40 hsg9 bảng a nghệ an

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 46  Tỉnh Nghệ An bảng A Câu 1 (3,5 điểm) Câu 1 (3,5[.]

Tỉnh Nghệ An bảng ACâu 1.(3,5 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Cho m, n là các số nguyên Chứng minh rằng  22

mn m n chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q r, , thỏa măn p214q22r26pqr

Câu 2 (6,5 điểm)a) Giải phưong trình (13x1) 2x 1 (7x1) 8x 1 4 b) Giải hệ phương trình 43222 7( 1) 3xx yx yxx yx     

Câu 3 (1,5 điểm) Cho các số thực dương x y, thỏa mãn x2y2z2xy3yzzx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 1

(2y z) xy(y 2z)

 

 

Câu 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O) , đường kính BC2R và một điềm A thay đổi trên nửa đường tròn đó (A khơng trùng với Bvà C) Vẽ AHvng góc vớiBCtại H Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ Chứng minh

222

PA PB PC

1CA AB AB BC BC CA 

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m Người ta muốn xây một sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m và 9 bồn hoa hình trịn đường kính 5 m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất cịn lại ln tìm được một nền đất kích thước 25 m 35 m đế xây sân bóng

-Hết -

9

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.(3,5 điểm)

a) Cho m, n là các số nguyên Chứng minh rằng  22

mn m n chia hết cho 6

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q r, , thỏa mãn p214q22r26pqr

Lời giải

a) Ta có  22 3333  3  3 

mn m n m n mn m n mn mn mn nm m m n n

Với mọi số nguyên a, ta có a3 aa a( 1)(a1)

Vì a1, ,a a là 3 số nguyên liên tiếp nên 1 a a( 1)(a1) 6 a3a6, với mọi số nguyên a

Từ đó suy ra 3  3  3 366 6mmn mmm nnnn     mn m 2n2 6b) +) Nếu 222222

q khong chia het cho 3 1( mod 3] 14 2[ mod 3]

14 2 1( mod 3) r khong chia het cho 3 1( mod 3) 2 1( mod 3)

qqqrrr           

Suy ra p 2 2( mod 3)(vô lý) 33qr  +) Với 22 3 2 18 7q p  r  pr

Nếu plẻ p32r2 lẻ và 18(pr 7) chẵn nên không tồn tại p r, thỏa mãn  p2Khi p 2, thay trở lại ta có : 2 5

65 013-18r rrr    +)Với r 3 p214q2 18(pq1)

Nếu p lẻ p214q2và 18(pq 1) chẵn nên không tồn tại p q, thỏa mãn  p2

Khi  p2, thay trở lại ta có : 2

17 18 11 0 117qpqq  Vậy ( ; ; )p q r (2;3;5) hoặc ( ; ; )p q r (2;3;13)Câu 2 (6,5 điểm)a) Giải phưong trình (13x1) 2x 1 (7x1) 8x 1 4 b) Giải hệ phương trình 4 2 322 7( 1) 3xx yx yxx yx     Lời giải a) Điều kiện 12x  Đặt 22228 1 14 2 (8 1) 3(2 1) 3( 0, 0)26 2 (2 1) 3(8 1) 32 1axxxxababxxxbabx                     

Khi đó phương trình trên trở thành

lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ Chứng minh

222

PA PB PC

1CA AB AB BC BC CA 

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R

Lời giải

a)Ta có B CA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

+) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH suy ra 2 HA HC

HA HB HCHB HA    (1) +) Lại có HI HAIHA JHC(g )HJ HCg #   (2)Từ (1) và (2) suy ra HI HBHJ HA

Đồng thời IHJ AHB 90 HIJ HBA

    # (c.g.e)

   

HIJ HBA MIH MBH 180

    

Suy ra IMB IHB 180 IMB 135 AMN45 Suy ra tam giác AMN vuông cân tai A

lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC Đường thẳng IJ cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi P là giao điểm của BI và CJ Chứng minh

222

PA PB PC

1CA AB AB BC BC CA 

c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIJ theo R

Lời giải

a)Ta có B CA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

+) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH suy ra 2 HA HC

HA HB HCHB HA    (1) +) Lại có HI HAIHA JHC(g )HJ HCg #   (2)Từ (1) và (2) suy ra HI HBHJ HA

Đồng thời IHJ AHB 90 HIJ HBA

    # (c.g.e)

   

HIJ HBA MIH MBH 180

    

Suy ra IMB IHB 180 IMB 135 AMN45 Suy ra tam giác AMN vuông cân tai A

Ta có AP là phân giác của BAC Qua P vẽ đường thẳng vng góc với AP, cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E Suy ra tam giác ADE vuông cân tại A

Suy BDP BPC PEC 135  Khi đó, ta có: +) DBP PBC(g g) PD PCBD PB #     và PB2 DB BC (3) +) EPC PBC(g g) PE PBCE PC #    và PC2 BC CE (4) Suy ra: PD PE PC PB 1 PD PE BD CE BD CE PD PE PE2 (BD CE  PB PC           do PDPE)

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác PAE vng tại P ta có:

2222PA AE PE AE BD CE AE AD BD CE, theo (5)   (AC CE AB)( BD) BD CE AB AC BD AC AB CE.      2 ( ) ( )PA BCAB AC BCBC BD ACAB EC BC   222 .PA BCAB AC BCPB ACPC AB    , do kết hợp với (3) và (4) 222222PA PB PC PA PB PC1 1AB AC BC AB AC BC AB AC AB BC BC CA            c)

Gọi K và F theo thứ tụ là giao điêm của Al; AJ với BC Ta có

  

    

AFC FAC ACF

AFC BAF BAF

BAF HAF BAH

       cân tại BBFBA Tương tư CAK cân tại CCKCA

Xét tam giác KAJ có KAJ 45 ; JA JK

  (do J nằm trên CJ là trung trưc đoạn AK )

KAJ

  vuông cân tại AJ 1

AK 2

J   Tương tư FAI vuông cân tại F AI 1

AF 2

 

Từ đó suy ra AJ AI AJI AKF(c c) IJ AJ 1AK AF  #  g FK AK  2 222 AB AC BCFK AB AC BC 2 BC BC BC( 2 1)IJ2 2 2 2 2          Đẳng thức xảy ra khi ABAC

Lại có IHJ vng tại H suy ra IH2JH2 IJ2

Mặt khác  22 2 BC( 2 1)IH JH 2 IH JH 2JJ 2 IJ 2 BC( 2 1)2          Đẳng thức xảy ra khi IHJHTừ (8) và (9) suy ra IH JH IJ BC( 2 1) BC( 2 1) BC 2R R 22 2 2       

Dấu "=" xảy ra khi A là điểm chính giữa cung BC

Vậy GTLN của chu vi HIJ là R 2, khi A là điểm chinh giữa cung BC

Câu 5 (1,5 điểm) Trên một khu đất hình chữ nhật kích thước 100 m 120 m Người ta muốn xây một sân bóng nhân tạo có nền đất là hình chữ nhật kích thước 25 m 35 m và 9 bồn hoa hình trịn đường kính 5 m Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ở các vị trí như thế nào thì trên phần đất cịn lại ln tìm được một nền đất kích thước 25 m 35 m đế xây sân bóng

Lời giải

Ta chia mảnh đát hình chữ nhật ban đầu thành các mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 30 m 40 m (như hình vẽ) Có tất cả 10 hình chữ nhật 30 m 40 m

Theo nguyên li Dicrichle tồn tại it nhất một hình chữ nhật 30 m 40 m khơng chứa tâm hình trịn nào trong 9 hình trịn nói trên Giả sử đó là ABCD

Ta cắt mỗi cąnh của mảnh đất ABCD này đi 2,5 m được một mảnh đất mới MNPQ có: Chiều rộng MN30 2.2, 5 25 m

Chiều dài NP40 2.2,5 35 m

Suy ra MNPQ là mảnh đất đủ để xây sân bóng theo yêu cẩu