SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP THÀNH PHỐ KHĨA THI NGÀY 04.03.2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) sin x  sin x  sin x  4(sin x  cos x) b) (3 x  2) x   x  x  Bài (3 điểm) Giải hệ phương trình:  16 x  xy  y  12  8 x  xy  28 x  y  18 Bài (3 điểm) Cho hai số không âm a, b thỏa mãn điều kiện a  b  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   a 2014   b 2014 Bài (4 điểm) Tìm m để phương trình: mx  mx   mx  có nghiệm Bài (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA  hình chiếu H A lên mặt ( SBC ) trực tâm tam giác SBC (H nằm tam giác SBC) Giả sử góc hai mặt ( HAB ) ( ABC ) có số đo 300, tính thể tích khối chóp S ABC Bài (2 điểm) Với số tự nhiên n  , gọi an hệ số x khai triển nhị thức (5  x ) n Tìm giá trị n để biểu thức A  giá trị 48 HẾT 52 53 54 5n có     a2 a3 a4 an ĐÁP ÁN Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) sin x  sin x  sin x  4(sin x  cos x) Giải b) (3 x  2) x   x  x  a/ sin x  sin x  sin x  4(sin x  cos x)  3sin x  4sin x  sin x  sin x  4(1  3sin x cos x)  3sin x  3sin 2 x  4sin x    (3sin 2 x  4)(sin x  1)   sin x  x  (1đ) (0,5đ)  k (0,5đ) b/ (3 x  2) x   x  x   2(2 x  3)  (3 x  2) x   x  x  Đặt t  x  Pt  2t  (3 x  2)t  x  x   t  x   t  * t  x 1 x (1đ) x   x   x  x   ( x  1)  x   *t (0,5đ) x 2x2   x 12  x  12  ( x  0)  x  Bài (3 điểm) Giải hệ phương trình:  16 x  xy  y  12 (1)  8 x  xy  28 x  y  18 (2) Giải Nhận thấy x  khơng thỏa hệ phương trình x  28 x  18 Từ (2) ta có y  (3), (3) vào (1) ta được:  4x (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ)  x  28 x  18  324( x  1) 2  12( x  1)   x   12 x  12   (5  x)  4x    ( x  1)  27( x  1)  ( x  1)(5  x)    ( x  1)(2 x  1)3  (0,5đ) (1đ) x   x  x   Ta nhận nghiệm:    x   y  2  y    Cách khác: (1)  (2)   32 x  12 xy  y  56 x  10 y  24   ( y  x  6)( y  x  4)   y   x  y   x (1đ) (0,5đ) (0,5đ)  x  1 x  Thế y   x vào (1) ta x   x  , cho nghiệm   (1đ)  y  2  y    x  Thế y   x vào (1) ta x  , cho nghiệm  (1đ) 2  y  Bài (3 điểm) Cho hai số không âm a, b thỏa mãn điều kiện a  b  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   a 2014   b 2014 Giải  Giá trị lớn nhất: P   a 2014   b 2014   a   b  Q (0,25đ) Ta có Q   a  b  (1  a )(1  b )   2ab  2  2ab  a 2b (0,25đ) Đặt t  ab   t  ( a  b)  4 (0,25đ) Xét hàm số f (t )  t  2t   t với t  [0; ] t 1 Ta có: f / (t )    t   f nghịch biến đoạn [0; ] t  2t   f (t )  f (0)  2, t   f (ab)  (0,25đ)  Q2   2  Q    P   Đẳng thức xảy a  0, b  hay a  1, b  (0,25đ) (0,25đ) Vậy giá trị lớn P   Giá trị nhỏ nhất: Xét hàm số f ( x)   x 2014 1007 x 2012 (1006 x 2014  2013) Ta có f // ( x)   0, x  R , tức hàm số f / ( x) đồng 2014 3/2 (x  1) biến R (0,25đ) 1 Xét hàm số g ( x)  f ( x)  f / ( )( x  )  f ( ) 2 1 1 Ta có: g / ( x)  f / ( x)  f / ( )  g / ( )  0, g / ( x )  0, x  , g / ( x )  0, x  2 2 1 1  g ( x)  g ( )  hay f ( x)  f / ( )( x  )  f ( ), x  R (*) (0,75đ) 2 2 1 1 Từ (*) ta có: f (a )  f (b)  f ( )(a  b  1)  f ( )  f ( )     2 2 / 2014 (0,5đ) 2014 1 Vậy giá trị nhỏ P    2 Bài (4 điểm) Tìm m để phương trình: mx  mx   mx  có nghiệm Giải (0,25đ) m  : phương trình vơ nghiệm (0,25đ) m  : phương trình  t  t   t  (t  mx) m t2 (0,5đ)  t  t   t 1  m  (t  1, t  1) m t t 2 t2 (t  1, t  1) Xét hàm số f (t )  t t 2 t  4t (0,5đ) f / (t )    t  0t  (t  t  2) Bảng biến thiên t – y/ + –2 –1 || + + || y || || – –1/2   || – + + || + || || (1,5đ) 8/9 Phương trình f (t )  m có nghiệm khoảng [1; )  m    m   m 1 (1đ) Bài (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA  hình chiếu H A lên mặt ( SBC ) trực tâm tam giác SBC (H nằm tam giác SBC) Giả sử góc hai mặt ( HAB ) ( ABC ) có số đo 300, tính thể tích khối chóp S ABC Giải Gọi D, E, F chân đường cao vẽ từ B, C, S  SBC; M trung điểm AB O giao điểm AF CM BC  (SAF)  (ABC)  (SAF) SC  (ABD)  SC  AB  AB  (SMC)  (ABC)  (SMC) Mà (SAF)  (SMC) = SO nên SO  (ABC) (1,5đ)  S.ABC hình chóp  SB = SC = SA  (0,5đ)   600 (0,5đ) [(HAB),(ABC)] = [(DAB),(ABC)] = [MD,MC] = 300  SCM  OC = , SO =  BC = (0,5đ)  SABC = (0,5đ) Thể tích khối chóp S.ABC : VS.ABC = (0,5đ) S D E H C A O M F B Bài (2 điểm) Với số tự nhiên n  , gọi an hệ số x khai triển nhị thức 52 53 54 5n có (5  x ) Tìm giá tri n để biểu thức A      a2 a3 a4 an giá trị 48 n Giải Ta có : an  Cn2 5n 2 n 25 50 1    50(  ) an Cn n(n  1) n 1 n 1 1 1  )  50(1  )  A  50(      2 n 1 n n A  48  n  25  (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)