*Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu trên Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức... 1Nếu Fsinx;cosxlà một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức l
Trang 1I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN
Tính các tích phân sau :
1) 41∫ +
2 1
x
2 sin 4
π
+
1
0 2 1
3
x
dx
x ; 4) ∫
−
5
2 x 1
xdx
5) ∫
+
−
2
) 1 2 (sin sin
2
π
x
dx x
+
1
0 ( 1 )3
2
x
dx x
; 7) 1∫ +
3
x e dx x
−
3
2x 2 x( 1 )
dx
9) ∫
+
2
1 1 4 2
x
dx x
x
; 10) ∫
+ + +
−
1
0 ( 2 1 )( 2 3 1 )
) 3 2 3 (
x x x
dx x
; 11) e∫ + + dx
x
x x
1
ln 2 3
12) ∫
+
−
+
− +
2
2 4 2 2 1
1 2
3
dx x
x
x x x
; 13) ∫ +−
e x e
dx x e x e
ln 2
1 ( 2 1 )2
) 3
(
; 14) 3∫ ( + )
4
2 cot tan
π
15) ∫
+
+ +
−
3
) 1 ln(
2 2
dx x
x
x x
x x
; 16) 4∫ + +
ln 4
dx x
x x
x x
17) 2∫ [ + ]
4
) ln(sin 1
cot
π
+
+
1
1 2 ln
dx x
x x x
19) ∫
+
−
2
1 2 ( 2 1 )
1
2
dx x
x
x
; 20)1∫ + + + −
1 ) 1 ln(
.
2
dx x
e
x e x e x e
; 21) ∫ +
2 3 ln
1 3 ln
e
x
22) 3∫
4
4
sin
π
dx
; 23) ∫
+
4
0 (2sin cos )2
π
x x
dx ; 24) ∫
+
3
0 2sin2 3cos2
2 sin
π
x x
xdx
25) ∫
+
−
1
2 ln 2 4
1
dx x
x
x ; 26) 3∫
0sin3 cos
π
xdx
x ; 27) 4∫ +
2 sin
2 3 sin 4
π
x
28) 4∫ +
0
2 sin 1 2
sin
π
dx x
x
x x
4
tan 1 sin
2
π
; 30) 4∫ +
0sin2 (cos4 sin )
π
dx x x x
31) 60∫ − 1 sin 2
π
x
dx ; 32) 20∫ + 1 sin
π
x
dx ; 33) 4∫ +
6 sin2
2 cos 1
π
x
(13) Nguyễn Công Mậu
PHẦN TÍCH PHÂN
Trang 234) 1∫ −
0
11 ) 1
(
2x x dx ; 35) ∫
+
2
0 1 cos
3 sin 2
π
x
+
+
−
1
) 1 2
4 (
x
dx x x
37) ∫
+
+
1
0 6 1
) 1 4
(
x
dx x
; 38) ∫ [ + + ]
+
1
2 1 ln(
1 1
x
x
; 39) 1∫ − − + − + −
0
) ln(
) (
dx x
e x e
x e x e x e x e
40) 4∫
6 sin2
) ln(tan
π
x
; 41) 2∫ ( + )
0
6 cos 6
sin
π
dx x
x ; 42) 6∫
0
4 cos
π
xdx
43) 6∫
0
3
cos
π
0
4 cos 4
sin
π
dx x
0cos3 cos .sin2dx
x x x
46) 3∫ ( − )
4
cot 2
π
π x x dx ; 47) 4∫ (tg x+tg x)dx
0
4 2
π
; 48) ∫
+
4
0 cos2 tan 3
1
π
dx x x
49) 1∫ −
7 1
(
6 x dx
0
5 2 cos 3 2 sin
π
dx x
−
−
6
0 1 sin2
) 1 2 cos 2 (
π
x
dx x
52) ∫
+
−
6
0 (1 sin3 )2
cos ) 3 2 cos
4
(
π
x
xdx
cos sin
π
dx x x
e
−
1
1
2 1 ) )(
2 (
4 8
dx x
x x
55) 02∫ + 1 sin
sin
π
x
4sin .cos
1
2 2
π
+
2
0 cos sin sin
π
x x xdx
58) 4∫
6 sin2
π
dx
; 59) 2∫ ( + )
3 sin
π
dx x
4 cos
π
dx x x
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
Tính các tích phân sau :
1) ∫
−
3
2 x x2 1
dx
; 2) ∫
+
+ +
2
1 2 3
dx x
x
+
1
0 2 1
3
x e
dx x
+
3
1 x x2 1
dx
5) ∫
+
− +
2
2 2 3
dx x
x
x ; 6) ∫
+
−
13
0 3 2 1
2
dx x
x
; 7) ∫
−
−
3
0 cos2 cos 6
sin
π
x x
xdx
8) ∫( )
+
+
2
1
2
x
dx x
; 9) ∫
−
−
3
) 1 (
x
dx x
; 10) ∫
−
+
2
2 2 1
1
dx x
x
; 11) ∫( )
+
+
2
0 2 4
1
x
dx x
(14) Nguyễn Công Mậu
Trang 312) 2∫
0
sin cos
π
dx x e
x ; 13) ∫3 ( cos + + )
0 4 3cos sin
π
xdx x
x
x x
1
2 ln 1
15) e∫ + dx
x
x x
1
ln 1 ln
; 16) 4∫ −
0
2 cos tan 3
sin
π
xdx x
+ +
4
sin 2 cot
π
x x
18) 3∫ +
4
4 cos
1 4
sin
1
π
π x x ; 19) ∫
+
+ +
1
) 1 4 5 3 (
x
dx x
x
; 20) ∫
+ +
+ + +
3
1 2 2 3 4
dx x
x
x x x
21) +∫
+
−
+
− +
25
1
1 2 2 3 4
dx x
x
x x
+
5 2
3 x x2 16
dx
; 23) ∫
+
1
) 4 (
x
dx x x
24) ∫
+
1
) tan 4
(
x
dx x x
; 25) −∫
+
2
2 1 cos2
3 sin
π
xdx
; 26) ∫
1
1x10 1
xdx
; 27) −4∫ +
4 1 cos
3 sin
π
xdx
28) ∫7 +
0
31 2
3 x dx
+ +
+
1
0 2 3 2
) 2 2 (
x x
dx x
; 30) ∫
+
3
1 x 4 x( 2 1 )
dx
; 31) 4∫ −
3
10 ) 3 (
x
32) ∫
+
1
0 ( 1 )4
3
x
dx
x
; 33) ∫
+
3 ln
0 e x 1
dx
; 34) 2∫
3sin
π
dx
; 35) 4∫
0cos6
π
x dx
+ +
+
2
0
2 cos 1
2 2 sin 1 2
sin
π
dx x x
+ +
e
x
dx x x
1
2 ln 4 1 ln
38) π ∫
0 .sin
2 cos x xdx
+
π
0 1 sin2
sin
dx x
x x
; 40) ∫
+
π
0 1 cos2
sin
dx x
x x
; 41) 6∫
0 cos2
2 tan
π
x xdx
42) 2∫
0cos 2 .sin
2
π
xdx
0(1 sin ) cos ( )
π
N n xdx
+
2
0sin cos
4 sin
4 4
π
dx x x
x
45) π0∫ + 1 sinx dx
x
; 46) 2∫
0cos .
sin
π
dx e
x x ; 47) 3∫
2
3 sin
π
πx xdx ; 48) π ∫
0
2
cos xdx x
49) 2∫ ( + ) +
0 sin2 cos 2 sin
π
dx x x
−
+
2
0 4 3 sin
cos 2
sin
π
dx x
x
x ; 51) ∫
+ +
−
2
0 2 1 3 sin
) sin 1 ( cos 3
π
dx x
x x
+ + +
2
1 2 4 2 2 4
4 8 2 5 3 2
dx x
x x
x x x
0 2
sin sin 2 2 sin
cos
(15) Nguyễn Công Mậu
Trang 454) ∫ +
3
1
ln ln 1
e
e
dx x
x x
; 55) e∫ +
e
dx x
x x
1
2 ln ln 1
; 56) ∫ ( )
+
+
2
3 3 3 1
3 2
x x
dx x
57) ∫
− +
2
1 1 2 1
3
dx x
x
; 58) ∫( + )
4
0 1 3 2 2
3 2
x
dx x
; 59) ∫
+
+
2
0 2 4
1
dx x
x
60) 1∫ −
4 1
(
7 x dx
1
2n x n m dx
61) 2∫ +
1x ( m x 1)
dx
; 62) ∫
+
2
0 2 cos 2 cos
π
x
xdx ; 63) ∫
+
2
0sin cos sin
π
x x
xdx
III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
Tính các tích phân sau :
1) 2∫
4
2
sin
cos
π
x x
; 2) ∫
2 3 0
3 cos
π
dx
2
0 sin
π
dx
x ; 4) 4∫
1 x ln xdx
5) 1∫
0
2
.e x dx
2
sin 2
π
πx xdx ; 7) π ∫
0 cos
2 xdx
x ; 8) 1∫
0 .2 dx
x x
9) 4∫ +
0
2 sin ).
1 2
(
π
xdx
1
2
1x log xdx3 ; 12) 4∫
0 cos2
π
dx x x
13) 4∫
6
2 cos
sin
π
x x
; 14) 1∫ +
0. ln( 1)dx
x e x
e ; 15) 4∫
6 sin2
) ln(cos
π
x
; 16) ∫
1
1 2
1
dx x
17) eπ ∫
dx x
1sin(ln ) ; 18) e∫ dx
x
x
1 2
ln
; 19) e∫ xdx
1
2
ln ; 20) 1∫
0 .4 dx
x x
21) 3∫
6
2
sin
π
π x dx
x
; 22) 2∫
0
2 cos
π
xdx
2 3 ln
e
e x dx
x
; 24) 1∫ +
2 ln(x dx x
25) 4∫
0
2 tan
π
xdx
2 ln(
) 1 2
0cos ln(1 sin )
π
dx x x
28) 2∫ +
0sin ln(1 cos )
π
dx x
2 1 ln(x x dx ; 30) 1∫
0 .
2e x dx x
(16) Nguyễn Công Mậu
Trang 531) 2∫
0 sin
π
xdx x
−
+
2 1
2 1 ln
x
x
0
2
3e x dx x
34) 1∫
0 . dx
x e
2
) ln
1 2
ln
1 (
e
e x x dx ; 36) 4∫
6
) ln(tan cos
π
37) 3∫
0 cos2
) ln(cos
π
dx x
x ; 38)
∫ +
1
0 12
.
dx x
x e x
; 39) ∫
+
1
0 2 1
2
dx x
x
40) ∫
+
1
4
dx x e
x e
; 41) 4∫( + )
1 2x 1 lnxdx ; 42) 40∫ + 1+cos 2
2 sin
π
dx x
x x
43) 2∫
0 sin2
sin
π
xdx x
0 cos3
sin
π
dx x
x tgx
0
2
cos xdx x
46) 3∫
2
3
sin
π
0 ( cos2 )
2 e x x dx
2 1 ln(`
.
e
dx x x
49) ln∫4 +
0
2
2e x e x xdx ; 50) ∫
+
3
3
x
dx x
; 51) 2∫( )−
1 1.
2 e x dx x
IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ:
Tính các tích phân sau :
1) I = ∫
+
2
0cos sin
sin
π
x n x
n
và J = ∫
+
2
0 cos sin cos
π
x n x
n
0 cos2
2 cos
π
x xdx
3) 4∫ +
3
2 sin cos
2 cos
π
xdx ; 4) ∫
+
2
0 sin cos sin
π
x x
0 sin
2
x
(17) Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP: + Giả sử ta phải tính tích phân I
+ Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện được dễ dàng
+ Tính I+J và I-J Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b)
Trang 66) 40∫ + 1 tan
π
x
0e x e x
dx x e
; 8) 2∫
0 sin
2
π
xdx
e x
9) 6∫
0 cos2
sin 2
π
dx x
x ; 10) ∫
+
2
0 cos3 sin3
cos 4 sin
π
x x
xdx
0 cos sin
cos 1 sin
Z n x n x
n
∈
π
V)TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ :
(18) Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I = β∫
αf(x)dx ,trong đó :
) (
) (
0 1
1 1
0 1
1
+ + + +
+ + + +
−
−
−
n m n
n
n n
m m
m
b x b x
b x b
a x a x
a x a x
Q
x
P
*Khi m≥ n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức thực sự (phân thức đúng)
*Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng
Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những thừa số trùng nhau Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức cơ bản sau :
Dạng I: x A−a ; Dạng II : x a k
A
) ( − ; Dạng III : x2Ax+ px+B+q ; Dạng IV: x px q k
B Ax
) ( 2 + +
+
Trong đó k ∈N ; k ≥ 2và A,B,a,p,q ∈ R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm) *Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức)
Tổng quát cho cách phân tích :
γ δ
β
) (
) ( )
(
)
(
2
x b x a x
x P x
Q
x
P
+ + +
+
−
−
− + +
−
+
−
) (
)
2 1
a x
A a
x
A a
x A
γ γ γ δ
δ δ β
β
) (
) (
) (
)
1 1 2
2
1 1 2
2 1
s lx x
Q x P s
lx x
Q x P q
px x
N x M q
px x
N x M b
x
B b
x
B b
x
B
+ +
+ +
+ + +
+ + + +
+ +
+ + +
+ +
− + +
−
+
−
*Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
a x
−
+
−
=
−
−
=
−
+
−
k
A a
x d a x A dx a x
k
1
) ( 1 )
( ) ( )
(
+ +
+
2 2 2 1
dt b
u
du b dx q px x
B Ax
với b1,b2,a là hằng số
+ +
+
k k
dt b
u
du b q px x
B Ax
) (
)
Trang 7Tính các tích phân sau:
1) ∫2 − +
1
2 2x 2
x
dx
; 2) ∫2 −− +
1
) 1 2 (
x x
dx x
; 3) ∫2 +
0
2
2 4 )
(x
dx
; 4) ∫2 +
1
4
) 1
(x x dx
5) ∫1 ++
0
2 1
) 2
(
x
dx x
; 6) ∫1 + − +
0
2 1 ) )(
2 (
) 2 4 (
x x
dx x
; 7) 2 ∫3+1 − − −− +
3
2
2
) 5 2 )(
1 (
) 3 3 2 (
x x x
dx x x
8) ∫1 +
0
2
2 1 )
(x
dx
; 9) ∫1 ++
0
2
2 1 ) (
) 4 3 (
x
dx x
; 10) ∫3 −+ ++
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
; 11) ∫3 +− +
2
3
2
) 1 (
1
dx x
x x
12) ∫1 −
0
8
3
2
x
dx
x
;13) ∫
+
+
+
2 2 6
1 4
2
1
) 1 (
x
dx
x & 14) ∫3 ++ +
1
2 4
2
1
) 1 (
x x
dx x
& 15) ∫1 +− +
0
2 4
2
4 3
) 2 (
x x
dx x
&
16) ∫2 −+
1
4
2
1
) 1 (
x
dx x
Dạng tổng quát :
VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :
(19) Nguyễn Công Mậu
Để tính Ik = ∫ t +a k
dt
) ( 2 2 ta có : Ik = ∫ t +a k
dt
)
+
= +
− +
= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1
) (
1 )
(
) (
1
k
dt a
dt a
t
t a t a
a t
tdt t
2
2
1
2 2
+
− +
) (
) 1 ( 2
1 1
k k
a t
t k
a
I a
1 1
0 + −
=
⇒ I k A A I k (1)
Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1=∫t2 +a2
dt
Chú ý : − ∫ + k
a t
tdt t
2 2
1
2 2
+
−
) (
) 1 ( 2
1
k
k I a
t
t k
phân từng phần
∫
+
±
±
β
αx bx a dx
a x
2 2 4 2
A)Tích phân dạng: ∫F(sinx; cosx)dx
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx
1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là :
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx
3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:
F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx
Trang 8(20) Nguyễn Công Mậu
Trang 9(21) Nguyễn Công Mậu
4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : 1 2
2 sin
t
t x
+
1
1 cos
t
t x
+
−
= B)Tích phân dạng : ∫ sinm cos x. n xdx với m,n∈Z
1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân:
x x sin 2x
2
1 cos
sin = ; sin 2 1 cos2 2x
x= −
; cos 2 1 cos2 2x
x= + 3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C)Tích phân dạng : ∫cosax cos. bxdx ; ∫sinax cos. bxdx ; ∫sinax sin. bxdx
Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:
ax bx [cos(a b)x cos(a b)x]
2
1 cos
ax bx [cos(a b)x cos(a b)x]
2
1 sin
.
ax bx [sin(a b) sin(a b)x]
2
1 sin
D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:
1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì −a∫
a f(x)dx = 0 Cách tính loại tích phân này bằng cách đổi biến x = -t
2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ = + b∫
a f x dx
b a b
a xf(x)dx 2 ( )
( thường gặp : π ∫ =ππ ∫
0(sin ) 2
0xf(sinx)dx x dx ) Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t =π −x) 3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì :
∫
=
∫
−
=
∫
b x f
b
b f x dx
b
b a x
dx x f
0
) ( )
( 2
1 1
) (
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
• Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên b b f x dx
b f x dx= ∫
∫
− ( ) 20 ( ) Cách chứng minh điều này
b
dx x f
b
=
∫
0 ) ( )
−
0 ) (
b f x dx bằng cách đặt x=-t
Trang 10Bài tập : Tính các tích phân sau :
1) 4∫
0 cos6
π
x
dx ; 2) 2∫
6
4 sin
π
dx
; 3) 4∫
0
4
π
xdx
tg ; 4) 2∫
3
4 sin
3 cos
π
dx
5) 2∫ +
0(sin sin )
5 4
π
dx x
0(tan tan )
3 4
π
dx x
0(sin sin )cos
2 2
3
π
xdx x
+
4
sin cos
sin 1
2 cos (
3
π
dx x
x x
x
0sin3x(cosx sin5x)dx ; 10) 30∫ − 1+sin
sin 1
π
dx x
x
11) 2∫ +
6
sin
) cos 1
(
π
dx x
; 12) 4∫
0 cos4
2 sin
π
dx x
x ; 13) 3∫
6
4 cos 4 sin
π
dx
; 14) 3∫
4
3 cos 3 sin
π
dx
15) 2 ∫ π( + + )
2 sin x x dx ; 16) ∫
+ +
2
01 sin cos
π
x x
+
2
0 1 cos
3 sin 4
π
x xdx
18) ∫
+
π
01 cos2
3 sin
dx x
x x
; 19) ∫
+
π
0 1 sin2
sin
dx x
x x
; 20) ∫
+
2
cos 2
π
x x
21) ∫
+
1
1
2
3 6
1
sin
dx x
x x
; 22) ∫
+
4
4 cos 4
sin
π
x x
; 23) 40∫ + 1 tan
π
x dx
24) 3∫
0cos2
tan
π
dx x
0tan
6
π
xdx ; 26) 20∫ + 2 cos
π
x dx
27) ∫
+
4
0 cos4 sin4
2 sin
π
dx x x
x ; 28) 3∫
4
3 cos sin
π
dx
; 29) ∫
+
4
0 cos 1 sin2
sin
π
dx x x
x
30) 3∫
6
4
π
π tg x
dx
; 31) 2∫
0cos cos3
3
π
xdx
x ; 32) 2∫
0sin cos4
2
π
xdx x
33) 20∫ + 3 2 cos
π
x
+
2
0 1 sin
3 cos 4
π
x
xdx ; 35) 2∫
0cos cos2 sin4
π
xdx x
x
36) π0∫ + 7 cos 2
sin
dx x
x x
; 37) 4∫
2
0 sin
π
x
x ;38) ∫
+ +
+
−
2
0 sin 2cos 3
) 1 cos (sin
π
x x
dx x x
(22) Nguyễn Công Mậu
Trang 11VII)TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ :
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1) ∫
+
−
81
1 (4 1 )
8 4
dx x
x
x x
; 2) ∫
+ + +
15
0 x 1 3x 1
dx
; 3) ∫
+
3
1 x x2 1
dx
(23) Nguyễn Công Mậu
Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x.
1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫Fx,n p x ,m q x , ,r s x dx
*Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r)
Đổi biến số x = tk
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ +
+
dx n
d cx
b ax x
F ,
*Cách giải : Đổi biến số t = n
d cx
b ax
+
+
x ax +bx+c dx
*Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = ax2 +bx+c
*Cách giải thứ hai : Biến đổi ax2 +bx+c theo một trong ba kết quả sau :
c bx
ax2 + + = A2 −u2 (1)
c bx
ax2 + + = A2 +u2 (2)
c bx
ax2 + + = u2 −A2 (3) (Trong đó A là hằng số dương ; u là một hàm số của x )
-Với (1) thì đổi biến u = Acost Với 0 ≤t ≤ π (hoặc u = Asint , với −2π ≤t≤π2 )
-Với (2) thì đổi biến u = Atant Với −2π <t <π2
-Với (3) thì đổi biến u = A/cost Với 0 ≤t ≤ π và t ≠ π2
4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫
+ + +
+
dx c bx ax n mx
x
2 ) (
) ( α β
*Cách giải : Đổi biến số t = mx1+n
Trang 124) ∫
+ +
3
1x 2x2 2x 1
dx
; 5) ∫
+ + +
17
10 (x 2 ) x2 4x 5
dx
; 6) ∫
−
−
−
11
2
x
dx x
7) ∫
− +
1
0x 1 x2
dx
; 8) ∫
− + +
3
1 x 1 x 1
dx
; 9) ∫1 +−
2
1 1
dx x
x x
10) ∫3 (x−1 )(x+1 ) 2
dx
; 11) ∫
+ + +
15
0 x 1 3x 1
xdx
; 12) 1∫ + + +
0( 1) 2 2
x x
13) ∫1 −
5
1 x 2x x2
dx
; 14) −∫0 + + −
3
2 (x 1 ) 3 2x x2
dx
;15) ∫
−
1
0 4 x4
xdx
& 16)
16) ∫
−
1
0 4 6
2
x
dx x
Tổng quát : ∫
−
−
n a
n x a
dx n x
2
1 với n∈N;n≥ 2
17) ∫
+ +
1
0(x2 1) 1 x2
dx
; 18) ∫
+
e
x x
xdx
1 1 ln
ln
; 19) ∫ ( − )
2 2
3 6
2 x x2 23
dx
20) ∫1 −
2
2
1
x
dx x
; 21) ∫3 −
3 2
1
2 1
x
dx
1 2
x
dx x
23) ∫3 +
2 1
x
dx
0 (1 )
5
2 dx
2
x
26) ∫
−
2
2 x 5 x2 1
dx
; 27) 1∫ +
2
0
2 3
2 x dx
x
29) ∫
+
0
1 1
1
dx x
x
; 30) ∫3 +
3
1
x
dx x
; 31) ∫2 + −
2
x x xdx
32) ∫3 −
2
2 1dx
1
2 1dx
+
1
0 2 4x
xdx
; 35) ∫
− +
5
2 5 4x x2
dx
*chú ý: Đối với tích phân câu 32 &33 có thể dùng công thức sau để giải quyết :
∫ = + + +
x
2 ln ; riêng câu 33 có thể giải bằng cách đặt x = cos1 t
(24) Nguyễn Công Mậu
Trang 13BÀI TẬP
( DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI )
Tính các tích phân sau: 1) e∫ dx
x
x
1 3
2
ln
; 2) 2∫ +
sin ln
(cos
π
dx x
x x
0sin2 .ln(cos )
π
dx x x
4) 2∫
0
2 sin cos
π
xdx x
2 cos x xdx
2
sin 3 1
π
xdx x
x e
7) e∫ +
x dx x e
1
ln 3 1
; 8) ∫
e
xdx x
x e
1 ln
+
e
dx x x
x e
1
10) −∫
+
+
1
) 1 ln(
e
dx x
x
; 11) 2∫ +
2 sin 3 sin
π
dx x
x ; 12) ∫
+
+
2
0 1 sin2
2 sin cos 2
π
dx x
x x
13) ∫
+
+
1
0 2 1
1
dx x
x
; 14) 3∫ ( )
4
ln cos
sin
4 2
π
π x tgx dx
x
; 15) ∫
+
+
3
1
2 3
x
dx x
e x
16) 4∫
0 cos3
sin
2
π
dx x
x
3
2
2 e x x x dx
+
3
1 1 2
dx x
x e
19) ∫
+
π
0 1 cos2
sin
dx x
x x
; 20) 2∫2 +
2 ln
π
2 sin 2 1
22) ∫
−4 +
4
2 cos
1 2
π
π x e x x dx ; 23) 1∫ +
2 dx
+
2
1x5 x3
dx
25) ∫
+
1
0(1 2)5
7
dx x
x
+
+
1
0(1 2) 2
1 2
dx m x
m x
26) ∫
+
−
1
0(1 2)2
2 1
dx x
x
Tổng quát : ; , 0
0( 2)2
2
>
∫ +
−
b a
b
dx x
a
x a
27) ∫
+
0
1 1
1
dx x
x
Tổng quát : −0∫ −+
a a x dx
x
a ; với a > 0 28) 1∫ −
4 1
(
7 x dx
1
2n x n m dx
(25) Nguyễn Công Mậu