Số thực Số thực 1.1 Số thực Các tiên đề  {0, 1}  ℕ  ℤ  ℚ  ℝ 1) (ℝ, +, ) trường số thực 2) (ℝ, ) trường thứ tự toàn phần 3) Tập số thực liên tục  (x < y)  ℝ,  x < r  ℚ < y Kí hiệu ℝ∗ = { x  ℝ : x > }  Phép lũy thừa nguyên x0 = 1, xn = x x (n lần) x–n = (xn)–1  Căn bậc n y = √  x = yn Đại lượng vô hạn ℝ  {–, +} – < a < + a +  = ,  +  =  ? a   = ,    =  = 0, = ∞  ℝ = : –= : : 0=? =?, =?  Trị tuyệt đối  x  = ℎ ≥0 − ℎ 0,  N :  → n > N, un – ℓ <   un =   →  Dãy hội tụ có trái lại dãy phân kỳ → → =0 un = ℓ, Các tính chất 1) Giới hạn tồn 2) Giới hạn bảo toàn phép tốn 3) Giới hạn bảo tồn thứ tự Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1) Dãy bị kẹp ≤ ≤ ⎯⎯ ℓ , ⎯⎯ ℓ  → → 2) Dãy đơn điệu ≤ ≤ ⎯⎯ ℓ  → Số phức 2.1 Dạng đại số Cho (x, y)  ℝ2 i = √−1 Số phức z = x + iy  Các kí hiệu x = re(z), y = im(z), i ℂ = { z = x + iy : x, y  ℝ} Các phép toán quan hệ  x + iy = x’ + iy’  x = x’ y = y’  (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’) (x + iy)  (x’ + iy’) = (xx’ – yy’) + i(xy’ + x’y) = ( ) Lũy thừa khai  z0 = 1, zn = zn–1  z, z–n = (z–1)n  w= √ ≠0  z = wn Liên hợp phức 1) + = + 2) = 2) z = (z) z = x – iy =( ) = Module z= + 1)  z    z  =  z = 2)  .z  =    z  3)  z + z’    z  +  z’    zn  =  z n  z–1  =  z –1 | | =| | 2.2 Dạng lượng giác Cho z = x + iy  0, r = | z | > !   (–, ] : cos = sin =  Argument arg(z) =  Arg(z) =  + 2ℤ Arg(0) =  Dạng lượng giác z = r.(cos + i.sin) = r.ei Các phép toán  r ei  ei = (r)ei( + ) ei )n = rn ein i –1 (e ) =  –1 = e (r  –i   ei( – )  Chuẩn hóa argument   , n =  + k2 với – <    k  ℤ lấy  thay cho   , n Cho z = r.ei  w= √  , k = 0…(n–1) w = √ e Phương trình đại số 1) az2 + bz + c = với a  0,  = b2 – 4ac    0, z1,2 =   < 0, z1,2 = ± √∆ ± √ ∆ 2) zn =  z=e = k với k = 0…(n–1)  n = 2p : 0 = 1, p = –1 k = n k , k = 1…(p–1)  n = 2p+1 : 0 = k = n k , k = 1…p Đa thức 3.1 Đa thức Cho K = ℝ ℂ Đa thức A = a0 + a1X + + anXn  Các kí hiệu X, ak  K, an  deg(A) = n Các phép toán quan hệ  A=B   a k = bk  A + B = (ak + bk) A = ( ak ) A  B = ( ck = ∑ )  ℝ[X] đại số đa thức trường số thực Phép chia Euclide ! (Q, R) : A = BQ + R với deg(R) < deg(B)  Thương Q, phần dư R 3.2 Phân tích đa thức Quan hệ chia hết B|A  R=0  Bội A, ước B, ước thực < deg(B) < deg(A)  Đa thức khơng có ước thực bất khả qui A = P …P với Pk bất khả qui Trên trường số phức 1) A(z) = có n nghiệm phức 2) A = ∏ ( − )  Bất khả qui : X – a Trên trường số thực 1) A( + i) =  A( – i) = 2) A = ( − ) ∏ − +  Bất khả qui : X – a X2 – bX + c với  < 3.3 Phân thức Phân thức hữu tỷ F= với (A, B) =  deg(F) = deg(A) – deg(B), phân thức thực Khơng điểm, cực điểm Các phép tốn quan hệ  =  A.D = B.C + = × =  K(X) trường phân thức hữu tỷ Phân tích phân thức  F = = E + , deg(R) < deg(B) ( − ) ∏  B = ∏ − + F=E+∑ ∑ ∑ ∑ − ) + +  Phân thức đơn : ( ( ) Hàm số Hàm số 1.1 Hàm số Cho I  ℝ Hàm số ( ) f : I  ℝ, x  y = f(x)  Biến x, hàm y, D(f) = I, V(f) = f(I)  Đồ thị G(f) = { (x, f(x)) : x  I } Maple (1) Quan hệ hàm – biến  Biểu thức y = f(x) y = 2x + 1, I = ℝ y = , I = (–, 0) (0, +) = 1− , , Đồ thị (a)  lõm I, lõm  điểm uốn Maple (5) Các hàm sơ cấp 2.1 Hàm lũy thừa Hàm lũy thừa y = xm với m  ℚ  D(f) tính chất phụ thuộc m  x0 = x–n = (xn)–1 (xn)m = xnm xn ym = xn+m (xy)n = xn yn = Maple (6) Đa thức, hữu tỷ, vô tỷ  y = x2 – 3x +  y=  y= , x+10 ,  0, x –  2.2 Hàm mũ Hàm mũ y = ax với < a   D(f) = ℝ, V(f) = ℝ∗ tính chất phụ thuộc a  a0 = a–x = (ax)–1 ax ay = ax+y (ax)y = axy  y = ex với e = lim → 1+ Hàm lôga y = loga(x)  x = ay  D(f) = ℝ∗ , V(f) = ℝ tính chất phụ thuộc a  loga(1) = loga(x) + loga(y) = loga(x.y) loga(x–1) = – logax logb(x) = logb(a).loga(x)  y = loge(x) = ln(x) Maple (7)  ax = exln(a) loga(x) = ( ) ( ) x = eln(x)  y = ln(x + 2), x + > y = (x + 1)x , < x +  1, 2.3 Hàm lượng giác Hàm lượng giác  y = cos(x) = (eix + e–ix)  y = sin(x) =  y = tan(x) = (eix – e–ix) ( ) ( ) Maple (8) Hàm lượng giác ngược  y = arccos(x), –1  x   x = cos(y),  y    y = arcsin(x), –1  x   x = sin(y), − y  y = arctan(x), – < x < +  x = tan(y), −