T Vn Sỏng bớ danh:tasangthcs CC BI TON HèNH HC Một số kiến thức về toán học cần nắm 1. Tam giác vuông: * Hệ thức lợng trong tam giác vuông. b 2 = ab ; c 2 = ac h 2 = b.c ; ha = bc 2 2 2 1 1 1 h b c = + ; Diện tích: S = 1 1 2 2 bc ah= * Với góc nhọn thì: a, 1<Sin + Cos 2 ; Đẳng thức xảy ra khi = 45 0 b, Cos 1 1 2 2 =+ tan S dng cỏc t s lng giỏc: sin cos cot, cos sin ,cos, huyen doi ==== gtg huyen ke Sin 2. Tam giác th ờng: Các ký hiệu: h a : Đờng cao kẻ từ A, l a : Đờng phân giác kẻ từ A, m a : Đờng trung tuyến kẻ từ A. BC = a; AB = c; AC = b R: Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác. r: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chu vi: 2p = a + b + c => ; ; 2 2 2 b c a c a b a b c p a p b p c + + + = = = Định lý về hàm số cosin: a 2 = b 2 + c 2 2bc.cosA; b 2 = c 2 + a 2 2ca.cosB; c 2 = a 2 + b 2 2ab.cosC + =+= + =+= + =+= ab cba CCabbac ac bca BBaccab bc acb AAbccba 2 coscos2* 2 coscos2* 2 coscos2* 222 1222 222 1222 222 1222 2 3 22 22 22 1 2 2* sin4sin33sin* cossin22sin* sin211cos2 2coscossin* 1cot.* 1cos* tg tg tg gtg Sin = = = == = = =+ 1 c b h a b / c / H A B C c b lA hA mA A B C D H M Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs §Þnh lý vỊ hµm sè sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = §Þnh lý vỊ hµm sè tang: 2 2 2 ; ; 2 2 2 A B B C C A tg tg tg a b b c c a A B B C C A a b b c c a tg tg tg + + + + + + = = = − − − − − − ; ; 2 2 2 A r B r C r tg tg tg p a p b p c = = = − − − §Þnh lý vỊ hµm sè costang: ; ; 2 2 2 A p a B p b C p c cotg cotg cotg r r r − − − = = = a = h A (cotgB + cotgC); b = h B (cotgC + cotgA); c = h C (cotgA + cotgB); 3. Các bán kính đường tròn: a) Ngoại tiếp: C c B b A a S abc R sin2sin2sin24 ==== b) Nội tiếp: ( ) ( ) ( ) 222 C tgcp B tgbp A tgap p S r −=−=−== 4. Diện tích tam giác: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) R abc S rcprbpraprpS cpbpappS A CBa S CabBacAbcS chbhahS cba cba 4 * .* * sin.2 sin.sin. * sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 * 2 1 2 1 2 1 * 2 = −=−=−== −−−= = === === ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ HƯ thøc tÝnh c¸c c¹nh:AB 2 + AC 2 = 2AM 2 + 2 2 BC h A = 2 ( )( )( )p p a p b p c a − − − ; 5. Đường cao: c S h b S h a S h cba ∆∆∆ === 2 ; 2 ; 2 6. Đoạn phân giác trong tam giác: 2 ; với Hơrông) (Đlý 2 cba p ++ = Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs ( ) ( ) ( ) cppab baba C ab l bppca acac B ca l appbc cbcb A bc l a b a − + = + = − + = + = − + = + = 2 2 cos2 * 2 2 cos2 * 2 2 cos2 * 7. Trung tuyến: 222 222 222 22 2 1 * 22 2 1 * 22 2 1 * cbam bacm acbm c b a −+= −+= −+= Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S= 2 3 ; 4 3 2 a h a a = Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy 1 −= PB PA NA NC NC MB Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng 1 = PB PA NA NC NC MB C. HỆ THỨC LƯNG TRONG TỨ GIÁC LỒI ABCD: ( )( )( )( ) ( )( )( ) S bcadcdabbdac R dcba p DB abcddpcpbpapS 4 * 2 * 2 cos.* 2 +++ = +++ = + −−−−−= ∧∧ ο * Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O) có công thức: ( )( )( )( ) dpcpbpapS ABCD −−−−= * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( I) có công thức: 3 A B C M N P N A B C M P ; với AB =a; BC =b; CD= c; DA= d A B d b c D a C I O α T Vn Sỏng bớ danh:tasangthcs ( ) ( ) ( ) 1 (1) 2 ABCD S a b c d r a c r b d r= + + + = + = + T (1) suy ra cụng thc tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip : 0 ABCD ABCD s s r a c b d = = + + ( khi: a+c = b+d ) 2. Đa giác, hình tròn: * Một số công thức: 1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a: + Góc ở tâm: 2 n = (rad), hoặc: 360 o a n = (độ) + Góc ở đỉnh: à 2 A n n = (rad), hoặc à 2 A .180 n n = (độ) + Diện tích: cot 4 2 na S g = 2) Hình tròn và các phần hình tròn: + Hình tròn bán kính R: - Chu vi: C = 2R - Diện tích: S = R 2 + Hình vành khăn: - Diện tích: S = (R 2 - r 2 ) = (2r + d)d + Hình quạt: - Độ dài cung: l = R ; (: rad) - Diện tích: 2 1 2 S R = (: rad) 2 360 R a = (a: độ) Din tớch hỡnh qut: 0 2 360 R S = Din tớch, th tớch: - Hỡnh chúp: BhV 3 1 = - Hỡnh nún: RlShRV xq == ; 3 1 2 - Hỡnh chúp ct: hBBBBV )''( 3 1 ++= - Hỡnh nún ct: lRRShRRRRV xq )'(;)''( 3 1 22 +=++= - Hỡnh lng tr: V=Bh; S xq =Chu vi thit din phng x l 4 a A O . O R . O R r d . O R Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs - Hình cầu: 23 4; 3 4 RSRV xq Π=Π= - Hình trụ: RhShRV xq Π=Π= 2; 2 - Hình chỏm cầu: RhS h RhV Π=−Π= 2); 3 ( 2 - Hình quạt cầu: hRV 2 3 2 Π= Bµi 1:Cho tam gi¸c ABC; 0 ˆ 120B = ; AB = 6(cm); BC = 12(cm); ph©n gi¸c trong cđa gãc B c¾t AC t¹i D. TÝnh diƯn tÝch ABD. Gi¶i: Ta cã: KỴ AK//BC c¾t BD t¹i K. Khi ®ã: 6 1 12 2 DK AD AB DB DC BC = = = = XÐt ∆ ABK c©n t¹i A, ∠ ABK = 60 0 nªn ∆ ABK ®Ịu. Suy ra KB = 6(cm), ®ång thêi 1 2 DK DB = => BD = 4(cm). KỴ ®êng cao AH cđa ∆ AHK ta cã: AH = 6sin60 0 = 6. 3 2 = 3 3 (cm). Khi ®ã: S ABD = 1 2 .BD.AH = 1 2 .4. 3 3 = 6 3 (cm 2 ). VËy S ABD = 6 3 (cm 2 ) Bµi 3: Cho ∆ ABC, cã AM lµ ®êng trung tun vµ AB = 9cm; AC = 15cm; AM = 6cm H·y tÝnh diƯn tÝch ∆ ABC. Gi¶i: Ta kỴ: CK//AB c¾t AM t¹i K, Ta cã ∆ ABM : ∆ CKM => 9 6 6 2 9 3 AB AM MK CK MK CK MK CK = ⇒ = ⇒ = = => CK = 9; MK = 6 => ∆ ABM = ∆ KCM(g.cg) => AK = 12cm Ta thÊy trong tam gi¸c AKC cã: AC 2 = AK 2 + KC 2 => 15 2 = 12 2 + 9 2 Suy ra: ∆ AKC vu«ng t¹i K; do vËy S ABC = S AMC + S KMC = S AKC = 1 2 AK.KC = 1 2 .12.9 = 54(cm 2 ). vËy S ABC = 54(cm 2 ) Bµi 5.Cho tam giác ABC AB=9; AC=11;BC=12 a)Tính đường cao AH và diện tích tam giác ABC b)Tính CBA ˆ ; ˆ ; ˆ (đến độ ,phút ,giây) 11 9 12-X X H C A GIẢI :a. Đặt HC=x ⇒ HB=12-x ∆AHB vuông ta có h 2 =9 2 –(12-x) 2 (1) 5 6 12 60 0 60 0 60 0 D B A C K H 9 15 6 M A B C K Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs ∆ AHC vuông ta có h 2 =11 2 –x 2 (2) ⇒ 9 2 –(12-x) 2 =11 2 –x 2 ⇒ 24x=184 ⇒ x=7,666666667 Thế vào ( 1) ⇒ h= 2 2 )666666667,7( 11 − =7,888106377 b. Sin B = 845386089.0 9 888106377,7 === AB h AB AH Nhấn SHIFT SIN -1 0,8453860089 Kết quả: B=58 0 Sin C = 717100579.0 11 888106377,7 === AC h AC AH Nhấn SHIFT SIN -1 0,8453860089 = Kết quả: C ˆ =44 0 0 78) ˆ ˆ (180 ˆ =+−= CBA Bài 6:Cho tam giác ABC có A ˆ =65 0 ;AB=10;AC=12 a)Tính độ dài 3 đươmg cao AH;BK;CL. b)Tính diện tích tam giác ABH L K H C A Xét ALC∆ vuông Ta có SinA= 87569344,1012.65. ===⇒ SinACSinACL AC CL * AKB∆ vuông Ta có : SinA= 06307787,965.10. ===⇒ SinABSinABK AB BK *xét ALC∆ vuông 2222 )34487569,10(12 −=−= LCACAL =5,07141915 92858085,407141915,510 =−=−=⇒ ALABBL Xét CLB∆ vuông Ta có : BC= 22 CLBL + = 9403356,11)92858085,4()875693440,10( 22 =+ Theo công thức tính diện tích tam giác S= 108364961,9 9403356,11 87569344,10.10. . 2 1 . 2 1 ===⇒= BC CLAB AHABCLBCAH *Xét AHB∆ vuông tại H ta có:HB= 127673405,4)108364961,9(10 2222 =−=− AHAB =⇒ AHB S 79817791,18 2 127673405,4.108364961,9 . 2 1 ==HBAH Bài 1.Cho ABC ∆ có µ 120 , 6,25 , 12,5 . O B AB cm BC cm= = = Đường phân giác của góc B cắt Ac tai D. a) Tính độ dài của đoạn thẳng BD. b) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC. c) Tính diện tích tam giác ABD. Giải: Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối của tia BC tải B’ , nối BB’. 6 = B’ B C A D Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs · · · ' 60 ' 180 120 O O O B AB ABD B BA = = = − 'B BA ⇒ ∆ đều. ' ' 6,25AB BB AB⇒ = = = Vì AB’ // BD nên ' ' BD BC AB CB = . ' . ' 4,16666667 ' ' BC AB BC AB BD CB BB BC ⇒ = = = + b)Ta có: ABD ABS S AD S AC ∆ ∆ = và ' 1 ' 3 AD BB AC B C = = c) · · 1 1 2 . sin .sin . 11,2763725 2 2 3 ABD S AB BD ABD AB ABD AB ∆ = = ; Bài 2. Cho ABC∆ vuông tại A. Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác trong của góc A. Biết BD = 3,178 cm. Tính AB, AC. Giải: Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178 2 2 2 BC AB AC= + Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB BD AB BD AB BD AC DC AC DC AC AB DC BD = ⇒ = ⇒ = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . BD AC AB BD BC AB DC BD DC BD + ⇒ = = + + 4,319832473cm; 7,799622004AC cm= Ví dụ 2: Cho ∆ ABC vuông ở A biết BC = 8,961 và AD là phân giác trong của A . Biết BD = 3,178. Tính AB, AC. Giải Bài 1. Cho ABC ∆ có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm, BC=35 cm B D C Ta có : AB 2 + AC 2 = BC 2 (Pitago) Với BC = 8,916 ; BD = 3,178 thay vào trên được KQ: AB = 4,3198 AC = 7,7996 B 7 A Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs a) Chứng minh rằng ABC ∆ vuông. Tính diện tích ABC ∆ . b) Tính các góc B và C c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC. Giải: a) S ABC ∆ = 294 cm b) µ µ 4 sin 53 7'48'' 5 O AC B B BC = = ⇒ ; µ µ µ 90 36 52'12'' O O C B C= − ⇒ ; c) 21 3 3 3 28 4 3 4 7 15 20 BD AB DB DB DC AC DB DC DC DB cm DC cm = = = ⇒ = ⇒ = + + ⇒ = = Bài 2. Cho ABC∆ vuông tại A. với AB = 4,6892 cm; BC = 5,8516 cm. Tính góc B, đường cao AH và phân giác CI. Giải: Tính µ µ 36 44'25,64" O AB B B BC = ⇒ = Tính AH. ( ) sin sin 36 44'25,64" 4,6892 2,80503779 O AH B AH cm BH = ⇒ = × ≈ Tính CI. Góc 90 36 44'25,64" 2 o o C − = Bài 3. Cho ABC ∆ vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI ( ) CI AB∈ . Tính IA. Giải: Ta có : 2 2 26 15BC = − IA IB IA CA CA AB IB AB = ⇒ = 2 2 . 26 26 15 13,46721403 15 26 IA CA IA IB IA AB CA IB CA AB IA AB CA ⇒ = = + + − ⇒ = = + + ; Bµi 7. Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD. Tính độ dài BD và DC. Tia phân giác góc B cất AD tại I. Tính tỉ số AI DI Sử dụng tính chất đường phân giác trong. a) . 4,386226425 . 6,593773585 AC AB BD AC AB BC AC DC AB AC = ≈ + = ≈ + b) 3,458553792 IA AB AC ID BC + = ≈ 8 B C A I Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs VD1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDE theo tỷ số đồng dạng k=1,3. Tính diện tích tam giác CDE biết diện tích tam giác ABC là 112 cm 2 ? Giải: Ta có 2 ABC CDE S k S = thay số vào ta được 2 112 1,3 CDE S = → S CDE = 66,2722 cm 2 Bµi 9:Cho ∆ vuong ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc với BC. 1)Tính BC; AH; HC. 2)Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB. Bài 11 .Cho tam giác ABC cân tại A có ∠ A=36 0 . Tính giá trị của tỉ số AB BC (chính xác đến 0,0001). Vẽ tia phân giác trong BD. Ta có ∠ B 1 = 2 72 0 =36 0 = ∠ A, ∠ D= ∠ A+ ∠ B 1 =72 0 = ∠ Cnên tam giác ABD cân tại D, tam giác CBD cân tại B suy ra DA = DB = BC. Theo tính chất của đường phân giác: DA DC AC AB BC AB BC = = + ⇒ .AB BC DC AB BC = + mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC) Nên .AB BC DC AB BC AB BC = − = + ⇔ AB.BC = AB 2 – BC 2 (*) Đặt x = AB BC > 0 từ (*) ta có x 2 – x – 1 = 0.Tìm được x = 1 5 2 − và x = 1 5 2 + 9 -Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính câu 1. -Theo t/c đường phân giác có: từ đây tính NA; sử dụng Pitago trong tam giác ABN tínhBN. A N B H C D C B A 1 2 1 Tạ Văn Sáng bí danh:tasangthcs Do x > 0 nên lấy x = 1 5 2 + Viết quy trình ấn phím tính được x ≈ 1,6180 Bài 12: Một tam giác vuông cân có cạnh a=12,122008 cm. Được quay đỉnh góc vuông một góc bằng 30 0 . Gọi diện tích phần chung của hai tam giác đó là S. a, Lập công thức tính S. b, Tính S ( Với 4 chữ số thập phân ). a, Lập được công thức tính diện tích chung ( ) 2 2 3S a= − . HD: B B 1 H E G D A F C C 1 Kẻ ,EH AB AG BC⊥ ⊥ , Đặt EH=x suy ra AH=a-x=x 3 ( ) ( ) 2 2 2 3 2 ; 2 2 2 3 1 2 2 . 2 3 AED a a x EG BG BE a x S S AG EG a − ⇒ = = − = − = + ⇒ = = = − b, S ≈ 39,3733 ( ) 2 cm Bài 13:Cho tam giác ABC có ∠ =120 0 , AB = 4, AC = 6. M là trung điểm của BC. Tính độ dài đoạn thẳng AM chính xác đến 0,0001. Vẽ BH ⊥ AC và MK ⊥ AC. Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABH: BH 2 = AB 2 - AH 2 ⇔ BH = 2 2 AB AH− Do ∠ A=120 0 nên ∠ HAB=60 0 và suy ra AH = 2 2 AB = . Suy ra BH = 3 2 3AB = Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên HK = 1 2 HC = 1 2 (AC + AH) = 4 Suy ra AK = HK – AH = 4 – 2 = 2 Lại có MK = 1 2 BH = 3 nên AM 2 =AK 2 + MK 2 =4 + 3 =7⇒AM = 7 .Tính được AM ≈ 2,6458 Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Biết BD = 7, CD = 15. Tính độ dài đoạn thẳng AD. 10 H K M C B A y y x x 15 x H E D K C B A . cot 4 2 na S g = 2) Hình tròn và các phần hình tròn: + Hình tròn bán kính R: - Chu vi: C = 2R - Diện tích: S = R 2 + Hình vành khăn: - Diện tích: S = (R 2 - r 2 ) = (2r + d)d + Hình quạt: - Độ dài. cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Cách giải Kết quả Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD. 12,1234 3,1817. Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD; AB =3,767; CD = 7,668; 0 29 15C = ; 0 60 45D = . Hãy tính các cạnh: AD, BC; Đờng cao của hình thang; Đờng chéo của hình thang. Giải: Ta có: