Giải các phương trình sau
x+ x x+ π− x+π=
3
2 2 cos 2 sin 2 cos( ) 4 sin( ) 0
x+ x x+ π − x+π = ⇔
2 2 cos 2 sin 2 (cos cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0
⇔4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0⇔(sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0
Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : 2 hoÆc x=3 2
2
x k= π π +k π
KL: Họ nghiệm của hệ PT là:
4
x= − +π kπ
2
x k= π π +k π
s inx+cosx=0 (2)
4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)
4
x= − +π kπ
Với t =-1 ta tìm được nghiệm x là : 2 hoÆc x=3 2
2
x k= π π +k π
KL: Họ nghiệm của hệ PT là:
4
x= − +π kπ
2
x k= π π +k π
sin sinx os3 os 3
4
x+ c x c+ x=
2
2
pt ⇔ + c x + c x =
2
2
( ) ( )
os3 sin 3 sinx
6
os3 sin 3 sinx
6
π π
Giải (3) : Đặt s inx-cosx= 2 sin( ), §iÒu kiÖn t 2 (*)
4
sin 2x 1 t
⇒ = − , thay vào (2) được PT: t2-4t-5=0 ⇔ t =-1( t/m (*)) hoặc t =5(loại )
Trang 25
;
k
3)
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos
cos tan
2
ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về
cos 2x tan x 1 cos x (1 tan x) − = + − + ⇔ 2cos x cos x -1 0 − =
Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:
4) 2cos3x(2cos 2x 1) 1+ =
Nhận xét x k , k Z= π ∈ không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
2
2cos3x(3 4sin x) 1− = ⇔ 2cos3x(3sin x 4sin x) sin x− 3 =
⇔ 2cos3x sin 3x sin x= ⇔ sin 6x sin x=
= + π
= π − + π
2m x 5 2m x
π
=
= +
; m Z∈
5) : 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
Phương trình đã cho tương đương với :
2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x
0
⇔ + − ÷ + + − ÷=
cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x
− + = ⇔ = = α ⇔ = α + πk
• Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 Đặt t = sinx + cosx
với t∈ − 2; 2 Khi đó phương trình trở thành:
2
2
t 1
2
−
− = ⇔ − − = ⇔ = −
− = − ⇔ − = = β
Trang 36) 2sin 2x 4sin x 1 0.
6
π
− + + =
sin x 1
3
π
⇔ + ÷= −
5
6
π
⇔ = − + πk
7) sin3 x + cos3 x = cos 2 (2 cos x x − sin ) x KQ:
2
4 1 arctan
2
π π
π π
π
¢
8) sin 2 cosx( x+ −3) 2 3 osc 3x−3 3 os2c x+8( 3 cosx−sinx)−3 3 0=
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
) ( 4 cos
1 cos
3 tan 0
4 cos 3 cos
0 sin cos
3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos
3
(
2
2
loai x
x
x x
x
x x
x x
x x
Ζ
∈
=
+
=
k x
k x
, 2
3 π
π π
9) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Phương trình đã cho tương đương với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
(1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
=
− +
=
−
) ( 0 7 sin 2
cos
6
0 sin
1
VN x
x
x
π
π 2
2 k
x= +
10) 32 4 2sin 2
2 3 2(cotg 1) sin 2
cos
x
x x
x
+
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
4
sin 2 2(sin cos )
sin cos
tg tg
x
+
Ta cã : 2sin 2x 4sin x 1 0
6
π
− + + =
⇔ 3 sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0
⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0
⇔ sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0
⇔ sinx = 0 (1) hoÆc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2)
+ (1) ⇔ = πx k
+ (2) 3cosx 1sin x 1
Trang 43 1
tg
tg
x
= + π
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
x = + π k π
; k∈Z
11) sin 4 cos 4 4 2 sin ( ) 1
4
x+ x= x+π −
⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)
(cos sinx)(sin 2 os2 ) 2
x
c x
π π
= − +
Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm
KL: x =
π π
− +
12) 2cos 6x+2cos 4 - 3 cos 2x x=sin 2x+ 3
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
⇔
cos 0 os5x=cos(x- )
6
x
=
⇔
2
24 2
2
42 7
k x
k x
π π
π π
= +
⇔ = − +
= +
13) 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 22 0
2sinx - 3
x
=
Điều kiện: sinx 3
2
≠ và os 0
2
x
c ≠ và cosx ≠ 0
Biến đổi pt về: 4cos3x - 4 cos2x – cosx + 1 = 0
osx = 1
1 cosx =
2
c
⇔
±
14) 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
Phương trình đã cho tương đương với ( 3 sinx sin 2 )+ x + 3 cosx+ +(1 cos2 )x =0
( 3 sinx 2sinx.cos ) ( 3 cos+ x + x+2 os ) 0c x = ⇔ sinx( 3 2 cos ) cos ( 3 2cos ) 0+ x + x + x =
Trang 5⇔ ( 3 2cos )(sinx cos ) 0+ x + x = ⇔
3 cos
2 sinx cos
x
x
= −
= −
⇔
5 5
6 6
4
2 2
,
t anx 1
k Z
π π
π
π π
π
= ± +
= ± +
= − +
15) 4sin x.c 3x 4co s x.sin 3x 3 3c 4x 33 os + 3 + os =
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
1 Phương trình : 4sin x.cos3x 4co s x.sin 3x 3 3 cos4x 3 3 + 3 + =
4 (1 cos x)sin x.cos3x (1 sin x)cos x.sin 3x [ ] 3 3 cos4x 3
4 sin x.cos3x cos x.sin 3x) cos x sin x(cosx.cos3x sin x.sin 3x) [( ] 3 3 cos4x 3
4 sin 4x sin 2x.cos2x 3 3 cos4x 3 4 sin 4x sin 4x 3 3 co s4x 3 3sin 4x 3 3 cos4x 3
sin 4x 3 co s4x 1 sin 4x cos 4x sin(4x ) sin
π π
8 2
+ = + π + = + π = − + π = − +
π π
+ = + π + = + π = + π = +
16) : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2(2x+
4
π ) = 0
sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +
4
π )=0
⇔sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +
2
π )⇔sinx + sin4x = 1+ sin4x⇔sinx = 1
⇔x =
2
π
+ k2π, k∈Z
17) T×m x ∈ ( 0 ; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
− +
§K:
−
≠
≠
⇔
≠ +
≠
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2
sin
x
x x
x
x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
+
=
−
⇔
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
⇔
⇔ cos x − sin x = sin x ( 1 − sin 2 x )
⇔ (cos x − sin x )(sin x cos x − sin2x − 1 ) = 0
⇔ (cos x − sin x )(sin 2 x + cos 2 x − 3 ) = 0
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔tanx = 1 ( )
Trang 6( )
4 0
;
0 π ⇒ = ⇒ =
x
−
=
− +
2 4 cos 2 sin 2 cos sin
2
sin
2 cos 1 x sin 2
x cos x sin 2
x
sin
1
−π +
=
− +
⇔
0 1 2
x cos 2
x sin 2 2
x cos 2
x sin x sin 0 1 x sin 2
x cos 2
x
sin
x
⇔
=
⇔
0 1 2
x sin 2 2
x sin 2 1 2
x
sin
x
−
⇔
2
sin x 0
x k
x k x
2 2
=
= π
= π + π
= + π
Z
18) 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ 0 ;π].
Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x
4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx
2cos3x= 3 osx+sinx
c
+ osx=0 x=
2
c ⇔ π +kπ
+
6
2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )
6
6
k
π π π
= − +
12
24 2
k x
π π
π π
= − +
⇔
= +
π
19) cos cos2 ( 1) ( )
2 1 sin sin cos
x
−
= + +
ĐK: sinx+cosx≠0
Khi đó PT ⇔ −(1 sin2x) (cosx− =1) 2 1 sin( + x) (sinx+cosx)
⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x+sinx+sin cosx x) =0
⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x) (1 sin+ x) =0
x
x
= −
⇔ = − (thoả mãn điều kiện)
2 2
2
π π
π π
= − +
⇔
= +
(k m, ∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2
2
x= − +π k π
và x= +π m2π (k m, ∈Z)
Trang 720) 2 1
3 sin sin 2 tan
2
* Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠
2 k
π + π
PT đã cho ⇔ 3sin2x + sinxcosx - sinx
cos x = 0
* ⇔ sinx( 3sinx + cosx - 1
cos x) = 0 ⇔
sinx 0
1
osx
x c
=
* Sinx = 0 ⇔ x = kπ.
* 3sinx + cosx - 1
cos x = 0 ⇔ 3tanx + 1 - 12
cos x = 0
⇔ tan2x - 3tanx = 0 ⇔ t anx 0
t anx 3
=
=
x x 3
k k
π
π π
=
= +
Vậy PT có các họ nghiệm: x = kπ, x =
3 k
π + π
21) 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx
Pt⇔ 3sin2x(2cosx+1)=(cos3x−cosx)+(cos2x−1)−(2cosx+1)
) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2
(
2
sin
0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(
1
cos
2
6 2 sin(
2 2 cos 2
sin 3 0 1 sin 2
2
sin
⇔ x=−π +kπ
6
2 3 2
2 3
2 0
1
cos
k x
k x
+
−
=
+
=
⇔
=
+
π π
π π
Vậy phương trình có nghiệm: π 2π
3
2
k
3
2
k
x=− + và x=−π +kπ
6 (k∈Z) 22)
2
2 3 cos 2sin 3 cos sin 4 3
1
3 sin cos
+ ĐK:
• Với ĐK trên PT đã cho tương đương với
Trang 8Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của pt đã cho là
2 tan 2 cot 4 3 sinx.cos
c x
x
+) ÑK: sin4x≠0
cot 4x 4 cot 4x 3 0
cot 4 1
1 13
cot 4
2
x
x
=
=
24) tan 2 cos cos
4
x= x x−π
ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢)
PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx)
⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx)
⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x= +π4 kπ (k ∈ ¢) (Thoả mãn)
25) ( )
1 1
sin 4
4
13 sin
2 2 cos
3
2
2
2
−
=
−
−
−
−
x
x
π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± + π ∈¢
Phương trình đã cho tương đương với (2 3 cos 2x 1 cos 2x) 2cos 2x 1
2
π
sin 2x 3 cos 2x 0 tan 2x 3
⇔ = + π ⇔ = + ∈¢
Kết hợp với điều kiện ta có
2
5
3
π
= + π
∈
π
= + π
¢
26) 5sin 2 4 sin( 4 os4 ) 6
0 2cos 2 3
x
= +
c x+ ≠ ⇔ x≠ ± π +k π ⇔ ≠ ±x π +k k Zπ ∈
2
1
1 5sin 2 4 1 sin 2 6 0
2 2sin 5sin 2 2 0(2)
⇔ − − ÷+ =
( )
2
2
2
t loai
t t
= −
⇔ + + = ⇔ = −
( )
= − + = − +
Trang 927) 2sin2 x+2 3 sin cosx x+ =1 3 cos( x+ 3 sinx)
2
2
⇔ + − ữ= − ữ⇔ − ữ= − ữ
5
⇔ − ữ= ⇔ − = + ⇔ = +
28) 4 osc 4x−4 3 osc 3x c+ os2x+ 3 sin 2x+ =3 0
2
2 2
2
2
2
2
4cos 4 3 cos 3cos cos 2 3 sin cos 3sin 0
3
3
2 6 3
cos
2
6
3
x
vo no x
x
x x
π
2 , 6
l
π
29) 1 sin sin - cos sin2 2cos2
) 1 ( 2
4 cos 2 sin 2 cos sin
2
sin
−
=
−
2 cos 1 x sin 2
x cos x sin 2
x
sin
1
−π +
=
− +
⇔
0 1 2
x cos 2
x sin 2 2
x cos 2
x sin x sin 0 1 x sin 2
x cos 2
x
sin
x
⇔
=
⇔
0 1 2
x sin 2 2
x sin 2 1 2
x
sin
x
−
⇔
2
sin x 0
x k
x k x
2 2
=
= π
Z
x+ x+ π = + x− π + x+ π + x
TXĐ: Ă ; Trên đó PT đó cho tương đương với PT 6cosx+cos2x= +8 3si n 2x−9sinx+sin x2 (1)
Trang 10(1 sin )(6 cosx x 2sinx 7) 0
2
x= ⇔ = +x π k π k∈Â
PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 vô nghiệm vì 62 + 22 < 72 Vậy nghiệm của PT đã cho là
2
31) 8 sin( 6 x cos x+ 6 ) +3 3 sin 4x=3 3cos x2 −9sin 2x+11
(sin6 6 ) 1 3sin 22 (1)
4
x cos x+ = − x
Thay (1) vào phơng trình (*) ta có :
8 sin( 6 x cos x+ 6 ) +3 3 sin 4x =3 3cos x2 −9sin 2x+11
2
2 2
3
8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11
4
3 3 sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3
3 sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1
3 2 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin 2 1)
Giải (2) : 12 ( )
5 12
k Z
Π
= + Π
∈
Π
= + Π
; Giải (3) 4 ( )
7 12
k Z
Π
= + Π
∈
Kết luận :
32) sin2 1 sinx 1sin 2 osx
osx 2
c
+
ĐK: cosx ≠ 0 PT ⇔ (1 + sinx + cosx)sin2x = 0 nghiệm x = k π
33) : tan 3x−2 tan 4x+tan 5x=0với x∈(0; 2 )π
ĐK: cos3x≠0;cos4x≠0;cos5x≠0
Phương trỡnh cho
2
2
0 2sin 4 0
cos3 cos 4 cos5 cos3 cos 4 cos5 sin
x
x
x k
π
π π
Do x∈(0;2 )π nờn phương trỡnh cho cú nghiệm là
x=π x=π x= π x= π x= π
Trang 1134) 2sin2 x+2 3 sin cosx x+ =1 3 cos( x+ 3 sinx)
2
2
⇔ + − ÷= − ÷⇔ − ÷= − ÷
5
⇔ − ÷= ⇔ − = + ⇔ = +
35) sin2x−cos2x+3sinx+5cosx−4=0
+Phong tr×nh ⇔ 2sin2 x+3sinx−5+cosx(2sinx+5)=0
⇔ (sinx−1)(2sinx+5)+cosx(2sinx+5)=0
⇔ (2sinx+5)(sinx+cosx−1)=0
⇔
= +
−
=
1 cos sin
) ( 2
5 sin
x x
l x
⇔
2
1 ) 4
sin(x+ π = ⇔
+
= +
+
= +
π π π
π π π
2 4
3 4
2 4 4
k x
k x
(k∈Z)
+
=
=
π π
π
2 2
2
k x
k
x
+VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=kπ ; π 2π
2 k
x= +
−
=
Điều kiện:sinx.cosx≠0 và cotx≠1
Phơng trình tơng đơng
1
−
=
⇒cosx = 2
π π
± + Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2
π π
− +
4
cos
Phương trình tương đương với 1 cos 4 3 cos 4 4 cos2 1
π
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1 sin 4 cos 4 cos 2 cos 4 cos 2
π
12
36 3
k k
x
π π
π π
= +
= +
¢
Trang 1238) 2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin
x+ π + = +x x+ x+ + x
2 osx+c
os sin 2 3sinx+ sin
3c x= +3 x− 3 x ⇔6 osx+cosc 2x= +8 6sinx.cosx-9sinx+sin2x
2
6 osx(1-sinx)-(2sinc x 9sinx+7) 0
2
c
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
(2)
1 sinx=0 6cosx-2sinx+7=0
−
⇔
x 2 k2 ;(k Z)
π π
(p/t (2)vô nghiệm )
39) sin 2 x − 2 2(s inx+cosx)=5
Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2) ⇒sin2x = t2 - 1 ⇒ ( I )
⇔ t2−2 2t− = ⇔6 0 t= − 2)
+Giải được phương trình sinx + cosx = − 2 … ⇔ os( ) 1
4
c x−π = −
+ Lấy nghiệm Kết luận : 5 2
4
x= π +k π
( k∈Z) hoặc dưới dạng đúng khác 40) T×m x ∈ ( 0 ; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cot x - 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
− +
§K:
−
≠
≠
⇔
≠ +
≠
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
− +
+
=
−
⇔
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
− +
−
=
−
⇔
⇔ cos x − sin x = sin x ( 1 − sin 2 x )
⇔ (cos x − sin x )(sin x cos x − sin2x − 1 ) = 0
⇔ (cos x − sin x )(sin 2 x + cos 2 x − 3 ) = 0
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔tanx = 1 ( )
( )
4 0
;
0 π ⇒ = ⇒ = π
x
41) 3 (2cos 2 x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
2sin x 3 3 sin x cos x 0 2
3 sin x cos x 0
=
n
x ( 1) n , n
3
x k , k 6
π
= − + π ∈
¢
¢
42) cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
π
Trang 13( )
2
1 cos x cos3x 1 2 sin 2x 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
4 2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0 cos x cos x sinx cos2x 0
2 cos x 0
4
1 sinx cosx 0
sin x
4
π
π
= + π
=
π
−
1 2
2
4
x k2
5
π
= + π
43)
4
os 4
4 2
) tan( ) tan( ) tan( ) cot( ) 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2cos 4 os 4 1 0
+) Giải pt được cos24x = 1 ⇔cos8x = 1 ⇔
4
x k= π và cos24x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là ,
2
x k= π k Z∈
−
=
− +
2 4 cos 2 sin 2 cos sin
2
sin
x
x x
) 1 ( 2
4 cos 2 sin 2 cos sin
2 sin
−
=
−
2 cos 1 x sin 2
x cos x sin 2
x
sin
1
−π +
=
− +
⇔
0 1 2
x cos 2
x sin 2 2
x cos 2
x sin x sin 0 1 x sin 2
x cos 2
x
sin
x
⇔
=
⇔
0 1 2
x sin 2 2
x sin 2 1 2
x
sin
x
−
⇔
Trang 14sin x 0
x k
x k x
2 2
=
= π
Z
−
=
cos sin 2 sin tan cot 2 0
cot 1
x
≠
Từ (1) ta có: 1 2 cos( sin ) cos sin 2
2 sin
1
x
−
2sin cosx x 2 sinx
2
cos
2
2 4
π π
π π
= +
= − +
¢
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )
4
x= − +π k π k∈¢
2
sin cos
1 tan 2
cos 2
x
x
−
47) sinx+sin2 x+sin3x+sin4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4x
TXĐ: D =R
sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x
x cosx
x cosx x cosx
− =
4
x cosx− = ⇔ = +x π kπ k Z∈
+ Với 2 2(sin+ x cosx+ ) sin + x cosx=0, đặt t = sinx cosx+ (t∈ − 2; 2 )
được pt : t2 + 4t +3 = 0 1
3( )
t
t loai
= −
⇔ = −
t = -1
2
2 2
m Z
π π
= +
= − +
( ) 4
2 2
π π
π π
= + ∈
= − +
48) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx
Trang 15(2cosx-1)(sinx+cosx)=0
2cos 1 0 (1)
sin cos 0 (2)
1
4
x
π π
π π
⇔
− =
⇔ + =
⇔ = ⇔ = ± +
⇔ = − ⇔ = − + ∈
Vậy nghiệm cña phương trình lµ 2
3
x= ± +π k π
4
x= − +π kπ ∈
4 2 sin(
2 1 3 cos
cosx+ x= + x+π
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
®K:
−
≠
≠
⇔
≠ +
≠
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
− +
+
=
−
⇔
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
− +
−
=
−
⇔
⇔
0 ) 1 sin
cos )(sin sin
(cos x − x x x − 2x − =
⇔ (cos x − sin x )(sin 2 x + cos 2 x − 3 ) = 0
(cos )( 2 sin(2 ) 3) 0
4
x sinx x π
2 sin(2 ) 3( )
4
x sinx
x π voly
⇔
+ =
( )
4 0
;
0 π ⇒ = ⇒ = π
x
51) Tìm m để phương trình 2 sin( 4x+cos4x)+cos 4x+2sin 2x m− =0 có nghiệm trên 0;
2
π
Do đó ( )1 ⇔ −3sin 22 x+2sin 2x+ =3 m
Đặt t=sin 2x Ta có 0; 2 [ ]0; [ ]0;1
2
x∈ π⇒ x∈ π ⇒ ∈t
Suy ra f t( ) = −3t2+ + =2t 3 m t, ∈[ ]0;1
Ta có bảng biến thiên
⇔ cos x − sin x = sin x ( 1 − sin 2 x )
Trang 16Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0; 2
2 ⇔ ≤ ≤m 3
3 sin sin 2 tan
2
* Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠
2 k
π + π
PT đã cho ⇔ 3sin2x + sinxcosx - sinx
cos x = 0
* ⇔ sinx( 3sinx + cosx - 1
cos x) = 0 ⇔
sinx 0
1
osx
x c
=
* Sinx = 0 ⇔ x = kπ.
* 3sinx + cosx - 1
cos x = 0 ⇔ 3tanx + 1 - 12
cos x = 0
⇔ tan2x - 3tanx = 0 ⇔ t anx 0
t anx 3
=
=
x x 3
k k
π
π π
=
= +
Vậy PT có các họ nghiệm: x = kπ, x =
3 k
π + π
53) 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx
Pt⇔ 3sin2x(2cosx+1)=(cos3x−cosx)+(cos2x−1)−(2cosx+1)
) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2
(
2
sin
0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(
1
cos
2
1 ) 6 2 sin(
2 2 cos 2 sin 3 0 1 sin
2
2
sin
⇔ x=−π +kπ
6
2 3 2
2 3
2 0
1
cos
k x
k x
+
−
=
+
=
⇔
=
+
π π
π π
Vậy phương trình có nghiệm: π 2π
3
2
k
3
2
k
x=− + và x=−π +kπ
6 (k∈Z) 54) 2 cos 5 cos 3x x+sinx =cos8 x , (x ∈ R)
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x
⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 v sin 1
2
x= −
x= +π k π x= − +π k π x= π +k π k∈Z
55) cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0+ − − = (1)