Khóa luận tốt nghiệp Giáo dục tiểu học: Tính chất số học của vành đa thức và ứng dụng

Tập các đa thức một ấn trên một trường số - ở đây kí hiệu là trường số , hoặc _ với phép toán cộng vả nhân đa thức lả một vanh Euclide.. Khóa luận nảy của chúng tôi khảo sát một số tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÁNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

sobLica

TÍNH CHAT SO HQC CUA VANH ĐA THUC VA

UNG DUNG Khóa luận tốt nghiệp

GVHD : PGS.TS Đậu Thế Cấp

SVTH : Ngô Thùy Trinh Khóa : 2001 - 2005

Thành phố Hồ Chí Minh — 2005

LOI NÓI DAU

Trong các biểu thức sơ cấp, đa thức có một vai trò đặc biệt quan

trọng Tập các đa thức một ấn trên một trường số - (ở đây kí hiệu

là trường số , hoặc _) với phép toán cộng vả nhân đa thức lả một

vanh Euclide Do đó vành đa thức cũng có những khái niệm, tinh

chất tương tự như đối với vành số nguyên Dĩ nhiên các khái niệmtrên vành đa thức thì tông quát hơn và có những ứng dụng đặc thù

của chúng.

Khóa luận nảy của chúng tôi khảo sát một số tính chất số học của

vành da thức, bao gồm lí thuyết chia hết trong vành đa thức và đa

thức bất khả quy Ngoài ra, khỏa luận cũng chú ý đến việc vận dụngcác lí thuyết đưa ra đẻ giải toán

Khóa luận có ba chương:

Chương I: Vành đa thức một ân

Chương II: Lí thuyết chia hết trong vành đa thức

Chương III: Da thức bắt khả quy

Do thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế nên khóa luận nảy

không trảnh khỏi những thiếu sót, rat mong được ý kiến nhận xét,đóng góp của quý thầy cô vả các bạn

Trong quá trình làm khóa luận, tôi có tham khảo một số tài liệu,

xin chân thành cảm ơn các tác giả Tôi xin chân thành cảm ơn Phó

Giáo sư Tién sĩ Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, xin chân thành

cam ơn Ban chi nhiệm Khoa đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện và

hoản thành khóa luận nảy.

Sinh viên thực hiện

Ngô Thùy Trinh

Khóa luận tốt nghiệ GVHD: PGS TS Đậu Thể C

Chương |

VANH ĐA THỨC MỘT AN

Ll ĐA THỨC

Đa thức một an x là biểu thức toán học lập nên từ ấn số x và các

số (thuộc trường ˆ) trong đỏ chí có các phép cộng vả nhân.

Phép nâng lên lũy thừa nguyên dương được xem như trường hợp

đặc biệt của phép nhãn: phép chia cho một số khác không của

được xem như phép nhân với số nghịch đảo của nó.

Từ định nghĩa ta có tong vủ tích của các đa thức cũng là đa thức.

Tập các da thức của an x trẻn trưởng số 'ˆ kí hiệu là '“[x]

không phải là đa thức.

Hai đa thức f(x) và g(x) được gọi 1a hằng đẳng (bằng nhau) nếu

giá trị của chúng tại mọi x € ˆ bảng nhau, kí hiệu f(x) = g(x).

Đa thức f(x) gọi là đa thức không nếu với mọi e € |, f{c) = 0, kí

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thể Cap

gọi là dang chính tắc lùi của đa thức, trong đó các số ap, a), a, €

gọi là các hệ số (hay hệ tử) của f{x), riêng ap trong (1) và a, trong

(2) còn được gọi là số hạng tự do (hệ số tự do)

Nếu quy ước x” = | thì ta có thẻ viết (1) va (2) gọn lại là

fix) = X, : {x)= Yas”

Nếu tat cả các hệ số ap, ay, , a, € 7 thì da thức

f(x) = ay + aIX + +a,x"

gọi là da thức hệ số nguyên, kí hiệu f(x) € “ [x]

Định lí 1 Nếu một đa thức viết dưới dạng chính tắc (tiến hoặc lùi)

bang không với mọi giá tri của ân số lay trên trường số 'ˆ thì tat cả

các hệ số của nó đều phải bằng không

f[2Xo) = ag + ai(2Xọ) + + a-4(2Xo)*"! + ay(2X0)*

= a + 2ajXo + + 2 la, xe"! + 2®*a, xg* = 0

SVTH: Ngô Thủy Trinh Trang 2

Khoa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

Vi g(x) có n =k - 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

(2Ì — 1)ag = (2*~ 2)a; = = (2* — 2 Jag = (2*—~ 2! =0

nhưng 2* - 2Í > 0 với / = 0, 1, k —1, cho nên

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thể Cap

Hệ quả 2 Mọi đa thức đều chi có một dạng chính tắc tiến và một

f(x) + g(x) = (ao + bạ) + (ay + by)x + +(â, + bạ)X”

f(x) — g(x) = (ao — bạ) + (ay — bị)X + #(Aạ — bạ)X”

2 Phép nhân

Cho hai đa thức thuộc |!’ [x].

f(x) = ap + aiX + + a,x”

e(x) = by + bịx + + b„x”

Thực hiện phép tính f{x).g(x) rồi sắp xếp lại, ta được tích

f{x)g(X) = aoby + (ayb; + aybo)x + (agb; + a¡bị + a;bạ)x”

+ Hebe

hay viết gọn lại là

aw fix)g(x) = Ð3_c,x'

trong d6Q,= 3`zb,,k=0.1 n+m| al ed

joey

SVTH: Ngô Thay Trinh Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

3 Vành đa thức

Từ định nghĩa phép toán của đa thức, ta thấy rằng - [x] với phép

toán cộng và nhân đa thức là một vành, gọi là vành đa thức của ân x

Định lí 2 Cho các đa thức f(x), g(x) € ' [x] Khi đó

1) deg(f(x)g(x)) = degfix) + degg(x)

2) deg(f(x) + g(x)) < max (degf{x), degg(x))

Nếu degf(x) # degg(x) thi deg(f(x) + g(x) = max(degftx),đege(x)).

Nhân xét: Từ định lí 2 suy ra: với mọi f(x), g(x) € ' '{x]

f(x)g(x) =0 <> f{x)= 0 hoặc g(x) = 0.

Do đó theo ngôn ngữ của cấu trúc đại số, ' “[x] là một miễn nguyên

1.5 UNG DUNG CUA DANG CHÍNH TÁC

Nhờ tính duy nhất của dang chính tắc chúng ta có phương pháp

hệ số bắt định để giải toán Sau đây là một số ví dụ

Ví dụ I.

Thực hiện phép tính (x — 1)(x + 1Xx + 2).

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thế Cap

Ta cần viết da thức P(x) = (x — 1)(x + 1)(x + 2) dưới dang chính tắc

Vì P là da thức bậc 3 với hệ số của lũy thừa bậc cao nhất bằng |

và số hạng tự do bang - 2 cho nên ở dạng chính tắc nó có dang

Vậy (x - I)(x + Ix + 2) = x` + 2x? -x-2

Ví dụ 2.

Tim a và b dé đa thức: f(x) = xỶ + 2x” + ax? + 2x + b là bình

phương của một đa thức Tìm đa thức đó.

Giải ra ta được p= l; q= l,a=3; b = l.

Suy ra đa thức phải tim là x? + x + I

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cắp

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

© 4ax’ + (— 6a + 3b)x” + (4a — 3b + 2e)x—a +b—c+ d=xŸ

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 8

Khoa luận tốt nghiệ

4a =1

= 6a + 3b < (

=

4a - 3b + 2c = 0 -a+b-c+d=0

Khóa luận tt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

Định lí 1 Cho f(x) a(x) € [x], g(x) £ 0 khi đó tồn tại duy nhất

cặp đa thức q(x), r(x) € [x| sao cho

f(x) = g(x)q(x) + r() dept(x) < degg(x)

Chứng minh.

SỰ TÔN TẠI

Nếu degf{x) < depg(x) thi chon q(x) = 0, r(x) = f(x).

Nếu degf{x) > degg(x) thi

do đó đa thức f)(x) = f(x) - e(x)q;(x) có bậc nhỏ hơn n.

Nếu degf,(x) < degg(x) thì đừng lại Nếu đegf(x) > degg(x) thì tương tự ta tìm được gx) sao cho

f(x) = F(X) = ø(x)q;(x) có bậc nhỏ hơn bậc f(x).

Tiếp tục quá trình nảy ta được day các đa thức f{x), f(x),

f(x), có bậc giảm nghiêm ngặt, do vậy sẽ có f(x) sao cho degft(x)

< dege(x) Ta có

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 10

Khóa luận tốt nghiệ GVHD: PGS TS Dau Thế C

fix) = g(x)qi(x) + 0X) fi(x) = g(x)qx{X) + f(x)

Như vậy ta đã chi ra được sự tòn tại của cặp da thức q(x), r(x)

Bây giờ ta chứng minh tinh duy nhất của chúng

TINH DUY NHAT.

Tinh duy nhất của q(x) va r(x) được chứng minh.

2 Dinh nghia phép chia co du va chia hét

Cho hai đa thức f(x), g(x) € [x] g(x) ¢ 0 Thực hiện phép chia

có dư đa thức f(x) cho đa thức g(x) li tim cặp đa thức q(x), r(x) sao

cho

f(x) = g(x)q(x) + F(X), dep r(x) < deg g(x)

trong đó q(x) được gọi là tương, r(x) được gọi là dư.

SVTH: Ngô Thủy Trình Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

Nếu (x) = 0 thi f{x) = s(x)q(x) [rong trường hợp này ta nói

phép chia là phép chia hết, hay nói cách khác

fix) chia hết cho g(x), ftx) là bội cua g(x), kí hiệu f(x) : g(x)

hay g(x) chia hết f(x) g(x) la ước của fix), kí hiệu g(x) | ftx).

Nhân xét 1: Cho fix) € [x] với mọi a € ,a#0, ta có

f(x) = a(a'fx))

va fix) = (aftx))a `

Do đó a | f(x) va af(x) | f(x) Các ước loại này gọi là ước tim

thường của f(x) Ước không tâm thường của f{x) gọi là ước thực sự.

Như vậy

e(x) là ước thực sự của f\x)

eg [BOND

0 < deg g(x) < dee f(x)

3 Các tinh chat co ban của chia hết

Với mọi f(x), g(x) h(x) € “[x] ta có các tính chất sau

(1) Nếu f(x) : g(x) thì thương q(x) lá duy nhất.

(2) Nếu fx) : g(x) thì hoặc f{x) = 0 hoặc degf{x) > degg(x).

(3) Nếu fix) : g(x) và g(x) : f{x) thi tôn tại a € © a £ 0 sao cho

2) Từ (5) & (6) suy ra:

Nếu f(x) : g(x), h(x) © 2x) thi 1ix)q(x) = h(x)q'(%) ¡ g(x)

với moi q(x), q`(x! €— IN].

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

Định lí 2 Cho f(x) € [x] vic © Khi đó dư của phép chia f(x)

cho x - c là giá trị fic) của f(x) tạt c.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cap

Sơ đồ Homer giúp ta thực hiện nhanh phép chia đa thức f(x) cho

đa thức x - c va giả trị f(c) trong trưởng hợp đa thức f(x) có bậc lớn.

11.2 UGC CHUNG LỚN NHAT

14 Định nghĩa ước chung lón nhất

Cho f{x), g(x) € [x] Ta gọi hix) € ˆˆ[x] là ước chung của f(x)

va g(x) nếu h(x) | fix) va h(x) | gfx).

Da thức d(x) gọi là ước chung lớn nhất (UCLN) của f(x) va g(x),

kí hiệu d(x) = UCLN(f(x),g(x)) néu

1) d(x) là ước chung của f(x) và g(x).

2) d(x) chia hết cho mọi ước chung của f(x) và g(x)

Nếu d)(x) và dạ(x) đều là UCLN của f(x) và g(x) thì đụ(x) | dạ(x)

và d,(x) | d(x) do đó tôn tại a € a £ 0 sao cho đị(x) = ad;{x), ta

nói đạ(x) và d›(x) sai khác nhau mot nhân tử bậc không hay d)(x) và

d(x) liên kết với nhau UCLN của fix) và g(x) có hệ sé cao nhất

bang đơn vị là duy nhất, kí hiệu la (11x).g(x)).

Hai đa thức f(x), g(x) gọi là nguyen tổ cùng nhau nếu

(f(x),g(x)) = |

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp _ GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

nghĩa là f{x) va g(x) không có ude chung nảo khác ngoài các hang số

khác không.

2 Các tính chat đơn giản của ƯCLN

(1) Tập các ước chung của f(x) xả u(x) trùng với tập các ước của

1) Từ (4) suy ra: Với mọi f(x) # 0 UCLN(fx),0) = f(x).

2) Từ (5) suy ra: Nếu f{x) = g(x) q(x) + r(x) thì

(f{x).g(x)) = (a(x).r(X)).

3 Cách tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclide

Cho hai đa thức f(x) và g(x) Thu¿t toán Euclide đưới đây cho ta

sự tôn tại cũng như cách tìm UCLN của f(x) và g(x)

Giả sử g(x) # 0 Thực hiện liên tiếp các phép chia

f(x) cho g(x) được thương qs(x) và du rạ(X).

8(x) cho r(x) được thương ‹|¡(x) và du r¡(x).

fox) cho rạ(x) được thương qo(x) và dư r;(x).

Vi degeg(x) > degr,(x) > degr,(x) > nên sẽ có một chỉ số k để r(x) # 0 còn n ¡(x) = 0, tức là ta có dày các đẳng thức

SVTH: Ngô Thủy Trinh Trang 15

Khỏa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

f(x) = g(x)qa(X) + ru(X)

E(X) = Fd(X)q¡(X) * ri(X) Fo(X) = rị(X)Q;(X) + ra(x)

fy.3(X) ® r i(X)Q,(X) + KON)

TX) = ru(X)4¿‹ (X).

Đi từ dưới lên, trong các dang thức trên, ta thay n(x) là ước

chung của f{x) va g(x), đi tir trên xuông, trong các đẳng thức trên, ta

thấy mọi ước chung của f(x) và efx) dou là ước của A(x).

Thật vậy, theo tinh chất (5) va (4) :a có

(f(x).g(x)) = (g(x).ru(x)) = - = Ch CX) = ru(x).

Vậy UCLLN(fX).g(X)) = 0X)

Như vậy ƯCLN(ffx).e(x)) là số dư cudi cùng khác không trong

thuật toán Euclide.

4 Các tính chất cơ bản của ƯCLN

Định lí 3 Cho f{x), g(x) € | [x] Khi đó

1) Nếu ƯCLN(f(x).g(x)) = d(x) thì tôn tại u(x), v(x) € ï7[x] sao

cho

fix) u(x) + g(x) v(x) = d(x) (*)

2) Nếu tổn tai u(x), v(x) € [x] thỏa mãn (*) va d(x) là một ước

chung của f(x) va g(x) thi d(x) là UCLN của f{x) và g(x).

Chứng minh.

1) Nếu một trong hai đa thức chia hết cho da thức kia, chẳng hạn

fix) : g(x) thi d(x) = g(x) Khi đó d(x) = l{x)u(x) + g(x)v(x) với u(x)

= 0, v(x) = 1.

Nếu không có số nào trong hai da thức chia hết cho da thức kia,

thi trong thuật toán Euclide (xem mục 3) ta có

n(x) = ƯCLN(f{x).e(x))

=> 3a € [x] sao cho d(x) = af+(x).

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thẻ Cap

Từ đó thé dan từ dưới lên ta được

A(X) © ar((X) a(f,.3(X) - f,.(Xd,(S))

= fx)u(x) + g(Xx)v(x)

2) Do (*) mọi ước chung của I(x! va B(x) đều là ước của d(x), vìd(x) là ước chung nén d(x) là UCLN,

Hệ qua 1.

Hai đa thức f(x) vả g(x) nguyên tò củng nhau khi va chỉ khi tồn

tại hai đa thức u(x) va v(x) sao cho

Ngược lại, giả sử có u(x), v(x) dé đăng thức trên xảy ra Khi đó

nếu d(x) là ước chung tùy ý của I(x) và g(x) thi d(x) là ước của

f{x)u(x) + g(x)v(x) nên d(x) là ước của 1 Vậy (f(x),g(x)) = 1.

Hệ quả 2 Nếu f{x)g(x) : h(x) và (I{x).h(x)) = 1 thì g(x) : h(x)

Khóa luận tốt nghiệp _ GVHD: PGS TS Đậu Thể Cấp

11.3 NGHIEM CUA ĐA THUC

1 Dinh nghia

Nghiệm của da thức f(x) € |x] lá sd c € © sao cho fc) = 0 Như

vậy nghiệm của da thức {(x) là nghiền! của phương trình f(x) = 0.

Định lí 4 Mỗi đa thức f(x) bậc n - | trên trường “ˆ đều có không

quá n nghiệm phân biệt thuộc

Chứng minh.

Gia sử trai lại, f(x) có n + 1 nghiệt: phân biệt cụ, cạ, , Gera Theo

hệ quả của định lí Bezout

2 Nghiệm bội và tính chất của nghiệm

Số c € © gọi là nghiệm bội k > 2 của đa thức f(x) € ï7{x] nếu

fix) = (x - c)*g(x), gic) = 0.

Nghiệm bội 2 thường gọi là nghiệm kép Dé nhắn mạnh, nếu c là

nghiệm nhưng không là nghiệm bỏi thì c được gọi là nghiệm don

(trong trường hợp này k = 1).

Định lí § (Định lí cơ ban của đại sé lọc) Mọi đa thức bậc n> | trên

Khóa luận tốt nghiệp _ GVHD: PGS TS Đậu Thể Cấp

+ (CyCyrh, HCPC A HCC Tom Sti + +(-1)" cịcạ ca]

So sánh hệ số hai về theo lũy thừa: của x, ta có các đẳng thức cần

chứng minh.

Định lí 7 Cho f(x), g(x) € {x] dcsg(x) = m va g(x) có đúng m

nghiệm trong _ˆ Khi đó f(x) : g(x) khi và chỉ khi hoặc f{x) = 0 hoặc

mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f{x) và mọi nghiệm bội k

của g(x) là nghiệm bội k" của f(x) với Kk" > k.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cap

a là hệ số cao nhất của g(x) Theo giả thiết, ta cũng có

Ẩ[X) © a(x — €ịXX — €)) (X = €m)h(X)

Từ đó f(x) = g(x).

3 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu ti

Với moi f(x) € - [x] luôn tìm được số nguyên m + 0 để

Định lí 8 Cho đa thức hệ sô nguyên

f(x) = agx" + ayx"' + + ay, ae # 0.

Khi đó nếu phân sé tối giản 2 là nghiệm của ftx) thi p là ước của

a¿p” =-q(a,p”” +a,p*"q+ +a,qTM")

aq” =-pla,pTM +a,p""q + +a,,9"")

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đâu Thẻ Cap

Hé qua.

1) Moi nghiệm nguyên của một đa thức với hệ số nguyên là ước

của số hạng tự do.

2) Moi nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số

cao nhất bảng | déu là nghiệm nguyễn.

Nhân xét 4: Cho phương trình da thức hệ số nguyên

agx" + ax"! + +a, = 0(®)

Bằng cách nhân hai về với ag”! và đặt y = apx ta được phươngtrình hệ số nguyên với hệ số cao nhất bằng |

y* + by"! + + + bạ = 0 (99)

trong đó by = ajay", k= 1, 2, , 0.

Via là nghiệm của (**) khi và chỉ khi © là nghiệm của (*) nên

a, việc tìm nghiệm hữu ti của (*) có thé đưa về việc tim nghiệm nguyên

của (**).

Định lí 9 Nếu a # +1 là nghiệm nguyên của đa thức

f(x) = agx" + ayx”"” + +a, € Tx]

thi 2 và SOY qậu nguyén.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

Các giá trị 0 -1,-4 đều là nghiệm của đa thức

Với œ = +2, +3, +6 ta thấy chỉ có œ = +2, a = - 3 là thỏa

nên +! không là nghiệm

Vi đa thức x° + x + | không cỏ nghiệm thực nên đa thức f(x) chỉ

có hai nghiệm hữu tí là 2 va - 3.

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 23

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

hai đa thức có bậc lớn hơn không vả nhỏ hơn bậc của p(x).

Một cách tương ứng, ta có thể nói p(x) là bất khả quy nếu p(x)

không có ước thực sự (xem nhận xét 1, chương II).

Một đa thức không bat khả quy trên ˆ gọi là khả quy trên -ˆ hay phân tích được trên

Đa thức bat khả quy trong vành đa thức - ˆ[x] có một vị trí tương

tự như số nguyên tố trong vành số nguyên 7

Nếu p(x) bat khả quy và f,(x)f›(x) f„(x): p(x) thì tổn tại f((x): p(x).

SVTH: Ngô Thùy Trính Trang 24

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cấp

HI.2 PHAN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TU BAT

KHẢ QUY

Định lí 1 Mọi đa thức f(x) bậc lớn hơn không trên trường -ˆ đều

phân tích được thành tích của các đa thức bất khả quy Sự phân tích

đó là duy nhất nếu không kể đến thir tự các nhân tử và các nhân tử

bac không.

Chứng minh.

SỰ TÔN TẠI.

Nếu f{x) bat khả quy ta có ngay kết quả phân tích Nếu f{x) khả

quy thi ta có f(x) = f(x)6{x), f;(x) va (x) có bậc lớn hơn không,

nhỏ hơn bậc của f(x) Nếu f,(x) h(x) bat khả quy thì ta có kết quả

phân tích Nếu f\(x) hoặc f(x) khả quy thì lại tiếp tục quá trình trên

Sau một số hữu hạn bước, quả trình trên phải dừng vi bậc của f(x) hữu hạn Vậy ta có sự phân tích f{x) thành tích các đa thức bắt khả

quy.

fix) = ft(x).b(x) f(x).

TINH DUY NHAT.

Gia sử f(x) có hai sự phân tích thành tích các đa thức bat khả quy.

f(x) = fi(x)fa(x) f(x) f{x) = pi(x)pz(X) p„()

Ta có thể giả sử n < m Xét đẳng thức

f(x) f(x) fx) = pu(X)p;(X) -Pm(x)

Vi p(x) là ước của về phải nên p;(x) là ước của về trái Do p,(x)bắt khả quy nên tổn tai f(x) ¡ pi(x) Đổi lại thứ tự, ta có f(x) : p\(x).Lại do f(x) bat khả quy nên ton tại cị € ˆˆ c¡ £ 0 để f,(x) = c¡p¡(x)

Tương tự ta có f(x) = c;p;(X) f(x) = enp,(x) Từ đó nếu m > n thi

€¡P¡(X)€‡P2(X) Capa(X) = pị(X)P3(X) Pa(X)Pa‹ ((X) pu(X)

=> CIÈ¿ Ca = Da-j(X) Dm(X)

SVTH: Ngô Thùy Trinh Trang 25