Trắc địa - Phần 1 Những kiến thức cơ bản về trắc địa - Chương 2 doc

Lý thuyết của toán xác xuất đã chứng minh được 4 tính chất đặc biệt của SSNN là: + Trị số tuyệt đối của SSNN không vượt quá một giới hạn nhất định.. Trong trắc địa, do yêu cầu độ chính x

Chương 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT SAI SỐ

I KHÁI NIỆM CHUNG VỀ CÁC DẠNG ĐO

Đo 1 đại lượng là quá trình so sánh đại lượng cần đo với đại lượng cùng loại được chọn làm đơn vị

- Đo trực tiếp: Là phép đo cho ngay giá trị bằng số của đại lượng cần đo

Ví dụ: đo chiều dài một đoạn thẳng bằng thước thép, đo một góc bằng thước

đo độ

- Đo gián tiếp: Là giá trị của một đại lượng cần đo được tính toán dựa vào

giá trị của đại lượng đo trực tiếp

Ví dụ: Muốn đo diện tích hình tam giác ta đo trực tiếp hai đại lượng là cạnh đáy và chiều cao

- Đo cùng độ chính xác và đo không cùng độ chính xác: Nếu kết quả đo nhận

được trong cùng một điều kiện thì khi đó gọi là cùng độ chính xác, còn kết quả đo được trong điều kiện đo khác nhau thì kết quả đo đó sẽ không cùng độ chính xác

* Các điều kiện đo là: Cùng một người đo, cùng một phương pháp đo,

cùng số lần đo, cùng một loại máy đo hoặc nếu khác loại máy nhưng có cùng độ chính xác, cùng điều kiện ngọai cảnh giống nhau

- Đại lượng đo: Là chiều dài một cạnh, độ lớn một góc

- Kết quả đo: Là trị số nào đó đo được của đại lượng đo

- Đại lượng đo cần thiết và đại lượng đo thừa

Để xác định một đại lượng nào đó ta chỉ cần đo một số đại lượng tối thiểu,

số đại lượng tối thiểu gọi là số đại lượng cần thiết

Ngoài số đại lượng cần thiết ta đo thừa một số đại lượng, đại lượng đo thừa

có tác dụng kiểm tra và nâng cao độ chính xác kết quả cần tìm

Ví dụ: Trong một tam giác chỉ cần đo hai góc là đủ, góc thứ 3 tính được bằng cách lấy 1800 trừ đi tổng hai góc đã đo Nếu đo cả 3 góc thì ở đây đại lượng đo cần thiết là 2, đại lượng đo thừa là 1

II SAI SỐ ĐO, PHÂN LOẠI SAI SỐ ĐO

II.1 Sai số đo

Bất kỳ 1 phép đo nào dù hoàn chỉnh đến đâu cũng vẫn còn sai số Chênh lệch giữa gía trị đo được l và giá trị thực của đại lượng đo X gọi là sai số, ký hiệu là Δ,

ta có:

Δ = l – X (2-1)

Trong đó: Δ - là sai số thực

l - là giá trị đo được

X - là giá trị thực

* Các nguyên nhân sinh ra sai số là:

- Máy và dụng cụ đo: dù hoàn chỉnh đến đâu vẫn còn tồn tại sai số

- Người đo: giác quan con người có hạn chế nên bắt mục tiêu, đọc số có sai

- Môi trường: thời tiết, địa hình

II.2 Các loại sai số đo

II.2.1 Sai số sai lầm

Chủ yếu do nhầm lẫn như đọc sai, ghi sai… để khắc phục ta phải đo nhiều lần và tiến hành kiểm tra từng bước

II.2.2 Sai số hệ thống:

Là sai số sinh ra chủ yếu do chế tạo dụng cụ máy móc không hoàn chỉnh Đặc điểm của sai số hệ thống là sai số có dấu và trị số không đổi hoặc biến đổi theo một quy luật nào đó

Ví dụ: Dùng thước thép đo chiều dài, thước có chiều dài ngắn hơn chiều dài tiêu chuẩn 1 cm Như vậy đo một đoạn thẳng mỗi lần đặt thước sẽ phạm phải sai số là -1 cm, nếu đặt thước 5 lần mới hết chiều dài đoạn thẳng thì kết quả nhận được của phép đo có sai số là: 5.(-1) = -5cm Khi đã biết sai số hệ thống ta

có thể loại trừ sai số này

II.2.3 Sai số ngẫu nhiên (SSNN)

+ SSNN là sai số xuất hiện có trị số và dấu không theo một quy luật nhất định + SSNN không thể loại bỏ mà chỉ làm giảm bớt bằng cách sử dụng máy tốt, phương pháp đo và tính toán hoàn chỉnh

Lý thuyết của toán xác xuất đã chứng minh được 4 tính chất đặc biệt của SSNN là:

+ Trị số tuyệt đối của SSNN không vượt quá một giới hạn nhất định Trị số giới hạn này phụ thuộc vào điều kiện đo và phương pháp đo

+ Những SSNN có trị số tuyệt đối nhỏ thường xuất hiện nhiều hơn SSNN

có trị số tuyệt lớn

+ Những SSNN có dấu dương (+) và SSNN có dấu âm(-) thường xuất hiện với số lần và độ lớn ngang nhau khi số lần đo khá lớn

+ Trị trung bình cộng của SSNN sẽ tiến tới “0” khi số lần đo tăng lên vô hạn (2-2)

Trong sai số dùng dấu tổng Gauss [ ] thay dấu ∑

[ ] Δ = 0

→∝

n Limn

III CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ĐẠI LƯỢNG ĐO TRỰC TIẾP

Muốn biết độ chính xác của phép đo và độ tin cậy của giá trị cuối cùng ta dựa vào các tiêu chuẩn đánh giá sau đây:

III.1 Sai số trung bình

III.1.1 Sai số trung bình cộng là trị trung bình của trị tuyệt đối các sai

số thực trong dãy kết quả đo, nghĩa là :

(2-3) Trong đó: Δ i - là sai số thực ( i=1, 2, 3, , n)

θ - là sai số trung bình cộng

n - là số lần đo

III.1.2.Ví dụ

Có 2 tổ cùng đo một đại lượng, mỗi tổ đo 4 lần với các sai số thực của các lần đo như sau:

Tổ 1: Δ1 = -5; Δ2 = -3; Δ3 = +7; Δ4 = +1

Tổ 2: Δ1 = +5; Δ2 = -4; Δ3 = -3; Δ4 = +4 Hãy dùng sai số trung bình cộng để đánh giá xem tổ nào đo chính xác hơn?

So sánh thấy θ1 = θ2 như vậy 2 tổ đo có độ chính xác ngang nhau Nhưng thực tế ta thấy biến động sai số của tổ 1 lớn hơn (từ -5 đến +7)

Biến động sai số của tổ 2 nhỏ hơn (từ -4 đến +5) nên ta thấy sai số trung bình cộng chưa đánh giá được độ biến động của sai số thực

III.2 Sai số trung phương (do nhà Bác học Gauss đề xuất)

III.2.1 Sai số trung phương (SSTP) là căn bậc hai số trung bình cộng của tổng bình phương các sai số thực trong dãy đo, nghĩa là:

Trong đó: m - là sai số trung phương

n - là số lần đo

Δ i - là sai số thực ( i= 1, 2, 3, , n)

SSTP đại diện cho toàn thể các sai số chứ không đại diện cho sai số cá biệt nào

[ ]

n n

n Δ

= Δ + + Δ + Δ

θ

4 4

16 4

1 7 3 5

1 = − + − + + + + = =

4

16 4

4 3 4 5

2 = + + − + − + + = =

θ

[ ]

n n

2 2

2

1 + Δ + + Δ =± Δ Δ

=

III.2.2 Ví dụ

Cũng theo ví dụ trên dùng sai số trung phương để đánh giá ta có:

So sánh thấy m2 < m1 nghĩa là dùng SSTP để đánh giá thì tổ 2 đo chính xác hơn

Như vậy ta thấy dùng SSTP để đánh giá nó làm nổi bật những sai số có giá trị lớn, nên đánh giá độ chính xác bằng SSTP xác đáng hơn đánh giá độ chính xác bằng sai số trung bình cộng

III.3 Sai số giới hạn (SSGH)

Khi biết được sai số trung phương ta có thể biết được sai số giới hạn Δgiớihạn (còn gọi là hạn sai) lý thuyết sai số đã chứng minh được mối quan hệ này là: Δ giới hạn = 3m, nghĩa là lấy 3 lần sai số trung phương làm sai số giới hạn

Trong trắc địa, do yêu cầu độ chính xác cao người ta lấy sai số giới hạn bằng 3 lần SSTP, tức là:

Δ giới hạn = 2m (2-5)

Như vậy từ sai số gới hạn ta biết được khoảng xuất hiện các SSNN hoặc biết được SSGH ta xác định được SSTP từ đó xác định được điều kiện đo để đạt

độ chính xác cao theo yêu cầu

III.4 Sai số tuyệt đối, sai ssố tương đối

III.4.1 Sai số tuyệt đối

Các sai số trung bình cộng, sai số trung phương, sai số giới hạn còn gọi là sai số tuyệt đối ký hiệu là mx

III.4.2 Sai số tương đối

Tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị trung bình của đại lượng đo dưới dạng phân số có tử số là 1 gọi là sai số tương đối ký hiệu là:

(2-6)

Trong đó : mx - là sai số tuyệt đối

L - là trị trung bình cộng

T - là mẫu số của sai số tương đối làm tròn đến hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn nếu giá trị tương ứng của nó biểu thị trăm, nghìn, vạn

- Ví dụ: Độ dài đoạn thẳng tính được trung bình là L = 196m, với sai số trung

58 , 4 4

84

1 = ± = ±

4

66

2 = ± = ±

m

x

x

m L L

m

1

phương là mS = 0,25m, hãy tính sai số tương đối của đoạn thẳng đó ?

-

Khi so sánh, sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng cao

Chú ý: Vì sai số đo góc không phụ thuộc vào độ lớn của góc nên khi cần biểu

thị sai số đo góc dưới dạng sai số tương đối ta chia sai số do góc mβ cho ρ cùng loại:

IV CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO GIÁN TIẾP

Muốn đánh giá độ chính xác đại lượng đo gián tiếp, ta cần tìm sai số trung phương của hàm số các đại lượng đo trực tiếp

IV.1 Hàm có dạng Z = kx + c (2-7) Trong đó: Z - là hàm số ; k, c - là hằng số ; x - là đại lượng đo

Đại lượng đo x có sai số thực là Δx, khi đó hàm Z có sai số ΔZ, nghĩa là:

Z + ΔZ = k (x + Δx) + c = kx +c + kΔx (2-8) Suy ra ΔZ = kΔx (2-9) Nếu đại lượng x đo được n lần thì:

ΔZ1 = kΔx1

ΔZ2 = kΔx2 (2-10) …………

ΔZn = kΔxn

Bình phương hai vế của (2-10) rồi lấy tổng sẽ được:

[ΔZ2] = k2[Δ2x] (2-11) Chia hai vế của (2-11) cho n được:

(2-12)

Theo (2-4) có thể viết (2-12) ở dạng SSTP của hàm và biến:

m22 = K2m2x

hoặc mZ = K.mX (2-13)

Ví dụ: Bán kính vòng tròn được xác định với sai số ± 0,29mm Tìm SSTP

độ dài vòng tròn ?

S = 2πR = 2,3,14 R

mS = 2.3,14 mR = 2.3,14 0,29 = ± 1,82mm

IV.2 Hàm có dạng Z = k 1 x 1 ± k 2 x 2 ± … ± k n x n + c (2-14)

n

X k n

2

2 = Δ Δ

780

1 25 , 0 / 196

1 196

25 , 0

L

m T

'

'

;

"

"

ρ ρ

β

m

Trong đó: k i (i = 1,2,3,…n) ; c - là hằng số

x i (i = 1,2,3,4…n) - là đại lượng đo độc lập

Trước hết ta chứng minh công thức tính sai số trung phương của hàm có dạng:

Z = k1x1 ± k2x2 + c (2-15)

Các sai số của đại lượng x1, x2 là Δx1, Δx2 sẽ gây ra sai số của hàm nghĩa là:

Z + ΔZ = k1(x1 + Δx1) + k2(x2 + Δx2) + c (2-16)

Từ (2-15) và (2-16) ta rút ra:

ΔZ = k1 Δx1 + k2Δx2 (2-17)

Bình phương hai vế của (2-17) ta có:

ΔZ2 = k21 Δ2x1 + k22Δ2x2 + 2k1 Δx1.k2Δx2 (2-18)

Nếu đại lượng x1,x2 được đo n lần thì sẽ có n phương trình dạng (2-18)

Ta lấy tổng của phương trình đó rồi chia cho n sẽ được:

Theo tính chất 4 của SSNN thì thành phần thứ 3 của vế phải của phương trình (2-19) sẽ tiến tới 0, các thành phần còn lại của phương trình này sẽ là sai số trung phương của hàm các đại lượng đo x1, x2, nghĩa là:

m2Z = k21m2x1 + k22m2x2

hay

(2-20)

Công thức (2-20) của hàm 2 biến có thể mở rộng cho hàm n biến, SSTP hàm (2-14) là:

Khi đo cùng độ chính xác thì SSTP của các biến số bằng nhau và khi

k1= k2 =…= kn= 1 thì công thức (2-21) có dạng:

mZ = m n (2–22)

Ví dụ: Trong một đa giác có 12 góc, khi tiến hành đo góc cùng độ chính xác ta mắc phải sai số mỗi góc là: m1 = m2…= m12 = mβ = ± 30’’

Tính sai số trung phương khép góc của đa giác (fβ)

Theo lý thuyết thì :

n

X X k k n

X k n

X k n

2 1

2 2 2 2

2 1 2 1

2

+

Δ +

Δ

= Δ

2

2 2

2 1

2 1

2

x x

xn n x

1

2 1

2 + +

=

lt

1 12 2

1 + + + −∑

=

0 0

12

1 =180 ( −2) =1800

Vậy ta có: mfβ = mβ 12 = ±30’’. 12 = ± 1’44’’

2.4.3 Hàm có dạng tổng quát: Z = f (x 1 , x 2 ,…, x n ) (2-23)

Trong đó: Z - là hàm số

x1, x2,…, xn - là những đại lượng do độc lập

Khi các biến số có sai số Δx1, Δx2,…, Δxn thì hàm Z có sai số là:

Z + ΔZ = f(x1 + Δx1, x2 + Δx2,… xn + Δxn) (2-24) Các sai số thường rất nhỏ so với đại lượng đo, nên có thể triển khai theo chuỗi Taylơ vế bên phải của (2-24) và chỉ giới hạn ở các số hạng bậc nhất ta có:

Z + ΔZ = f(x1 , x2,… xn) + n

n

n X X

X X

X

f X X

f

Δ

∂

∂ + + Δ

∂

∂ + Δ

∂

∂

.

.

2

1 1

(2-25)

Từ (2-23) và (2-25) rút ra:

ΔZ = n

n

n X X

X X

X

f X X

∂

∂ + + Δ

∂

∂ + Δ

∂

∂

.

.

2

1 1

(2-26)

Các đạo hàm riêng là hằng số, ta ký hiệu là k1, k2,…,kn khi đó (2-26) viết lại là:

ΔZ = k1Δx1+ k2Δx2+,… knΔxn (2-27) Chuyển quan hệ sai số thực của (2-27) về quan hệ SSTP, sẽ được:

n

n

X

X X

X

f X X

f

∂

∂ + + Δ

∂

∂ + Δ

∂

∂

2

1 1

(2-28)

Ví dụ: Thửa ruộng hình chữ nhật đo cạnh a được 50m, SSTP tương ứng:

ma = ± 2cm, đo cạnh b được 100m có SSTP tương ứng mb = ± 5cm Tính SSTP diện tích tửa ruộng ?

S = a.b = →

∂

∂

=

∂

∂

b

S b a

S

b

S ma

a

S

∂

∂ +

∂

V TRỌNG SỐ CỦA KẾT QUẢ ĐO

V.1 Khái niệm về trọng số

Để đánh giá độ chính xác kết quả đo không cùng độ chính xác người ta đưa vào trong tính toán con số bổ trợ nói nên độ tin cậy của kết quả đo đạc, con số

đó là trọng số, ký hiệu là P Độ chính xác của kết quả đo càng cao thì trị số của trọng số càng lớn còn trị số của sai số trung phương càng nhỏ, sai số trung

x m k

x m k x m

n

2 2

2 2

2 1

2 1

=

Z

m

i i

m

C

i i

m

m

2

=

n

n i

i

m

m P m

m P m

m P m

m

2 2

2

2 2

2 2 1 2

2

1= , = , = , , =

, , 2 2

i

i

m

m

, 2 2

2 2

m

m

n

i n

m

m

2

=

, 1 2

2 1

m

m

1

2

2

=

=

i

i i

m

m P

i i

m

2

μ

=

phương có thể âm hoặc dương nhưng trọng số luôn là một số dương và thường không có đơn vị vật lý Với ý nghĩa như vậy người ta đưa ra định nghĩa trọng số

như sau

V.1.1 Định nghĩa

Trọng số là một số tỷ lệ nghịch với bình phương của sai số trung phương, nghĩa là: (2-29)

Trong đó: Pi - là trọng số của trị đo

mi - là sai số trung phương của trị đo đó

C - là hệ số bất kỳ gọi là hệ số trọng số

Hệ số trọng số C trong (2-29) có thể lấy bằng bình phương SSTP m của một trị số đo nào đó, khi đó P sẽ là :

(2-30)

hoặc ta có thể viết: (2-31)

Từ đây ta có thể nhận xét: Có thể thay tử số m2 bằng một trị số tuỳ ý thì tỷ

lệ giữa trọng số P1, P2,…,Pn vẫn không đổi, vì:

Không phụ thuộc vào trị số m

V.1.2 Trọng số đơn vị

Để so sánh độ chính xác, thường thay m bằng SSTP của một trị nào đó, ví

dụ lấy m = mi thì công thức (2-30) có dạng:

Trọng số: (2-32)

Gọi là trọng số đơn vị, và mi là sai số trung phương có trọng số đơn vị , để tổng quát thường ký hiệu sai số trung phương có trọng số đơn vị là μ

Vậy: (2-33)

trong đó: μ = C (2-33’) Tức là khi ta có hệ số trọng số C, ta có thể tính sai số trung phương đơn vị

2 1

2 2

2

1

m m

P P =

trọng số từ hệ số trọng số C trong công thức ( 2-33’)

V.2 Tính trọng số trong một số trường hợp cụ thể

Trong thực tế công tác ngoại nghiệp, người ta đã chứng minh được công thức tính trọng số đơn giản hơn:

Trong đó: C - là hằng số tự chọn

K - đại lượng đặc trưng cho điều kiện đo như: Số lần đo của các nhóm khi cùng đo một đại lượng (đo góc, đo chiều dài )

V.2.1 Trọng số trong đo cao hình học

Việc tính trọng số trong đo cao hình học có thể tính theo 1 trong 2 công thức sau:

hoặc

Trong đó: n - là số trạm máy trên một tuyến đo

S - chiều dài của một tuyến đo

V.2.2 Trọng số đo chiều dài bằng thước thép

Giả sử có một đoạn thẳng đo được chiều là Si, ta coi mỗi đơn vị chiều dài được đo với độ chính xác như nhau và cũng có SSTP là μ thì ta có SSTP đo chiều dài mỗi đoạn là: mi = μ Si

Nếu chọn trong số của mỗi đơn vị dài làm đơn vị trọng số của chiều dài mỗi đoạn:

Nếu chọn trọng số C đơn vị dài là đơn vị trọng số thì:

Vậy trong đo chiều dài trực tiếp bằng thước thép, trọng số của chiều dài đoạn thẳng sẽ tỷ lệ nghịch với chiều dài của chính nó

V.2.3 Xác định trọng số của góc định hướng của cạnh bất kỳ trong đường chuyền

Có một đường chuyền như

hình vẽ: αo là góc định hướng

cạnh đầu không có sai số

βi (i = 1,2,3,…,n) là các

K

C

S

C

P =

n

C

i i

i

S S

)

2

=

=

μ

μ

( 2-36)

i

S

C

( 2-35’)

β n α n

β 2

β 1

A

B

α 0

Hình 2-2

góc đo cùng độ chính xác có sai số trung phương là mβ”.

Góc định hướng cạnh thứ n tính theo công thức:

αn = α0+ β1+β2…+βn – n 180o

Theo hàm (1-14) thì :

mαn = mβ n

Nếu chọn trọng số của góc βi làm đơn vị thì trọng số góc định hướng canh n là:

Vậy trọng số của góc định hướng cạnh thứ n tỷ lệ nghịch với số góc tính chuyền phương vị từ cạnh đã biết đến cạnh đó

VI BÌNH SAI TRỰC TIẾP KẾT QUẢ ĐO CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG ĐO CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC

Nội dung của công tác bình sai trong trắc địa là giải quyết những mâu thuẫn phát sinh ra trong quá trình đo đạc để đảm bảo thoả mãn được những yêu cầu về một điều kiện hình học nào đó

Bình sai trực tiếp có nhiệm vụ tìm ra trị số gần đúng nhất cùng độ chính xác của nó và số hiệu chỉnh cho các trị đo trong trường hợp một đại lượng được đo nhiều lần

VI.1 Số trung bình cộng và tính chất của nó

Trong trường hợp chưa biết được giá trị thực của một đại lượng nào đó người

ta tiến hành đo n lần chính xác đại lượng đó và lại được n giá trị là l1, l2…ln trong trường hợp này lý thuyết sai số đo đạc đã chứng minh được trị số trung bình cộng tính từ kết quả đo là số đáng tin cậy nhất ký hiệu là L và được tính theo công thức

(2-39)

Ta có thể tính L theo cách thứ 2:

Nếu ta chọn một trị số lo gần đúng đối với các kết quả đo, ε là chênh lệch giữa các kết quả đo và Lo, ta có:

εi = li – lo → li = lo + εi

Với n lần đo thì : [l] = n.l0 +[ε]

Chia hai vế cho n được:

n n

m

m

)

2

=

=

β

β

n

l

n

l

l

l1+ 2+ + n =

=

[ ] [ ]

n

l n

+

= 0