Một phương pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phương trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do PGS.. Lê quang hưng Bộ môn Cơ kết cấu Khoa Công trình - Trường ĐHGTVT Tóm t
Trang 1Một phương pháp xác định ma trận
độ cứng trong hệ phương trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do
PGS TS Lê văn doanh
Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trường ĐHGTVT
ThS Lê quang hưng
Bộ môn Cơ kết cấu Khoa Công trình - Trường ĐHGTVT
Tóm tắt: BμI báo trình bμy một phương pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phương
trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do Đây lμ phương pháp có ưu điểm lμ đơn giản, thuận lợi cho quá trình tính toán
Trên cơ sở phương pháp nμy có thể dễ dμng xác định các ma trận khối lượng m vμ ma trận quán tính J; ma trận cản của hệ phương trình vi phân dao động
Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the system of vibrating differential equations of the free finite system The advantage of this method is the simplicity and convenience in calculation process The mass matrix [M] and matrix [ β] in the system of vibrating equations can similarly be defined
i ma trận độ cứng
Chúng ta đã biết phương trình dao động
của hệ có hữu hạn bậc tự do được biểu thị:
[ ]M{ }q&& +[ ]β{ }q& +[ ]k{ }q =[ ]P (1)
trong đó:
- [M] là ma trận khối lượng và mô men
quán tính
- [β] là ma trận cản
- [k] là ma trận độ cứng
- [P] là ma trận kích động
- {q} là ma trận cột của biên độ tổng quát
ở đây giới thiệu chủ yếu về cách tính ma
trận độ cứng từ đó bằng cách tương tự có thể
xác định các ma trận [β] và [M]
Một cách tổng quát theo nguyên lý cộng tác dụng ta có:
qi = ai1F1 + ai2F2 + ai3F3+…+ainFn trong đó:
- qi là biên độ do các lực tổng quát F1 , F2,
… Fn gây ra
- ai1 là biên độ theo phương của qi do lực tổng quát F1 = 1 gây ra
- ai2 là biên độ theo phương của qi do lực tổng quát F2 = 1 gây ra
- ain là biên độ theo phương của qi do lực tổng quát Fn = 1 gây ra
Từ đó ta có thể biểu diễn các biên độ tổng quát qi như sau:
Trang 2⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
n nn 2
2 1 1 n
n n 2
22 1 21 2
n n 2
12 1 11 1
F a
F a F a q
F a
F a F a q F a
F a F a q viết dưới dạng ma trận: { }q =[ ]a{ }F suy ra: { } { } [ ]1
a q F = ư
đặt [ ]aư1=[ ]K ta có: { } { }F = q[ ]K hay: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ n 2 1 nn 2 1 n 22 21 n 12 11 n 2 1 q
q q K
K K
K
K K K
K K F
F F ở đây: Ki j là lực cần thiết theo hướng qi khi biên độ qj = 1, các biên độ q ≠ qj đều bằng không Từ đó ta có quy tắc xác định các phần tử cột bất kỳ nào đó trong ma trận [K] là lấy biên độ qi của cột nào đó trong ma trận bằng 1 còn các biên độ q ≠ qj bằng không Thí dụ xây dựng cột thứ nhất của ma trận độ cứng [K] cho q1 = 1 còn các q2, q3, …, qn = 0 khi đó lực cần thiết để các toạ độ tổng quát (biên độ) qi biến dạng do q1 = 1 lần lượt là K11, K21, K31, …, Kn1 II xác định ma trận độ cứng a Khái niệm về ma trận “cơ sở” - ký hiệu là [K v ] Nếu gọi K1, K2, …, Km là độ cứng của m phần tử đàn hồi trong hệ thống dao động Gọi q1, q2, …, qn là các toạ độ tổng quát của hệ thống Khi lấy q1 = 1 còn các qi khác bằng không thì lực đàn hồi suy rộng sản sinh trên k1 là k’11; trên k2 là k’12, trên kn là k’1n Khi lấy qn = 1 còn các qi khác bằng không thì lực trên các phần tử đàn hồi là k’n1, k’n2 , …, k’nn Ta qui định dấu như sau: khi phần tử đàn hồi chịu kéo là ⊕; chịu nén là \ Khi đó ta sẽ được một ma trận [kv] được gọi là ma trận “cơ sở” mà các phần tử của ma trận này là các lực đơn vị, và có thể xác định được từ mô hình dao động cụ thể Ta có ma trận [kv]: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ' nn ' 2 ' 1 ' n ' 22 1 21 ' n ' 12 ' ' 11 v K
K K
K
K K K
K K k Gọi bii , bi j , bji là các hệ số của các phần tử K’ii , K’I j , K’ji các hệ số này với Ki j khác không sẽ có trị số là 1 hoặc -1 Khi đó quan hệ Ki j với K’I j và bi j là: K11 = K’11 b11 + K’12b12 + …+ k’1nb1n hay có thể viết: K11 = [K’11 K’12 … K’1n][b11 b12 b1n]T Tổng quát các phần tử của đường chéo: Kii = [K’i1 K’i2 … K’in][bi1 bi2 … bin]T Các phần tử khác: K12 = [K’11 K’12 … K’1n][b21 b22 … b2n]T K21 = [K’11 K’22 … K’2n][b11 b12 … b1n]T … … … … … … … …
Ki j = [K’i1 K’i2 … K’in][bj1 bj2 … bjn]T Khi đó ta có ma trận độ cứng viết dưới dạng: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ì ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n n n nn n n n n nn n n n n b b b b b b b b b K K K K K K K K K K K K K K K K K K
2 1
2 22
12
1 21
11
' '
2 ' 1
' 2 '
22 ' 21
' 1 '
12 ' 11
2 1
2 22
21
1 12
11
Trang 3Nhận xét:
- Ma trận
T
nn 2
1
n 22
21
n 12
11
nn n
n
2 22
12
1 21
11
b
b b
b
b b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ta gọi là [KD]T
ma trận [KD] chính là ma trận hệ số của
ma trận [Kv]
Từ đây ta rút ra ma trận độ cứng [k] tính
như sau:
[K] = [Kv][KD]T (*)
Để làm rõ hơn cho tính đúng đắn của
công thức (*) chúng ta kiểm tra lại với hệ dao
động có 2 bậc tự do với toạ độ là Z1 và Z2 ; độ
cứng của hệ đàn hồi là k1 và k2 Khi đó ma
trận độ cứng của hệ phương trình là:
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
ư
=
22 21
12 11 2
1 21
1 1
K K
K K K K K
K K
K
gọi:
- k’ii là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I
lên toạ độ Zi do Zi biến dạng 1 đơn vị
(Zi = 1)
- k’ij là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I
lên toạ độ Zj do Zj biến dạng 1 đơn vị
(Zj = 1)
Từ định nghĩa và từ hệ dao động 2 bậc tự
do trên ta có thể xác định ma trận [KV]
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ư
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2 1
1 '
22 ' 21
' 12 ' 11 V
K K
0 K K
K
K K
K
Gọi các hệ số K’ii và K’I j là bii và bi j khi đó
ta có thể viết được:
12 11 12 11 12 12 11
11
11 K' b K' b K' K' b b
22 21 22 21 22 22 21
21
22 K' b K' b K' K' b b
suy ra các phần tử ki j
K12 = [k’11 k’12][b21 b22]T
K21 = [k’21 k’22][b11 b12]T
khi đó ta có:
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
ư
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
ư
ư
=
22 12
21 11 2 1 1
2 1 1
1 1
b b
b b K K
0 K
K K K
K K
K
Dễ dàng tìm được:
b11 = -1; b12 = 0; b21 = 1; b22 = -1 nghĩa là:
[ ]T D
T
22 12
21 11
K
1 1
0 1 1 0
1 1 b
b
b b
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
ư
=
ư
ư
=
[ ]v
2 1
1
K K K
0 K
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ư
ư
là ma trận cơ sở
[K D] là ma trận hệ số của [Kv]
từ đó ta có:
[ ] [ ][ ]T
D
v K K
K = Tương tự như vậy chúng ta hoàn toàn có thể xác định các ma trận [M]; [β] trong hệ phương trình dao động (1)
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]T
D V T
D
V M ; M
Phương pháp trên gọi tắt là phương pháp
VZ
III Kết luận
Sử dụng phương pháp VZ thiết lập hệ phương trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do là đơn giản, nhanh, thuận lợi trong tính toán
Phương pháp trên không những sử dụng cho hệ tuyến tính mà còn có thể sử dụng được cho một số phương trình phi tuyến
Tài liệu tham khảo
[1] PGS TS Lê Văn Doanh ổn định động lực học
toa xe Tài liệu giảng dạy cao học
[2] Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật - NXB
KHKT, 2001
[3] versínki c b Động lực học toa xe (tiếng
Nga) - NXB Matxcơva, 1999♦