SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT pdf

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên Tóm tắt: Phương

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC

MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT

Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên

Tóm tắt: Phương pháp tách biến Fourier đã được sử dụng để nghiên cứu dao động của các màng có hình dạng đặc biệt Hai bài toán dao động tổng quát của màng chữ nhật và màng tròn đã được đưa ra như một ví dụ minh hoạ về tính hiệu quả và đơn giản của phương pháp tính toán này khi giải các bài toán vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong nghiên cứu này chúng tôi đã trình bày lời giải chi tiết về dao động của màng chữ nhật và màng tròn Kết quả tìm được cũng được chúng tôi thảo luận và nhận xét tương đối đầy đủ trong công trình này

1 Giới thiệu

Dao động tự do của các vật có hình dạng đặc biệt (vuông, chữ nhật, tròn và quạt…) đã được nghiên cứu, tính toán bằng nhiều phương pháp khác nhau Nhưng đơn giản và hiệu quả hơn cả là đưa bài toán về dạng các phương trình vi phân đạo hàm riêng, sau đó sử dụng các công cụ toán học để giải các phương trình vi phân này như: biến đổi ảnh Laplace, tách biến Fourier, Mặc dù, đã có rất nhiều giáo trình viết về những phương pháp và kết quả tính toán đối với các dạng dao động này Xong trên thực tế những giáo trình này vẫn chưa được giảng dạy phổ biến và có tính chất hệ thống tại các trường Đại học ở Việt Nam Tuy nhiên, những vấn đề này lại thu hút được sự quan tâm rất lớn của những nhà nghiên cứu về Vật lý lý thuyết cũng như các bạn Sinh viên khoa Vật lý ở các trường Đại học Sư phạm Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu, trang bị những kiến thức bổ ích, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động của các màng có hình dạng đặc biệt” Vớimo g mu n ìm ờigiảich c c bài toán dao đ n ự d của c c oạimàn có hìn dạn

đặ biệt ch n ôiđã sử d n p ư n p áp á h biến Fo rier để ìm n hiệm của c c p ươn trìn vip ân đạo hàm riên mô ả dao đ n của màn rên Kếtq ả ín oán được,ch n ôi

đã hảo uận và n ận xét rất rõ ràn Ch n ôi h v n rằn n hiên cứu này có hể àm ài

lệu ham k ảo ốtch Sin viên đã và đan heo h c Vậtlý ở c c rườn Đại h c Sư p ạm, Đạih c Kh a h c Tự n iên và Học viên ô hiCao h c…

2 Phương pháp tính to n

Chúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến Fourer để tính toán trong quá trình nghiên cứu Giả sử tìm nghiệm phương trình [1-3]:

( )

tt

nghiệm thoả mãn phương trình vi phân (1), được tìm bằng cách phân tích hàm U x y z t( , , , ) thành tích các hàm chứa các biến độc lập với nhau, cụ thể là chúng ta đặt:

( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )t x y z ,

sau đó thay phương trình (2) vào phương trình (1), kết hợp với điều kiện biên và điều kiện ban đầu sẽ tìm được nghiệm của bài toán

Cụ thể chúng tôi xét chuyển động dao động của một màng mỏng được căng ra trên mặt phẳng (x,y), các dao động chuyển động ngang vuông góc với mặt phẳng của màng dưới sự tác dụng của ngoại lực (hình 1) [1-3, 13]

Đưa vào các đại lượng sau:

( , , )

U =U x y t là đại lượng mô tả dao động ngang của màng tại ( , , ) x y t

ρ là mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích của màng

T là sức căng tính trên một đơn vị diện tích

( , , )

w w x y t= là ngoại lực tác dụng tính trên một đơn vị diện tích

( , , )

e

F =w x y t Δ Δx y là ngoại lực tác dụng lên yếu tố diện tích Δ Δ x y

d

u

t

= Δ Δ

∂ là lực hãm hay lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc dao động trên yếu tố diện tích Δ ⋅ Δ , x y β là hệ số tắt dần

Hình 1 Dao động của màng

U(x,y,z)

y

X

u

x

Xét độ dịch chuyển nhỏ, trong đó các góc α1,α2,β1,β2 là nhỏ và tổng các lực tác dụng lên yếu tố của màng theo hướng x và y là hình chiếu của sức căng lên mặt phẳng, ta có:

T

os =

1+tg

1

o

T

u x

α

α ≅ ⎛∂ ⎞ ≈ ≡

+ ⎜ ⎟⎝∂ ⎠

Tc α =Tc α = , T Tcosβ2 =Tcosβ1= T o

Áp dụng định luật II-Newton, lấy tổng các lực theo hướng vuông góc với yếu tố của màng:

( )

2

u

t

u

w x y t x y x y

t

β

∂

∂

∂

∂

(3)

Chú ý rằng:

2

x

1+

x

u

tg

α α

α

∂

∂ ⎛∂ ⎞

∂

∂ ⎝∂ ⎠

⎜∂ ⎟

,

do đó, ta có:

( 2 1)

u

o

T yΔ α − α = ΔT y⎡∂⎢ ⎛⎜x+Δ y t⎞⎟−∂ ⎛⎜x−Δ y t⎞⎟⎤⎥

o

y

/ 2

y− Δy y+ Δy/ 2

1

β

2

β T⋅ Δx

T⋅ Δx

x / 2

x− Δx x+ Δx/ 2

1

α

2

α T⋅ Δ y

T⋅ Δ y

Hình 2 Hình chiếu của các lực tác dụng lên yếu tố màng

Chia hai vế phương trình (3) cho T x y oΔ Δ , rồi lấy giới hạn khi Δ →x 0, ta được phương trình:

( )

1 , ,

w x y t

ρ

, ,

o

trong đó: 2

o

T

Phương trình (4) gọi là phương trình dao động của màng

Xét các trường hợp đặc biệt:

●Trường hợp 1: Cho β =0,w= , thu được phương trình sóng hai chiều 0

1

●Trường hợp 2: Dao động của màng trong trạng thái dừng, suy ra phương trình Poison:

( )

1 ,

o

w x y

∂ +∂ = −

Gọi C là đường cong kín, nó là biên của màng nằm trên mặt phẳng ( )x y, , gọi nr là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài đường cong trên biên Điều kiện biên của dao động của màng có các dạng sau:

Điều kiện biên Dirichlet được gọi là điều kiện biên gắn chặt

( , , ) , ( ),

x y c

Điều kiện biên Neumann được gọi là điều kiện biên tự do

( )

x y c

u gradu n f x y

Điều kiện hỗn hợp bao gồm cả điều kiện biên gắn chặt và điều kiện biên tự do, có dạng

( ) 1

2

,

,

x y c

x y c

u gradu n g x y n

∈

∈

⎪

⎪

∂

(9)

Điều kiện ban đầu dao động của màng là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu của mọi điêm trên bề mặt của màng khi t=0, có dạng:

, ,0

,

u x y

g x y t

⎪

⎨∂

=

⎩

(10)

3 Kết quả và thảo luận

Vận dụng các phương pháp tính toán được trình bày trong mục 2, chúng tôi đã đưa ra lời giải tương đối chi tiết hai bài toán dao động tổng quát có hình dạng đặc biệt chữ nhật và màng tròn Từ các kết quả thu được, chúng tôi đã đưa ra những nhận xét về mặt vật lý, trên cơ

sở đó giải thích một vài hiện tượng quan sát trong thực tế

Bài toán thứ nhất: Tìm dao động ngang của màng chữ nhật 0 x L≤ ≤ , 1 0 y L≤ ≤ có các mép 2 gắn chặt, với điều kiện biên ban đầu: u x y( , ,0)=Axy L( 1−x L)( 2−y); u x y t( , ,0)=0[1-3, 7]

Bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình vi phân hai biến:

thoả mãn các điều kiện biên:u x=0 =u x=L1=u y=0=u y L= 2=0, (12)

và điều kiện ban đầu: u x y( , ,0)=Axy L( 1−x L)( 2−y u x y) (, t , ,0)=0 (13) Hàm dao động xác định trong khoảng 0 x L≤ ≤ , 1 0 y L≤ ≤ 2

Dao động của màng chữ nhật này có dạng như sau:

= =

từ điều kiên ban đầu (12) xác định được các hệ số A B , ta có : mn, mn

n

, sin sin X

L L

mn

m

Y

1 2

4

L L mn

4

1 2

4A

L L

= Ι Ι ,

O

y

x

2

L

1

L

Hình 3 Dao động của màng chữ nhật

tính Ι , áp dụng tích phân từng phần 1

1

1

1

1

1

1 0

( 2 ) cos

L

L

π π

+

+

∫

∫

Áp dụng tích phân từng phần, ta có:

1

1

L

L

3 1

3 3

4

L

=

+ tương tự, áp dụng tích phân từng phần, ta có:

2

2 0

sin

L

π +

3 3

4

L

= +

Như vậy:

3 3

1 2

3

64

mn

AL L A

π

=

+ + và B mn = 0 Như vậy, dạng dao động cụ thể của màng chữ nhất là:

( )

2 2

6

, 0

64 , ,

m n

u x y t

c

π

π

∞

=

∑

(14)

Từ kết quả tính được trong biểu thức (14), chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật lý như sau:

Biểu thức (14) mô tả dao động tự do của màng chữ nhật, vì hàm u x y t( , , ) khả vi hai lần

theo t , hai lần theo x , hai lần theo y và thoả mãn phương trình vi phân (11) cùng với các

điều kiện biên (12) và điều kiện ban đầu (13)

Mọi điểm ( , )x y đều dao động điều hoà với biên độ

2 2

6

, 0

64

m n

π

∞

=

×

∑

với tần số dao động riêng: ( ) (2 )2

2n 1 2m 1

a

Nếu m n= =0, biên độ dao động là

2 2

1 2 6

64

sin sin

π , các điểm trên biên đều bất động, khi đó ta nói biên của màng là đường nút Do 0≤ ≤x L1,0≤ ≤ nên các hàm y L2

sin xsin y 0

π π ≥ , các điểm của màng đều nằm về phía này hay phía kia của mặt phẳng oxy

Độ lệch lớn nhất đạt được tại 1

2

L

2

L

y= Đó là tâm của màng Đó là điểm bụng của sóng đứng

Nếu n=1,m= biên độ dao động là 0 1 2

6

sin sin 27

π , các điểm ( , )x y của màng mà 0 1

2

L x

< < và 0< < có biên độ dao động âm, các điểm ( , )y L2 x y của màng mà

1

1

2

L

x L

< < và 0< < có biên độ dao động dương Do đó nửa trái và nửa phải của màng y L2

trong quá trình dao động luôn uốn về hai phía trái nhau Độ lệch lớn nhất đạt được tại hai điểm 1 2 3 1 2

Nếu n=0,m= , các đường nút là 1 2

2

L

x= x L y= = y= y L= và hai điểm bụng

là 1 2 1 3 2

Bài toán thứ hai: Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm

1

r

S và

2

r

S (Hình 4) Bán kính của mặt cầu bên trong S r1 thay đổi thêo quy luật:

( ) 1 sin , ,0 2 1,

r t = +r ε ωt −∞ < < +∞ < < −t ε r r còn bán kính mặt cầu bên ngoài

2

r

S không đổi Tìm dao động của chất khí giữa các mặt cầu [2, 3, 14]

Gọi u r t( ), là thế vận tốc của các hạt khí lý tưởng.Phương trình dao động của khí lý

tưởng có dạng: 2 2 2

2

a

với các điều kiện ban đầu: r t( )= +r1 εsinωt,−∞ < < +∞ < < −t ,0 ε r2 r1, (16)

và điều kiện biên:

t

Thế vận tốc u r t( ), của các hạt khí lý tưởng mô tả dao động điều hoà được thiết lập với tần số ω Bằng phương pháp tách biến, đặt:

( ), ( )cos

Thay (18) vào (15) ta có phương trình:

( ) ( ) ( )

2

0

R r

ω

Phương trình (19) có dạng là phương trình Betsen, có các tính chất sau:

( ) ( )

( )

2

0

2

!

m m

m

x

J x

m

∞

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=∑ −

( ) ( ) ( )( )

2 1

1

0

2

m m

m

x

J x

+

∞

=

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

∑

0

,

x

∫

( ) ( )

J x = −J x′

( ) 2 ( ) ( 3 ) ( )

0

x

1

r

2

r

Hình 4 Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm

Sử dụng các tính chất của hàm Betsen và các điều kiện (16), (17) chúng ta xác định được:

R r

Như vậy, dao động của chất khí giữa các mặt cầu:

( )

( )

( )

2

2

1

a

cos

1

a

cos

a

a

ε

ω

ω

ε

ω

−

−

−

Từ kết quả tính được, theo trong biểu thức (20) chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật

lý như sau:

Dao động của chất khí giữa các mặt cầu là một dao động điều hoà với biên độ:

R r

và tần số góc dao động là ω

Khi r càng lớn thì R r( ) càng giảm, điều này chứng tỏ các điểm càng xa tâm màng thì dao động cáng nhỏ và đến biên màng thì đứng yên

4 Kết luận

Nghiên cứu này đã thu được một số kết quả sau:

i) Đã trình bày một cách có hệ thống và lôgic phương pháp tách biến Fourier và sử dụng phương pháp này để tìm các phương trình dao động tổng quát và dao động cụ thể (Biết điều kiện và điều kiện ban đầu) của màng chữ nhật và tròn

ii) Từ những kết quả tính toán được, chúng tôi có những thảo luận và nhận xét quan trọng về mặt Vật lý của bài toán Vấn đề tiếp theo là nghiên cứu và tính toán sự truyền nhiệt trong các màng chữ nhật và tròn

Lời cảm ơn

Để hoàn thành bản đề tài này, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô cùng toàn thể các bạn Sinh viên trong Khoa lý đã trao đổi và động viên chúng tôi

Tài liệu tham khảo

[1] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý, NXBGD, 2002

[2] Phan Huy Thiện, Phương trình toán lý, NXBGD, 2007

[3] Phan Huy Thiện, Tuyển tập bài tập phương trình toán lý, NXBGD, 2008

[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập 1 NXBGD,

1997

[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập 2 NXBGD,

1997

[6] Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập 3 NXBGD,

1997

[7] Vũ Thị Kim Liên, Phạm Hữu Kiên, Bài tập toán Cho Vật lý, Thái Nguyên, 2009

[8] Phạm Hữu Kiên, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2003

[9] Phạm Hữu Kiên, Luận văn tốt nghiệp Cao học, Hà nội, 2006

[10] Đào Văn Phúc, Điện động lực, NXBGD,1984

[11] Đỗ Thị Liên, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2008

[12] Phạm Đức Long, Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên, 2009

[13] Nguyễn Thị Thu Hằng, Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên,2009

[14] Phạm Hữu Kiên, Nguyễn Thị Thu Hằng, Tạp chí khoa học và công nghệ ,số 2(50), năm

2009 trang 43-47

[15] Nguyễn Thi Bảo Ngọc, Dao động sóng, NXBĐHQGHN, 1996