Khảo sát hàm số Phương trình tắc Khảo sát đơn điệu (Tính đơn điệu)  Cho f : I ⎯⎯ ℝ Z(f’) = { x  I : f’(x) = 0} 1) f = const  f’(x) = 2) f   f’(x)  Z(f’) rời rạc 3) f   f’(x)  Z(f’) rời rạc (Cực trị) 1) f’(x) đổi dấu “+” qua “–” : a CD 2) f’(x) đổi dấu “–” qua “+” : a CT 3) f’(x) không đổi dấu a  cực trị : y = x2 e–x Ví dụ Khảo sát tính đơn điệu Giải  D(f) = ℝ f’(x) = (2x – x2)e–x =  x = x =  Bảng xét dấu x f’ – – + f  ymin = f(0) = 0, ymax = f(2) = 4e–2 Maple (1) + – Khảo sát lồi lõm (Tính lồi lõm)  Cho f : I ⎯⎯ ℝ Z(f”) = { x  I : f”(x) = 0} 1) f = ax + b  f”(x) = 2) f lõm  f”(x)  Z(f”) rời rạc 3) f lồi  f”(x)  Z(f”) rời rạc (Điểm uốn) 1) f”(x) đổi dấu : a điểm uốn 2) f”(x) không đổi dấu : a  uốn Ví dụ Khảo sát tính lồi lõm y = (1 – x2)ex Giải  D(f) = ℝ f”(x) = –(x2 + 4x + 3)ex =  x = –1 x = –3  Bảng xét dấu x f’(x) – –3 – –1 + + – f(x)  I1(–3, –8e–3) I2(–1, 0) Maple (2) Khảo sát tiệm cận (Tiệm cận) Cho f : I  ℝ G(f) = { (x, y) : x  I, y = f(x) }   đường cong, M(x, y)  G(f) d(M, ) = min{ MN : N   } M(x, y)      tiệm cận x   y   d(M,  ) ⎯⎯⎯  → (Tiệm cận thẳng) Ax + By + C = 1) (x  a, f(x)  ) TCD : x=a 2) (x  , f(x)  b) TCN : y=b TCX : y = ax + b 3) (x  , f(x)  )  ( ) ⎯⎯ a → f(x) – a.x ⎯⎯ → b 4) Các trường hợp khác khơng có tiệm cận thẳng Ví dụ Khảo sát tiệm cận y = x + √ +1 Giải  D(f) = (–, +)   f(x) = ( ) √ √ = (f(x) – 2.x ) = =0  =2  √ Sơ đồ khảo sát 1) Miền xác định f(x)  Tính bị chặn, đối xứng, tuần hồn 2) Sự biến thiên  Xét dấu f’  y=0 TCX : y = 2x =0 Maple (3)  Tìm I = D(f) , TCN : đơn điệu, cực trị  Xét dấu f”  lồi, lõm, uốn  Bảng biến thiên (x, y’, y”, y) 3) Tìm tiệm cận  Tìm loại tiệm cận thẳng 4) Vẽ đồ thị  Hệ tọa độ, điểm mốc, tiệm cận  Vẽ đồ thị theo bảng biến thiên  Bỏ qua khảo sát tính lồi lõm  Tiệm cận thẳng  Các điểm mốc Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị y = Giải a) D(f) : < x  f(+0) = 0, f(1±0) = ±, f(+) = + b)  f’(x) = =0  x=e  f”(x) = =0  x = e2  x f’ – f” – – + f – c) e e2 + + + – +  lim f(x) =  TCD ± ( )  lim x=1 = 0, lim (f(x) – 0.x) =  Khơng có TCX d) Maple (4) ( − 2) Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị y = Giải a) D(f) = (–, +) f() =  b)  x  0, f’(x) = =0  ( x= )  x – f’(x) + – + + + + 0 f(x) − √ - c) 1−  f(x) = ~ 1− TCX y = + = − d) Maple (5) Phương trình tham số Cho   (Oxy), M(x, y)    Phương trình đường cong − + +) f(x, y) = (TQ) +) y = f(x) (CT) +) x = x(t), y = y(t) (TS)  Hai toán Sơ đồ khảo sát x = x(t), y = y(t) 1) Miền xác định  Tìm I = D(x)  D(y), điểm biên  Tính bị chặn, tuần hoàn, đối xứng, 2) Sự biến thiên  Xét dấu x’(t), y’(t) y’(x) = ( ) ( )  Bảng biến thiên (t, x’, x, y’, y, y’(x)) 3) Tiệm cận  x(t) ⎯⎯ a, y(t) ⎯⎯  TCD x=a x(t) ⎯⎯ , y(t) ⎯⎯ b TCN y=b → → → →  (x(t), y(t)) ⎯⎯  → +) ( ) ( ) ⎯⎯ a TCX y = ax + b → y(t) – a.x(t) ⎯⎯ b → +) Các trường hợp khác khơng có tiệm cận 4) Vẽ đồ thị  Hệ tọa độ, điểm mốc, tiệm cận  Vẽ theo t Ví dụ Khảo sát x= Giải a)  I = (–,–1)  (–1, +) ,y= lim x(t) = 0, lim y(t) = ± ± lim x(t) =  , lim y(t) =  ± ± b)  x’(t) = ( =0  ) t= √ = x() = √4 =  , y() = √2 =   y’(t) = ( =0  ) t = 0, t =  x(0) = y(0) = 0, x() = , y() =   y’(x) = ( ) =0  t = 0, t =   t – x’(t) + –1 +   – + +  x(t)  0 – y’(t) – – + – +  y(t)  0 – y’(x) – +  c)  lim ± ( ) ( ) TCX = –1 , lim (y(t) + x(t)) = –1 ± y = –x – d) Maple (6) Phương trình tọa độ cực Tọa độ cực  (O, ⃗) – M y r  x O  M  (r, )  ℝ+ (–,–] Tọa độ cực  x = r.cos y = r.sin + r= cos = , sin = Tọa độ cực mở rộng  (r, )  ℝ2  M +) C(O, | r |) +)  = 0 + k2, – < 0  : ( ⃗, ⃗ ) = 0 +) M = T  M(r, )  (r,  + 2)  (–r, )  (r, –), –M(–r, ), – (–r, –) Maple (7) Sơ đồ khảo sát r = r() 1) Miền xác định  Tìm I = D(r), điểm biên  Tính bị chặn, đối xứng, tuần hồn 2) Sự biến thiên  Xét dấu r’()  Tìm V = ( V ⃗, ⃗) M tanV = ( ) ( )    Bbt(, r’, r, tanV) O T 3) Tiệm cận  lim r() = R TCT r=R  lim r() =  +) X = rcos( – ), Y = rsin( – ) +) lim Y() = b TTC Y = b 4) Đồ thị  Hệ toạ độ, điểm mốc, tiệm cận  Vẽ theo chiều quay Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị r = + 2cos  Giải a)  D(r) = ℝ  | r() | = |1+ 2cos()|  3, T = 2, r(–) = r() b)   [0, ]  r’() = –2sin() < 0, tan(V) =    – r’() r() –1 tan(V)  − c) Khơng có tiệm cận d) Maple (8) Ví dụ Khảo sát đường cong r = sin(3)  Giải a)  D(r) = ℝ  | r() |  1, T = , r(–) = –r() b)   [0, ]  r’() = 3cos(3) =  = tan(V) = tan   + r’() – r() 0 tan(V)  c) Khơng có tiệm cận d) Maple (9) Ví dụ Khảo sát đường cong r = Giải a)  D = ℝ – {–1}, ± r() =  , r() = b)  r’() = ( > 0, tan(V) = (1 + ) )   – –1 + r’() + + r() + – tanV + 0 c)  lim r.sin(1 + ) = –1, tiệm cận Y = –1 ± d) Maple (10) +