Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Nghệ An bảng A (3,5 điểm) Câu (3,5 điểm) mn m n a) Cho m, n số nguyên Chứng minh chia hết cho 2 b) Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa măn p 14q 2r 6 pqr Câu (6,5 điểm) a) Giải phưong trình (13 x 1) x (7 x 1) x x x y x y 7 x b) Giải hệ phương trình x( y x 1) 3 2 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x y z xy yz zx x P (2y z) xy(y 2z) Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) , đường kính BC 2R điềm A thay đổi nửa đường trịn ( A không trùng với B C ) Vẽ AH vng góc với BC H Gọi I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự M N a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân PA PB2 PC 1 b) Gọi P giao điểm BI CJ Chứng minh CA AB AB BC BC CA c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác HIJ theo R Câu (1,5 điểm) Trên khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m Người ta muốn xây sân bóng nhân tạo có đất hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m bồn hoa hình trịn đường kính m Chứng minh dù xây trước bồn hoa vị trí phần đất cịn lại ln tìm đất kích thước 25 m 35 m đế xây sân bóng -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 46 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,5 điểm) mn m n a) Cho m, n số nguyên Chứng minh chia hết cho 2 b) Tìm tất số nguyên tố p, q, r thỏa mãn p 14q 2r 6 pqr Lời giải mn m n2 m3 n mn3 m3 n mn mn mn3 n m3 m m n3 n a) Ta có Với số nguyên a , ta có a a a (a 1)(a 1) Vì a 1, a, a số nguyên liên tiếp nên a (a 1)(a 1) 6 a a 6 , với số nguyên a m3 m6 n m3 m m n3 n 6 mn m n 6 n n Từ suy b) +) Nếu q khong chia het cho r khong chia het cho q 1( mod 3] r 1( mod 3) 14q 2[ mod 3] 14q 2r 1( mod 3) 2r 1( mod 3) q 3 r 3 Suy p 2( mod 3) (vô lý) +) Với q 3 p 2r 18 pr Nếu p lẻ p 2r lẻ 18( pr 7) chẵn nên không tồn p, r thỏa mãn p 2 r 5 r -18r 65 0 r 13 Khi p 2 , thay trở lại ta có : 2 +)Với r 3 p 14q 18( pq 1) 2 Nếu p lẻ p 14q 18( pq 1) chẵn nên không tồn p, q thỏa mãn p 2 q 1 p 18q 11 0 q 11 Khi p 2 , thay trở lại ta có : Vậy ( p; q; r ) (2;3;5) hoặc ( p; q; r ) (2;3;13) Câu (6,5 điểm) a) Giải phưong trình (13 x 1) x (7 x 1) x x x y x y 7 x b) Giải hệ phương trình x( y x 1) 3 Lời giải x a) Điều kiện CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 47 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 14 x (8 x 1) 3(2 x 1) a 3b a x ( a 0, b 0) 26 x (2 x 1) 3(8 x 1) b 3a b 2x Đặt Khi phương trình trở thành a 3b2 a b 3a b 8 (a b)3 8 a b 2 Với a b 2 x 2 x x x ( x 2) 8x 3 x 1 x 2 x (3x 1) 4(2 x 1) x xy 7 x (1) (2) b) Hệ phương trình cho tương đương với xy x x Thay (2) vào (1) ta có 2x x 3 7 x x x3 13x 13x 0 x 0 x ( x 1) 13x( x 1) 0 x( x 1) x 13 0 x 1 Thay vào (2) ta thấy Khi x 0 y 3 (không thỏa mãn) Khi x 1 y 3 Vậy nghiệm hệ cho ( x; y ) (1;3) 2 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x y z xy yz zx x P (2y z) xy(y 2z) Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 2 Ta có x y z xy yz zx ( x z ) ( x y )( y 3z ) ( x y 3z ) x y y 3z x y 3z 2( x z ) y z x x 2 y z (1) Do (2 y z ) +) Lai có: 1 y y 2z 1 xy ( y z ) x (3 y )( y z ) x x (2 y z ) (2 y z ) 3 3 (2) P y z (2 y z )3 Từ (1), (2) suy CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 48 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2t 9t 27 P t t t t 9 9t Đặt 2y z t, t Ta có 2 t 6t (2t 3) (t 3) (2t 3) ; t 9t 9t Dấu "=" xảy t 3 x 3 z x 3 max P y z y 1 y z 3 z 1 Vậy Câu (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) , đường kính BC 2R điềm A thay đổi nửa đường trịn ( A khơng trùng với B C ) Vẽ AH vng góc với BC H Gọi I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự M N a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân PA PB2 PC 1 b) Gọi P giao điểm BI CJ Chứng minh CA AB AB BC BC CA c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác HIJ theo R Lời giải a)Ta có BAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) +) Tam giác ABC vng A , đường cao AH suy HI HA IHA#JHC(g.g ) HJ HC (2) +) Lại có HA HB HC HA HC HB HA (1) HI HB Từ (1) (2) suy HJ HA Đồng thời IHJ AHB 90 HIJ#HBA (c.g.e) HBA HIJ MIH MBH 180 Suy IMB IHB 180 IMB 135 AMN 45 Suy tam giác AMN vuông cân tai A CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 49 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b) Ta có AP phân giác BAC Qua P vẽ đường thẳng vng góc với AP , cắt AB, AC theo thứ tự D E Suy tam giác ADE vuông cân A Suy BDP BPC PEC 135 Khi đó, ta có: PD PC DBP#PBC(g g) BD PB PB2 DB BC (3) +) PE PB EPC#PBC(g g) CE PC PC2 BC CE (4) +) PD PE PC PB 1 PD PE BD CE BD CE PD PE PE BD CE PB PC Suy ra: PD PE) ( Áp dụng định lí Pytago cho tam giác PAE vuông P ta có: PA AE PE AE BD CE AE AD BD CE, theo (5) ( AC CE )( AB BD ) BD.CE AB AC BD AC AB.CE PA2 BC AB AC.BC ( BC.BD ) AC AB ( EC.BC ) PA2 BC AB AC.BC PB AC PC AB , kết hợp với (3) (4) PA PB2 PC PA PB2 PC 1 1 AB AC BC AB AC BC AB AC AB BC BC CA c) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 50 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Gọi K F theo thứ tụ giao điêm Al; AJ với BC Ta có AFC FAC ACF AFC BAF BAF BAF HAF BAH cân B BF BA Tương tư CAK cân C CK CA Khi đó: KF CK CF CK (BC BF) AC AB BC Xét tam giác KAJ có KAJ 45 ; JA JK (do J nằm CJ trung trưc đoạn AK ) AJ AI J F AK AF Tương tư FAI vuông cân KAJ vuông cân AJ AI IJ AJ AJI #AKF(c g c) FK AK Từ suy AK AF AB2 AC BC FK AB AC BC BC BC BC( 1) IJ 2 2 Đẳng thức xảy AB AC 2 Lại có IHJ vng H suy IH JH IJ BC( 1) IH JH IH JH 2JJ IJ BC( 1) Mặt khác Đẳng thức xảy IH JH IH JH IJ BC( 1) BC 2R BC( 1) R 2 2 Từ (8) (9) suy Dấu "=" xảy A điểm chính cung BC Vậy GTLN chu vi HIJ R , A điểm chinh cung BC Câu (1,5 điểm) Trên khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m Người ta muốn xây sân bóng nhân tạo có đất hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m bồn hoa hình trịn đường kính m Chứng minh dù xây trước bồn hoa vị trí phần đất cịn lại ln tìm đất kích thước 25 m 35 m đế xây sân bóng Lời giải Ta chia mảnh đát hình chữ nhật ban đầu thành mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 30 m 40 m (như hình vẽ) Có tất 10 hình chữ nhật 30 m 40 m CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 51 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Theo nguyên li Dicrichle tồn it hình chữ nhật 30 m 40 m khơng chứa tâm hình trịn hình trịn nói Giả sử ABCD Ta cắt cąnh mảnh đất ABCD 2,5 m mảnh đất MNPQ có: Chiều rộng MN 30 2.2,5 25 m Chiều dài NP 40 2.2,5 35 m Suy MNPQ mảnh đất đủ để xây sân bóng theo yêu cẩu Như phần đất lại sau xây bồn hoa ta ln tìm mành đất có kích thước 25 m 35 m đế xây sân bóng CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 52