GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨCNgười thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh
Trang 1GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ
Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh
Số điện thoại: 0987730790
Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano Sau đây tôi xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x4+ax3+bx2+cx+d=0
R
d
c
b
a, , , trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương trình đã cho thành nhân tử Và cách phân tích cụ thể như sau:
1 Phương trình dạng x 4 +ax 2 +bx+c=0 (*)
Cách giải chung: phân tích
4 2 2 2 2
n x p m x c bx ax
x
x4 2m p x 2 2pnx m 2 pn2
3 2
) 1 ( 2
2
m
b pn
a p
m
Từ (1) ta có: mp2a; từ (2) ta có n p b
2
thế vào (3) ta được :
) 4 ( 4
4
)
(
2
2 2
c p
b p a
p
Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4) Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức:
z 4 -24z-32=0 Giải:
Ta có: 4 2 2 2
32
z
z4 2m pz2 2pnzm2 pn2
Trang 2Đồng nhất hệ số ta có:
3 32
2 24
2
) 1 ( 0
2
2
m
pn p m
Để giải hệ (1), (2), (3) ta rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3)
Từ (1) ta có: m 2p; từ (2) ta có n12p thế vào (3) ta được :
) 4 ( 0 576 128
20 32
144 4
2 3
2
2
p p
p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3
Vậy phương trình đã cho trở thành:
0 8 2
0 4 2
0 8 2
4 2
0 3
4 2
2 2
2 2
2 2
2
z z
z z
z z
z z
z z
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :z1 5 , z 1i 7
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
0 5 18
4
z
Giải :
Ta có: 4 2 2 2 2
5 18
z
z4 2m pz2 2pnzm2 pn2
3 5
2 18
2
) 1 ( 5
2
2
m
pn p m
Từ (1) ta có: p2 5
m ; từ (2) ta có n9p thế vào (3) ta được :
) 4 ( 0 324 45
10 5
81 4
) 5
2
2
p p
p p
p
p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1
Vậy phương trình đã cho trở thành:
0 5 3
0 1 3
0 5 3
1 3
0 1
9 2
2 2
2 2
2 2
2
z z
z z
z z
z z
z z
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
Trang 32
11 3
, 2
13
z
2 Phương trình bậc 4 tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 a,b,c,dR
Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1
bằng cách đặt : zy a4, khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu
Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
0 220 16
24
4
Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành:
2 0 140 48
0 220
32
16
96 96 24
64 96 48
8 16 32 24
8
0 220 2 16 2 24 2
8
2
4
2 2
3 2
3
4
2 3
4
y
y
y
y y
y y
y y
y y
y
y y
y
y
Ta có : y4 48.y 140 y2 m2 p y n 2
y4 2m p y 2 2pny m 2 pn2
5
1 40
4 48
2
) 3 ( 0
2
2
m
pn p m
Từ (3) ta có: m 2p; từ (4) ta có n24p thế vào (5) ta được :
) 6 ( 0 576 4 560 140
576 4
3 2
2
p p
p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6
Vậy phương trình (6) trở thành:
0 10 2
0 14 2
0 10 2
14 2
0 6
4 2
2 2
2 2
2 2
2
y y
y y
y y
y y
y y
Phương trình (6) có 6 nghiệm là : y1 11 ,y 1i 13
Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là:
13 3
, 11
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
Trang 4Giải :
Đặt z=y-1 Khi đó phương trình trở thành :
* *
0 13 18 13
0 45
48
48
19 38 19
4 12 12
4 1 4 6 4
0 45 1 48 1 19 1
4
1
2
4
2 2
3 2
3
4
2 3
4
y y
y
y
y y
y y
y y
y y
y
y y
y
y
Ta có : y4 13.y2 18.y 13 y2 m2 p y n 2
y4 2m p y 2 2pny m 2 pn2
3 13
2 18
2
) 1 ( 13
2
2
m
pn p m
Từ (1) ta có:
2
13
p
m ; từ (2) ta có n 9p thế vào (3) ta được :
) 4 ( 0 324 117
26 13
81 4
) 13
2
2
p p
p p
p
p
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1
Vậy phương trình (4) trở thành:
0 3 2 3
0 3 2 3
0 3
2 3
3 2 3
0 1
9 2
2 2
2 2
2 2
2
i iy
y
i iy
y
i iy
y i iy
y
y y
Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z
Một số bài tập tương tự :
Giải các phương trình sau trên trường số phức :
a 4 6 2 4 14 0
z z
z
b 4 4 1 0
z
z
c 4 10 2 16 7 0
z
d 4 4 3 9 2 10 5 0
z
e 4 8 3 31 2 62 63 0
z