Biết rằng đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị có dạng như hình 1.. Dựa vào đồ thị, hãy xác định độ vọt lố, thời gian quá độ tiêu chuẩn 5% và sai số xác lập của hệ
Trang 1Đại học Bách Khoa TP.HCM ĐỀ THI KIỂM TRA CUỐI KỲ
Khoa Điện – Điện Tử Môn: Cơ sở điều khiển tự động
Bộ môn ĐKTĐ Ngày thi: 07.01.2005
-o0o - Thời gian làm bài: 90 phút
(Sinh viên được phép xem tài liệu)
Bài 1: (2 điểm) Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền hở là G(s) Biết rằng đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị có dạng như hình 1
1 Dựa vào đồ thị, hãy xác định độ vọt lố, thời gian quá độ (tiêu chuẩn 5%) và sai số xác lập của hệ thống (0.5 điểm)
2 Xác định hàm truyền hở G(s), biết rằng G(s) có dạng :
b as s
K s
G
+ +
)
Bài 2: (2.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái có sơ đồ khối như hình 2õ Biết rằng các ma trận trạng thái của đối tượng điều khiển là:
− −
=
0 1
3 4
=
0
1
B D=[0 1]
1 Hãy xác định độ lợi hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ kín có cực kép tại −4 (1.5 điểm)
2 Tính độ vọt lố của hệ thống kín với giá trị K vừa tìm được (0.5 điểm)
Xem tiếp trang 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Đáp ứng nấc
Thời gian (giây)
0.84 0.76
Hình 1
r(t)
+ −
c(t)
K
) ( ) ( ) (t Ax t Bu t
Hình 2
Trang 2Bài 3: (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ
khối ở hình 3, đặc tính tần số của đối tượng G(s)
(đường liền nét) và bộ điều khiển GC(s)(đường đứt
nét) cho ở trang 3 của đề thi
1 Xác định hàm truyền G(s) và GC(s) (1.0 điểm)
2 Vẽ biểu đồ Bode của hệ thống hở sau khi hiệu chỉnh Xác định tần số cắt biên, tần số cắt pha, độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của hệ thống sau khi hiệu chỉnh (1.0 điểm)
3 Khâu hiệu chỉnh GC(s) đang sử dụng tại có khuyết điểm là làm giảm băng thông của hệ thống, do đó làm chậm đáp ứng quá độ Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha
1
1 )
(
+
+
=
Ts
Ts s
(α >1) để đạt được yêu cầu độ dự trữ pha và độ dự trữ biên như đã tính ở câu 2, đồng thời mở rộng băng thông để tăng tốc độ đáp ứng của hệ thống (1.0 điểm)
Bài 4: (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình 4:
Biết rằng
2
1 ) (
s s
G = , ( )= + (1−z−1)
T
K K z
P
C , KP =1, KD =5, T =0.1sec
1 Viết phương trình sai phân để thực thi bộ điều khiển GC(z) trên máy tính (0.5 điểm)
2 Xác định hàm truyền của hệ thống kín (0.5 điểm)
3 Đánh giá tính ổn định của hệ kín dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn Jury (1.0 điểm)
4 Tính đáp ứng c(k) (k=1, ,7), độ vọt lố, sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (1.0 điểm)
Chú ý: Sinh viên nộp lại biểu đồ Bode kèm theo bài làm
Hết
GC(s)
+ −−−− G(s)
Hình 3
s
e−Ts
− 1
GC(z) u(k) R(s)
Hình 4
Trang 3-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.1 và 3.2
Tần số (rad/sec)
-20dB/dec
-40dB/dec -20dB/dec
Đối tượng
Bộ điều khiển
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.3
Tần số (rad/sec)
-20dB/dec
-40dB/dec
Trang 4Đáp án Bài 1:
8 0
8 0 1
% 100
=
xl
xl
c
c c POT Thời gian quá độ là tqd =1.5giây
Sai số xác lập là exl =1−0.8=0.2
2 Hàm truyền kín của hệ thống:
K b as s
K s
G
s G s
Gk
+ + +
= +
=
2 ) ( 1
) ( )
Mẫu số của hệ kín có dạng: 2 2
s + ξω +ω , trong đó:
1
exp
2 =
−
−
=
ξ
ξπ
= 3 =1.5
n qd
t
(1) & (2) suy ra:
4
= a
25
= + K b
Hệ số vị trí:
b
K s G K
s
lim 0
1
1
= +
= +
=
K b
b K
e
P xl
⇒ b=0.2(b+K)=0.2×25=5
K =25−b=20
Vậy:
5 4
20 )
+ +
=
s s s G
Bài 2:
1 Phương trình đặc trưng của hệ kín:
det(sI−A+BK)=0
0
1 0 1
3 4 1
0
0 1
+
− −
−
k k
1
3 4
−
+ +
+
s
k k
s
⇔ s(s+4+k1)+(3+k2)=0 ⇔ s2 +(4+k1)s+(3+k2)=0 (1) Phương trình đặc trưng mong muốn:
(s+4)2 =0 ⇔ s2 + s8 +16=0 (2) (1) & (2) ⇒
= +
= + 16 3
8 4
2
1
k
k ⇒
=
= 13
4
2
1
k k
2 Hệ kín không có vọt lố vì cặp cực của hệ kín là cặp cực thực POT = 0%
Trang 5Bài 3:
1 Theo biểu đồ Bode, hàm truyền G(s) có dạng:
) 1 )(
1 ( ) (
2
=
s T s T
K s
) 1 1 0 )(
1 (
100 )
(
+ +
=
s s
s G
Do: 20lgK =40 ⇒ K =100
1
=
2
=
Tương tự : hàm truyền GC(s) có dạng:
) 1 (
) 1 (
) (
+
+
=
Ts
Ts K s
1
<
) 1 20 (
) 1 2 ( ) (
+
+
= s
s s
GC
Do 20lgKC =0 ⇒ KC =1
T
2 Đặc tính tần số GC(s)G(s): xem hình vẽ
Theo hình vẽ ta có: tần số cắt biên là ωC =7rad/sec, tần số cắt pha là ω−π =∞, độ dự trữ biên là GM =∞, độ dự trữ pha là 0
60
=
ΦM (giá trị khác xấp xỉ 0
60 cũng chấp nhận, miễn xác định đúng ΦM trên đồ thị)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.1 và 3.2
Tần số (rad/sec)
-20dB/dec
-40dB/dec -20dB/dec
Đối tượng
Bộ điều khiển
Trang 63 Thiết kế lại khâu hiệu chỉnh
1
1 )
(
+
+
= Ts
Ts s
GC α (α>1)
- Tần số cắt biên trước khi hiệu chỉnh: ωC =30rad/sec
- Độ dự trữ pha trước khi hiệu chỉnh: 0
20
=
ΦM (theo đồ thị)
- Độ dự trữ pha mong muốn * 0
60
= ΦM
⇒ ϕmax =45
sin 1
sin 1
max
max =
−
+
=
ϕ
ϕ α
- Tần số cắt mới xác định từ điều kiện:
=
−
=
−
=
′ ) 10lg 10lg5.8
Từ đồ thị ta được ωC′ ≈50rad/sec
- Xác định T:
α
ω
T C
1
=
8 5 50
1 1
=
=
′
= α
ωC T ⇒ αT =5.8×0.008=0.046
Vậy:
1 008 0
1 046 0 )
(
+
+
=
s
s s
GC
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.3
Tần số (rad/sec)
-20dB/dec
-40dB/dec
Trang 7Bài 4:
) (
) ( )
T
K K z E
z U z
P C
T
K z E T
K K z E z T
K K z
P D
P
−
+
=
− +
=
+
T
K k e T
K K k
P
⇒ u(k)=51e(k)−50e(k−1)
2 Hàm truyền kín:
) ( ) ( 1
) ( ) ( )
(
z G z G
z G z G z
G
C
C
trong đó:
2 2
2 3 2 3
1
) 1 (
) 1 ( 005 0 ) 1 ( 2
) 1 ( )
1 ( 2
) 1 ( 1 1
)
1 ( ) (
1 )
(
−
+
=
−
+
=
−
+
−
=
−
=
−
z
z z
z T z
z z T z
z s Z z s
G s
e Z
z
G
Ts
z
z z
z T
K K z
P C
50 51 50
51 ) 1 ( )
=
−
=
− +
Do đó:
) 1 )(
50 51 ( 005 0 ) 1 (
) 1 )(
50 51 ( 005 0 )
1 (
) 1 ( 005 0 50 51 1
) 1 (
) 1 ( 005 0 50 51 )
(
2 2
2
+
− +
−
+
−
=
−
+
×
− +
−
+
×
−
=
z z
z z
z z
z
z z
z
z
z z
z z
Gk
⇒
25 0 005 1 745 1
25 0 005 0 255 0 )
2
− +
−
− +
=
z z
z
z z
z
Gk
3 Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Jury
Bảng Jury
Hàng
Hàng
Hàng
25 0 1 1
−
−
494 1 745 1 25 0
005 1 1 1
−
745 1 1 1
−
−
Hàng
Hàng
5 0.569 1.0625 0.758
569 0 0625 1 0625
.
1
494 1 569 0
494 1 0625 1 0625 1
−
−
Hàng
Hàng
7 0.694 0.758 0.123
694 0 758 0 758
.
0
−
−
Do các phần tử ở hàng lẻ, cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định
Trang 8Cách 2: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng
Phương trình đặc trưng theo biến z:
0 25 0 005 1 745
Đổi biến
1
1
−
+
= w
w
z , ta được:
0 25 0 1
1 005 1 1
1 745 1 1
=
−
−
+ +
−
+
−
−
+
w
w w
w w
w
⇔ (w+1)3−1.745(w+1)2(w−1)+1.005(w+1)(w−1)2 −0.25(w−1)3 =0
⇔ 0.01w3 +w2 +2.99w+4=0 (2)
Tiêu chuẩn Routh:
Bảng Routh:
Do tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên hệ thống ổn định
hoặc
Tiêu chuẩn Hurwitz:
Do các hệ số của (2) đều dương, đồng thời a1a2 − aa0 3 =1×2.99−0.01×4=2.95>0
nên theo tiêu chuẩn Hurwitz ta kết luận hệ thống ổn định
Cách 3: Dùng máy tính số giải trực tiếp nghiệm của phương trình (1): z1 =0.9796,
3298 0 3827
0
3
,
z = ± Do cả 3 nghiệm đều nằm trong vòng tròn đơn vị nên hệ thống ổn định (Do đề bài yêu cầu phải xét ổn định dùng tiêu chuẩn Jury hoặc Routh-Hurwitz mở rộng nên sinh viên giải theo cách này chỉ được 0.5 điểm nếu kết luận đúng)
4 Tính đáp ứng của hệ thống
) ( 25 0 005 1 745 1
25 0 005 0 255 0 ) ( ) ( )
(
2 3
2
z R z
z z
z z
z G z R
z
− +
−
− +
=
=
) ( 25 0 005 1 745 1 1
25 0 005 0 255 0 )
3 2
1
z R z
z
z z
z z
−
−
−
− +
−
− +
=
⇔ (1−1.745z−1 +1.005z−2 −0.25−3)C(z)=(0.255z−1 +0.005z−2 −0.25z−3)R(z)
⇔ c(k)=1.745c(k−1)−1.005c(k−2)+0.25c(k−3)+0.255r(k−1)+0.005r(k−2)−0.25r(k−3)
Thay điều kiện đầu bằng 0, r(k)=1, ∀k ≥0 (hàm nấc đơn vị) ta được:
c(k)= {0; 0.2550; 0.7050; 0.9839; 1.0822; 1.0858; 1.0631;…}
1 1
1 25 0 005 1 745 1 1
25 0 005 0 255 0 ) 1 ( lim ) ( ) 1 (
3 2
1 1
1 1
−
− +
−
− +
−
=
−
−
−
−
−
→
−
z z
z z
z C z c
z z
xl
1
1 085 1
% 100
=
xl
xl
c
c c POT Sai số xác lập: exl =rxl −cxl =1−1=0
