312 CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VI.1. 1) 3 sin cos 2 x x− = 3 1 2 sin cos 2 2 2 sin sin cos cos cos 3 3 4 (cos cos sin sin ) cos 3 3 4 cos( ) cos 3 4 cos( ) cos 3 4 3 cos( ) cos 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 4 3 3 2 4 3 5 2 12 x x x x x x x x x x k x k x k x k x k x π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ + = − ⇔ + =  + = +  ⇔   + = − +    = − +  ⇔   = − − +   = + ⇔ = ( ) 13 2 12 k k π π   ∈   − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 5 13 2 , 2 ,( ). 12 12 x k x k k π π π π = + = − + ∈ ℤ 2) cos 2cos 2 1 x x + = 2 4cos cos 3 0 cos 1 3 cos 4 2 3 arccos( ) 2 ,( ) 4 3 arccos( ) 2 4 x x x x x k x k k x k π π π π ⇔ + − = = −   ⇔  =    = +   ⇔ = + ∈    = − +  ℤ 313 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 3 3 2 , arccos( ) 2 , arccos( ) 2 ,( ). 4 4 x k x k x k k π π π π = + = + = − + ∈ ℤ 3) 2 cos4 2cos 0 x x + = 2 2 1 cos2 2cos 2 1 2( ) 0 2 2cos 2 cos 2 0 cos 2 (2cos 2 1) 0 x x x x x x + ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = cos2 0 2cos2 1 0 x x =  ⇔  + =  2 2 1 2 cos2 cos 2 3 4 2 2 2 2 ,( ). 3 2 2 2 3 x k x x k x k k x k π π π π π π π π π  = +  ⇔   = − =    = +    ⇔ = + ∈    = − +   ℤ 4 2 ( ) 3 3 x k x k k x k π π π π π π  = +    ⇔ = + ∈    = − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 4 2 3 x k x k k π π π π = + = ± + ∈ ℤ 4) 2 2 2cos 4cos 3sin x x x + = 2 2 2 2cos 4cos 3(1 cos ) 0 5cos 4cos 3 0 2 19 cos 5 2 19 cos 5 x x x x x x x ⇔ + − − = ⇔ + − =  − + =   ⇔  − − =   2 19 cos 5 x − + ⇔ = (Vì phương trình 2 19 cos 5 x − − = vô nghiệm) 314 2 19 arccos( ) 2 5 ( ) 2 19 arccos( ) 2 5 x k k x k π π  − + = +   ⇔ ∈  − + = − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 19 arccos 2 ,( ). 5 x k k π   − + = ± + ∈       ℤ 5) cos sin 3sin 2 1 0 x x x − + − = Đặt cos sin 2 cos , 4 t x x x π   = − = +     điều kiện: 2. t ≤ 2 sin 2 1 . x t ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành 2 1 3 2 0 2 3 t t t t =   − − = ⇔  = −  2 cos( ) 1 4 2 2 cos( ) 4 3 x x π π  + =  ⇒   + = −   1 cos( ) 4 2 2 cos( ) 4 3 x x π π  + =   ⇔  + = −   2 4 4 2 4 4 2 arccos( ) 2 4 3 2 2 ,( ) 2 2 arccos( ) 2 3 4 x k x k x k x k x k k x k π π π π π π π π π π π π π  + = +    ⇔ + = − +    + = ± − +     =   ⇔ = − + ∈    = ± − − +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 2 , 2 , arccos( ) 2 ,( ). 2 3 4 x k x k x k k π π π π π = = − + = ± − − + ∈ ℤ 315 6) ( ) 2sin 2 3 3 sin cos 3 3 0 x x x − + + = ( ) ( ) 4sin cos 3 3 sin cos 3 3 0 1 x x x x⇔ − + + = Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = + = +     điều kiện: 2. t ≤ Khi đó 2 2 1 1 2sin cos sin cos . 2 t t x x x x − = + ⇒ = Phương trình (1) trở thành ( ) 2 2 1 3 3 3 3 0 t t − − + = 2 2 3 3 3 3 2 0 1 3 3 2 2 t t t t ⇔ − + − = =   ⇔ −  =   Chọn 1 2 sin 1 4 t x π   = ⇒ + =     1 2 sin sin 4 2 4 2 x π π   ⇔ + = = =     ( ) 2 2 4 4 , . 2 2 2 4 4 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π  = + = +    ⇔ ⇔ ∈   = +  + = − +    ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 ,( ). 2 x k x k k π π π = = + ∈ ℤ 7) sin 2 2 sin 1 2sin cos sin cos 1(1) 4 x x x x x x π   + − = ⇔ + − =     Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = − = −     điều kiện: 2. t ≤ Suy ra 2 1 2sin cos 1 sin2 t x x x = − = − 2 sin2 1 x t ⇒ = − Khi đó phương trình (1) trở thành ( ) 2 2 1 1 0 1 0 0 1 t t t t t t t t − + = ⇔ − = ⇔ − = =  ⇔  =  + Với t = 0. Ta có 316 2 sin 0 sin 0 ,( ). 4 4 4 4 x x x k x k k π π π π π π     − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = + ∈         ℤ + Với t = 1. Ta có ( ) 1 2 sin 1 sin 4 4 2 2 2 4 4 , . 2 2 2 4 4 x x x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π     − = ⇔ − =          − = +   = +  ⇔ ⇔ ∈    = + − = − +    ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , 2 , 2 ,( ). 4 2 x k x k x k k π π π π π π = + = + = + ∈ ℤ 8) ( ) 2 2 1 sin 2sin cos 2cos 1 2 x x x x+ − = Vì cos 0 x = không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của phương trình (1) cho 2 cos 0 x ≠ ta nhận được của phương trình ( ) 2 2 1 tan 2 tan 2 1 tan 2 x x x + − = + ( ) 2 tan 4 tan 5 0 tan 1 , 4 tan 5 arctan( 5) x x x x k k x x k π π π ⇔ + − =  = = +   ⇔ ⇔ ∈   = −  = − +  ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , arctan( 5) ,( ). 4 x k x k k π π π = + = − + ∈ ℤ 9) cos 2 cos sin (1) 1 sin 2 x x x x + = − Điều kiện: ( ) 1 sin 2 0 sin2 1 , 4 x x x k k π π − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Với điều kiện trên thì ( ) ( )( ) ( ) 2 2 cos 2 (1) cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = − + − ⇔ + = − + ⇔ + = − 317 ( ) 1 cos sin 1 0 cos sin cos sin 0 cos sin 1 x x x x x x x x   ⇔ + − =   −   + =  ⇔  − =  tan 1 2 cos 1 4 x x π = −   ⇔    + =       4 4 2 2 ,( ) 4 4 2 2 2 4 4 x k x k x k x k k x k x k π π π π π π π π π π π π π  = − +   = − +     ⇔ + = + ⇔ = ∈     = − +   + = − +    ℤ . (Thỏa điều kiện) Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , 2 , 2 ,( ). 4 2 x k x k x k k π π π π π = − + = = − + ∈ ℤ 10) 3 3 sin cos 1 sin cos x x x x − = + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 sin cos sin sin cos cos 1 sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + = + ⇔ − + = + ( ) ( ) 1 sin cos sin cos 1 0 x x x x ⇔ + − − = sin 2 1 2 sin 1 0 2 4 x x π       ⇔ + − − =             2 sin 1 0 4 sin 2 1 0 2 1 sin 4 2 sin 2 2 x x x x π π    − − =       ⇔  + =      − =    ⇔     = −  2 sin 4 2 x π   ⇔ − =     (Vì phương trình sin2 2 x = − vô nghiệm) 2 4 4 2 4 4 x k x k π π π π π π π  − = +  ⇔   − = − +   318 2 ,( ) 2 2 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈  = +  ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 ,( ). 2 x k x k k π π π π = + = + ∈ ℤ VI.2.1) 2 sin 3 2cos 1 x x = − 3 2 3sin 4sin 1 2sin x x x ⇔ − = − 3 2 4sin 2sin 3sin 1 0 x x x ⇔ − − + = ( ) ( ) 2 sin 1 4sin 2sin 1 0 x x x ⇔ − + − = 2 sin 1 4sin 2sin 1 0 sin 1 1 5 sin 4 1 5 sin 4 x x x x x x =  ⇔  + − =    =  − +  ⇔ =   − −  =   2 2 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 1 5 arcsin 2 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π   = +     − +  = +            − + ⇔ = − +           − −  = +            − −  = − +         Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 1 5 1 5 2 , arcsin 2 , arcsin 2 , . 2 4 4 x k x k x k k π π π π π     − ± − ± = + = + = − + ∈             ℤ 2) ( ) 2 1 tan sin cos (1) 1 tan x x x x + = + − 319 Điều kiện: cos 0 tan 1 x x ≠   ≠  ( ) 2 , . 4 x k k x k π π π π  ≠ +   ⇔ ∈   ≠ +   ℤ Với điều kiện trên thì ( ) 2 cos sin (1) sin cos cos sin x x x x x x + ⇔ = + − ( ) ( )( ) 2 cos sin cos sin cos sin 0 x x x x x x ⇔ + − − + = ( ) ( ) 2 2 cos sin 1 cos sin 0 x x x x ⇔ + − + = 2 cos sin 0 2sin 0 x x x + =  ⇔  =  2 sin 0 4 sin 0 x x π    + =    ⇔     =  sin 0 4 sin 0 x x π    + =    ⇔     =  ( ) , 4 4 x k x k k x k x k π π π π π π   + = = − +   ⇔ ⇔ ∈   = =   ℤ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 4 x k x k k π π π = − + = ∈ ℤ 3) 2 1 sin 2 1 tan 2 (1) cos 2 x x x − + = Điều kiện: ( ) cos 2 0 , . 4 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Với điều kiện trên thì 2 2 sin 2 1 sin 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 (1) 1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 x x x x x x x x x − + − ⇔ + = ⇔ = ( ) cos 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 x x x x ⇔ + = − 2 cos 2 cos2 sin 2 sin 2 1 0 x x x x ⇔ + + − = sin2 (cos2 1) (cos2 1)(cos2 1) 0 x x x x ⇔ + + − + = (cos2 1)(sin 2 cos 2 1) 0 x x x ⇔ + + − = cos2 1 0 cos2 sin2 1 0 x x x + =  ⇔  + − =  cos2 1 2 cos(2 ) 1 4 x x π = −   ⇔  − =  320 2 2 2 2 ,( ) 4 4 2 2 4 4 x k x k k x k π π π π π π π π   = +   ⇔ − = + ∈    − = − +  ℤ 2 ,( ) 4 x k x k k x k π π π π π  = +    ⇔ = + ∈   =    ℤ Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 2 x k x k k π π π = + = ∈ ℤ 4) ( ) tan 3 tan sin2 1 x x x − = Điều kiện: cos3 0 cos 0 x x ≠   ≠  ( ) 3 6 32 , . 6 3 2 2 k xx k k x k x k x k  ≠ +≠ +    ⇔ ⇔ ⇔ ≠ + ∈     ≠ + ≠ +     ℤ π ππ π π π π π π π Với điều kiện trên thì ( ) sin 2 1 sin 2 cos3 cos x x x x ⇔ = ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 cos3 cos sin 2 1 cos3 cos 0 sin 2 0 sin 2 0 1 cos3 cos 1 0 cos 4 cos 2 1 0 2 sin 2 0 sin 2 0 3 cos 2 1 cos 2 2cos 2 cos 2 3 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ = ⇔ − = =  =   ⇔ ⇔   − = + − =   =  =   ⇔ ⇔   = ∨ = − + − =   sin 2 0 cos2 1 x x =  ⇔  =  sin 2 0 . 2 k x x⇔ = ⇔ = π Đối chiếu với điều kiện thì nghiệm của phương trình đã cho là ( ) , . x k k π = ∈ ℤ 5) ( ) ( ) 2 sin sin 2 sin sin 2 sin 3 x x x x x − + = 2 2 2 sin sin 2 sin 3 x x x ⇔ − = 321 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6 2 2 2 x x x − − − ⇔ − = cos 2 cos4 cos 6 1 0 x x x ⇔ − + + − = 2 3 cos2 2cos 2 1 4cos 2 3cos2 1 0 x x x x ⇔ − + − + − − = 3 2 2cos 2 cos 2 2cos2 1 0 x x x ⇔ + − − = cos 2 1 cos2 1 1 cos2 2 x x x   =  ⇔ = −   = −   2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 x k x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π    =  =    ⇔ = + ⇔ = +     = ± +   = ± +   2 ,( ) 3 k x k x k π π π  =  ⇔ ∈   = ± +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là , ,( ). 2 3 k x x k k π π π = = ± + ∈ ℤ 6) 3 sin sin3 4cos 0 x x x + + = 3 2sin 2 cos 4cos 0 x x x ⇔ + = 2 4cos (sin cos ) 0 x x x ⇔ + = 2 4 2 cos cos( ) 0 4 x x π ⇔ − = cos 0 cos( ) 0 4 x x π =   ⇔  − =  2 4 2 x k x k π π π π π  = +  ⇔   − = +   2 ,( ) 3 4 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   ℤ Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 3 , ,( ). 2 4 x k x k k π π π π = + = + ∈ ℤ [...]...   ⇔ cos  3 x −  − 4 cos  x −  − 3 = 0 2 6   π π   ⇔ cos 3  x −  − 4cos  x −  − 3 = 0 6 6   π π   ⇔ 4 cos3  x −  − 7 cos  x −  − 3 = 0 6 6     π 7π   cos  x − 6  = −1  x = 6 + k 2π       1 5π π ⇔  cos  x −  = − ⇔  x = + k 2π , ( k ∈ ℤ )  6 2 6      π 3  x = − π + k 2π  cos  x −  =  2  6 2   Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm... cho là x = kπ , (k ∈ ℤ ) 2 6) 3 cos 4 x + sin 4 x − 2 cos 3x = 0 ⇔ 3 cos 4 x + sin 4 x = 2 cos 3x ⇔ 3 1 cos 4 x + sin 4 x = cos 3 x 2 2 ⇔ cos π 6 cos 4 x + sin π 6 sin 4 x = cos 3 x π  ⇔ cos  4 x −  = cos 3x 6  π π    4 x − 6 = 3 x + k 2π  x = 6 + k 2π ⇔ ⇔ ,(k ∈ ℤ)  4 x − π = −3x + k 2π  x = π + k 2π   6 42 7   Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 6 + k 2π , x = π 42 + k 2π... − cos 2 x.sin x(1) 6 Điều kiện: cos 3x ≠ 0 ⇔ x ≠ π 6 +k π 3 , ( k ∈ ℤ ) Khi đó phương trình (1) trở thành π sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = tan 3 x sin( x + ) 6 π ⇔ sin 3x = tan 3x sin( x + ) 6 ⇔ sin 3 x = sin 3 x π sin( x + ) cos 3x 6 1 π   ⇔ sin 3x 1 − sin( x + )  = 0 6   cos 3x sin 3 x = 0 ⇔ 1 − 1 sin( x + π ) = 0 6  cos 3x sin 3 x = 0 ⇔ cos 3 x − sin( x + π ) = 0 6  sin 3 x = 0 ⇔...    x = 6 + k 2π sin x = 2 1 ⇔ ⇔ sin x = ⇔  , ( k ∈ ℤ ) 1 5π 2 x = sin x = + k 2π    2 6  Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 6 + k 2π , x = 5π + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 6 π  sin 3x − 4 cos  x −  − 3 6  =0 7) sin 3 x − 1 Điều kiện: sin 3x ≠ 1 ⇔ 3 x ≠ π 2 + k 2π ⇔ x ≠ π 6 + k 2π , ( k ∈ ℤ ) (*) 3 Phương trình đã cho tương đương với π  sin 3x − 4 cos  x −  − 3 = 0 6  π π... x = 6 + k 2π  x = 12 + kπ 1 ⇔ sin 2 x = ⇔  ⇔ ,(k ∈ ℤ ) 2  2 x = 5π + k 2π  x = 5π + kπ   12 6   So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là x= 6) π 12 + kπ , x = 5π + kπ , (k ∈ ℤ) 12 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x = 0(1) 2 − 2sin x Điều kiện: π   x ≠ 4 + k 2π 2  2 − 2sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ⇔ ( k ∈ ℤ) 3π 2 x ≠ + k 2π   4 Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 2(cos 6 x + sin 6 x... 2 3 6) cos3 x sin x − sin 3 x cos x = 2 (1) 8 (1) ⇔ cos x sin x(cos 2 x − sin 2 x ) = 2 8 2 2 2 ⇔ sin 2 x cos 2 x = ⇔ sin 4 x = 8 4 2 π π π    x = 16 + k 2  4 x = 4 + k 2π ; (k ∈ ℤ) ⇔ ⇔  x = 3π + k π  4 x = 3π + k 2π   4 16 2   ⇔ cos x sin x cos 2 x = Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π 16 +k π 2 ;x = 3π π + k ; ( k ∈ Z ) 16 2 7) sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x(1)... 3 x = 0 ⇔ cos 3 x − sin( x + π ) = 0 6  sin 3 x = 0 ⇔ cos 3 x = sin( x + π ) 6  sin 3 x = 0 ⇔ sin( π − 3 x) = sin( x + π ) 2 6   3 x = kπ  π π , (k ∈ ℤ) ⇔  − 3 x = x + + k 2π 2 6   π − 3 x = π − ( x + π )  + k 2π  2 6     329 kπ  x = 3  π kπ ⇔ x = − , (k ∈ ℤ )  12 2   x = − π − kπ  6  So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là x = 3) cot x − 1 = cos... = 6 + k 2π  5π ⇔ x = + k 2π , (k ∈ ℤ)  6   x = − π + kπ   4 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = 11) π 6 + k 2π , x = 5π π + k 2π , x = − + kπ , (k ∈ ℤ) 6 4 3 cos 5 x − 2 sin 3x cos 2 x − sin x = 0(1) (1) ⇔ 3 cos 5 x − ( sin 5 x + sin x ) − sin x = 0 ⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x = 2sin x ⇔ 3 1 cos 5 x − sin 5 x = sin x 2 2 π  ⇔ sin  − 5 x  = sin x 3  π π π π    3 − 5 x = x + k 2π  6. .. 3   3 6 2    Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = ( π 18 − kπ π π ; x = − − k ,(k ∈ ℤ) 3 6 2 ) 12) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin 3 x (1) 3 1 3sin x − sin 3 x (1) ⇔ sin x + sin 3x + 3 cos 3x = 2 cos 4 x + 2 2 2 ⇔ sin 3x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x 1 3 ⇔ sin 3 x + cos 3 x = cos 4 x 2 2 π  ⇔ cos 4 x = cos  3 x −  6  334 π π    4 x = 3 x − 6 + k 2π  x = − 6 + k 2π... nghiệm của phương trình đã cho là x = kπ , x = ± 2π + k 2π , (k ∈ ℤ) 3 8) 13 − 18 tan x = 6 tan x − 3 6 tan x − 3 ≥ 0 ⇔ 2 13 − 18 tan x = (6 tan x − 3) 1   tan x ≥ ⇔ 2  18 tan 2 x − 9 tan x − 2 = 0  1   tan x ≥ 2  2 2  2 ⇔   tan x = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ ) 3 3 3   1   tan x = − 6  2 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ) 3 9) cos 4 x − sin . (1) 6 x x x x x x π = + − Điều kiện: ( ) cos3 0 , . 6 3 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Khi đó phương trình (1) trở thành sin 2 cos cos 2 sin tan3 sin( ) 6 x x x x x x π + = + sin 3 tan 3 sin( ) 6 x. 3 sin3 sin( ) cos3 6 x x x x π ⇔ = + 1 sin 3 1 sin( ) 0 cos3 6 x x x π   ⇔ − + =     sin 3 0 1 1 sin( ) 0 cos3 6 x x x π =   ⇔  − + =  sin 3 0 cos3 sin( ) 0 6 x x x π =   ⇔  −. x π =   ⇔  − + =  sin 3 0 cos3 sin( ) 6 x x x π =   ⇔  = +  sin 3 0 sin( 3 ) sin( ) 2 6 x x x π π =   ⇔  − = +  3 3 2 ,( ) 2 6 3 ( ) 2 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π π π   =   ⇔