BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -o0o - DƯƠNG THANH LIÊM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH PHÂN GIÁ TRỊ BIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -o0o - DƯƠNG THANH LIÊM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH PHÂN GIÁ TRỊ BIÊN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2006 Luận Văn hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: Học viên cao học: Dương Thanh Liêm Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Củ Chi, TP Hồ Chí Minh Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ Toán học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Vào lúc ……….giờ …… ngày …… tháng năm 2006 Có thể tìm hiểu luận văn Phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học Thư viện trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Chương Phần mở đầu Chương 1 Các công cụ chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.2 Khoâng gian haøm 1.3 Phân bố có giá trị không gian Banach 1.4 Đạo hàm Lp 1.5 Bổ đề tính compact cuûa Lions 11 1.6 Bổ đề hội tụ yếu Lq(Q) 12 Chương Sự tồn nghiệm 13 2.1 Định lý 2.1 14 2.2 Định lý 2.2 33 2.3 Định lý 2.3 33 Chương Sự ổn định nghiệm 34 Định lyù 3.1 34 Chương Xét trường hợp cụ thể 41 Phần kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn Tiến Sỹ Nguyễn Thành Long, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đở suốt khoá học việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán-Tin học hai trường Đại Học Sư Phạm Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho suốt khoá học Xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ – Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học tập thực luận văn Xin chânh thành cảm ơn Ban lãnh đạo Phòng giáo dục, Ban giám đốc Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Củ Chi bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đở hoàn thành khoá học Cuối cùng, xin cảm ơn bạn học viên Cao học khoá 14 – Chuyên ngành Giải tích, trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đặc biệt người thân gia đình động viên giúp đở nhiều suốt khoá học Dương Thanh Liêm PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG Trong luận văn này, xét toán sau: Tìm cặp hàm (u,P) thỏa: utt − uxx + f((u,ut ) = F(x,t), x ∈ Ω = (0,1), < t < T, (0.1) ux(0,t) = P(t), (0.2) u(1,t) = 0, (0.3) u(x,0) = uo(x), ut (x,0) = u1(x), (0.4) f(u,ut) = Ku + λ ut với K, λ số không âm uo, u1, F hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây: t P(t) = g(t) + H(u(0 ,t)) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds, (0.5) g, H, k hàm cho trước Trong [2], Áng Định thiết lập định lý tồn nghiệm toàn cục cho toán giá trị biên ban đầu (0.1)-(0.4) với uo, u1, P hàm cho trước, F(x,t) = vaø f(u,ut ) = ut α -1 ut , (0 < α < 1) Bằng tổng quát hóa [2], Long Định [5], [6] xét toán (0.1), (0.3), (0.4) liên kết với điều kiện biên không x = có dạng t ux (0 ,t) = g(t) + H(u(0 ,t)) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds (0.6) Caùc tác giả cứu xét [5,6] với k ≡ 0, H(s) = hs, h > Trong trường hợp H(s) = hs, h > 0, toán (0.1)-(0.5) thành lập từ toán (0.1)-(0.4), đó, hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa toán Cauchy sau cho phương trình vi phân thường P ′′(t) + ω2 P(t) = hutt (0 ,t), < t < T, (0.7) P(0 ) = Po , P ′(0 ) = P1 , (0.8) ω > 0, h ≥ 0, PO, P1 số dương cho trước [6] Trong [1], An Triều nghiên cứu trường hợp riêng toán (0.1)-(0.4), (0.7), (0.8) với uo = u1 = PO = 0và với F(x,t) = Trong trường hợp sau, toán (0.1)-(0.4), (0.7) (0.8) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Từ (0.7), (0.8) ta biểu diễn P(t) theo PO, P1, ω, h, utt(0,t) sau tích phân phần ta thu t P(t) = g(t) + h(u(0 ,t)) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds, (0.9) g(t) = (P0 − hu0 (0 ))cosωt + (P1 − hu1 (0)) sinωt ω , k(t) = hωsinωt (0.10) (0.11) Bằng cách khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (0.2) t ux (0 ,t) = g(t) + hu(0 ,t) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds (0.12) Khi đó, đưa toán (0.1)-(0.4), (0.7), (0.8) (0.1)-(0.4), (0.9)(0.11) hay (0.1), (0.3), (0.10)-(0.12) Luận văn trình bày theo chương sau: Chương O: Phần tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: Chúng trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm quan trọng Chương 2: Chúng nghiên cứu tồn nghiệm yếu toàn cục toán (0.1)-(0.5) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu tính compact Trong phần này, định lý Schauder sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Chương 3: Chúng chứng minh nghiệm (u,P) toán (0.1)(0.5) ổn định hàm g, H k Chương 4: Chúng xét toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm toán Kế đến phần kết luận sau danh mục tài liệu tham khảo MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ CHƯƠNG 1.1 Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt ký hiệu sau Ω = (0,1), QT = Ω × (0,T), T > 0, bỏ qua định nghóa không gian hàm thông duïng: C m (Ω), L p (Ω), H m (Ω), Wm,p (Ω) Để cho gọn, ta ký hiệu lại nhö sau: Lp (Ω) = L p , H m (Ω) = H m , Wm,p (Ω) = Wm,p Ta định nghóa H = L2 (Ω) không gian Hilbert tích vô hướng u,v = ∫ u(x)v(x)dx, u, v ∈ L2 (1.1) Ký hiệu để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghóa ⎛1 ⎞ u,v = ⎜ ∫ u (x)dx ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ u = , u ∈ L2 (1.2) Ta định nghóa { } V = v ∈ H : v(1) = , (1.3) vaø u,v V = u′,v′ = ∫ u′(x)v′(x)dx (1.4) V không gian đóng H1, đó, V không gian Hilbert tích vô hướng H1 Mặt khác V v H v V = v′, v′ hai chuẩn tương đương Điều cho bổ đề sau Bổ đề 1.1: Phép nhúng V ↪ Co (Ω) laø compact vaø v Co (Ω) ≤ v V với v ∈ V (1.5) Chứng minh bổ đề 1.1 không khó khăn Bổ đề 1.2: Đồng H với H’ (đối ngẫu H) Khi đó, ta có V ↪ H ≡ H’ ↪ V’ với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh: Trước hết ta chứng minh H nhúng V’ Vì V ⊂ H, với w ∈ H cố định, ánh xạ: Tw : V → IR v a Tw (v) = w,v = ∫ w(x)v(x)dx (1.6) ′ tuyến tính liên tục V, tức Tw ∈ V Ta xét ánh xạ: T : H → V′ w a T(w) = Tw (1.7) Khi ñoù ta coù: Tw , v V ′,V = w,v , ∀v ∈ V, ∀w ∈ H (1.8) Ta seõ chứng minh toán tử T thỏa tính chất sau: (i) T: H → V ′ đơn ánh, (ii) Tw ≤ w , ∀w ∈ H, (iii) T(H) = {Tw : w ∈ H } trù mật V’ Chứng minh: (i) Dễ thấy T tuyến tính Nếu Tw = w,v = Tw ,v V′,V , ∀v ∈ V Do V trù mật H, nên ta có w,v = 0, ∀v ∈ H Do w = Vậy T đơn ánh, nghóa phép nhúng từ H vào V’ (ii) Ta có, với w ∈ H, 39 ( t ) ρ j (t ) + m1v (0, t ) ≤ m2 ∫ u′(0, s ) + u′j (0, s) S j ( s)ds j t 1⎛ ′ + ε S j (t ) + ε ∫ S j ( s )ds + ⎜ g j (t ) + g ⎜ ε⎝ ( ⎡ k + ε S j (t ) + ⎢ε + ⎣ ε + T k′ L (0,T ) 2 1⎛ ′ = 2ε S j (t ) + ⎜ g j (t ) + g ⎜ ε⎝ 2 L (0,T ) ⎞ ⎟ ⎟ L2 (0,T ) ⎠ ) ⎤ ⎥ ∫ S j ( s )ds ⎦0 t ⎞ t ⎟ + ∫ rj (ε , T , s ) S j ( s )ds ⎟ L2 (0,T ) ⎠ (3.24) ≡ η εj (t ), rj (ε , T , s ) = 2ε + ε (k L20,T ) ( + T k′ L20,T ) ( ) + m ( u′(0, s) + u′ (0, s) ) j (3.25) Ta ý v (0, t ) ≤ v j (t ) V , j (1 + m1 ) v 2j (0, t ) ≤ v j (t ) + m1v (0, t ) ≤ η εj (t ) j V (3.26) Nhân vế (3.26) số δ > cộng với (3.24), ta có ρ j (t ) + [ (1 + m1 )δ + m1 ] v (0, t ) ≤ (1 + δ )η εj (t ) j ⎡ 1⎛ ′ ≤ (1 + δ ) ⎢ 2ε S j (t ) + ⎜ g j (t ) + g j ⎜ ε⎝ ⎢ ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ L2 (0,T ) ⎠ ⎥ ⎦ (3.27) t + (1 + δ ) ∫ rj (ε , T , s ) S j ( s )ds, với ε > 0, δ > t œ [0,T] Chọn δ > đủ lớn ( ý 1+ m1 > ) chọn ε > đủ nhỏ cho (1 + m1 )δ + m1 ≥ , 2ε (1 + δ ) ≤ Khi đó, ta suy từ (3.27), (3.28) 2 S j (t ) = v′j (t ) + v j (t ) + v (0, t ) j V ≤ ρ j (t ) + [ (1 + m1 )δ + m1 ] v (0, t ), j hay (3.28) 40 S j (t ) ≤ ⎛ ′ (1 + δ ) ⎜ g j (t ) + g j ⎜ ε ⎝ t ⎞ + 2(1 + δ ) ∫ rj (ε , T , s ) S j ( s )ds ⎟ ⎟ L2 (0,T ) ⎠ (3.29) (1) Chú ý H1(0,T) ↪ C0([0,T ]), nên tồn số C T phụ thuộc vào T cho S j (t ) ≤ ε (1) (1 + δ )C T g j t H (0,T ) + 2(1 + δ ) ∫ rj (ε , T , s ) S j ( s )ds (3.30) Do bổ đề Gronwall, ta thu từ (3.30) raèng T ∧ (1) ∧ ⎛ ⎞ S j (t) ≤ (1 + δ ) C T g j exp ⎜ (1 + δ ) ∫ r j ( ε ,T,s ) ds ⎟ , ∀t ∈ [ ,T ] (3.31) ⎜ ⎟ ε ⎝ ⎠ H ( ,T ) Maët khác, từ (3.9), (3.13), (3.25) (3.31) ta thu được: ∧ (2 ) ∧ S j (t) ≤ C T g j H ( ,T ) , ∀t ∈ [ ,T ] , ∧ Q j (t) ≤ g j (t) + max H ′(s) S j (t) + k s ≤CT (3.32) ⎛t ⎞2 ⎜ ∫ S j (s)ds ⎟ ⎟ ⎝0 ⎠ L2 ( ,T ) ⎜ (3.33) Ta dùng lần phép nhúng H1(0,T) ↪ C0([0,T ]) Khi đó, ta suy từ (3.32) (3.33) Qj ∧ (3) ∧ C ([ ,T ]) ≤ CT g j (3.34) H ( ,T ) Cuối cùng, ta cần chứng minh ∧ lim g j j →+∞ = (3.35) H ( ,T ) Thật vậy, từ (3.14) kết hợp với (3.9), ta suy bất đẳng thức sau: ∧ gj H ( ,T ) ≤ %j g H ( ,T ) % (3.36) + TCT % j k + T + CT H j H ( ,T ) C ([ −CT ,CT ]) 41 Vậy định lý 3.1 chứng minh xong 42 CHƯƠNG XÉT MỘT TRƯỜNG HP CỤ THỂ Trong chương ta xét toán cụ thể sau: Tìm cặp hàm (u,P) thoûa utt − uxx + Ku + λut = F (x,t), < x < 1, < t < T, (4.1) ux (0 ,t) = P(t), (4.2) u(1,t) = , (4.3) u(x, ) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x), (4.4) K, λ số cho trước, hàm u0, u1, F cho trước, hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa toán Cauchy sau cho phương trình vi phân thường P ′′(t) + ω2 P(t) = hutt (0 ,t), < t < T, (4.5) P(0 )= P0 , P ′(0 )= P1 , (4.6) ω > , h ≥ , Po, P1 số cho trước Trong [1], An Triều nghiên cứu trường hợp riêng toán (4.1)-(4.6) với u0 = u1 = P0 = với F(x,t) = Trong trường hợp toán (4.1)-(4.6) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Từ (4.5), (4.6) ta biểu dieãn P(t) theo P0, P1, ω , h, utt (0 ,t) sau tích phân phần, ta thu t P(t) = g(t) + hu(0 ,t) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds, (4.7) g(t) = (P0 − hu0 (0 ))cos ωt + (P1 − hu1 (0 )) sin ωt ω , (4.8) 43 k(t) = hω sin ωt (4.9) Bằng cách khử hàm P(t), ta thay điều kiện biên (4.2) t ux (0 ,t) = g(t) + hu(0 ,t) − ∫ k(t − s)u(0 ,s)ds (4.10) Khi đó, đưa toán (4.1)-(4.6) toán (4.1)-(4.4), (4.7)-(4.10) Ta xét toán cụ thể với u0 = u1 = P0 = F(x,t) = 0, P1 = h = ω = 1, K = 1, λ = π Khi ⎧ g(t)= k(t)= sint, ⎪ t ⎨ ⎪ P(t)= sint+ u(0,t) − ∫ sin(t-s)u(0,s)ds ⎩ (4.11) Chúng ta sử dụng phương pháp Galerkin để tìm nghiệm xấp xỉ theo dạng um (t) = m ∑ cmj (t)w j , (4.12) j =1 w j (x) = 2 1+ λ j π cos(λ j x), λ j = (2 j − 1) , j=1,2 , (4.13) laø sở trực chuẩn đặc biệt V thành lập từ hàm riêng toán tử Laplace − ∂2 ∂x2 nói chương Các hàm cmj (t) (4.12) thỏa hệ phương trình vi tích phân sau ′′ ′ 〈 um (t),w j 〉 + a(um (t),w j ) + Pm (t)w j (0 ) + 〈 Kum (t) + λum (t),w j 〉 = , 1≤ j ≤ m, (4.14) m m j =1 j =1 ′ ′ um (0 ) = ∑ cmj (0 )w j = , um (0 ) = ∑ cmj (0 )w j = , t Pm (t) = sin t + um (0 ,t) − ∫ sin(t − s)um (0 ,s)ds (4.15) (4.16) 44 Hệ phương trình (4.14)-(4.16) viết lại dạng −1 ⎧ ⎡ P (t)w j (0 ) + 〈 um (t) + πum (t),w j 〉 ⎤ , ′′ ′ ⎪cm (t) + λ j cmj (t) = ⎦ ⎣ m ⎪ wj ⎨ ⎪ ′ ⎪cmj (0 ) = cmj (0 ) = , ≤ j ≤ m ⎩ (4.17) w j (0) ⎧ ′′ ′ P (t), ⎪cm (t) + πcmj (t) + (1 + λ j )cmj (t) = − m ⎪ wj ⎨ ⎪ ′ ⎪cmj (0 ) = cmj (0 ) = , ≤ j ≤ m ⎩ (4.18) Ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 4.1 Nghiệm toán Cauchy sau ⎧ y′′(t) + μ2 y(t) = H (t), t > , ⎪ ⎨ ⎪ y(0 ) = y0 , y′(0 )= y1 ⎩ (4.19) cho công thức y(t) = y0 cos(μt) + y1 sin(μt) μ t +∫ sin ⎡μ ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ μ H (τ)d τ (4.20) Bổ đề 4.2 Nghiệm toán Cauchy sau ⎧ d ′′(t) + πd ′(t) + (1 + λ )d(t) = Q(t), t > , ⎪ ⎨ ⎪ d(0 ) = d0 , d ′(0 ) = d1 , ⎩ (4.21) cho công thức ⎧ sin(μ j t) π ⎛ −πt ⎞ ⎡ ⎪ d(t) = exp ⎜ ⎟ ⎢ d0 cos(μ j t) + (d1 + d0 ) μj ⎝ ⎠⎢ ⎪ ⎣ ⎪ t sin ⎡μ ( t − τ ) ⎤ ⎤ ⎪ j ⎦ exp ⎛ πτ ⎞ Q(τ)d τ ⎥ , +∫ ⎣ ⎪ ⎜ ⎟ ⎨ μj ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π2 μ = μ j ≡ + λ2 − = + j( j − 1)π2 ⎪ ⎩ (4.22) 45 Chứng minh: Chứng minh bổ đề 4.1 không khó khăn, ta bỏ qua Để nghiệm lại (4.22) nghiệm (4.21), ta cần lấy đạo hàm (4.22) thay trực tiếp ⎛ πt ⎞ vào (4.21) Ngược lại, coi d(t) nghiệm (4.21), y(t) = exp ⎜ ⎟ d(t) ⎝2⎠ nghiệm toán Cauchy (4.19) với π ⎛ πt ⎞ t ⎟ e Q(t), yo = , y1 = d1 + ⎝2⎠ H (t) = exp ⎜ (4.23) p dụng bổ đề 4.1, ta sử dụng công thức (4.20), ta thu công thức (4.22) Trở lại hệ (4.18), ta áp dụng bổ đề 4.2 với d(t) = cmj , = , d1 = , Q(t) = Qmj (t) = − w j (0) wj Pm (t) (4.24) Ta viết nghiệm (4.18) nhö sau sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ t cmj (t) = ∫ μj π( τ− t) e Q mj ( τ)d τ π( τ− t) w j (0 ) t sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ e P (τ)d τ =− m ∫ μj wj hay cmj (t)= t wj − ∫ sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ μj π( τ− t) e w j (0 ) sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ t wj ∫ μj τ ⎡ ⎤ −um ( , τ) + ∫ sin(τ − s)um ( ,s)ds ⎥ d τ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ π( τ− t) e (4.25) sin τd τ m Thay um (0 ,t) = ∑ cmi (t)wi ( ) vào (4.25) ta viết lại dạng i =1 cmj (t) = (Lcm ) j (t) + Gmj (t), ≤ j ≤ m, (4.26) 46 ( Lcm ) j (t) = t m wj ∑ wi (0)∫ i =1 sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ ⎣ ⎦ μj π( τ− t) e [ −cmi (τ) (4.27) τ + ∫ sin(τ − s)cmi (s)ds ] d τ, w j (0 ) t sin ⎡μ j ( t − τ ) ⎤ π( τ− t) ⎣ ⎦ e sin τd τ , ≤ j ≤ m Gmj (t) = − ∫ μj wj (4.28) Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 4.3 Với T > cố định, đó, hệ (4.26)-(4.28) có nghiệm cm = (cm1,…,cmm) C([0,Tm];IRm), với Tm ∈ (0,T] Chứng minh: Chú ý toán tử L = (L1,…, Lm) xác định (4.27) toán tử m tuyến tính C([0,Tm];IR ) Ta đặt cm ∞ = sup m ∑ cmi (t) 0< t Choïn ∞ (4.31) cho ρm ≡ m 1+ λ j Tm (2 + Tm ) ∑ < π + j( j − 1)π2 j =1 (4.32) Vậy toán tử cm a Lcm + Gm ánh xạ co từ C([0,Tm];IRm) vào Do bổ đề 4.3 chứng minh Chú thích 4.1 Từ kết này, nghiệm cm = (cm1,…,cmm) hệ (4.26)-(4.28) xấp xỉ dãy lặp (k) {cm } sau: 48 ( ) ⎧c (k) (t) = Lc (k −1) (t) + G (t) m mj ⎪ mj j ⎪ t sin ⎡μ (t − τ) ⎤ π( τ− t) ⎡ τ ⎤ ⎪ m j (k −1) (k −1) ⎦e ⎪ = wi (0 ) ∫ ⎣ ⎢ −cmi (τ) + ∫ sin(τ − s)cmi (s)ds ⎥ d τ ∑ ⎨ μj w j i =1 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ + Gmj (t), k = 1, , , ≤ j ≤ m, ≤ t ≤ Tm , ⎪ (0 ⎪cmj) (0 ) = , ≤ j ≤ m, (4.33) ⎩ (k) Gmj (t), ≤ j ≤ m , xác định (4.28) Khi cm → cm C([0,Tm];IRm) thỏa đánh giá sai ⎧ (k) Gm ∞ k ρm , ∀k = 1,2 , ⎪ cm − cm ≤ ∞ − ρm ⎪ ⎨ m + λ2 ⎪ j ρm ≡ < Tm (2 + Tm ) ∑ ⎪ π + j( j − 1)π2 j =1 ⎩ soá (4.34) Chú thích 4.2 Ta thiết lập nghiệm cm(t) hệ (4.26)-(4.28) đoạn ≤ t ≤ Tm Ta kéo dài nghiệm đoạn ≤ t ≤ T sau: Trước hết, ta to = Tm đặt ( [0 cm ] = cm (t) , ≤ t ≤ to = Tm ( ) ) [ Giả sử cm] ∈ C [ to ,t1 ] ; IRm với to < t1 ≤ T cho haøm cm ∈ C [ ,t1 ] ; IRm cho ⎧c[ 0] (t), ≤ t ≤ t , ⎪ o cm (t) = ⎨ m ⎪ [1] ⎩cm (t), to ≤ t ≤ t1 , (4.35) [1 nghiệm hệ (4.26)-(4.28) đoạn ≤ t ≤ t1 Khi với cm] (t) đoạn to ≤ t ≤ t1 nghiệm hệ sau [1 cm] (t) = Gmj (t) + ( Lcm ) j (t) = Gmj (t) + m wj t ∑ wi (0)∫ i =1 sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ μj π( τ− t) e τ ⎡ ⎤ ⎢ −cmi (τ) + ∫ sin(τ − s)cmi (s)ds ⎥ d τ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 49 = Gmj (t) + + t0 m wj ∑ wi (0) ∫ i =1 t m wj sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ ∑ wi (0) ∫ i =1 μj sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ μj t0 τ π( τ− t) e τ ⎡ [0] ⎤ [ 0] ⎢ −cmi (τ) + ∫ sin(τ − s)cmi (s)ds ⎥ d τ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ t0 ⎡ [ ] (τ) + sin(τ − s)c[ 0] (s)ds ⎢ −cmi mi ∫ ⎢ ⎣ ⎤ t0 π( τ− t) e ⎥ ⎦ + ∫ sin(τ − s)c[ ] (s)ds ⎥ d τ mi ( [1 [1] ≡ Gmj (t) + L[ ]cm] ) (t), (4.36) j hay ( [1 [1 cmj] (t) = Gmj] (t) + L[1]c[1] m ) (t), t j ≤ t ≤ t1 , ≤ j ≤ m, (4.37) ( ) t m [1 L[ ]cm] (t) = ∑ wi (0) ∫ wj j i =1 sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ μj t0 π( τ− t) e ⎡ −c[1] (τ) ⎢ mi ⎣ (4.38) ⎤ [1 + ∫ sin(τ − s)cmi] (s)ds ⎥ d τ , t0 ≤ t ≤ t1 , ≤ t ≤ m ⎥ t0 ⎦ τ [1 Gmj] (t) = Gmj (t) + + wj ∑ wi (0) ∫ i =1 m wj t0 m μj t ∑ wi (0) ∫ i =1 sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ t0 sin ⎡μ j (t − τ) ⎤ ⎣ ⎦ μj π( τ− t) e τ ⎡ [ 0] ⎤ [ 0] ⎢ −cmi (τ) + ∫ sin(τ − s)cmi (s)ds ⎥ d τ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ π( τ− t) ⎡ t0 ⎤ e ⎢ sin(τ − s)c[ ] (s)ds ⎥ d τ , ∫ mi ⎢0 ⎣ (4.39) ⎥ ⎦ t0 ≤ t ≤ t1 , ≤ j ≤ m Chú ý toán tử L[1] = (L1[1] , …, Lm[1] ) xác định (4.38) toán tử tuyến tính X1 = C([t0, t1]; IRm ).Ta đặt cm X = sup m ∑ cmi (t) t0 ≤ t ≤ t1 i =1 ( ) ( ) ( chuẩn ) [1] [1] [1 C [ t0 ,t1 ] ; IRm Mặt khác, với cm ] = cm1 , ,cmm ∈ C [ t0 ,t1 ] ; IRm , ta coù 50 m ∑ j =1 [1 (L[ 1] cm ] ) j (t) m ∑ ≤ j =1 ≤ m ∑ j =1 m wj ∑ wi (0) ∫ i =1 m wj ∑ i =1 π( τ− t) e τ ⎡ ⎤ [1 [1 ⎢ cmi] (τ) + ∫ sin(τ − s)cmi] (s)ds ⎥d τ μj ⎢ ⎥ t0 t0 ⎣ ⎦ t sin[ μ (t − τ)] π( τ− t) ⎡ τ ⎤ j [1 [1 e ⎢ cmi] (τ) + ∫ cmi] (s)ds ⎥ d τ ∫ π0 μj ⎢ ⎥ t0 ⎣ ⎦ t sin[ μ j (t − τ)] t m sin[ μ j (t − τ)] e ≤ ∑w ∫ π j =1 j t μj π( τ− t) ⎡ [ 1] ⎤ [ 1] ⎢ cm X + (τ − t0 ) cm X ⎥d τ 1⎦ ⎣ t ≤ m [ 1] cm ∑ μ w ∫ (1 + τ − t0 )d τ X1 j =1 π j j t0 = m [ 1] cm ∑ μ w (t1 − t0 )(2 + t − t0 ) X1 j =1 π j j hay [1 L[ 1] cm ] X1 ≤ m [ 1] cm ∑ μ w (t1 − t0 )(2 + t1 − t0 ) X1 j =1 π j j (4.40) Choïn t1 = 2t0 = 2Tm Khi ta có [1 L[ 1] cm ] X1 ≤ = m 1 [1 Tm (2 + Tm ) cm ] ∑ X1 j =1 μ w π j j m 1+ λ j [1 t0 ( + t0 ) ∑ c [ 1] , = ρm cm ] m X X1 π j =1 + j( j − 1) π (4.41) với ρm ≡ m 1+ λ j t0 ( + t0 ) ∑ < nhö (4.32) π + j( j − 1)π2 j =1 [1 [1 [1 Vậy toán tử cm ] a L[ 1] cm ] + Gm ] laø co từ X1 vào Do đó, toán tử ( ) [1 có điểm bất ñoäng cm ] ∈ X1 = C [ t0 ,2t0 ] ; IRm Vậy hàm cm cho công thức (4.35) với t1 = 2t0 nghiệm hệ (4.26)-(4.28) ≤ t ≤ 2t0 Lý luận tương tự ta kéo dài nghiệm hệ ≤ t ≤ T cách nối liên tục hàm ( ) ( ) [ [3 cm2 ] ∈ X2 = C [ 2t0 ,3t0 ] ; IRm , cm ] ∈ X3 = C [3t0 , 4t0 ] ; IRm ,… 51 [2 [3 hàm cm ] , cm ] ,… nghiệm hệ phương trình tích phân tương tự 52 PHẦN KẾT LUẬN Qua luận văn nầy, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu, sinh hoạt học thuật nghiên cứu khoa học Tác giả học tập vận dụng công cụ Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát tồn nghiệm toán biên phi tuyến, chẳng hạn như: phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact hội tụ yếu Trong phần nầy, có dịp sử dụng định lý Schauder việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Tác giả cụ thể vấn đề vào ví dụ trình bày chương 4, để minh hoạ phương pháp tìm nghiệm toán Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế, tác giả mong học hỏi từ đóng góp bảo Quý Thầy Cô Hội đồng 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR, Vietnam, XIII (2) (1991), 1-7 Đặng Đình ng, Alain Phạm Ngọc Định, Mixed problem for some semilinear wave equation with a non homogeneous condition, Nonlinear Anal 12 (1988), 581-592 Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001), 547-561 J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non- linéaires, Dunod-Gauthier-Villars, Paris, 1969 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, On the quasilinear wave: utt − Δu + f (u, ut ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (1992), 613-623 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (1995), 1261-1279 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -o0o - DƯƠNG THANH LIÊM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG THUẦN NHẤT CHỨA TÍCH PHÂN GIÁ TRỊ BIÊN Chuyên... (0.4) f(u,ut) = Ku + λ ut với K, λ số không âm uo, u1, F hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây: t... 1: Người nhận xét 2: Học viên cao học: Dương Thanh Liêm Trung tâm giáo dục thường xuyên Huyện Củ Chi, TP Hồ Chí Minh Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ Toán học Trường Đại học Sư phạm