BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Cung Thế Anh (HD1) TS Nguyễn Đình Bình (HD2) Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Cung Thế Anh TS Nguyễn Đình Bình Các kết phát biểu luận án trung thực chưa công bố công trình tác giả khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn thầy TS Cung Thế Anh TS Nguyễn Đình Bình Các thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả cịn học viên cao học Ngồi dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng quý mến thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy bạn đồng nghiệp Seminar Bộ mơn Tốn bản, Đại học Bách khoa Hà Nội; Seminar Bộ môn Giải tích, Đại học Sư phạm Hà Nội Seminar Giải tích đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý môi trường khoa học sôi thân thiện, điều khơng thể thiếu q trình nghiên cứu, hồn thành luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, anh chị đồng nghiệp công tác Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Cơ bản, trường Đại học Điện lực tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bố mẹ, anh chị em bạn bè Gia đình, bạn bè luôn nguồn động viên động lực to lớn tác giả Tác giả MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 16 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 16 1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 18 1.3 Tập hút toàn cục 19 1.3.1 Một số khái niệm 19 1.3.2 Tập hút toàn cục 21 1.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục 23 1.3.4 Số chiều fractal tập hút toàn cục 26 Tập hút 27 1.4.1 Tập hút trình đơn trị 27 1.4.2 Tập hút nửa trình đa trị 29 1.5 Một số bất đẳng thức thường dùng 32 1.6 Một số bổ đề quan trọng 33 1.4 Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 35 2.1 Đặt toán 35 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 37 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (Ω) 2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục tập hút toàn cục vào số 43 hạng phi tuyến 49 Sự tồn tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) 49 2.5.2 2.6 Tính trơn tập hút tồn cục 2.5.1 2.5 45 Sự tồn tập hút toàn cục D0 (Ω, σ) 56 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 59 Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TỒN KHƠNG GIAN 64 3.1 Đặt toán 64 3.2 Sự tồn nghiệm yếu 66 3.3 Sự tồn tính trơn tập hút toàn cục 70 3.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (RN ) 74 3.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục Lp (RN ) 80 3.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục H0 (RN , σ) ∩ Lp (RN ) 83 Chương TẬP HÚT ĐỀU ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM 86 4.1 Đặt toán 86 4.2 Sự tồn nghiệm yếu 88 4.3 Sự tồn tập hút L2 (Ω) 89 4.4 Tính trơn tập hút trường hợp nghiệm p = 94 Tập (L2 (Ω), Lq (Ω)) - hút 98 4.4.1 4.4.2 Tập (L2 (Ω), D0 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hút 101 105 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 107 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hóa học, mơ hình quần thể sinh học, Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Các vấn đề đặt nghiên cứu tính đặt tốn (sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm theo kiện cho) tính chất định tính nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận nghiệm, ) Sau nghiên cứu tính đặt toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta có điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng ba thập kỉ gần Lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Lí thuyết nằm giao chuyên ngành Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảng phân loại tốn học năm 2010) Bài tốn lí thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal số chiều Hausdorff, phụ thuộc liên tục tập hút theo tham biến, tính trơn tập hút, xác định modes, Tập hút toàn cục cổ điển tập compact, bất biến, hút tất quĩ đạo hệ chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ Cụ thể với quĩ đạo cho trước hệ khoảng thời gian T tùy ý, ta tìm quĩ đạo nằm tập hút toàn cục mà dáng điệu thời gian đủ lớn hai quĩ đạo sai khác đủ nhỏ khoảng có độ dài T Hơn nữa, nhiều trường hợp tập hút tồn cục có số chiều fractal hữu hạn ta qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tập hút toàn cục, tức qui việc nghiên cứu hệ động lực vô hạn chiều nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều tập hút toàn cục Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết tập hút nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [27, 37, 38, 54, 85, 89] tổng quan gần [25, 72, 79]) Một lớp phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều lớp phương trình parabolic Lớp phương trình mơ tả nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học trình truyền nhiệt, trình phản ứng khuếch tán, mơ hình tốn học sinh học quần thể, Sự tồn tập hút toàn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn không bị chặn (xem [17, 23, 26, 33, 34, 41, 43, 48, 63, 65, 69, 77, 78, 83]) Tính liên tục tập hút tồn cục tốn parabolic nghiên cứu cơng trình [21, 22, 23, 24, 32, 75, 76] Trong năm gần đây, tồn tập hút chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến [22, 35, 80, 76, 70, 91, 93], phương trình parabolic với điều kiện biên động lực [5, 47, 51, 92, 94, 93] Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lớp phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình suy biến cịn Các phương trình parabolic suy biến xuất cách tự nhiên nhiều tốn vật lí, hóa học, sinh học, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Dưới đây, điểm qua số kết gần lí thuyết tập hút tồn cục phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến có phần dạng: −∆Φ(u) − div(Φ(u) u), Φ(0) = Trong năm gần đây, tồn tập hút chứng minh cho nhiều lớp phương trình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phương trình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74, 95] số lớp phương trình khác [45, 49, 50] • Phương trình parabolic suy biến chứa tốn tử Grushin: Đó lớp phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin (xem [53]), Gs u = ∆x1 u + |x1 |2s ∆x2 u, x = (x1 , x2 ) ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , s ≥ Dựa kết phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập [86], tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm nghiên cứu cho số lớp phương trình parabolic chứa tốn tử này, hai trường hợp ôtônôm không ôtônôm Trong trường hợp ôtônôm, tồn Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần nghiên cứu tiếp là: - Nghiên cứu tính chất tập hút toàn cục nhận Chương phương trình parabolic suy biến xét miền khơng bị chặn Cụ thể, tiếp tục nghiên cứu tính trơn tập hút (so với kết tương ứng miền bị chặn Chương 2, kết tính trơn chưa tốt bằng); nghiên cứu phụ thuộc liên tục theo tham biến đánh giá số chiều fractal tập hút - Nghiên cứu tính chất tập hút trường hợp phương trình khơng nghiệm, chẳng hạn tính trơn đánh giá số chiều fractal Đây vấn đề khó địi hỏi cách tiếp cận hoàn toàn so với trường hợp nghiệm - Nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic suy biến với điều kiện biên khác, chẳng hạn điều kiện biên Dirichlet không nhất, điều kiện biên Neumann, điều kiện biên hỗn hợp, điều kiện biên phi tuyến, Để làm điều trước hết cần phát triển lí thuyết khơng gian Sobolev có trọng tương ứng bao gồm lí thuyết vết, định lí nhúng, Đây lĩnh vực rộng lớn, hoàn toàn mở tỏ khó 106 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 98, No.1, 71-89 C.T Anh and L.T Thuy (2012), Notes on global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations, J Nonlinear Evol Equ Appl 4, 41-56 C.T Anh and L.T Thuy (2012), Global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations on RN , Bull Pol Acad Math Sci., accepted for publication C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2012), On uniform global attractors for a class of non-autonomous degenerate parabolic equations, Int J Dynamical Systems and Differential Equations, Vol 4, Nos 1/2, 35-55; invited paper on the special issue "Degenerate and Singular Parabolic and Elliptic Equations" 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B Abdellaoui, E Colorado and I Peral (2004), Existence and nonexistence results for a class of linear and semilinear parabolic equations related to some Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, J Eur Math Soc 6, 119-148 [2] B Abdellaoui and I Peral (2004), Harnack inequality for degenerate parabolic equations related to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, Nonlinear Anal 57, 971-1003 [3] B Abdellaoui and I Peral (2006), Competition reaction-absorption in some elliptic and parabolic problems related to the Caffarelli-KohnNirenberg inequalities, J Math Anal Appl 314, 590-617 [4] B Abdellaoui and I Peral (2007), The effect of Harnack inequality on the existence and nonexistence results for quasi-linear parabolic equations related to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 14, 335-360 [5] M Anguiano, P Marín-Rubio and J Real (2011), Pullback attractors for non-autonomous reaction-diffusion equations with dynamical boundary conditions, J Math Anal Appl 383, no 2, 608-618 [6] C.T Anh (2010), Pullback attractors for non-autonomous parabolic equations involving Grushin operators, Electron J Differential Equations, No 11, 14 pp 108 [7] C.T Anh and T.Q Bao (2010), Pullback attractors for a nonautonomous semilinear degenerate parabolic equation, Glasgow Math J 52, 537-554 [8] C.T Anh and T.Q Bao (2011), Pullback attractors for parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Ann Pol Math 101, 1-19 [9] C.T Anh, T.Q Bao and L.T Thuy (2012), Regularity and fractal dimension of pullback attractors for a non-autonomous semilinear degenerate parabolic equations, Glasgow Math J., accepted [10] C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), Attractors for quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Vietnam J Math 38, no 3, 261-280 [11] C.T Anh, N.M Chuong and T.D Ke (2010), Global attractor for the m−semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J Math Anal Appl 363, 444-453 [12] C.T Anh and P.Q Hung (2008), Global existence and long-time behavior of solutions to a class of degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 93, no 3, 217-230 [13] C.T Anh, P.Q Hung, T.D Ke and T.T Phong (2008), Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator, Electron J Differential Equations, no 32, 1–11 [14] C.T Anh and T.D Ke (2009), Existence and continuity of global attractors for a degenerate semilinear parabolic equation, Electron J Differential Equations, vol 2009, no 61, 1–13 109 [15] C.T Anh and T.D Ke (2009), Long-time behavior for quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Anal 71, 4415-4422 [16] C.T Anh and T.D Ke (2010), On quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Diff Equ Appl 17, 195-212 [17] C.T Anh and T.T Phong (2009), Global attractor for a semilinear parabolic system, Vietnam J Math 37, 47-64 [18] C.T Anh and N.V Quang (2010), Uniform attractors for nonautonomous parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Ann Pol Math 98, 251-271 [19] C.T Anh and N.V Quang (2011), Uniform attractors for a nonautonomous parabolic equation involving Grushin operator, Acta Math Vietnam 36, no 1, 19–33 [20] C.T Anh and V.M Toi (2011), On the dynamics of nonautonomous parabolic systems involving the Grushin operators, Int J Math Math Sci., Art ID 178057, 27 pp [21] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (1999), Pertubation of the diffusion and upper semicontinuity of attractors, Appl Math Lett 12, 37-92 [22] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), Upper semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559 110 [23] J.M Arrieta, J.W Cholewa, T Dlotko and A Rodriguez-Bernal (2004), Asymptotic behavior and attractors for reaction diffusion equations in unbounded domains, Nonlinear Anal 56, 515-554 [24] J.M Arrieta and A.N Carvalho (2004), Spectral convergence and nonlinear dynamics of reaction diffusion equations under perturbations of the domain, J Differential Equations 199, 143-178 [25] A.V Babin (2006), Global Attractors in PDE, Hasselblatt, B.(ed.) et al., Handbook of dynamical systems Volume 1B Amsterdam: Elsevier, 983-1085 [26] A.V Babin and M.I Vishik (1990), Attractors of partial differential evolution equations in an unbounded domain, Proc R Soc Edinburgh Sect A 116, 221-243 [27] A.V Babin and M.I Vishik (1992), Attractors of Evolution Equations Transl from the Russian by A.V Babin, Studies in Mathematics and its Applications 25 Amsterdam etc.: North- Holland x, 532 p [28] N.D Binh (2012), Regularity and exponential growth of pullback attractors for semilinear parabolic equations involving the Grushin operator, Abstract and Applied Analysis, Volume 2012, Article ID 272145, 20 pages [29] N.D Binh and C.T Anh (2012), Attractors for parabolic equations related to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, Boundary Value Problems, 2012 : 35, 1-33 [30] N.D Binh and L.T Thuy (2010), Global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic systems, Proceeding of the 17th Interna111 tional Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Ho Chi Minh city, Vietnam, August 3-8, 2009 [31] P Caldiroli and R Musina (2000), On a variational degenerate elliptic problem, Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 [32] V.L Carbone, A.N Carvalho and K Schiabel-Silva (2008), Continuity of attractors for parabolic problems with localized large diffusion, Nonlinear Anal 68, 515-535 [33] A.N Carvalho, J.W Cholewa and T Dlotko (1998), Examples of global attractors in parabolic problems, Hokkaido Math J 27, 77-103 [34] A.N Carvalho and T Dlotko (1998), Parabolic problems in H with fast growing nonlinearities, Nonlinear Anal 33, 391-397 [35] A.N Carvalho, S.M Oliva, A.L Pereira and A Rodgriguez-Bernal (1997), Attractors for parabolic problems with nonlinear boundary conditions, J Math Anal Appl 207, no 2, 409-461 [36] G.X Chen and C.K Zhong (2008), Uniform attractors for nonautonomous p−Laplacian equations, Nonlinear Anal 68, 3349-3363 [37] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [38] J Cholewa and T Dlotko (2000), Global Attractors in Abstract Parabolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge [39] I.D Chueshov (2002), Introduction to the Theory of InfiniteDimensional Dissipative System, ACTA Scientific Publishing House 112 [40] A Dall’aglio, D Giachetti and I Peral (2004), Results on parabolic equations related to some Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, SIAM Math Anal 36, 691-716 [41] D Daners and S Merino (1998), Gradient-like parabolic semiflows on BCU (Rn ), Proc R Soc Edinburgh Sect A 128, 1281-1291 [42] R Dautray and J.L Lions (1985), Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol I: Physical origins and classical methods, Springer-Verlag, Berlin [43] M.A Efendiev and S.V Zelik (2001), The attractor of a nonlinear reaction-diffusion system in an unbounded domain, Commun Pure Appl Math 54, 625-688 [44] M Efendiev and M Ôtani (2007), Infinite-dimensional attractors for evolution equations with p-Laplacian and their Kolmogorov entropy, Differ Integral Equ 20, no 10, 1201-1209 [45] M Efendiev and S Zelik (2008), Finite- and infinite-dimensional attractors for porous media equations, Proc Lond Math Soc 96, no 1, 51-77 [46] L.C Evans (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society [47] Z.H Fan and C.K Zhong (2008), Attractors for parabolic equations with dynamic boundary conditions, Nonlinear Anal 68, no 6, 17231732 113 [48] E Feireisl, Ph Laurencot, F Simondon and H Touré (1994), Compact attractors for reaction-diffusion equations in RN , C R Acad Sci Paris I, 319, 147-151 [49] E Feireisl (1996), Asymptotic behaviour and attractors for degenerate parabolic equations on unbounded domains, Nonlinear Anal 26, no 9, 1553-1546 [50] E Feireisl, Ph Lauren¸ot and F Simondon (1996), Global attractors c for degenerate parabolic equations on unbounded domains, J Differ Equations 129, no 2, 239-261 [51] C.G Gal and M Warma (2010), Well posedness and the global attractor of some quasi-linear parabolic equations with nonlinear dynamic boundary conditions, Differ Integral Equ 23, no 3-4, 327-358 [52] M Efendiev and M Ôtani (2011), Infinite-dimensional attractors for parabolic equations with p-Laplacian in heterogeneous medium, Ann Inst Henri Poincaré, Anal Non Linéaire, 28, No 4, 565-582 [53] V.V Gruˇin (1971), A certain class of elliptic pseudodifferential opers ators that are degenerate on a submanifold, Matematicheskii Sbornik, vol 84, pp 163–195, English translation in: Mathematics of the USSRSbornik, vol 13, pp 155–183 [54] J.K Hale (1988), Asymptotic Behavior of Disspative Systems, Mathematical Surveys and Monographs, Vol 25, Amer Math Soc., Providence, RI 114 [55] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2005), Convergence towards attractors for a degenerate Ginzburg-Landau equation, Z Angew Math Phys 56, 11-30 [56] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2006), On the dynamics of a degenerate parabolic equation: Global bifurcation of stationary states and convergence, Calc Var Partial Differential Equations 25 (3), 361393 [57] A.V Kapustyan, V.S Menik and J Valero (2003), Attractors of multivalued dynamical processes generated by phase-field equations, Inter J Bifur Chaos 13, 1969-1984 [58] T.D Ke and N.-C Wong (2011), Long-time behaviour for a model of porous-medium equations with variable coefficients, Optimization 60, No 4-6, 709-724 [59] A.K Khanmamedov (2009), Global attractors for one dimensional pLaplacian equation, Nonlinear Anal 71, No 1-2, 155-171 [60] J.-L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris [61] S.S Lu, H.Q Wu and C.K Zhong (2005), Attractors for nonautonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external force, Discrete Contin Dyn Syst 23, 701-719 [62] Q.F Ma, S.H Wang and C.K Zhong (2002), Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications, Indiana University Math J 51, no 6, 1541-1559 115 [63] M Marion (1987), Attractors for reaction-diffusion equations: Existence and estimate of their dimension, Appl Anal 25, 101-147 [64] M Marion (1989), Approximate inertial manifolds for reactiondiffusion equations in high space dimension, J Dyn Diff Eqns 1, 245-267 [65] M Marion (1989), Finite-dimensional attractors associated with partly dissipative reaction-diffusion systems, SIAM J Math Anal 20, 816844 [66] V.S Melnik and J Valero (1998), On attractors of multi-valued semiflows and differential inclusions, Set-Valued Anal 6, 83-111 [67] V.S Melnik, J Valero (2000), On global attractors of multivalued semiprocesses and nonautonomous evalution inclusions, Set-Valued Anal 8, 375-403 [68] V.S Melnik and J Valero (2008), Addendum to "On attractors of multi-valued semiflows and differential inclusions", Set-Valued Anal 16, 507-509 [69] S Merio (1996), On the existence of the compact global attractor for semilinear reaction diffusion system on RN , J Differential Equations 132, 87-106 [70] M Meyries (2012), Global attractors in stronger norms for a class of parabolic systems with nonlinear boundary conditions, Nonlinear Anal 75, No 5, 2922-2935 116 [71] A Miranville and S Zelik (2007), Finite-dimensionality of attractors for degenerate equations of elliptic-parabolic type, Nonlinearity 20, No 8, 1773-1797 [72] A Miranville and S Zelik (2008), Attractors for dissipative partial differential equations in bounded and unbounded domains, Dafermos, C.M.(ed.) et al., Handbook of differential equations: Evolutionary equations Vol IV Amsterdam: Elsevier/North-Holland Handbook of Differential Equations, 103-200 [73] F Morillas and J Valero (2005), Attractors for reaction-diffusion equations in RN with continuous nonlinearity, Asymptotic Analysis 44, 111-130 [74] W Niu and C.K Zhong (2012), Global attractors for the p-Laplacian equations with nonregular data, J Math Anal Appl 392, No 2, 123135 [75] L.A.F de Oliveira, A.L Pereira and M.C Pereira (2005), Continuity of attractors for a reaction-diffusion problem with respect to variations of the domain, Elec J Diff Equa 100, 1-18 [76] A.L Pereira and M.C Pereira (2007), Continuity of attractors for a reaction-diffusion problem with nonlinear boundary conditions with respect to variations of the domain, J Differential Equations 239, 343370 [77] M Prizzi (2003), A remark on reaction-diffusion equations on unbounded domains, Disc Cont Dyna Syst 9, 281-286 117 [78] M Prizzi and K Rybakowski (2007), Attractors for reaction-diffusion equations on arbitrary unbounded domains, Topol Methods Nonlinear Anal 30, 251-277 [79] G Raugel (2002), Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of dynamical systems, Vol 2, pp 885-892, North - Holland, Amsterdam [80] A Rodríguez-Bernal (2002), Attractors for parabolic equations with nonlinear boundary conditions, critical exponents, and singular initial data, J Differ Equations 181, No 1, 165-196 [81] R Rosa (1998), The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains, Nonlinear Anal 32, 71-85 [82] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press [83] C.Y Sun and C.K Zhong (2005), Attractors for the semilinear reaction-diffusion equation with distribution derivatives in unbounded domains, Nonlinear Anal 63, 49-65 [84] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [85] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag [86] N.T.C Thuy and N.M Tri (2002), Existence and nonexistence results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operator, Russ J Math Phys 93, 366-371 118 [87] J Valero and A Kapustyan (2006), On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of reaction-diffusion systems, J Math Anal Appl 323, 614-633 [88] B Wang (1999), Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains, Physica D 179, 41-52 [89] A Yagi (2010), Abstract Parabolic Evolution Equations and Their Applications, Springer Monographs in Mathematics Berlin: Springer xviii, 581 p [90] L Yang (2012), Asymptotic regularity and attractors of the reactiondiffusion equation with nonlinear boundary condition, Nonlinear Anal., Real World Appl 13, No 3, 1069-1079 [91] L Yang and M.H Yang (2012), Attractors of the non-autonomous reaction-diffusion equation with nonlinear boundary condition, Nonlinear Anal., Real World Appl 11, No 5, 3946-3954 [92] L Yang (2009), Uniform attractors for the closed process and applications to the reaction-diffusion equation with dynamical boundary condition, Nonlinear Anal 71, No 9, 4012-4025 [93] L Yang, M.H Yang and P.E Kloeden (2012), Pullback attractors for non-autonomous quasilinear parabolic equations with dynamical boundary conditions, Discr Cont Dyna Syst Series B 17, no 7, 26352631 [94] L Yang and M.H Yang (2011), Long-time behavior of reactiondiffusion equations with dynamical boundary condition, Nonlinear Anal 74, No 12, 3876-3883 119 [95] M Yang, C Sun and C.K Zhong (2007), Global attractors for pLaplacian equation, J Math Anal Appl 327, No 2, 1130-1142 [96] C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 15, 367-399 120 ... lí thuyết tập hút lớp phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình suy biến cịn Các phương trình parabolic suy biến xuất cách tự... tồn cục phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến có phần dạng: −∆Φ(u) − div(Φ(u) u), Φ(0) = Trong năm gần đây, tồn tập hút chứng minh cho nhiều lớp phương trình parabolic. .. hạn phương trình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74, 95] số lớp phương trình khác [45, 49, 50] • Phương trình parabolic suy biến chứa tốn tử Grushin: Đó lớp phương trình parabolic suy