ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014 Câu 1: Giải phương trình sin 2009 x  cos 2010 x 2(sin 2011 x  cos 2012 x)  2014 cos x 2013 Lời giải Phương trình  sin 2009 x(1  2sin x)  cos 2010 x(2 cos x  1)  2014 cos x 0 2013 2014    cos x  sin 2009 x  cos 2010 x   0 2013    cos x 0 (1)   2009 2014  sin x  cos 2010 x  0 (2) 2013    (1)  x   k (k  Z) +) +) (2) có vế trái nhỏ nên (2) vơ nghiệm   x   k (k  ) Vậy phương trình có nghiệm  2( x  y )(1  xy )   2 Câu 2: Giải hệ phương trình  x  y 1 Lời giải 2 Do x  y 1  a  [0; 2 ] cho x sin a, y cos a Khi từ (1) ta có 2(sin a  cos a)(1  4sin a cos a)   sin a  2sin 2a.sin a  cos a  2sin a.cos a   sin a  (cos a  cos 3a)  cos a  (sin 3a  sin a)   cos 3a  sin 3a  13 17 37 41 61 65  a  [0; 2 ]  a   ; ; ; ; ;  36 36 36 36 36 36   Do Vậy hệ có nghiệm 13   17 17   37 37  13 ( x; y )  sin ; cos ; cos ; cos  ;  sin  ;  sin 36 36   36 36   36 36  61 61  ; cos  sin 36 36  65 65   ;cos   sin 36 36  ; 2 2 k n Tính tổng S 1 Cn  Cn   k Cn   n Cn Lời giải n 2 k k n n Ta có (1  x) Cn  Cn x  Cn x   Cn x   Cn x Lấy đạo hàm hai vế ta n(1  x) n  Cn1  2Cn2 x   kCnk x k    nCnn x n  (1) n 1 k n Thay x 1 ta n.2 Cn  2Cn   kCn   nCn (2) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta n(n  1)(1  x ) n  2Cn2   k (k  1)Cnk x k    n(n  1)Cnn x n 41 41    ;cos  ;  sin  36 36  ;      Câu 3: * ( n  N ) Thay x 1 ta n(n  1)2n  2Cn2   k (k  1)Cnk   n(n  1)Cnn (3) Cộng theo vế (2) (3) ta n.2n   n( n  1)2n  Cn1  2Cn2   kCnk   nCnn 2Cn2   k (k  1)Cnk   n(n  1)Cnn  n(n  1).2n  12.Cn1  22 Cn2   n 2Cnn n Vậy S n(n  1).2 Câu 4: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để số chọn khơng có chữ số có mặt chữ số 1,3,5 đồng thời chữ số đứng trước chữ số chữ số đứng trước chữ số Lời giải Số phần tử tập A 9.A9 Xét số chọn - Có C7 cách chọn số vị trí để xếp chữ số 1,3,5 Ứng với cách chọn có cách xếp ba chữ số - Có A6 cách chọn chữ số khác cịn lại xếp vào vị trí cịn lại Do có C7 A6 số chọn P Vậy xác suất để chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 5: C73 A64 A9 = 216 Cho hình chóp S.ABC, G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng ( ) cắt tia SA SB SC SG   3     SA, SB, SC , SG theo thứ tự A , B , C , G Chứng minh SA SB SC  SG Lời giải SA SB SC SG       a, b, c, d       SA  aSA SB  bSB SA SB SC SG Đặt Theo ta suy , , SC cSC  ,   SG d SG   1   SG  ( SA  SB  SC ) Do G trọng tâm tam giác ABC nên     SG   (aSA  bSB  cSC ) 3d Suy Mặt khác A, B, C , G đồng phẳng nên từ đẳng thức ta có a b c SA SB SC SG   1  a  b  c 3d    3 3d 3d 3d SA SB SC  SG Câu 6:  Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân, AB  AC a , góc BAC 120 , BB a , I trung điểm CC  Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  Lời giải Gọi K BC  BI Suy AK ( ABC )  ( ABI ) Kẻ AH  AK , H  BC Kẻ HE / / BB, E  BI , BB  ( ABC ) nên HE  ( ABC )  HE  AK Khi AK  ( AHE )  ABC  ABI  Góc hai mặt phẳng    ( AH , AE ) HAE BC  AB  AC  AB AC.cos1200 3a  BC a +) Ta thấy CI đường trung bình tam giác KBB nên C trung điểm BK , BK 2 BC 2a AK  AB  BK  AB.BK cos 300 7a  AK a AK  BK  AB AK 14 3a   HK   AK BK 21 cos AKB 21a AH  HK  AK  cos AKB  HE HE KH BB.KH 7a  tan  tan HAE     HE   AH KB , +) Ta có BB KB 10 30  1  tan  1    cos   cos  3 10 Câu 7: 0;1 Cho y  f ( x) hàm số liên tục đoạn   f (0)  f (1) Chứng minh phương trình 1  f ( x )  f  x   0 2  có nghiệm đoạn  1  0;  Lời giải 1   1 g ( x)  f ( x)  f  x   x    0;1  x    ;   , f  x  liên tục đoạn  0;1 ,   2  nên Xét  1 0; g ( x) liên tục   1  1 g (0)  f (0)  f   , g    f  2  2 Ta có 1 1  g (0)  g    f (0)  f     2  2 1    f (1)  2 1 f    f (1) 0  2 1 g   0 x g   0 g ( x )  +) Nếu   suy có hai nghiệm x 0  1  1 1 g   0  g (0) g  g (0) g    g 0  2 +) Nếu       hai số đối nên , tồn  1 x0   0;    để g ( x0 ) 0 , nên x0 nghiệm phương trình g  x  0  1  0;  Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  x1 10, x2 4, x3 2014  x  xn 2  xn 1  xn , n 1 ( x ) n Câu 8: Cho dãy số xác định sau:  n 3 Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn dãy số Lời giải  a1 2014 b1 4   an 1 3 an , n 1 bn 1 3 bn , n 1 ( a ) ( b )   n n Xét dãy sau: , Ta thấy ( an ) dãy giãm dần dãy (bn ) tăng dần Suy lim an lim bn 9 (1) an max{x3n , x3n 1 , x3n 2 } (n 1)  bn min{x3n , x3n 1 , x3n 2 } Ta chứng minh (2) Thật vậy, với n 1 (2) hiển nhiên Giả sử (2) với n k 1 Khi với n k  ta có bk 1 3 bk  x3k  x3k 1  x3k 2  x3k 3 3 ak ak 1 bk 1 3 bk 2 bk  bk 1  x3k 1  x3k   x3k 3  x3k 4 2 ak  ak 1 3 ak ak 1 bk 1 3 bk  bk  bk 1  x3k 1  x3k   x3k 4 x3k 5  ak  ak 1 3 ak ak 1  ak 1 max{x3k 3 , x3k 4 , x3k 5 }  bk 1 min{x3 k 3 , x3 k 4 , x3 k 5 } Suy Suy (2) với n k  , (2) với số tự nhiên khác Từ (1), (2) theo định lí kẹp ta có lim x3n lim x3n 1 lim x3n 2 lim an lim bn 9 Vậy lim xn 9 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 27 sin x  33cos x Lời giải +) Tìm max y : Ta có y 27 sin x  33cos x 27 sin x  33cos x (1) Ta chứng minh: 27 sin x  33cos x 33 , x  R (2) Câu 9: Thật 2 (2)  33(1  cos x)  27 sin x 0  33(1  cos x)  27(1  cos x) 0  (1  cos x)  33  27(1  cos x)(1  cos x)  0 (3) Theo BĐT côsi: 27 27   27(1  cos x)(1  cos x)(1  cos x)  (2  cos x)(1  cos x)(1  cos x)    32  33 2  3 y  33,  x  R BĐT (3) suy BĐT (2) Vậy cos x 1   x k 2 sin x  sin x  Dấu “=” , suy max y 33 +) Tương tự: y 27 sin x  33cos x  27 sin x  33cos x , y  33 x   k 2 Câu 10: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 3 Chứng minh rằng: 1 1    2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có ab  bc  ca 3 (abc)  abc 1 1  a (b  c) abc  a (b  c) a (ab  bc  ca ) 3a   (1)  a (b  c) 3a Suy ra: 1 1  (2),  (3)  c (a  b) 3c Tương tự ta có:  b (c  a ) 3b Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab  bc  ca    (   )  2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy a b c 1