của nó

a) 20 = 1 b) x0 = 1 c) x2 ≥ 0

d) ax2 + bx + c > 0, a, b, c là những số thực khác 0

e) ðường thẳng x song song với ñường thẳng y

1.47 Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề sau:

a) ϕ (x): “ x là ước chung của 12 và 18”

Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số tự nhiên ℕ

a) n chia hết cho 2 và cho 3

1.51 Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với các hàm mệnh ñề sau:

a) (P (x,y) ∧ Q(x,y ) ) ⇒ (P(x,z)), trong ñó P(x,y) là: “x chia hết cho y”, còn Q(x,y) là: “y bằng z”