Hình học giải tích trong không gian với MAPLE (BD toán THPT)

Ngày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mình trong việc soạn hệ thống bài tập. Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nói riêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều. Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn học này rất tốt. Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản. Cách đây ít tháng, tôi có tham gia vào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này. Một bài toán lớn, với nhiều bước tính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter. Hơn thế nữa, ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanh chóng. Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thật tuyệt vời. Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn. Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nào giới thiệu. Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đàn Mapleprimes. Chắc chắn không thể có sai sót. Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi.

LỜI NÓI ĐẦUNgày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mìnhtrong việc soạn hệ thống bài tập Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nóiriêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn họcnày rất tốt

Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản Cách đây ít tháng, tôi có tham giavào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này Một bài toán lớn, với nhiều bướctính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter Hơn thế nữa,

ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanhchóng

Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thậttuyệt vời Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn

Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nàogiới thiệu

Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đànMapleprimes Chắc chắn không thể có sai sót Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi

Đồng Nai, 2012

Trần Văn Toàn

1

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Truớc khi làm việc với hình giải tích trong không gian ta phải bắt đầu bằng lệnh with(geom3d);

2 0

1 0

ta z

z

ta y

y

ta x

x

Khi nhập vào maple, ta làm như sau:

line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t );

b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng chính tắc

3

0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t);

c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát :

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x a

d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0khi nhập vào maple, ta nhập như sau:

[> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]):

plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]):

line(d,[P1, p2];

4) Khai báo một vectơ khi biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B])

Để nhập vectơ 

u= (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]);

5) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ

Để tính tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ 

u và v Trước hết, ta phải mở gói [>

with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng và lệnh dotprod(u,v); để tính

tích vô hướng

Ví dụ : Cho các vectơ 

u = (1; 2; 3) và v= (3; 5; 7)

*ArePerpendicular(l1, p1, cond)

* ArePerpendicular(p1, p2,cond)

IsEquilateral IsEquilateral(ABC, cond ) Xét xem tam giác ABC có đều hay không ?

IsOnObject

IsOnObject(f, obj, cond)

Kiểm tra xem điểm hoặc tập hợp điểm f cóthuộc obj hay không ? Trong đó, obj có thể

là đường thẳng, mặt phẳng hay mặt cầu

IsRightTriangle IsRightTriangle(ABC,

cond )

Kiểm tra tính vuông góc của tam giác ABC

MẶT PHẲNG

plane(p, [A, dseg1])

plane(p, [dseg1, dseg2])

Một mặt phẳng trong Maple có thể được khai báo với cú pháp và chức năng như sau:

plane(P, [A, v] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có pháp vectơ là v

plane(p, [A, dseg1]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có đoạn thẳng định hướng

1

plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có hai đoạn thẳng định

hướng dseg1 và dseg2

plane(P, [l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng l1 và l2

plane(P, [A, B, C] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

plane(P, [A, l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai đường

Ví du 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A

và nhận vector AB làm vector pháp tuyến

z y x

z y x

Chú ý rằng vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Lệnh [>ParallelVector(D); để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng D.

1 3

t z

t y

t x

0 3 2

z y x

z y x

Ví dụ 5 Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M1(1; 2; – 3) và song song với các đường thẳng

1

3 2

2 3

5 3

7 3

1 2

Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm trên mặt phẳng P hay không ?

Ví dụ 7 : Xác định các giá trị của l và m dể hai mặt phẳng có phương trình sau là song song nhau:

7

Ví dụ 8 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai mặt phẳng

line(l, [A, B] ) Khai báo đường thẳng l đi qua hai điểm A và B.

line(l, [A, u] ) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và có VTCP là 

u line(l, [A, p1] ) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng p1

line(l, [p1, p2] ) Khai báo l là giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2

a3+b3*t ], t)

parallel(l, A, d) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A song song với đường thẳng d

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 1; 2) và B(4; – 1; –1).

t z

y

t x

3 2

1 3

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(5; – 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + z – 1

Ví dụ 4 : Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) và C( – 2; 5; 5).

distance(A, B) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B

distance(l1, l2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng l1 và

l2

distance(p1, p2) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng p1 và p2

distance(A, p1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng p1

distance(A, l1) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

3) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng l.

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và l.

11

5) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q.

6) Khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Q

[> point(A,1,2,3), t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]);

Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect

Lưu ý : Đường thẳng AB và mặt phẳng Q cắt nhau

HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG

HÌNH

projection(Q, A, l ) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên đường thẳng l

projection(Q, A, P) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên mặt phẳng P

projection(Q, l, P) Tìm hình chiếu Q của đường thẳng l lên mặt phẳng P

c - a point, a line, or a plane

Ví dụ 1 : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; –1; 3) lên đường thẳng

, ,

t z

t y

t x

5 7

3 13

2 4

3 1

6 13

, 0 5 2 4 5

z x

z y x

0 12 4

z y x

z y x

[> with(geom3d);

[>point(P,4,1,6),plane(P1,x-y-4*z+12=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x+y-2*z+3=0,[x,y,z]);

[> coordinates(Q);

[1 -2 2, , ]

[> detail(anpha);

name of the object: anpha

form of the object: plane3d

equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0

Ví dụ10 Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(–3; 2 ; 5) qua mặt phẳng đi qua các đường thẳng

; ,

0 5 2 3 5

0 7 3 3 0 3 4 2

0 5 3 2

z y x z y x z

y x z y x

[> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]),

plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]), line(L2, [P3,P4]);

FindAngle(l1, l2) Tìm góc của hai đường thẳng l1 và l2

FindAngle(p1, p2) Tìm góc của hai mặt phẳng p1 và p2

FindAngle(l1, p1) Tìm góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1

FindAngle(A, T) Tìm số đo góc trong ở đỉnh A của tam giác T

> assume(a<>0, b<>0, c<>0);

> point(P, [a, b, c]):

> point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0, 1):

> plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]):

> projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy):

> plane(p,[o,M,N]);

> Equation(p,[x,y,z]);

> line(OP, [o,P]):

> FindAngle(OP,p);

Ví dụ 1 : Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng:

( Find the acute angle between the lines: )

,

2

5 1

3 1

2 2

1

2 1

; ,

0 1 9 2 2

0 2 6 6 0 4 2 2

0 5 4

z y x z y x z

y x z y x

triangle (ABC, [A, B, C])

volume(ABCD) Tính thể tích tứ diện ABCD Trước hết phải khai báo tứ diện ABCD bằng

VD 2 Một tứ diện có thể tích là v = 5, có ba đỉnh là các điểm A(2; 1; – 1), B(3; 0 ; 1), C(2; – 1; 3); đỉnh

thứ tư D nằm trên trục Oy Tìm toạ độ đỉnh D

[> point(A,2,1,-1), point(B,3,0,1), point(C,2,-1,3), point(D,0,m,0);

I ) Cách khai báo mặt cầu trong Maple

1) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I(a; b; c) có dạng :

19

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0thì ta khai báo:

[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 – 2*a*x – 2*b*y – 2*c*z + d = 0, [x, y, z], ‘centername’= I);

2) Nếu phương trình mặt cầu S, tâm I có dạng :

(x – a)2+ ( y – b)2 + ( z – c)2 = R2

thì ta khai báo:

[>sphere(S, (x – a)^2 + ( y – b)^ 2 + (z - c)^2 = R^2, [x, y, z], ‘centername’= I);

II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.

Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện sau:

sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z],

'centername'= m )

Khai báo S là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.

sphere(S, [A, B], [x, y, z], 'centername'

= m)

Khai báo S là mặt cầu nhận AB làm đường kính với tâm m.

sphere(S, [A, R], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A, bán kính R

sphere(S, [A, P], [x, y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng P.Sphere(S, phuongtrinh S, [x ,y, z]); Khai báo S là mặt cầu tâm cầu có phuongtrinh cho trước

Chú ý: Sau khi khai báo S,

 Để viết phương trình của S, ta dùng lệnh Equation(S);

 Để tìm toạ độ tâm m của S, ta dùng lệnh coordinates(m);

 Để tìm bán kính của S, ta dùng lệnh radius(S);

 Ta cũng có thể xem chi tiết về S bằng cách dùng lệnh detail(S);

 Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ 'centername'= m khi khai báo.

 Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :

Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );

Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm m.

Ví dụ : Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu :

a) Đi qua bốn điểm A, B, C, D;

b) Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);

c) Đường kính AB;

d) Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC

a)[>point(A,3,-2,-2), point(B,3,2,0), point(C,0,2,1), point(D,-1,1,2);

 Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai điểm B và C

 Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

> assume(a,real,a<>0,b,real,b<>0,c,real,c<>0):

point(o,0,0,0), point(A,a,0,0), point(B,0,b,0), point(C,0,0,c):

sphere(s,[o,A,B,C]);

III Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.

Để tính phương tích của điểm P đối với mặt cầu S (The power of point P with respect to sphere S), tadùng lệnh :

Powerps(P, S);

21

Ví dụ: Cho mặt cầu S : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm : A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4), C(– m; 2; 4)

a) Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;

b) Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;

c) Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu  m R

IV Tiếp diện của mặt cầu

* Loại 1: Tiếp diện tại một điểm thuộc mặt cầu

Để khai báo tiếp diện của mặt cầu S tại điểm P, ta nhập :

TangentPlane( tên tiếp diện, P, S);

Ví dụ1: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu x2 + y2 + z2= 49 tại điểm M(6; – 3; – 2)

[>sphere(S, x^2 + y^2 + z^2 = 49,[x, y, z]), point(M, 6, -3, -2);

Find the equation of the tangent plane to the sphere

* Loại 2 : Tiếp diện song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng cho trước

1116 Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

1117 Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0

và song song với các đường thẳng

0

8 2

1 3

7 2

13 3

1 2

lệnh intersection

intersection(obj, l1, l2) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng l1 và l2

intersection(obj, l1, p1) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt phẳng P1

intersection(obj, l1, S) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng l1 và mặt cầu S.intersection(obj, p1, p2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2

intersection(obj, p1, p2, p3 ) Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng p1, p2, p3

Ví dụ : Cho hai đường thẳng :

l1 :

5,

4 1, 4.

Tìm toạ độ giao điểm của:

a) l1 và l2;

b) l1 và P;

c) l1 và S

form of the object: point3d

coordinates of the point: [-25/29, 35/29, 50/29] name of the object: l1_intersec \,

t2_S

form of the object: point3d

coordinates of the point: [-1, 1, 2] ]

Qua detail(gd3) ta có hai giao điểm của l1 và S là :

( – 25/ 29; 35/29 ; 50/ 29)và ( – 1; 1; 2)

MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC

Đoạn mã lệnh này rất hay

Ví dụ 1 Tìm các điểm trên đường thẳng x = t, y = t, z = t cách mặt phẳng 2x + y -2z = 5 một đoạn bằng

-6211

Ví dụ 2 Tìm các điểm trên đường thẳng x = t, y = t, x = t cách đều hai mặt phẳng

P: 2x + y -2z = 5 và Q: x + 2y -2z + 1 = 0

> point(o,t,t,t):

plane(p,2*x+y-2*z=5,[x,y,z]):

plane(Q,x + 2*y -2*z + 1 = 0,[x,y,z]):

ans := [solve(distance(o,p) = distance(o,Q),t)]:

53

-73

Ví dụ 4 Tìm các điểm trên đường thẳng x = t + 3, y = t-2, x = 2t + 1 cách đều hai mặt phẳng

P: 3x - 4y + 7 = 0 và Q: 2x - y - 2z + 3 = 0

> AreCoplanar(A,B,E,F);

Chú ý Lệnh OnSegment(C, A, B, k); khai báo điểm C trên đoạn đường thẳng AB sao cho AC = kCB.

MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM GIA TẠI DIỄN ĐÀN MAPLEPRIMES

Bài toán 1 Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

-92Cách khác trên diễn đàn Mapleprimes

> restart:

with(LinearAlgebra):

A:=<1,-3,0>: B:=<-2,1,1>: C:=<3,1,2>: M:=x*A+y*B+z*C:

{DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}:

solve({DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}): assign(%): M: 'M'=[seq(M[i],i=1 3)];

DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}:

solve({DotProduct(B-A,C-M)=0, DotProduct(C-A,B-M)=0, x+y+z = 1}): assign(%): M:

'M'=[seq(M[i],i=1 3)];



M [12 8 20, , ]

Chú ý

If three points A, B and C are collinear, they define a single plane, and each point M

of this plane isgiven by the formula M = xA + yB + zC, where x + y + z = 1 Thenumbers x, y, z are called the barycentric coordinates of the point M

Bài toán 3 Viết Phương trình đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau viết bởi MaplePrime.

A:=eval(a1,'t'=t); B:=eval(b1,'s'=s); L:=[x,y,z];

>sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

# parameters corresponding to minimal distance between lines d and l

>sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

# parameters corresponding to minimal distance between lines d and l

> sol := minimize(sum((a[j]-b[j])^2, j = 1 nops(a)), 'location');

29 t

129

1416129

> point(A, op(eval(a, [op(op(sol[2])[1])])));

357 s

11929

11429

11929

-24329

-35729

33

Cách này do tôi viết (Mồng Ba tết Nhâm Thìn)

M:=<x,y,z>: [seq(M[i]=(A + w*n)[i],i=1 3)];

Bài toán 4 Tìm toạ độ điểm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng cho trước sao cho ba điểm A, M, N

A:=<-1,3,6>; B:=<2,2,-0>: N:=<x,y,z>; o:=<1,-1,7>:

{Norm(o-N,2)=3, DotProduct(N - o, N-A) = 0,DotProduct(N - o, N-B) = 0}:

solve({Norm(o-N,2)=3, DotProduct(N - o, A) = 0,DotProduct(N - o, B) = 0}): assign(%): N:

Gọi N là tiếp điểm, ta có

ON^2 = 9, ON               AN ON, BN

> restart:

with(LinearAlgebra):

A:=<-1,3,-6>: B:=<2,2,-10>: N:=<x,y,z>: o:=<1,-1,7>:

Sys:={Norm(o-N,2)^2=9, DotProduct(N - o,N-A,conjugate=false) = 0, DotProduct(N - o, N-B,conjugate=false) = 0}:

321175

24635



 172 x  

525

1286525

2 y

3

z

3 0Bài toán 6 Phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của một tam giác

> u:= 1/Norm(A-B,2)*(A - B) - 1/Norm(A-C,2)*(A - C): op([seq(M[i]=(A + u*t)[i],i=1 3)]);

L1:=[Categorize(f, L)];

if nops(L1)=0 then print(`The problem has no solutions`); fi;

if nops(L1)=1 then print(`The problem has 1 solution`);

end proc;

convert M Vector, convert ,(A Vector ) ) ) , 0 0 0, , ) then

error `Points A, B, M should not be collinear`

print collect((

subs aL1 2 1 1[ ][ ][ ], bL1 2 1 2[ ][ ][ ], cL1 2 1 3 P ,[ ][ ][ ],[x y z ) 0, , ] )

sol:=solve([A = 0, B=0,abs(M) = 2*sqrt(2),a^2 + b^2 + c^2 = 1 ],[a, b,

Bài toán 8 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (x+1)/(-1) = (y-3)/1 = (z-2)/2 cắt các trục Ox,

Oy tại các điểm A, B khác gốc toạ độ sao cho OA = 2OB

Trong đoạn mã này, Maple thêm a > 0

Đoạn mã này sai Phải có điều kiện d < > 0 nữa

39

Viết phương trình của đường thẳng song song với hai mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng