Báo cáo bài tiểu luận môn giải tích 1 Ứng dụng của tích phân xác Định trong tìm thể tích khối tròn xoay

Một trong những ứng dụng thực tế của tích phân xác định là trong việc tìm thểtích của các khối hình học, chẳng hạn như khối tròn xoay.. Khối tròn xoay được hình thành khi mộthình phẳng t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH 1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG TÌM THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

NHÓM AN01_02

TP HCM, 11 – 2024

MỨC ĐỘ ĐÓNG GÓP

Nhận xét của GVHD

Mục lục

1.1 Tính diện tích hình phẳng bằng tổng Riemann 7

1.2 Sai số của tổng Riemann 7

1.3 Tính thể tích khối tròn xoay bằng tổng Riemann 8

1.3.1 Khối tròn xoay tạo bởi f(y) quay quanh trục Oy (Disc Method) 8

1.3.2 Khối tròn xoay tạo bởi f(y) quay quanh trục Ox (Shell Method) 8

1.3.3 Khối giới hạn bởi f (y) − g(y) 8

2 Dựng hình vật thể quay quanh trục Oy 8 2.1 Thông số của vật thể 8

2.2 Đoạn code trên Python để dựng chiếc cốc quanh trục Oy 9

3 Tính thể tích của khối tròn xoay dùng tổng Riemann - Chương trình Python 10 3.1 Tính thể tích khối tròn xoay với f (y) có sẵn 10

3.1.1 Bài toán 1 10

3.1.1.a Code Python cho bài toán 10

3.1.1.b Kết quả đoạn code 13

3.1.1.c Sai số của tổng Riemann với tích phân: 14

3.1.2 Bài toán 2 15

3.1.2.a Code Python cho bài toán 15

3.1.2.b Kết quả đoạn code 18

3.1.2.c Sai số của tổng Riemann và tích phân 19

3.2 Tính thể tích khối tròn xoay với bảng số liệu 20

3.2.1 Tính thể tích cái chén bằng tổng Riemann 20

3.2.1.a Bảng số liệu đo thực từ cái chén 20

3.2.1.b Đoạn code chương trình tính thể tích cái chén bằng tổng Riemann trung tâm 20

3.2.2 Tính thể tích bong bóng bằng tổng Riemann 21

3.2.2.a Bảng số liệu đo thực từ bong bóng 21

3.2.2.b Đoạn code tính thể tích bong bóng bằng tổng Riemann trung tâm 22 4 Kết luận 23 4.1 Đánh giá kết quả 23

4.2 Đánh giá nhóm 23

5 Tài liệu tham khảo 23 Danh sách hình vẽ 1 Hình 3D chiếc cốc quay quanh trục Oy 10

2 Đồ thị biểu diễn sai số của tổng Riemann ( f(y) ) 14

4 f(y) biểu diễn trên đồ thị Oxy 14

5 Đồ thị biểu diễn sai số của tổng Riemann ( f(y) - g(y) ) 19

7 Hình ảnh cái chén thực tế 20

8 Kết quả thể tích cái chén 21

9 Hình ảnh bong bóng thực tế 21

10 Kết quả của thể tích bong bóng 22

Danh sách bảng 1 Bảng số liệu cái chén 20

2 Bảng số liệu f(y) của bong bóng 22

Giới thiệu đề tàiTích phân xác định là một công cụ quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các bài toán liênquan đến hình học Một trong những ứng dụng thực tế của tích phân xác định là trong việc tìm thểtích của các khối hình học, chẳng hạn như khối tròn xoay Khối tròn xoay được hình thành khi mộthình phẳng (thường là một đường cong) quay quanh một trục cố định, tạo thành một thể tích ba chiều.Trong trường hợp này, tích phân xác định giúp chúng ta tính toán chính xác thể tích của khối tròn xoay.Lịch sử của tích phân xác định gắn liền với sự phát triển của giải tích trong thế kỷ 17 Một trongnhững người đầu tiên nghiên cứu và áp dụng phương pháp tích phân là Isaac Newton và GottfriedWilhelm Leibniz, hai nhà toán học nổi tiếng người Anh và Đức Họ đã phát triển lý thuyết về đạo hàm

và tích phân, giúp tạo nền tảng cho việc tính toán thể tích của các khối hình học Đặc biệt, việc tínhthể tích của các khối tròn xoay được cải tiến qua việc sử dụng công thức tích phân, cho phép tính toánchính xác thể tích của các vật thể mà trước đó rất khó xác định

Mặc dù phương pháp tính thể tích khối tròn xoay đã có từ lâu, nhưng ứng dụng của tích phân xácđịnh trong việc tính toán thể tích này trở nên quan trọng và phổ biến hơn trong thời kỳ hiện đại, đặcbiệt trong các ngành kỹ thuật, vật lý và khoa học ứng dụng Việc tính thể tích của khối tròn xoay khôngchỉ mang lại hiểu biết về các ứng dụng trong toán học, mà còn có ý nghĩa lớn trong các lĩnh vực khác,nơi mà việc tính toán thể tích của các vật thể là một yêu cầu thường xuyên

Mục đích của đề tài này là tìm hiểu và áp dụng tích phân xác định bằng việc phân hoạch trên trục

Oy để tìm thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox và Oy

af (y) dy.

Dựa vào cách chọn ξimà ta có thể chia tổng Riemann ra làm 3 dạng chính:

• Tổng Riemann trái khi ξi= yi−1

• Tổng Riemann giữa khi ξi= yi−1+ yi

• Tổng Riemann phải khi ξi= yi

Trong đó, tổng Riemann giữa (Tổng Riemann trung tâm) là phương pháp tính chính xác nhất giá trịcủa tích phânRb

a f (y) dy trong 3 phương pháp trên Nếu ta chọn các đoạn phân hoạch ∆y có độ dài bằngnhau và bằng b − a

n thì tổng Riemann trung tâm trên miền [a, b] được xác định là:

i=1f (yi)∆yi và tổng Riemann trái

làPn

i=1f (yi−1)∆yi

1.2 Sai số của tổng Riemann.

Với M1 và M2lần lượt là giá trị lớn nhất của f′(y) và f′′(y) trên [a, b], ta xác định được sai số của tổngRiemann trái, phải và trung tâm:

• Sai số của tổng Riemann trái:

Z b a

1.3 Tính thể tích khối tròn xoay bằng tổng Riemann.

1.3.1 Khối tròn xoay tạo bởi f(y) quay quanh trục Oy (Disc Method)

Cho một hình phẳng được xác định bởi hàm số f(y) và trục Oy, khi quay hình phẳng này quanh trục Oy,

ta được một khối tròn xoay Để tìm thể tích của khối này, tương tự với tính tổng Riemann trung tâm, tachia khối này ra làm nhiều "lát" Mỗi lát, hay mặt cắt này có bán kính là f (yi) và độ dày ∆y Thể tíchcủa mỗi mặt cắt mỏng i này là Si = π.[f (y)]2.∆y Thể tích của khối tròn xoay giới hạn trên miền [a, b]chính là tổng thể tích của các lát mỏng này:

[f (y)]2dy khi n → ∞

1.3.2 Khối tròn xoay tạo bởi f(y) quay quanh trục Ox (Shell Method)

Trong trường hợp ta xoay hình phẳng giới hạn bởi f (y) và Oy quanh trục Ox, lúc này thể tích của khốitròn xoay chính là tổng thể tích của các hình trụ rỗng với bán kính yi, độ dày ∆y và độ cao f (yi):

|y.f (y)|.dy khi n → ∞

1.3.3 Khối giới hạn bởi f (y) − g(y)

Cho hai hàm số f (y) và g(y), hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số giới hạn trong miền [a, b] khi xoayquanh trục Oy sẽ có thể tích là:

|[f (y)2− g(y)2]|dy khi n → ∞

Tương tự khi yoay hình phẳng giới hạn bởi f (y) và Oy quanh trục Ox, ta xác định được khối tạo bởi

f (y) − g(y) xoay quanh Ox:

||y.f (y)| − |y.g(y)||.dy khi n → ∞

2.1 Thông số của vật thể

Vật thể được chọn để dựng là chiếc cốc với các thông số sau:

• Cốc cao 10cm, chia làm 2 phần miệng to và miệng nhỏ

• Miệng nhỏ nằm ở đáy cốc, bán kính 3cm, cao 3cm

• Miệng lớn có bán kính 4.2cm, cao 4cm tính từ miệng cốc xuống

• Nối giữa 2 miệng to và nhỏ là một hình nón cụt

2.2 Đoạn code trên Python để dựng chiếc cốc quanh trục Oy.

Kết quả đoạn code dựng chiếc cốc quanh trục Oy :

Hình 1: Hình 3D chiếc cốc quay quanh trục Oy

trình Python.

3.1 Tính thể tích khối tròn xoay với f (y) có sẵn.

3.1.1 Bài toán 1

Bài toán: Tính thể tích giới hạn bởi x = f (y) = 0.25(y3− 7y2− 10y + 16) và x = 0 quay quanh trục Ox

và Oy trên đoạn y ∈ [1, 8], sử dụng tổng Riemann trung tâm và trái

3.1.1.a Code Python cho bài toán

3.1.1.b Kết quả đoạn code

Kết quả phép tính tổng Riemann trái và trung tâm của x = f (y) = 0.25(y3− 7y2− 10y + 16)

và x = 0 quay quanh trục Ox và Oy:

3.1.1.c Sai số của tổng Riemann với tích phân:

Từ đồ thị có thể thấy, với càng nhiều phân hoạch n trên trục Oy thì giá trị của sai số càng bé Khi

n → ∞ thì giá trị của tổng Riemann sẽ bằng giá trị của phép tích phân Tổng Riemann trung tâm sẽluôn có sai số ít hơn so với tổng Riemann trái

Hình 2: Đồ thị biểu diễn sai số của tổng Riemann ( f(y) )

Dựng hình giới hạn bởi x = f (y) = 0.25(y3− 7y2− 10y + 16) và x = 0 quay quanh trục Ox vàOy: (trên miền y ∈ [1, 8])

(a) f (y) xoay quanh trục Oy (b) f (y) xoay quanh trục Ox

Hình 4: f(y) biểu diễn trên đồ thị Oxy

3.1.2.b Kết quả đoạn code

và x = g(y) = 7y − 56 quay quanh trục Ox và Oy: (trên miền y ∈ [5, 8]):

3.1.2.c Sai số của tổng Riemann và tích phân.

Cũng giống với trường hợp ở 3.1.1, sai số của tổng Riemann trái (hoặc phải) sẽ luôn cao hơn trung tâm,

và phép tính tổng Riemann sẽ càng chính xác khi độ phân hoạch càng cao

Hình 5: Đồ thị biểu diễn sai số của tổng Riemann ( f(y) - g(y) )

Dựng hình giới hạn bởi x = f (y) = 0.25(y3− 7y2− 10y + 16) và x = g(y) = 7y − 56 quay quanhtrục Ox và Oy: (trên miền y ∈ [5, 8])

(a) f (y) - g(y) quay quanh Oy (b) f (y) - g(y) quay quanh Ox

(c) f (y) và g(y) trên đồ thị Oxy

3.2 Tính thể tích khối tròn xoay với bảng số liệu.

3.15 7.01 7.453.3 7.09 7.533.45 7.17 7.603.6 7.26 7.673.75 7.34 7.743.9 7.42 7.814.05 7.51 7.87

4.2 7.60 7.944.35 7.69 8.014.5 7.78 8.084.65 7.87 8.154.8 7.96 8.224.95 8.06 8.295.1 8.15 8.365.25 8.25 8.435.4 8.34 8.505.55 8.44 8.575.7 8.54 8.635.85 8.64 8.69

Bảng 1: Bảng số liệu cái chén

Hình 7: Hình ảnh cái chén thực tế

3.2.1.b Đoạn code chương trình tính thể tích cái chén bằng tổng Riemann trung tâm

Số liệu được nhập từ file csv - Bảng 1

3.2.2.a Bảng số liệu đo thực từ bong bóng.

Từ việc đo đạc thực tế kích thước của 1 quả bong bóng (với vành dày không đáng kể), ta thu được bảng

số liệu:

Hình 9: Hình ảnh bong bóng thực tế

y f(y)

0.2 0.650.4 0.920.6 1.160.8 1.38

1 1.581.2 1.741.4 1.91.6 2.061.8 2.18

2 2.322.2 2.4352.4 2.523

2.6 2.6132.8 2.693

3 2.783.2 2.833.4 2.893.6 2.943.8 2.97

4 2.984.2 2.995

6 2.646.2 2.526.4 2.36.6 2.26.8 2.2

7 1.787.2 1.487.4 1.06

Bảng 2: Bảng số liệu f(y) của bong bóng

3.2.2.b Đoạn code tính thể tích bong bóng bằng tổng Riemann trung tâm

Đoạn code hoàn toàn giống với trường hợp 3.2.1.b, nhưng sử dụng bảng số liệu của bong bóng

Kết quả:

Hình 10: Kết quả của thể tích bong bóng

Vậy thể tích của quả bong bóng là 137.04 ml

4 Kết luận

4.1 Đánh giá kết quả.

Nhìn chung, nhóm đã hoàn thành đúng với yêu cầu của đề tài trong việc nêu cơ sở lý thuyết của cáccông thức tính thể tích bằng tổng Riemann, dựng hình 3D quanh trục Oy và tính thể tích các hình vớihàm có sẵn và qua bảng số liệu

Đoạn code Python ở mục 2 đã dựng được hình ảnh của chiếc cốc đúng như mong đợi Mô hình 3Dcủa chiếc cốc đúng với kích thước và trục quay được chọn Ở mục 3, các chương trình Python đã tínhđược chính xác thể tích của các hình phẳng giới hạn bởi f (y), f (y) và g(y) quay quanh trục Ox, Oy trong

cả hai trưởng hơp có sẵn hàm và bảng số liệu

4.2 Đánh giá nhóm.

Qua quá trình tìm ứng dụng các phương pháp tích phân xác định, đặc biệt là qua phân hoạch trên trục

Oy, đã giúp nhóm có cái nhìn rõ ràng hơn về cách tính thể tích của các vật thể tròn xoay quanh cáctrục Ox và Oy Khi tìm hiểu công thức tổng Riemann, nhóm đã nhận thấy cách thức các tổng số học cóthể giúp mô phỏng chính xác diện tích dưới đồ thị, từ đó có thể tính toán được thể tích của những vậtthể phức tạp trong không gian 3 chiều khi quay quanh các trục Bên cạnh đó, nhóm cũng hiểu được bảnchất hơn của tích phân và tổng Riemann

Ngoài ra, nhóm còn học được cách dựng hình 3D và đồ thị trong Python, mang lại một công cụ hữuích để không chỉ mô phỏng mà còn trực quan hóa các vấn đề toán học Kỹ năng lập trình của các thànhviên nhóm cũng được trao dồi vì đề tài tạo cơ hội để các thành viên tự học code Python

Tóm lại, qua báo cáo này, nhóm không chỉ kết hợp được lý thuyết tích phân với thực hành lập trình

mà còn hiểu sâu hơn về cách thức hoạt động của tổng Riemann và các ứng dụng của nó trong việc tínhthể tích của các vật thể tròn xoay

[3] Gilbert Strang, Calculus, MIT, 2021

[4] Daniel Anderson, Complete Solutions Manual for Single Variable Calculus, Sixth Edition, ThomsonBrooks/Cole, 2008, Belmont, CA

[5] Rochester Institute of Technology, Lecture Note ’Volumes by Integration’, Truy cập ngày 28 tháng 11,2024