tài liệu ôn thi đại học môn toán phần tích phân

tổng hợp kiến thức về tích phân ôn thi đại học biến đổi về tổng hiệu tích phân cơ bản,tính tích phân bằng phương pháp biến đổ biến số,tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần,tích phân bằng phương pháp phối hợp ,các đề thi đại học tích phân,ứng dụng tích phân

 Chuyên đề 4 : TÍCH PHÂN

 Vấn đề 1:

BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

8  u' dx cotu c2   

sin u

9 u'tan udx ln cosu c 

10 u'cot udx ln sin u c 

Đặc biệt: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c   f(ax b)dx 1F(ax b) c 

x a

B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007

Tính các tích phân sau:     





2 4 3 2

2 1

t(t 1), với x > 1 Từ đó tìm xlim I(x)

tlnt ln t 1 ln

a bxe

Tìm a và b biết rằng f’(0) =  22 và 1 

0f(x)dx 5

Giải

Ta có:  



x 3

(1) và (2) ta có hệ:

 Vấn đề 2:

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I

2 Phương pháp: Xét tích phân b

a

I f(x)du

- Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx

- Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2

- Suy ra: t2 t2t1

t1

Ig(t)dt g(t) (g(t) f[u(x)].u (x))  

Thường đặt ẩn phụ t là

 căn thức, hoặc mũ của e, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trong ngoặc

 có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có dx

dx đặt x atan t



B ĐỀ THI

ln t4

2

3

2t 6t 21t 10ln t3

ln x dxx(2 ln x)

dxI

1 tcos2x

sin x dx

4I

sin2x 2(1 sinx cosx)

sin x dx

4I

sin2x 2(1 sinx cosx)

Đặt t = sinx + cosx       

dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx

4 Đổi cận: x = 0  t = 1; x   t 2

1

x x 1

2 6

dx2x 1 4x 1

22ln t 1 2ln2 1

t 1

Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

sin2x dx

1 3sin x Đặt t = 1 + 3sin2x  dt = 3sin2xdx

xI

x x 1I

2 0

x 4x 1ln x 4 17.

17 16 ln2

dxI

e dxI

e dxI

e 1

I 1 cos x sinxcos xdx 1 cos x.cos x.sinx.cos xdx

Đặt t61 cos x 3 t6 1 cos x3 6t dt 3sinxcos xdx5  2

 2t5dt = sinxcos2xdx và cos3x = 1 – t6

 Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

Tính tích phaân: I =2 

1(x 2)ln xdx

1 1

1 2(2x 1)

 I =       

1

4 2

Tính tích phaân :   



1 0

x (1 2e ) e

1 2e

1 d(1 2e )

2 1 2e = 

1 x 0

I cos x 1 cos xdx

2 6

3 1 tan t dt 22

3 1 tan t 6 34

Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân: 

2 0

I1tsint0sintdt cost  2

1 sin2x dxcos x

 Vấn đề 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

b b

S f(x)dx f(x) dx

Từ bài toán 1 suy ra nếu f(x) không

dương trên đoạn [a, b]

 b b

S f(x)dx f(x) dx

Bài toán 2: (Tổng quát)

Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị lần lượt là (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường x = a,

x = b được xác định bởi công thức: b 

THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

I CÔNG THỨC THỂ TÍCH

Giả sử vật thể T được xác định bởi 2 mặt

phẳng ( ) và ( ) song song với nhau Ta  

chọn trục Ox sao cho nó vuông góc với

các mặt phẳng ( và () Ta có Ox  ()

= A, Ox  () = B Giả sử mặt phẳng

( ( ) Ox, ( ) Ox C,     () cắt vật thể T

có thiết diện là S(x)

Khi đó b

a

V S(x)dx

II BÀI TOÁN

Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox

Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x) y 2

 b 2

a

Bài toán 2: Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0,

y = a, y = b quay quanh trục Oy:

 b 2

a

Bài toán 3: Tính thể tích vật thể do hình phẳng

giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox:

Bài toán 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng

giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox

B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): x = x2 + 4x và đường thẳng d: y = x

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraol y = x2– x + 3 và đường thẳng d: y = 2x + 1

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox,

của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y = x sinx (0  x  )

2 2 Tính : I2 =





0xcos2xdx

Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 7 – 2x2, y = x2 + 4