Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 tìm giá trị cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của f(x,y) trên hình tròn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 TÌM GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA FX,Y TRÊN HÌNH TRÒN NHÓM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

TÌM GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA F(X,Y) TRÊN HÌNH TRÒN

NHÓM L03_03

ĐỀ 4

Viết một code (tùy chọn ứng dụng/ phần mềm) cực trị và giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức f(x, y) trên hình tròn tâm I(a, b) và bán kính R (cho phép người dùng nhập f(x, y) và a, b, R) Vẽ phần mặt cong có hình chiếu là hình tròn nói trên, đánh dấu các điểm cao nhất và thấp nhất,

điểm cực trị, điểm yên ngựa.

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY CÔ

Mục lục

I LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ 4

1 Khái niệm cực trị của hàm số hai biến 4

2 Quy tắc tìm cực trị không điều kiện 4

3 Phương pháp nhân tử Lagrange ( Tìm cực trị có điều kiện ) 5

II LÝ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 6

1 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 6

2 Định nghĩa tập đóng, tập mở 6

3 Sự tồn tại của GTLN, GTNN của hàm f(x, y) 6

4 Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền đóng và bị chặn D 6 5 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 6

B ỨNG DỤNG MATLAB GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 8 I CODE VÀ VÍ DỤ PHẦN CỰC TRỊ 8

1 Code và giải thích code 8

2 Các ví dụ và hình ảnh minh họa 11

II CODE VÀ VÍ DỤ PHẦN GTLN-GTNN 17

1 Code và giải thích code 17

2 Các ví dụ và hình ảnh minh họa 21

3

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ

1 Khái niệm cực trị của hàm số hai biến

Xét hàm số w = f(x,y) xác định và liên tục trên miền

+Nếu∆f ( x0 ; y0 ) thay đổi dấu khi∆x , ∆y thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại M0

-Ví dụ:Bạn hãy xét xem hàm số z = x3+ y3có đạt cực trị tại M ( 0 ; 0 ) hay không?

Xét N (0 +∆x ; 0 + ∆y ) là 1 điểm trong lân cận của M ( 0 ; 0 ) Ta có:

∆f ( 0 ; 0 ) = f (∆x ; ∆y ) – f ( 0 ; 0) = (∆x)3+ (∆y)3

+ Với∆x > 0 , ∆y > 0 : ∆f ( 0 ; 0 ) > 0

+ Với∆x < 0, ∆y < 0 : ∆f ( 0 ; 0 ) < 0

Vậy∆f ( 0 ; 0 ) thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0

2 Quy tắc tìm cực trị không điều kiện

Tương tự, nếu xét hàm h(y) = f ( x0; y ) ta sẽ có: ∂ f∂y ( x0; y0) = 0

Điểm ( x0; y0 ) mà tại đó ∂ f∂x ( x0 ; y0) = ∂ f∂y ( x0; y0) = 0, được gọi là điểm dừng.

a Nếu B2 – AC < 0 và A > 0 ( hay C > 0 ) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b Nếu B2 – AC < 0 và A < 0 ( hay C < 0 ) thì f đạt cực đại tại M0

c Nếu B2 – AC > 0 thì f không đạt cực trị tại M0( Điểm yên ngựa )

d Nếu B2– AC = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa

3 Phương pháp nhân tử Lagrange ( Tìm cực trị có điều kiện )

Khi gặp một bài toán mà chúng ta gặp điều kiện của hàm f ( x ; y) với điều kiện ràng buộc làg( x ; y ) = 0 Để tìm cực trị của hàm này khi có điều kiện ràng buộc ta sẽ đi thiết lập hàmLagrange:

-Bước 1: Thiết lập hàm Lagrange L ( x ; y ) = f ( x ; y) + λ g ( x ; y ) với λ là 1 hằng số gọi

y( x ; y ) = 0g(x; y)= 0

+Nếu d2L( x0; y0;λ0) < 0 thì M là điểm cực đại của hàm f(x;y) với điều kiện g(x;y) = 0

+Tại các điểm ( x0 ; y0 ) ∈ (C) mà tại đó nếu không tồn tại Lx( x0 ; y0 ) hoặc Ly( x0 ; y0 ) thìphải xét riêng theo định nghĩa cực trị có điều kiện của hàm hai biến

5

II LÝ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

- Nếu f(x,y) ≥ f ( x0, y0 ), với mọi ( x , y ) ∈ Df thì f đạt giá trị lớn nhất (GTLN) tại (x0,y0)

- Nếu f(x,y) ≥ f ( x0, y0 ), với mọi ( x , y ) ∈ Df thì f đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) tại (x0,y0)

2 Định nghĩa tập đóng, tập mở

- Điểm biên của tập hợp D là điểm (a, b) sao cho mọi hình tròn với tâm (a, b) đều chứa nhữngđiểm thuộc D và những điểm không thuộc D

- Tập đóng trong mặt phẳng R2 là tập hợp chứa tất cả những điểm biên của nó

- Tập bị chặn trong mặt phẳng R2 là tập hợp được chứa trong một hình tròn nào đó

3 Sự tồn tại của GTLN, GTNN của hàm f(x, y)

Nếu hàm số z = f(x, y) liên tục trên miền đóng, bị chặn D ⊂ R2 thì f có GTLN, GTNN trên D

4 Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền đóng và bị chặn D

- Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D đóng và bị chặn Hàm f được gọi là đạt giá trị lớn nhất(GTLN) tại điểm M0(x0, y0) ∈ D nếu f(x, y) ≤ f(x0, y0), ∀ (x, y) ∈ D và fmax = f(x0, y0)

- Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D đóng và bị chặn Hàm f được gọi là đạt giá trị nhỏnhất (GTNN) tại điểm M0(x0, y0) ∈ D nếu f(x, y) ≥ f(x0, y0), ∀ (x, y) ∈ D và fmin= f(x0, y0)

5 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm f(x, y) trên miền đóng và

bị chặn D, ta thực hiện các bước sau:

-Bước 1: Tìm điểm dừng của f(x, y) trên miền mở D (bỏ phần biên)

Tính giá trị của hàm f(x, y) tại những điểm này

-Bước 2: Tìm các điểm nghi ngờ trên biên của D bằng cách tìm điểm dừng của hàm

Lagrange Tính giá trị của hàm f(x, y) tại những điểm này

+ Thiết lập hàm Lagrange L(x; y) = f(x; y) +λ g(x; y) với λ là 1 hằng số gọi là nhân tử

y ( x ; y ) +λ.g′

y( x ; y ) = 0g(x; y)= 0

Điểm P1(6, -8) không nằm bên trong miền D

Tìm điểm dừng trên biên của D, có nghĩa là cực trị có điều kiện x2+ y2 ≤25

B ỨNG DỤNG MATLAB GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

I CODE VÀ VÍ DỤ PHẦN CỰC TRỊ

1 Code và giải thích code

-Nhập hàm đa thức:

-Tìm các điểm dừng của hàm đa thức bằng cách giải đạo hàm cấp 1 theo x và theo y:

-Tạo tập lưu các cặp điểm dừng (x,y) Sau đó tính Delta ( D ) theo các giá trị A ,B ,C Với A làđạo hàm cấp 2 tại x, B là đạo hàm cấp 1 theo x và cấp 2 theo y, C là đạo hàm cấp 2 theo y củahàm đa thức:

-Xét điều kiện (x,y) là số thực và thuộc đường tròn đề cho (Không nằm trên biên), sau đóxét Delta lớn hay bé hơn 0 để xác định đó là điểm cực trị hay yên ngựa:

-Tìm các điểm cực trị ở rìa của mặt cong có hình chiếu là hình tròn theo phương pháp nhân tửLagrange:

-Kiểm tra xem có điểm yên ngựa,cực trị không và hiển thị kết quả trên command:

9

-Vẽ phần mặt cong của hàm đa thức:

-Đánh dấu điểm cực trị bằng chấm màu đỏ và yên ngựa bằng chấm màu xanh:

2 Các ví dụ và hình ảnh minh họa

VD1:Nhập hàm đa thức x4+ y4- 4xy + 1 với a = 0, b = 0, R = 4

-Kết quả:

11

-Các điểm yên ngựa:

-Các điểm cực trị:

13

VD2:Nhập hàm đa thức x2 + y3 + 12xy + 2024 với a = 2 , b = 3 , R = 4

-Kết quả:

-Các điểm yên ngựa:

15

-Các điểm cực trị:

-Tìm các điểm dừng của phần mặt cong trên biên:

-Tính giá trị z tại các điếm tìm được và so sánh để tìm ra giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất:

-Hiển thị kết quả trên command:

-Vẽ mặt cong của hàm đa thức theo điều kiện đã cho:

19

-Đánh dấu điểm có GTLN bằng màu đỏ, điểm có GTNN bằng màu xanh:

-Các điểm có GTLN:

-Các điểm có GTNN:

23

VD2:Nhập hàm đa thức 8x2+ 3y2 + 1 - (2x2+ y2+ 1)2với a = 0 , b = 0 , R = 1

-Kết quả:

-Các điểm đạt GTLN:

25

-Các điểm đạt GTNN:

C TỔNG KẾT

Bài Tập Lớn lần này đã đạt được một số thành công trong việc củng cố và áp dụng lý thuyết vềcực trị và min, max của hàm hai biến; cũng như ứng dụng phần mềm hỗ trợ MATLAB trongviệc giải quyết bài toán Tuy nhiên, vẫn còn một số hạn chế cần khắc phục, như hiểu biết sâuhơn về các khái niệm phức tạp, khả năng ứng dụng thực tế, và kỹ năng sử dụng thành thạocác công cụ hỗ trợ Các điểm này sẽ được cải thiện trong các bài tập hoặc nghiên cứu tiếp theo

để có được sự nắm bắt toàn diện hơn về chủ đề này

NGUỒN THAM KHẢO

-Giáo trình Giải tích 2 - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Matlab-trong-gi%E1%BA%A3i-tich

-https://www.scribd.com/doc/187313585/M%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-l%E1%BB%87nh https://www.studocu.com/vn/document/truong-thpt-phan-dinh-phung/toan-hoc-12/phuong-phap-nhan-tu-lagrange/77824754

-https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/cuc-tri-cua-ham-2-bien/

-https://www.slideshare.net/vanhaimta/cc-tr-hm-nhiu-binpdf

-https://hoc247.org/wp-content/data/su-dung-phuong-phap-nhan-tu-lagrange-de-giai-quyet-mot-so-bai-toan-cuc-tri.pdf

-https://www.studocu.com/vn/document/hoc-vien-tai-chinh/toan-cao-cap/tcc2-c12-hello/20975147

-https://nguyenvantien0405.wordpress.com/wp-content/uploads/2017/09/c3-sva.pdf

27