Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 có đáp án

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.a)Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b)Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CKc)Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

4

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD.

a Chứng minh: DECF

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2

= (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16) (2 điểm)

M F

E

B A

Câu 2

(6 điểm)

Biểu thức:

2 2

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

 (a – 1).(b – 1) = 0

 a = 1 hoặc b = 1 Với a = 1 => b 2000 = b 2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Với b = 1 => a 2000 = a 2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1; b = 1 => a 2011 + b 2011 = 2

Đề thi SỐ 3

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

8 14 7

4 4

2 3

2 3

a

a a a

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phơng trình :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

b a c b a

b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

3 2

a

; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,

mà Ư(3)= 1 ; 1 ;  3 ; 3 0,25

Từ đó tìm đợc a  1 ; 3 ; 5 0,25

Câu 2 : (2đ)

a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25

Ta có a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b)(a2 2ab b2 ) 3ab

1 ) 7 )(

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1 4

; 2

y x c z x b z

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

CE

CM BM

BD

 , từ đó BD.CE=BM.CM

3 2 1

2 1

x

y

E D

C B

A

 Chứng minh BMD ∾ MED 0,5

Từ đó suy ra D ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyeõn

Caõu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4  3x3 ax b chia heỏt cho ủa

thửực B x( ) x2  3x 4

Caõu 4( 3 ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phaõn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phaõn giaực Hy cuỷa goực

AHC Keỷ AD vuoõng goực vụựi Hx, AE vuoõng goực Hy.

Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng

Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng

Đáp án và biểu điểm

mn = 10( m + n – 10) + 1

10 10 100 1 ( 10) 10 10) 1

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3

3 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông

Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà AHB

và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay DHE = 90 0 mặt khác  ADH AEH   = 90 0

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0 0

90 45

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác DHE (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt làhình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

 OFD OED ODF 90    o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2)

21 x 1990

1 x

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

) CA BC AB (

0 z

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

AA 2 1

BC '.

HA 2 1 S

S

S S

S S

S ' CC

' HC ' BB

' HB

HAB ABC

BI

AI NB

AN

.

BI

1 BI

IC AC

AB AI

IC BI

AI AC

AB MA

B’

H N

A

C I

B’

H N

-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

 AB2 + AD2  (BC+CD)2

AB2 + 4CC’2

 (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)

Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2

4BB’2  (AB+BC)2 – AC2

-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2

4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB

(

2 2

1

1 : 1

1

x x x

x x

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1 1

x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

5 (

3

5 1

Bài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c b a ac a c bc c b ab

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

M

B A

Từ (1) và (2)  OM.( AB1 CD1 )    1

AD

AD AD

DM AM

Chứng minh tương tự ON.( 1  1 )  1

 S AOB.S DOC  (S AOD)2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009

Cho ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ

S Ố 9 B

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức

x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với

E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

a)

y y

y y

y 1 3

2 1 9

6 3 10 3

1

2 2

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,

6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).

Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương

ĐỀ

S Ố 11 Bài

1 : (2điểm)

a) Cho x2  2xy 2y 2  2x 6y 13 0   Tính

23x y 1N

4xy



b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: A a 3 b3 c3  3abc

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ

Bài

4 : (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011

Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a(bc) 2 (b c) b(ca) 2 (c a) c(ab) 2 (a b)

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 111 0

c b a

Rút gọn biểu thức:

ab c ca b bc a

N

2

1 2

1 2

1

2 2

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người

đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đường AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3 2 5 2 345



 y x

§Ề S Ố 14 Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x x- 3x + 4 x -2 với x  0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

2 2

2 1

c b

bc

b a

ab

a A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0

Tính: 4a2 b2

ab P

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

§Ò S Ố 15 Bài

1 : (2 điểm)

a) Phân tích thành thừa số: (abc) 3  a3  b3  c3

b) Rút gọn:

9 33 19

3

45 12 7

2

2 3

2 3

x

x x

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

c) Chứng minh: góc MIN = 900

d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tớch ∆IMN lớn gấp đụi diện tớch ∆ABC.

09

00 1 9

99 224

9 số 2 -

1 3 6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Rỳt gọn p

b) Tớnh giỏ trị của biểu thức p khi /x / = 43

c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7

d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p cú giỏ trị nguyờn

Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Cõu 5 : ( 3ủieồm)

Qua trọng tõm G tam giỏc ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lầnlượt tại M và N Tớnh độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giỏc ABC bằng 75(cm)

Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giỏc đều ABC M, N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xỏc định vị trớ của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏnhất

đề SỐ 17 Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

1. x2  7x 6

2. x4  2008x2  2007x 2008

Bài 2: (2điểm) Giải phương trình:

3 Tìm số d trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2  10x 21.

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x  1

0,5

0,5 2.2

c c

b a

b c

a b

a c

b a c b a

= 3 ( ) ( ) ( )

c

b b

c a

c c

a a

b b

CE CB (Hai tam giác

vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng

1,0

0,5

(c.g.c)

Suy ra: BEC ADC  135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BC  BC  AC (do BECADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM  BEC (c.g.c), suy ra: BHM  BEC 135 0  AHM  45 0

0,5

0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó

c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.

d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, 9

16

PD

PB  TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.

Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010

b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1 Chøng minh r»ng:

1 2 1 2 2

1  x  1  y  1  xy

иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

O M

P

I E

F

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết

5 2005

4 2006

3 2007

2 2008

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm)

a) ( 0,75đ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 - 4x 2 + 4x – x 2 + 4x – 4 (0,25đ)

= x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) (0,25đ)

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ)

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

        (0,25đ) =  

 (0,25đ) =   

2009 2005

2009 2006

2009 2007

2009 2008

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1 )(

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c)  EDF cân tại D

1 2

 EDF = 90 0 VậyEDF vuụng cõn

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng  CO là trung trực BD

MàEDF vuụng cõn  DI = 1

2EFTương tự BI = 1

2

2

Bài 3: Cho phân thức:

x x

x

2 2

5 5 2





a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

A D B

C E

Bài 4: a) Giải phơng trình : 22 1  ( 2 2)





x x x x

x

b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sảnphẩm Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thànhtrớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sảnxuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày

Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và

trung tuyến AM

a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA

2 (

) 2 ( 2 ).

2 ( 2 )

2 (

) 4 2 )(

4 2 ( 2

4 ) 2 [(

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x x x

x

x x

x

x

2

5 ) 1 ( 2

) 1 ( 5

5 2

2 )

2 (

2) - (x - 2) x(x

Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

 x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ

hay BA

BC HA

AC HB AB

25

05 20

21 x 1990

1 x

Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thờm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thờm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chớnh phương