Trêng ®¹i häc Kinh doanh vµ c«ng nghÖ hµ néi ******** Phan ®øc ch©u To¸n tµi chÝnh Hµ néi -2009 3 Lời nói đầu Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng. Toán Tài chính xây dựng một cách có hệ thống các công thức, phơng trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, t bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thơng phiếu, Toán tài chính cũng còn đợc áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án đầu t, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh toán các khoản nợ thông thờng, nợ trái phiếu, đặc biệt đợc áp dụng trên thị trờng chứng khoán. Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng, Quản trị kinh doanh. Cuốn sách này bớc đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính. Có một số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn cha đợc áp dụng trong các ngân hàng ở Việt Nam, nhng trong tơng lai không xa, sẽ đợc dùng phổ biến theo tập quán của các ngân hàng trên thế giới. Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị trờng chứng khoán cha đợc đề cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này. Cuốn sách này đợc dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và sinh viên trờng Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Hy vọng cuốn sách đáp ứng đợc yêu cầu đào tạo của Nhà trờng. Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính. Đó là các bảng cho sẵn các giá trị với 6 hoc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thờng dùng trong Toán tài chính, giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn. Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc. Ngời biên soạn 4 Mục lục Chơng I. Lãi đơn 9 Đ1. Đại cơng 9 1. Định nghĩa 9 2. Lãi đơn 9 3. Giá trị thu đợc 10 4. Lãi suất trung bình 10 5. Lãi suất hiệu dụng 11 Đ2. Phơng pháp thực hành tính lãi đơn 11 1. Phơng pháp số và ớc số cố định 11 2. Trờng hợp năm dân sự 12 Chơng II. Chiết khấu theo lãi đơn 14 Đ1. Chiết khấu 14 1. Thơng phiếu 14 2. Chiết khấu 14 3. Chiết khấu thơng mại theo lãi đơn 14 4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15 5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thơng mại và chiết khấu hợp lý 16 Đ2. Thực hành chiết khấu 17 1. Chi phí chiết khấu (agio) 17 2. Giá trị ròng của thơng phiếu 18 3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18 Đ3. Sự tơng đơng của các thơng phiếu theo lãi đơn 20 1. Các định nghĩa 20 2. Định lý về sự tơng đơng 21 5 Đ4. Một số bài toán ứng dụng 23 1. Bài toán về thời hạn trả chung 23 2. Bài toán về thời hạn trả trung bình 23 Chơng III. Lãi gộp 25 Đ1. Đại cơng 25 Đ2. Công thức tính lãi gộp 25 1. Giá trị thu đợc 25 2. áp dụng 25 3. Trờng hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26 4. Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tơng đơng 29 Đ 3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30 1. Hiện tại hoá 30 2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30 3. Chiết khấu theo lãi gộp 31 Đ4. Sự tơng đơng của các thơng phiếu theo lãi gộp 32 1. Định nghĩa 32 2. Định lý cơ bản về sự tơng đơng của các thơng phiếu 33 3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34 4. Các ví dụ áp dụng 34 Đ5. So sánh các loại chiết khấu 37 1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp 37 2. So sánh E c và E r 37 3. So sánh E c và e 37 4. So sánh E r và e 38 5. Tóm tắt 38 6 Đ 6. T bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38 1. T bản hoá liên tục 38 2. Hiện tại hoá liên tục 39 Chơng IV. Dãy niên kim 40 Đ1. Đại cơng 40 1. Định nghĩa 40 2. Các loại dãy niên kim 40 Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 1. Số tiền thu đợc của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 2. Các ví dụ áp dụng 41 3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44 Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45 1. Số tiền thu đợc 45 2. Giá trị hiện tại 45 Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46 1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46 2. Thời hạn trả trung bình 47 3. Sự tơng đơng của các dãy niên kim 48 Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 48 1. Tổng quát 48 2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49 3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49 Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu t 51 1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu t: NPV và IRR 51 2. Ví dụ 53 7 Chơng V. Thanh toán nợ thông thờng 55 Đ1. Đại cơng 55 1. Phơng thức vay vốn 55 2. Phơng thức và công thức thanh toán nợ thông thờng 55 3. Bảng thanh toán nợ 56 Đ2. Thanh toán nợ thông thờng 56 1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56 2. Các quy tắc cơ bản 58 3. Ví dụ 60 4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const) 61 5. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m k = m = const) 63 Đ3. Một vài phơng thức thanh toán đặc biệt 64 1. Vay nợ với tiền lãi trả trớc 64 2. Thanh toán nợ gốc một lần 66 Chơng VI . Thanh toán nợ trái phiếu 67 Đ1. Đại cơng 67 Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67 1. Cơ sở dữ liệu 67 2. Các công thức 68 3. Một số trờng hợp thanh toán đặc biệt 70 4. Bảng thanh toán nợ 71 5. Tình hình thanh toán trái phiếu 73 Đ3. Một số đặc trng về thời hạn của trái phiếu 74 1. Median của trái phiếu 74 2. Thời hạn trung bình của trái phiếu 75 8 Đ4. Lãi suất đầu t và lãi suất giá thành 76 1. Khái niệm 76 2. Trờng hợp niên kim cố định 77 3. Trờng hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77 4. Ví dụ 78 5. Lãi suất đầu t của ngời mua trái phiếu 79 Chơng VII. Định giá các khoản nợ 81 Đ1. Định giá khoản nợ thông thờng 81 1. Định giá 81 2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81 3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trờng hợp đặc biệt 84 Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu 87 1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87 2. Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89 3. Các ví dụ 89 Bài tập 92 9 Chơng I Lãi đơn Đ1. Đại cơng 1. Định nghĩa Tiền lãi là số tiền mà ngời đi vay phải trả thêm cho ngời cho vay, sau một khoảng thời gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu. Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu. Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g. đang xét và số tiền đi vay. Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay. Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thờng đợc tính bằng %. Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị đợc xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt đầu tính lãi. Giá trị thu đợc (Số tiền thu đợc) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm đang xét (thời hạn cho vay). 2. Lãi đơn Lãi đơn là tiền lãi đợc tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất cố định. Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay. Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi suất một năm. Khi đó I = C.i.a Thông thờng, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9). Khi đó 100 C.t.a I (1) Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có 1200 C.t.m I (2) Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có 36000 C.t.n I (3) 10 3. Giá trị thu đợc Gọi C là giá trị (số tiền) thu đợc của khoản vốn ban đầu C sau n ngày, ta có 36000 C.t.n CICC' (4a) sau m tháng, ta có C = C + I = C + C.t.m 1200 (4b) sau a năm, ta có C = C + I = C + C.t.a 100 (4c) Ví dụ: Một khoản vốn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10. Tính số tiền thu đợc vào ngày 31/12, biết lãi suất là 9% năm. Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. Số tiền thu đợc tính theo công thức (4a) là 100.000.000x9x91 C' 100.000.000 102.275.000 36000 đ 4. Lãi suất trung bình Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi. Giả sử có p khoản vốn C i cho vay với là lãi suất t i và thời hạn cho vay n i tơng ứng. Gọi T là lãi suất trung bình, ta có: p 1i iii p 1i ii 36000 .n.tC 36000 .T.nC Từ đó, ta tìm đợc p 1i ii p 1i iii nC ntC T (5) Ví dụ: Một ngời cho vay 3 khoản vốn nh sau Vốn Lãi suất Thời hạn cho vay 3800 USD 7,5% Từ 25/5 đến 15/7 6420USD 8,2% Từ 25/5 đến 31/7 780 USD 8,5% Từ 25/5 đến 31/8 Tính lãi suất trung bình. 11 Giải: Tơng ứng với 3 khoản vốn trên, thời hạn cho vay là 51, 67, 98 ngày. Lãi suất trung bình tính theo công thức (5) là (3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98) T 8,04 (3800x51) (6420x67) (780x98) Lãi suất trung bình là 8,04% 5. Lãi suất hiệu dụng Trờng hợp ngời cho vay đợc trả lãi trớc, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận. Với số vốn C sau n ngày, ngời cho vay thu đợc một khoản lãi I. Do I đợc trả trớc, nên thực tế vào thời điểm 0, ngời đó chỉ cho vay khoản tiền là (C-I). Số vốn (C-I) ban đầu đã tạo nên số tiền lãi I. Gọi t là lãi suất hiệu dụng, khi đó: 36000 C.t.n I 36000 I).t'.n(C Từ đó suy ra t I C C t' (6) Ta thấy ngay t> t. Ví dụ: Một ngời cho vay 20.000 USD trả lãi trớc với lãi suất thoả thuận 9%. Thời hạn cho vay là 20 tháng. Tính lãi suất hiệu dụng. Giải: Số tiền lãi thu đợc I = 3000 1200 20000x9x20 1200 C.t.m (USD) Vậy lãi suất hiệu dụng là: 10,589x 3000 20000 20000 t' Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58% Đ2. Phơng pháp thực hành tính lãi đơn 1. Phơng pháp số và ớc số cố định Trong công thức I = 36000 Ctn [...]... áp dụng Công thức (1) có 4 đại lượng C o , C n , i, n Các bài toán áp dụng yêu cầu tìm đại lượng thứ 4, khi đã cho biết 3 đại lượng 25 Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính Đó là bảng cho sẵn các giá trị của 5 hàm số sau: Bảng I II III IV V i (1+i) n - 1 1 - (1+i)-n Hàm số (1+i) (1+i) 1 - (1+i)-n i i Khi sử dụng các bảng tài chính, ta đối chiếu để tra tìm các số liệu Vì các dữ liệu ban... tính toán Chú thích 2: Các bài toán về sự tương đương của các thương phiếu cũng được áp dụng cho các bài toán về sự thay thế tương đương các khoản nợ 3 Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình Tương tự như trong trường hợp lãi đơn, việc thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất cho ta bài toán về thời hạn trả chung Nếu mệnh giá của thương phiếu thay thế duy nhất bằng tổng. .. nào đó rồi Đ4 Một số bài toán ứng dụng 1 Bài toán về thời hạn trả chung Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán sau: Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung) Biết n tìm C Việc tính toán trên thương phiếu... thức (2), ta có 8000x9xn hay n = 66 (ngày) 8000 7868 36000 Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8 Đó là ngày 30/10 4 Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu, thường được ký hiệu là Er Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu Vr 15 Vậy Vr n D V n V (D n) Từ C Vr E r Vr r r , ta tìm được D D D Vr = C (4) Dn Mặt khác CD... C 1 = 10000 1 200001 300001 6000 6000 6000 6000 Từ đó tính được C = 59697,98 euro 2 Bài toán về thời hạn trả trung bình Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất có mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời hạn trả trung bình 23 Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình Vào... 6%, tìm số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý, giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu Giải: 36000 Ước số cố định D= 6000 6 Cn 1260x45 Chiết khấu thương mại: Ec = 9,45 (euro) D 6000 Er = Cn 1260 x 45 9,38 (euro) D n 6000 45 Chiết khấu hợp lý: Er = Giá trị hiện tại thương mại: Vc = C - Ec = 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro) Giá trị hiện tại hợp lý: Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62... dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng b) Phương pháp hợp lý u u Tách n = k + thành 2 phần: k và v v Sau k thời kỳ (k nguyên), số tiền thu được theo lãi gộp sẽ là Ck = C0(1+i) k 27 u u thời kỳ tiếp theo, số tiền C k sẽ tạo thêm một khoản lãi (đơn) là: Ck i v v Tổng hai số tiền trên được gọi là số tiền (giá trị) thu được hợp lý (kí hiệu Cnr ): u u Cnr = Ck + Cki = Ck(1+i... tiền V sản sinh tiền lãi I = V(1+i)n - V Vậy vào ngày đáo hạn, số tiền sẽ là V + I = V+ V(1+i)n - V= V(1+i)n = C(1+i)-n (1+i)n = C Do đó cách chiết khấu theo lãi gộp như trên chính là phương thức hợp lý Chú thích: Trong nghiệp vụ tài chính dài hạn, vì thời gian khá lớn và tính theo lãi gộp, nên các ngân hàng đều dùng duy nhất phương thức này nhằm bảo đảm quyền lợi của khách hàng Ví dụ: Một thương phiếu... chiết khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các hoạt động tài chính Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio) Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau: Tiền chiết khấu Các loại hoa hồng 17 Thuế đánh vào các hoạt động tài chính Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng Chúng được phân thành các loại sau: Tiền hoa hồng được... = 213 (ngày) 36000 Ước số cố định D = 4000 9 Tổng lãi thu được: 1 1 I I1 I 2 I 3 (N1 N 2 N 3 ) (C1 n 1 C 2 n 2 C 3 n 3 ) D D 1 (5500x52 2625x183 5500x213) 621,97 euro 4000 Kí hiệu N = Cn và D = 2 Trường hợp năm dân sự Một năm dân sự có 365 ngày Do đó khi sử dụng công thức tính lãi thương mại (một năm có 360 ngày) để tính lãi trong trường hợp năm dân sự ta phải điều chỉnh như sau: 36500 . liên quan đến cổ phiếu và thị trờng chứng khoán cha đợc đề cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên