Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu - gtln - gtnn hàm số khảo sát nghiệm phơng trình - bất phơng trình A T VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài Đối với học sinh THPT khái niệm phương trình, bất phương trình lên lớp 10 định nghĩa, thực tế phương trình, bất phương trình học giải từ sớm toán tìm số chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước Do học giải phương trình, bất phương trình học sinh quen thuộc, vấn đề giải cho hợp lôgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy bậc hai, chứa ẩn dấu Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Đặc biệt lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Với tính ưu việt việc ứng dụng đạo hàm vào giải tốn, khơng đơn giải toán liên quan đến khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà cịn giải nhiều dạng tốn khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên q trình giảng dạy mơn tốn THPT năm đầu vào nghề công tác miền núi tơi nhận rằng, tốn học nói riêng mơn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, chí nỗi “khiếp sợ” đơng đảo học sinh Điều khiến học sinh suy nghĩ vậy? Sự may mắn thân phân công giảng dạy tất khối lớp, đặc biệt lớp cuối cấp, chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT Cao đẳng – Đại học Tôi nhận thấy, đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức, khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức có vào dạng tốn cụ thể Trong kỳ thi, ngồi câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trò lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải toán, em đặt câu hỏi:“Tại nghĩ làm vậy?’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thơng qua tốn điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chun ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - môn học coi ông vua mụn t nhiờn toỏn hc Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT ta phải cần giải vấn đề sau: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính đơn điệu GTLN – GTNN hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Ứng dụng tính đơn điệu Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số để khảo sát nghiệm phương trìnhbất phương trình” II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải tốn phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định toán cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho toán theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham s Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - Sáng kiÕn kinh nghiÖm III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit IV Kế hoạch nghiên cứu Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài cho em học sinh THPT, chủ yếu học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào kì thi làm tốn phương trình, bất phương trình Khi học sinh làm tốn mà sau đặt ẩn phụ quy phương trình, bất phương trình bậc hai tính tốn đơn thông qua biệt thức đenta sau biến đổi cô lập tham số ta vế hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm khơng xác khơng để ý tìm điều kiện ẩn phụ có tìm điều kiện ẩn phụ tìm khơng xác Với tốn có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hàm số phân thức học sinh khơng thể giải em chưa biết cách sử dụng tính chất hàm số có sử dụng cịn máy móc, thiếu xác Các vướng mắc nói giải toàn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do từ đầu năm học 2011 – 2012 tơi nghiên cứu đề tài nói thông qua số tiết tự chọn ôn thi từ xây dựng, hồn thiện viết V Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN hàm số Thông qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có lời nhận xét trước sau giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Phương pháp sử dụng nhiều là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn ôn thi, lồng ghép tập phương trình, bất phương trình mà giải phải cần đến hàm số Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bi, qua mi dng Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm VI Bố cục đề tài Đề tài chia làm hai phần chính: • Cơ sở lí thuyết • Ứng dụng: Trong phần ứng dụng có: - Phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số - Phương trình, bất phương trình chứa tham số B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm D Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) đồng biến (tăng) D Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) nghịch biến (giảm) D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = k ( k ∈ ¡ ) có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) < f ( v ) ⇔ u < v ( f (u ) < f ( v ) ⇔ u > v ) Nếu hàm f ( x ) tăng g ( x ) hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Bolzano – Cauchy : Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu f ( x ) hàm số đồng biến ( nghịch biến ) y= n f ( x ), n ∈ N , n ≥ đồng biến (nghịch biến ), với f ( x) f ( x ) > nghịch biến ( đồng biến), y = − f ( x ) nghịch biến (đồng biến ) Tổng hàm đồng biến ( nghịch biến ) D đồng biến (nghịch biến ) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) D hàm đồng biến (nghịch bin ) trờn D Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số y = f ( x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y = f ( x) D f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D ax ∃x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M Kí hiệu M = mD f ( x ) Số m gọi GTNN hàm số y = f ( x) D f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m Kí hiệu m = f ( x) D Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn [ a; b ] ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn [ a; b ] mà f ' ( x) f ' ( x) không xác định - Tính giá trị f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số f ( x) đoạn [ a; b ] Các dạng toán liên quan 3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u ) < f ( v ) chứng minh f đơn điệu để kết luận 3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLNGTNN Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) = g (m) số nghiệm phương trình f ( x) = g (m) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với đường thẳng y = g (m) Ta giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : f ( x ) = g (m) với hàm số f ( x ) có GTLN - GTNN tập xác định D Khi ú: Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm f ( x) = g (m) có f ( x) ≤ g (m) ≤ max f ( x) - Phương trình D D - Bất phương trình nghiệm D f ( x) > g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D f ( x) > g ( m) D - Bất phương trình f ( x) < g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D m ax f ( x) < g (m) D - Bất phương trình f ( x) > g (m) có nghiệm x ∈ D max f ( x) > g (m) D - Bất phương trình f ( x) < g (m) có nghiệm x ∈ D f ( x) < g ( m) D Trong trường hợp hàm số f ( x) GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng " ≤ " " ≥ " bổ sung thêm dấu " = " cho điều kiện II ỨNG DỤNG Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số 1.1 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + x − = (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải Điều kiện: Đặt x≥ f ( x ) = 4x − + 4x2 − Do hàm số f ( x) = Ta có f ' ( x) = f ( x ) = 4x − + 4x2 − 4x 1  + > 0, ∀x ∈  ; +∞ ÷ 4x − 2  4x − 1  đồng biến  ; +∞ ÷, nên phương trình 2  có nghiệm nghiệm Hơn nữa, nghiệm phương trỡnh ó cho Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - 1 f  ÷= 2 nên x= S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − + x + + x + 16 = 14 Nhận xét: Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong nhân liên hợp hợp lí Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: x ≥ Khi x + x − + x + + x + 16 = 14 ⇔ x − + x − − + x + − + x + 16 − = 1   ⇔ ( x − 9)  + + + ÷= ⇔ x = x−5 +2 x+7 +4 x + 16 +   x +3 1 1 + + + > 0, ∀x ≥ Do x +3 x−5 +2 x+7 +4 x + 16 + Vậy x = nghiệm phương trình Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: x ≥ Đặt f ( x) = x + x − + x + + x + 16 Ta có f ′( x) = x + 1 + + > 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ ) x − x + x + 16 Do hàm số f ( x) = x + x − + x + + x + 16 đồng biến [ 5; +∞ ) Mà f (9) = 14 nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x + + x + + x + = (1) Giải Cách 1: 2x + + 2x + + 2x + = ⇔ 2x + + 2x + = − 2x + ⇔ ( 2x + + 2x + ) ( = − 2x + ) ⇒ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = 2x + ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = ( x + ) ⇔ x + = ⇔ x = −1 Ngược lại với x = −1 thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho x = −1 Cách 2: Đặt f ( x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + ( x + 2) + 3 > 0; ∀x ≠ − ,−1,− 2 (2 x + 3) Do hàm số f ( x ) ng bin Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Mà  3 f  − ÷ = −1 + −2; f ( −1) = 0; f  2  1  − ÷ = + 2; xlim f ( x) = ±∞ →±∞  2 nên suy x = −1 nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình : x3 − + x − + x = Giải Điều kiện: x ≥ Đặt f ( x) = x3 − + x − + x Ta có f ′ ( x ) = 15 x 2 5x −1 + 3 (2 x − 1) + > 0, ∀x ∈ ( ; +∞) nên hàm số đồng biến ∈ [ ; +∞) Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : x3 + 3x + x + 16 = + − x (1) Nhận xét : Bài tốn gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện  x + x + x + 16 ≥ Điều kiện:  4 − x ≥ ( x + 2)(2 x − x + 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ 4 − x ≥ Khi đó, (1) ⇔ x3 + 3x + x + 16 − − x = Xét hàm số f ( x ) = x3 + 3x + x + 16 − − x [ −2; 4] 3( x + x + 1) Ta có f ′ ( x ) = x + 3x + x + 16 + > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 4− x Do hàm số f ( x ) = x3 + 3x + x + 16 − − x đồng biến [ −2; 4] Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình ( x + ) ( x − 1) − x + = − ( x + ) ( x − 1) + x + Giải Viết lại phương trình dạng sau 2x − − x+2 + x+6 =4 Điều kiện: x ≥ ( )( ) Nhận xét: Để phương trình có nghiệm Xét hàm số f ( x ) = g ( x ) h ( x ) với g ( x ) > 0, ∀x > 5; h′ ( x ) = Ta có g ′ ( x ) = 2x − 2x −1 − > ⇔ x > = x − − 3; h ( x ) = x + + x + 1 + > 0, ∀x > x+2 x+6 Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Do hàm số g ( x ) = x − − 3; h ( x ) = x + + x + dương đồng biến ( 5; +∞ ) Suy f ( x ) = g ( x ) h ( x ) đồng biến ( 5; +∞ ) Mà f ( ) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình x + x3 − − 3x + = Giải Điều kiện: x ≤   Xét hàm số f ( x ) = x + x3 − − x +  −∞;  3  ' Ta có f ( x) = x + x + > 0, ∀x < − 3x   Do hàm số f ( x ) = x + x3 − − x + đồng biến  −∞;  Mà f ( −1) = nên 3  x = −1 nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : 3x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = Giải Cách 1: Viết lại phương trình dạng (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + = ( −3x ) (2 + (−3 x) + 3) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn 3x(2x+1) ( x + 1) nên ta có + (3 x) + 3) > + (2 x + 1) + ⇒ ( −3 x ) (2 + ( −3 x) + 3) > (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + x=− hay (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + + 3x(2 + (3 x) + 3) < suy phương trình vơ nghiệm   1 5 khoảng  − ; − ÷ Giáo viên: Đinh Cờng Trang - - Sáng kiÕn kinh nghiƯm • với − < x < làm tương tự ta thấy phương trình vô nghiệm    − ;0 ÷ Vậy nghiệm phương trình x = −   Cách giải sử dụng phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm Cách 2: Viết lại phương trình dạng: (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + = ( −3 x ) (2 + ( −3 x) + 3) (1) ' Xét hàm số f (t ) = t (2 + t + 3) ¡ Ta có f (t ) = + t + + t2 t2 + > 0, ∀t ∈ ¡ Do hàm số đồng biến ¡ Từ (1) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) ⇔ x + = −3x ⇔ x = − Vậy phương trình có nghiệm x = − Ví dụ 9: Giải phương trình Giải Nhận xét: x + 15 = x − + x + x + 15 > x + 8, ∀x ∈ ¡ nghiệm Viết phương trình dạng nên 3x − ≤ ⇔ x ≤ phương trình vơ x + 15 − x + − x + = 2  Xét hàm số f ( x ) = x + 15 − x + − 3x +  ; +∞ ÷ 3   1  f ' ( x) = x  − Ta có ÷− < 0, ∀x > Do x2 +   x + 15 2 hàm số  f ( x ) = x + 15 − x + − x + nghịch biến  ; +∞ ÷   Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình : −2 x − x + x −1 = ( x − 1) Giải 2 (1) ( 1) ⇔ −2 x − x + x −1 = x − x + ⇔ x −1 + x − = x − x + x − x ( ) t Xét hàm số f ( t ) = + t Khi phương trình (2) phương trình f ( x − 1) = f ( x − x ) t t Ta có f ′ ( t ) = + ln > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số f ( t ) = + t đồng biến ¡ 2 Do từ f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − = x − x ⇔ x = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 10 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm −u + u + Khi phương trình cho trở thành m(u + 2) = − u + u ⇔ m = , u+2 với u ∈ 0;    Phương trình cho có nghiệm −1 ≤ x ≤ phương trình −u + u + m= có nghiệm u ∈ 0;    u+2 −u + u + Xét hàm số f (u ) = , với u ∈ 0;    u+2 −u − 4u ' f (u ) = ≤ 0, ∀u ∈ 0;    ( u + 2) Suy hàm số f (u ) nghịch biến đoạn  0;  Vì phương trình cho   có nghiệm f ( u ) ≤ m ≤ max f ( u ) ⇔ f ( 2) ≤ m ≤ f (0) ⇔ − ≤ m ≤  0;    Ví dụ 20 0;    : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x − 2mx + = x + x Giải Nhận xét x + x = x (2 x + 1) x = không nghiệm phương trình Với 2x2 + 2x2 + (2 x + 1) − x(2 x + 1) = m(2 x) ⇔ −3 = m (*) 2x 2x x > ta viết lại phương trình 2 2x2 + 1 = x+ ≥ Khi (*) trở thành t − 3t = m (**) 2x 2x Nhận thấy t > cho ta nghiệm thực x > Vì để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (**) phải có nghiệm thực t > Đặt t = Xét hàm số f ( t ) = t − 3t ( ) 2; +∞ Ta có f ′ ( t ) = 2t − = ⇔ t = Bảng biến thiên t f ′( t ) 2 - +∞ + +∞ − 34 f ( t) Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 31 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m = − m > − thoả mãn u cầu tốn Nhận xét : • Dạng tổng qt tốn : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước af ( x) + bg ( x) + c f ( x) g ( x) = • Đối với tốn dạng ta chia hai vế phương trình cho f(x) g(x) f ( x) g ( x) ta đưa phương trình bậc hai Sau vận dụng hàm số vào để giải Ta xét cách đặt khác sau đây: Viết lại phương trình (2 x + 1) − m(2 x) − x(2 x + 1) = (*) Chia hai vế phương trình cho x + ta có 2x 2x (*) ⇔ − m −3 =0 2x + 2x2 + 2x 1   t= = ≤ = , t ≥ ⇒ t ∈ 0;  2x + 2 Đặt  x+ x 2x 2x Ví dụ 21: Tìm giá tri m để phương trình sau có nghiệm thực x + 2x + − x + = m Giải : Điều kiện: x ≥ −1 Đặt t = x + ≥ , Phương trình trở thành t + − t = m (*) Nhận thấy với nghiệm không âm phương trình (*) có nghiệm phương trình cho Do phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Xét hàm số f (t ) = t + − t [ 0; +∞ ) ' Ta có f (t ) = t3 (t + 3)3 Bảng biến thiên − < 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) lim f (t ) = x →+∞ t +∞ f ′( t ) f ( t) Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cần tìm m là: < m ≤ Ví dụ 22 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 91+ 1− x − ( m + 3) 31+ 1− x + 2m + = Gii Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 32 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt t = 31+ 1− x Ta có ≤ − x ≤ ⇒ ≤ − x + ≤ 2 Nên ≤ 1− x +1 ≤ 32 ⇔ ≤ t ≤ t − 3t + Khi đó, phương trình cho trở thành t − ( m + 3) t + 2m + = ⇔ =m t−2 t − 3t + Xét hàm số f ( t ) = [ 3;9] t−2 t − 4t + ' > 0, ∀t ∈ [ 3;9] Suy f (t ) hàm số đồng biến [ 3;9] Ta có f (t ) = ( t − 2) Do phương trình có nghiệm f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 3) ≤ m ≤ f ( ) ⇔ ≤ m ≤ [ 3;9] [ 3;9] 55 Ví dụ 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm [ 32;+∞ ) log x − 2log x − = m ( log x − ) (1) Giải: Đặt t = log x với x ∈ [ 32; +∞ ) ⇒ t ≥ Khi đó, phương trình (1) ⇔ (t − 3)(t + 1) t − 2t − t +1 =m⇔ =m⇔ =m t −3 t −3 t −3 Với m ≤ phương trình vơ nghiệm t +1 t +1 =m⇔ = m2 t −3 t −3 −4 t +1 < 0, ∀t ∈ [ 5; +∞ ) phương trình Bảng biến thiên: t f ′( t ) f ( t) +∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm m > ⇔1< m ≤  < m2 ≤  Nhận xét : Ta xét cách tiếp cận khác toán việc sử dụng tam thức bậc hai Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 33 - Sáng kiÕn kinh nghiÖm (1) ⇔ t − 2t − = m ( t − 3) (2) Với m ≤ phương trình vơ nghiệm Với m > phương trình (2) ⇔ t − 2t − = m ( t − 3) ⇔ ( − m ) t + ( 3m − 1) t − ( + 3m ) = 0(3) −3m − (3) có hai nghiệm t = 3; t = Yêu cầu toán thoả t ≥ Tức − m2 −3m − ≥ ⇔1< m ≤ − m2 Ví dụ 24 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1;3    2 log x + log x + − 2m − = (1) 2 Giải: Điều kiện: x > Đặt t = log x + ≥ ⇒ log x = t − Lại có 1≤ x ≤ 3 ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ log x + ≤ ⇔ ≤ t ≤ Khi đó, phương trình (1) trở thành t + t − = 2m Xét hàm số f ( t ) = t + t − [ 1; 2] Ta có f ′ ( t ) = 2t + > 0, ∀∈ [ 1; 2] Suy hàm số f ( t ) = t + t − đồng biến [ 1; 2] Do phương trình có nghiệm f ( t ) ≤ 2m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 1) ≤ m ≤ f ( ) ⇔ ≤ m ≤ ⇔ ≤ m ≤ [ 1;2] [ 1;2] Ví dụ 25: Tìm tham số m để PT: cos2 x = mcos x + t anx , (*)  π có nghiệm x ∈ 0;   3 Giải  π Phương trình cos2 x = mcos x + t anx , ∀x ∈ 0;   3 2cos x − = m + t anx Do cos2 x = mcos x + t anx ⇔ cos x ⇔ 2− = m + t anx cos x ⇔ − tan x = m + t anx (*)  π Đặt u = + t anx ; ∀x ∈  0;  ⇒ ≤ t anx ≤ ⇒ ≤ u ≤ +  3 u = + t anx ⇒ t anx = u Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 34 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Khi đó, phương trình (*) trở thành : − ( u − 1) = mu ⇔ −u + 2u = mu   ⇔ −u + 2u = m (Do u ∈ 1; +  )    π Phương trình cho có nghiệm x ∈ 0;  −u + 2u = m có nghiệm  3 u ∈ 1; +      Xét hàm số f (u ) = −u + 2u 1; +      f ' (u ) = −3u + < 0, ∀u ∈ 1; +      Suy f (u ) hàm số nghịch biến 1; +  Do phương trình     f ( u ) ≤ m ≤ max f ( u ) ⇔ f có nghiệm ⇔− ( 1; 1+      ) 1; 1+      ( ) + ≤ m ≤ f ( 1) −1 ≤ m ≤ Nhận xét : Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình ,học sinh hay mắc sai lầm việc kết luận tổng, tích hai hàm đồng biến, nghịch biến Do vận dụng tính chất hàm số vào giải phương trình ta cần lưu ý: Khi xét tập D tích hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa hàm đồng biến (nghịch biến) có tích hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương hàm số đồng biến (nghịch biến Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 26 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x + x + 12 = m ( Giải Điều kiện: ≤ x ≤ 2011 2012 − x + 2011 − x ( Viết lại phương trình dạng :( x x + x + 12 ( Xét hàm số f ( x ) = x x + x + 12 )( ) )( 2012 − x − 2011 − x Ta có h ( x ) = x x + x + 12 > ≤ x ≤ 2011 g ( x ) = 2012 − x − 2011 − x > ≤ x ≤ 2011 Hơn x2 h′ ( x ) = x + + > 0, ∀x ∈ ( 0;2011) x x + 12 Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 35 - ) 2012 − x − 2011 − x = m ) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm −1 2012 − x − 2011 − x + = > 0, ∀∈ ( 0; 2011) 2012 − x 2011 − x 2012 − x 2011 − x g′( x) = Suy f ( x ) = h ( x ) g ( x ) đồng biến ≤ x ≤ 2011 Vì phương trình cho có nghiệm [ 0;2011] f ( t ) ≤ m ≤ [ max] f ( t ) ⇔ f (0) ≤ m ≤ f (2011) 0;2011 ⇔ 12 ( ) 2012 − 2011 ≤ m ≤ 2011 2011 + 2023 Ví dụ 27: Tìm m để bất phương trình Giải Điều kiện: x − + − x < m có nghiệm ≤ x≤4 x − + − x < m ⇔ m >  x − + − x    Khi đó, bất phương trình 1   ;4    1  Xét hàm số f ( x ) = x − + − x  ; 4 2  2 − x − 4x − Ta có f ′ ( x ) = x − − − x = ( 4x − 2) ( − x )   f ′( x) = ⇔ − x − 4x − ⇔ x = ;  x ≠ ; x ≠ ÷   1 9   f  ÷ = 14; f  ÷ = 7; f ( ) = 14 Suy  f ( x )  = 14 1   ;4  2 4   Vậy bất phương trình cho có nghiệm m > 14 Ví dụ 28: Tìm m để bất phương trình m x + < x + m có nghiệm với x Giải x Ta có m x + < x + m ⇔ m < 2x + −1 , x + − > 0, ∀x     x + − 1 Khi đó, phương trình có nghiệm với x m <  ¡ Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ′( x) = x 2x + −1 ¡ − x2 + x2 + Bảng biến thiên: ( ) x2 + −1 x f ′( x)  x = −6 = ⇔ − 2x2 + = ⇔  x = −∞ - -6 + Gi¸o viên: Đinh Cờng Trang - 36 - + - x S¸ng kiÕn kinh nghiƯm − f ( x) − 3 Suy  f ( x )  = − Do bất phương trình nghiệm với x m < −   ¡ 4 m để bất phương trình sau có nghiệm: Ví dụ 30: Tìm tham số mx − x − ≤ m + Giải Điều kiện: x ≥ Khi đó, mx − x − ≤ m + ⇔ 1+ x − ≥m x −1 Bất phương trình cho có nghiệm x ≥ Xét ham số f ( x) = 1+ x − x −1 [ 3; +∞ ) Ta có f ′( x) = 1 + x −  m ≤ max   [ 3;+∞ )  x −1  5− x−2 x−3 ( x − 1) x−3 3 ≤ x ≤  f ′( x) = ⇒ − x − x − = ⇔ x − = − x ⇔  ⇔ x=7−2 4 ( x − 3) = ( − x )  Bảng biến thiên: x f ′( x) +∞ 7−2 + − 1+ f ( x) Suy max  f ( x )  =  [ 3;+∞ )  1+ Vậy bất phương trình có nghiệm m≤ +1 Nhận xét: Để tính tốn đơn giản ta giải cách đặt ẩn phụ sau: Điều kiện: x ≥ Đặt t = x − ⇒ t ≥ x = t + Bất phương trình cho trở thành m(t + 3) − t ≤ m + t +1 ⇔ m(t + 2) ≤ t + ⇔ m ≤ t +2 t +1 Xét hàm số f (t ) = [ 0; +∞ ) Khi bất phương trình cho có t +2 nghiệm x ≥ max f (t ) ≥ m [ 0;+ ) Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 37 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm f (t ) = ' −t − 2t + (t + 2) ;  t = −1 + f ' (t ) = ⇔ −t − 2t + = ⇔   t = −1 −  Bảng biến thiên t + f ' (t ) + f (t ) 1+ [ 0;+∞ ) 1+ Vậy giá trị phải tìm m ≤ Ví dụ 31: Tìm m để bất phương trình mx − 2mx + 3m − ≥ nghiệm với x > Giải Ta biến đổi bất phương trình Từ bảng biến thiên suy max f (t ) = 1   , ∀x > ⇔ m ≥ max  0; +∞ ) x − x +  ( x − 2x +   − 2x Xét hàm số f ( x ) = ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( x ) = x − x + x − 2x + +∞ Bảng biến thiên: x f ′( x) + mx − 2mx + 3m − ≥ ⇔ m ≥ ( ) = ⇔ x =1 f ( x) 1 Suy max)  f ( x )  = Do giá trị m cần tìm m ≥  ( 0;+∞  m để bất phương trình mx − 2mx + 3m − ≥ Chú ý: Nếu tốn u cầu tìm có nghiệm x > lời giải tương tự gây khó khăn kết luận khơng có giá trị x0 để hàm số đạt giá trị nhỏ Do kết luận m ≥  f ( x )  phải bỏ dấu " = " kết tìm  ( 0;+∞ )  Cụ thể là: Ta biến đổi bất phương trình mx − 2mx + 3m − ≥ ⇔ m ≥  nghiệm x > m ≥ (min)  0;+∞   x − 2x +   Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 38 - cú x − 2x + S¸ng kiÕn kinh nghiƯm − 2x ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( x ) = x − x + x2 − 2x + +∞ Bảng biến thiên: x f ′( x) + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy giá trị m cần tìm m > Xét hàm số f ( x ) = ( ) = ⇔ x =1 Nhận xét: Bài tốn ứng dụng để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số lớp 12 như: Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) ¡ tập ¡ Ta xét ví dụ sau: 1 Ví dụ 32: Tìm m để hàm số y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + đồng biến [ 2; +∞ ) 3 Giải Ta có y ′ = mx − ( m − 1) x + ( m − ) Hàm số cho đồng biến [ 2; +∞ ) − 2x  − 2x  y ′ = mx − ( m − 1) x + ( m − ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ⇔ m ≥ , ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ⇔ m ≥ max  2; +∞ ) x − x +  [ x − 2x +   2 x − 12 x + 6 − 2x = ⇔ x = 3± Xét hàm số g ( x ) = [ 2; +∞ ) Ta có g ′ ( x ) = x − 2x + x − 2x + ( Bảng biến thiên: x g′ ( x) 2 g ( x) +∞ 3+ - ) + ( g 3+ ) 2 ax  Dựa vào bảng biến thiên suy [m+∞ ) g ( x )  = Do giá trị cần tìm là: m ≥  2; m để bất phương trình m.16t anx − 2m.4 t anx + 2m − ≥ nghiệm với Ví dụ 33: Tìm π   x ∈ 0;   4 Giải π   Đặt u = 4t anx Với x ∈ 0;  ⇒ u ∈ [ 1; 4] Khi bất phương trình cho trở thành  4  π m.u − 2m.u + 2m − ≥ Bất phương trình cho nghiệm với x ∈  0;   Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 39 - Sáng kiÕn kinh nghiÖm 2   , ∀u ∈ [ 1; 4] ⇔ m ≥ max  [ 1;4]  u − 2u +  u − 2u +  4( 1− u) ≤ 0, ∀u ∈ [ 1; 4] Xét hàm số f ( u ) = [ 1; ] Ta có f ′ ( u ) = u − 2u + u − 2u + m.u − 2m.u + 2m − ≥ 0, ∀u ∈ [ 1; ] ⇔ m ≥ ( ) Bảng biến thiên x f ′( u) - f ( u) Dựa vào bảng biến thiên suy max  f ( u )  = Do giá trị cần tìm là: m ≥  [ 1;4]  Ví dụ 34: Tìm m để bất phương trình + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) nghiệm với x Giải 2 2 Ta có + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) ⇔ log 5 ( x + 1)  ≥ log ( mx + x + m )   2   −4 x  −4 x   m > m¡ax  x +  mx + x + m > m > x +      ⇔ ⇔ ⇔ 2 5 x + ≥ mx + x + m m ≤ − x  m ≤ +  −4 x    x + 1  ¡  x +1     ( ) ( ) x2 −  x = −1 −4 x f ′( x) = =0⇔ Xét hàm số f ( x ) = ¡ Ta có x +1 x = x2 + Bảng biến thiên: x f ′( x) ( −∞ + f ( x) -1 - ) +∞ + -2 Dựa vào bảng biến thiên suy  f ( x )  = −2; m¡ax  f ( x )  =     ¡ Vậy giá trị cần tìm là: < m ≤ − ⇔ < m ≤ 2.2 Bi rốn luyn Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 40 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm log(mx) 1.Tìm m để phương trình: log( x + 1) = có nghiệm − x + 3x − Tìm m để : =0 cos x 1 (m − 1)  ÷ 2 + 21+sin x + 2m có nghiệm Tìm m để bất phương trình: (x ) + + m = x x + + với ∀x ∈ [ 0;1] Tìm m để phương trình: x2 − x +3 1  ÷ 5 = m − m2 + có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) Tìm m để phương trình: − x + − x = m có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: x + − x + 2m x ( − x ) − x ( − x ) = m Tìm m để bất phương trình có nghiệm: ( x x + x + < m log 2 + − x ) Tìm m để với ∀x ∈ [ 0; 2] thoả mãn: ( ) log x − x + m + log x − x + m = 10 Tìm m để bất phương trình: x ( − x) + m ( ) x − x + + = có nghiệm với ∀x ∈  2; +    11 Tìm m để phương trỡnh sau cú nghim nht: Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 41 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm ( log ( mx + 28 ) = − log 12 − x − x 25 ) 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1+ x = 3m 8− x + + x + − x + m ( x − 8) 13 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x ∈ [ 0; 4] : ( ( x + 1) = ( x + m ) − x + ) 14 Tìm m để bất phương trình có nghiệm x ∈ [ 0;1] : (x + ) + m = x x + + 13 15 Tìm m để phương trình có nghiệm với ∀x ∈  2; 10    x x+ =m x2 −1 16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − 3x + − m x + x + = 17 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x : ( log ) ( ) x + + log x + ax +6 ≤ 18 Tìm m để nghiệm bất phương trình : ( ) log x − x + = thoả mãn bất phương trình: ( ) ( log x + > log 3x − x + m ) 19 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x ∈ [ 1; 2] : ( m − ) log ( x − 1) + 2m log ( x − 1) − > 2 20 Tìm m để phương trình ln(1 + x) = x − mx nghiệm với x ≥ 21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x − x − x − m3 + 3m + = x − 22 Chứng minh với m > phương trình sau luụn cú nghim Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 42 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm log ( x + mx + ) = x − x + mx + − 2x −1 23 Tìm a để phương trình sau có nghiệm x3 + 3x − = a ( x − x − ) 24 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: sin 2012 x + cos 2012 x = m 25 Tìm tham số a để bất phương trình nghiệm ∀x : 3cos x − 5cos3 x − 36sin x + 36 + 24a − 12a > 26.Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm ∀x : m ( sinx + cos x + 1) ≤ sin x + sinx + cos x + 2 m để phương trình sau có nghiệm : m.cot x = cos6 x − sin x 27.Tìm tham số cos x + sin x C KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn ôn thi, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm tham số tốn phương trình, bất phương trình giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm phương trình với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn tìm tham số, làm có lập luận chặt chẽ tình gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Giáo viên: Đinh Cêng Trang - 43 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính đơn điệu GTLN – GTNN hàm số Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn, mong đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp DUY ỆT C A T CHUY ấN M ễN Giáo viên: Đinh Cêng Trang - 44 - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm DUY ỆT C ỦA BAN GI ÁM HI ỆU Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa mơn Tốn 10, 11, 12 Giáo viên: Đinh Cờng Trang - 45 - ... để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính. .. phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải tốn phương. .. chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương