DẠNG TỐN 32: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO TRONG KHÔNG GIAN BÀI TẬP MẪU a a b a 1;0;3 b 2; 2;5 Trong không gian Oxyz , cho vectơ Tích vơ hướng A 25 B 23 C 27 D 29 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính tích vơ hướng hai vectơ không gian Oxyz KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tọa độ vectơ tọa độ điểm a a1 ; a2 ; a3 a a1 i a2 j a3 k M x; y; z OM x; y; z Tính chất Cho vectơ a x; y; z b x; y, z + a b x x; y y ; z z + k a kx; ky; kz + x x ' a b y y ' z z ' Tích vơ hướng hai vectơ: Cho vecto + a x; y; z b x; y, z Khi đó: a x2 y z a + b xx yy zz a.b x.x ' y y ' z.z ' cos a, b a.b x y z x '2 y '2 z '2 + Trang1 Mối liên hệ tọa độ điểm tọa vectơ Cho + + A x A ; y A ; z A ; B xB ; y B ; z B ; C xC ; yC ; zC AB xB xA ; y B y A ; z B z A AB xB Khi đó: xA yB y A z B z A x A xB xI y A yB yI z A zB zI I xI ; y I ; z I + Nếu trung điểm AB + Nếu G xG ; yG ; zG x A xB xC x G y A y B zC yG z A z B zC zG trọng tâm tam giác ABC Tích có hướng: Cho a a1 ; a2 ; a3 ; b b1 ; b2 ; b3 a, b Khi đó: a2 a3 b2 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 b1 b2 Ứng dụng: S ABC AB, AC + Diện tích tam giác ABC : + Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD AB, AC AD a , b 0 + Hai vectơ a, b phương a , b c 0 + Ba vectơ a, b, c đồng phẳng HƯỚNG GIẢI: B1: Tính tổng hai vecto a b B2: a b a Tính tích vơ hướng Trang2 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Ta có: Suy a b 1; 2;8 a a b 1.1 2.0 8.3 23 Bài tập tương tự mở rộng A 2; 1;3 B 3; 2; Câu 32.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , Vectơ AB có tọa độ A 1; 3; B 1;3; C 1;3; D 1; 3; Lời giải Chọn B AB 2; 1 ; 3 Vậy AB 1;3; A 1; 2; 1 B 2; 1; 3 C 3; 5;1 Câu 32.2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D 2; 8; 3 B D 2; 2; C D 4; 8; 5 D D 4; 8; 3 Lời giải Chọn D xD yD 6 z D 4;8; 3 xD 1; y D 2; z D 1 5;6; D Ta có: AD BC A 1; 2; B 2; 4; 1 Câu 32.3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm , Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác OAB A G 1; 2;1 B G 2;1;1 C G 2;1;1 D G 6;3;3 Lời giải Chọn A Trang3 xA xB xO xG y A yB yO yG xG 1 z A z B zO yG 2 z 1 zG G Gọi G trọng tâm tam giác theo công thức ta có Vậy G 1; 2;1 A 3; 2;3 B 1; 2;5 Câu 32.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I 2; 2; 1 B I 2; 2;1 C I 1; 0; D I 2;0;8 Lời giải Chọn C A 3; 2;3 B 1; 2;5 Tọa độ trung điểm I đoạn AB với tính x A xB xI 1 y yB 0 I 1;0; yI A z A zB z I 4 A 1; 2;3 Câu 32.5 Trong khơng gian Oxyz , cho điểm Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng A Oyz M 1; 2;0 điểm M Tọa độ điểm M B M 0; 2;3 C M 1;0;0 D M 1; 0;3 Lời giải Chọn B Oyz , hồnh độ điểm A Điểm M hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng xA 0 Do tọa độ điểm M 0; 2;3 A 1; 2; 1 B 2;1; Câu 32.6 Tìm tọa độ điểm M trục Ox cách hai điểm điểm Trang4 1 M ;0; 2 A 3 M ;0; 2 B 2 M ;0; 3 C 1 M ;0;0 3 D Lời giải Chọn B Gọi M x;0; Ox 2 3 MA MB MA2 MB x x x M ;0;0 2 Ta có: u 2;3; 1 v 5; 4; m Câu 32.7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ Tìm m u để v A m 0 B m 2 C m 4 D m Lời giải Chọn D u v u v 0 10 12 m 0 m 0 m Ta có A 1; 2; B 1;1; C 0;0; Câu 32.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho , , Tìm số đo góc ABC O A 60 O B 135 C 120 O D 45 Lời giải Chọn B BA.BC cos ABC BA 0;1;0 BC 1; 1;0 BA.BC ABC 135O Ta có: , Câu 32.9 Trong khơng gian với hệ tọa độ O; i ; j ; k , cho hai vectơ a 2; 1; 4 b i 3k Tính a.b a A .b 13 a B .b 5 a C .b 10 a D .b 11 Lời giải Chọn C Ta có b 1;0; 3 a nên b 2 12 10 Trang5 M 3; 1; Câu 32.10 Trong không gian Oxyz , điểm N đối xứng với qua trục Oy A N 3;1; B N 3; 1; C N 3; 1; D N 3;1; Lời giải Chọn B Điểm đối xứng với điểm M 3; 1; N 3; 1; qua trục Oy A 1; 4; Câu 32.11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm Tọa độ điểm A đối xứng với Oxz điểm A qua mặt phẳng A 1; 4;5 B 1; 4;5 C 1; 4;5 D 1; 4; 5 Lời giải Chọn D Đối xứng điểm A 1; 4; A 1; 4; 5 qua mặt phẳng Oxz điểm A 2;1; 3 B 1;0; Câu 32.12 Trong không gian Oxyz cho hai điểm Độ dài đoạn thẳng AB A 3 C 11 B 11 D 27 Lời giải Chọn C + Tính AB Câu 32.13 Cho (1 2) 1 3 11 u 1;1;0 , v 0; 1;0 A 120 , góc hai vectơ u v B 45 C 135 D 60 Lời giải Chọn C u v u v cos u ,v Từ cơng thức tính tích vô hướng hai vectơ u v không gian: u.v cos u , v u.v Ta dễ dàng suy Trang6 Ta có: u.v 1.0 1 0.0 u.v cos u , v u , v 1350 u.v Khi đó: u.v 1 2 12 02 02 1 02 Oxyz a (1; 1; 2) b (2;1; 1) a Câu 32.14 Trong không gian cho hai vectơ Tính b a A .b (2; 1; 2) a B .b ( 1;5;3) a D .b a C .b 1 Lời giải Chọn D Ta có a.b 1.2 ( 1).1 2.( 1) a 1;2;3 Câu 32.15 Cho vectơ A v 23;7;3 ; b 2;4;1 B v 7; 23;3 c 1;3;4 ; C Vectơ v 2a 3b 5c có tọa độ v 3;7; 23 D v 7;3; 23 Lời giải Chọn C 2a 2; 4;6 3b 6; 12; 3 5c 5;15; 20 Ta có: , , v 2a 3b 5c 3;7; 23 u, v u 1; 2; 1 v 2;3;0 Câu 32.16 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho Tính u , v 3; 2; 1 A u, v 3; 2;1 B u, v 3; 2; 1 C D u, v 3; 2;1 Lời giải Chọn C u, v 3; 2; 1 Ta có: a m;1;0 , b 2; m 1;1 c 1; m 1;1 Câu 32.17 Trong không gian Oxyz , cho vectơ , Tìm m a để ba vectơ , b , c đồng phẳng A m m B C m D m Trang7 Lời giải Chọn D a; b 1; m; m m a; b c 2m Ta có: m a,b, c a; b c 0 2m 0 Ba véctơ a , b , đồng phẳng a 0;3;1 b 3;0; 1 Oxyz Câu 32.18 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ , Tính cos a, b cos a, b 100 A cos a, b 10 B cos a, b 10 C cos a, b 100 D Hướng dẫn giải Chọn B 0.3 3.0 1 a.b cos a, b cos a, b 2 2 a.b 1 10 Ta có Câu 32.19 Cho hai vec tơ A 12 a 1; 2;3 , b 2;1; B a b b Khi tích vơ hướng C 11 D 10 Lời giải Chọn C Ta có a b 1; 1;5 a b b 1 2.5 11 A 1;0;0 B 0;0;1 C 2;1;1 Câu 32.20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có , , Diện tích tam giác ABC A 11 B C D Lời giải Trang8 AB 1;0;1 AC 1;1;1 AB; AC 1; 2; 1 , S ABC AB; AC 2 Trang9