phân loại bài tập phép tính vi phân hàm một biến

Chính trong quá trình học lý thuyết rồi làm bài tập, từ những bài tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến nhữngbài tập ngày càng khó hơn, chúng ta dần dần hiểu được lý thuyết thấu đáo hơn, r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC …………

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

…….

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI

PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

tháng 5 /2013

LỜI CẢM ƠN

- -Vậy là bốn năm học cũng đã trôi qua, giờ đây em sắp xa giảng đường đại học Nơiđây, em nhận được sự quan tâm, dạy dỗ nhiệt tình của quý Thầy Cô, sự giúp đỡnhiệt tình của bạn bè Bên cạnh đó, em cũng nổ lực hết mình để đạt kết quả học tậpnhư mong muốn

Trước hết, em xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ và những người thân trong giađình của em,nguồn động lực cả về vật chất và tinh thần giúp em thành công tronghọc tập và cuộc sống

Em chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để

em hoàn thành tốt luận văn này

Em cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập của lớp chúng em, Cô

đã quan tâm, dìu dắt chúng em trong suốt khóa học

Đồng thời, em chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặcbiệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức nền tảng quantrọng làm hành trang bước vào cuộc sống

Sau cùng, em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong và ngoài lớp Toán ỨngDụng K35, đã ở bên em, giúp đỡ, trao dồi kiến thức để hoàn thành tốt chương trình

và chia sẻ những vui buồn trong cuộc sống suốt bốn năm qua

Tuy em cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng em không thể tránhkhỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn

ần Thơ, Tháng 5 Năm 2013

LỜI NÓI ĐẦU

Trong cuộc sống, có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi có một phương pháp giải

cụ thể Cũng như chúng ta đã biết, trong học toán, giữa việc hiểu sâu lý thuyết vàlàm thành thạo các bài tập có một mối quan hệ mật thiết Chính trong quá trình học

lý thuyết rồi làm bài tập, từ những bài tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến nhữngbài tập ngày càng khó hơn, chúng ta dần dần hiểu được lý thuyết thấu đáo hơn, rènluyện tư duy khoa học, nắm được phương pháp cơ bản, khả năng vận dụng toán họcvào giả quyết vấn đề, kích thích niềm say mê học tập, say mê tìm tòi của người học

Vấn đề đặt ra: Dựa vào một bài toán, chúng ta sẽ phân loại như thế nào? Từ

đó, chúng ta có những lựa chọn phương pháp giải phù hợp? Bằng phương pháp phântích, nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến bài toán

Đề tài “Phân loại bài tập của phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp em

giải quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 1 : Lý thuyết về phép tính vi phân của hàm một biến Trình bày

những kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm một biến

Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm Trình bày một vài ứng dụng của đạo

hàm

Chương 3 : Phân loại bài tập Trình bày phương pháp giải, bài tập minh họa

và bài tập có đáp số

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Đạo hàm

1.1 Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa 1 Giả sử hàm yf x  xác định tại x0 và lân cận của x0 Nếu giới hạn

là đạo hàm của hàm số f x  tại điểm x0 Ký hiệu f x0 hay y x 0

Ý nghĩa của đạo hàm

yf x tại điểm có hoành độ x0

và tiếp tuyến có phương trình

 0   0 0

y f x f x x x

Ý nghĩa cơ học

Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có hoành độ theo thời

gian t là s t  Khi đó v t 0 s t 0 là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm số f x  tại điểm x0

và được ký hiệu tương ứng là f x0 và f x0

Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số yf x  có đạo hàm tại x0 là hàm số

 x

f có đạo hàm trái và phải tại điểm đó và: f x0 f 0 .

1.3 Đạo hàm trong khoảng, đoạn

Định nghĩa Hàm f x có đạo hàm trong khoảng a, b nếu f x có đạo hàm tạimọi điểm xa,b.

Hàm f x có đạo hàm trên đoạn a, b nếu f x có đạo hàm trong a b, , cóđạo hàm phải tại a và có đạo hàm trái tại b

lim thì ta nói hàm f x có đạo hàm vô hạn tại x0

1.5 Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục

Định lý 2 Nếu hàm số yf x  xác định tại x0 và lân cận của x0 và f x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý Hàm số f x  liên tục tại x0 thì chưa chắn có đạo hàm tại x0

2 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3 Nếu các hàm số f x và g x có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và:

2.3 Đạo hàm của hàm ngược

Định lý 5 Cho hàm số y  f x liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng a, b Nếu f x có đạo hàm tại x0a b,  và f x 0 thì hàm ngược yg y  có đạo

hàm tại y0 f x 0 và có  

 0

   

lnyv x lnu x  (2.3)Lấy đạo hàm hai vế thao biến x của (2.3)

Định nghĩa 4 Một hàm với đối số x được gọi là hàm hiện nếu ta cho nó trực tiếp

bằng một biểu thức giải tích chứa x Nói cách khác hàm hiện được cho rằng một

phương trình giữa hàm y và đối số x, phương trình này được giải ra đối với y

Hàm ẩn y với đối số x là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa x và

y và không giải ra đối với y

2.5.2 Đạo hàm của hàm ẩn

Giả sử y  f x là hàm ẩn xác định bởi phương trình F x y  ,  0 Khi đó ta có

x y x

F ,  0 ,  (2.4)

Xem vế trái của (2.4) như là hàm hợp, ta lây đạo hàm hai vế theo x Khi đó sẽ xuất

hiện đạo hàm y x trong phương trình mới Giải ra đối với y ta tìm được biểuthức của đạo hàm

2.6 Đạo hàm cấp cao

2.6.1 Định nghĩa 5 Giả sử hàm f x có đạo hàm trong khoảng a, b Khi đó

 x

f  cũng là hàm của x và được gọi là đạo hàm cấp một của hàm f x Nếu f  x

có đạo hàm thì f x  gọi là đạo hàm cấp hai của f x và ký hiệu là f  x

Ta cũng dùng một số ký hiệu đạo hàm cấp 2 như sau:

n

n

dx

f d dx

y d f

k n k



3 Vi phân

3.1 Khái niệm vi phân

Định nghĩa 6 Cho hàm yf x  xác định tại x0 và lân cận của nó Cho x một số

gia x tùy ý Nếu tại x0 số gia hàm số  y f x 0 x  f x 0 viết được dướidạng:

 

    

trong đó A x là đại lượng tỉ lệ với x và x là vô cùng bé bậc cao hơn x

(nghĩa là x 0 khi x 0) thì ta nói hàm số f x khả vi tại x0 và lượng A x

gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0 Ký hiệu:

dy A x

 x

f gọi là khả vi trên a, b nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3.2 Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm

Định lý 7 Điều kiện cần và đủ để hàm số yf x  khả vi tại x0 là f x  có đạo hàm hữu hạn tại điểm đó.

Nghĩa là hàm số có đạo hàm tại x0

Giả sử hàm số có đạo hàm f  x0 , nghĩa là lim0 f  x0

Suy ra yf x0 x x trong đó f x0 x tỷ lệ với x và x là một vô cùng

bé bậc cao hơn x Theo định nghĩa 6 thì f x khả vi tại điểm x0

Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm hữu

hạn đối với hàm một biến

Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem dx là biến độc lập mới, gọi là vi phân của x,

và biến phụ thuộc mới dy , gọi là vi phân của y , như là hàm của x và dx, vì tacó:

Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm M0x y0, 0

Gọi  là góc tạo bởi tiếp tuyến M T0

với đường cong tại M0 và

x

x0  

x



df f x dx gọi là vi phân cấp một của hàm f x ; nó là hàm của x với dx

không đổi Nếu df khả vi thì vi phân ddf gọi là vi phân cấp hai của hàm f x ,

ký hiệu là d2f

Ta có 2  

d f d df Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp n 1 của hàm f x gọi là viphân cấp n của f x Ký hiệu n  n 1 

d f d d  f

4 Các định lý giá trị trung bình

4.1 Cực trị địa phương

Định nghĩa 8 Hàm số yf x  xác định trong a b,  và ca b,  Hàm số f x

đạt cực đại địa phương (hay cực tiểu địa phương) tại điểm c nếu tồn tại một lân cận

của điểm c sao cho với mọi x thuộc vào lân cận đó ta có:

           

f x  f c hay f x  f c xc

Điểm c gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số

Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

Bổ đề Fermat Nếu hàm số f x  xác định trong khoảng a, b và đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương tại c thuộc a b,  và nếu tồn tại f c  thì f c  0.

Chứng minh

Giả sử hàm f đạt cực đại địa phương tại điểm c thuộc ca,b

c x

c f x f c f x f

Suy ra khi x  c ta có f c 0 (1)

c f x f c f x f

Suy ra khi x  c ta có f c 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f c 0

Chú ý Bổ đề trên cho phép ta hạn chế việc xét cực trị địa phương của hàm số chỉ tại

những điểm hoặc là có đạo hàm cấp một triệt tiêu hoặc là không tồn tại đạo hàm.Những điểm như vậy gọi là những điểm tới hạn của hàm số Điểm mà tại đó đạohàm cấp một triệt tiêu còn gọi là điểm dừng

Vì f liên tục trên a, b nên f nhận giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất

tại m trên đoạn đó.

Nếu M m thì khi đó hàm f không đổi trên a, b vì  x a b,  ta có

 

mf x M, mà mM f x  mM Dó đó f x 0 tại  x a b, nên điểm c có thể lấy bất kỳ điểm thuộc a b, 

 M  m Vì f đạt giá trị m và M trên a, b mà f a  f b  nên ít nhất mộttrong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm c nào đó thuộc a b, .Khi đó theo bổ đề Fermat thì f c  0

Ý nghĩa hình học

Giả sử đường cong yf x  thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle thì giữahai điểm có cùng tung độ của đường cong bao giờ cũng tồn tại điểm mà tiếp tuyếnvới đường cong tại điểm đó song song với trục Ox

a f b f

Rõ ràng F x liên tục trên đoạn  a, b và khả vi trong khoảng a, b vì f x có cáctính chất đó.

Chú ý Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange.

Nếu đặt x0 a x, 0  x b thì công thức trong định lý 11 được viết

Định lý 11 Giả sử các hàm số f và g liên tục trên a b,  và khả vi trong khoảng

a, b giả sử g x 0 tại mọi xa,b thì tồn tại ít nhất một điểm ca b,  sao cho:

a f b f A

c f a g b g

a f b f c

g a g b g

a f b f c f c

5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange

Định lý 12 (Định lý Taylor) Nếu f khả vi đến cấp n1 trong khoảng  chứa athì:

Công thức trên còn gọi là công thức Maclaurin, là công thức khai triển Taylortrong lân cận của điểm x0

5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano

Nếu f x liên tục trên đoạn a, b, khả vi đến cấp n  1 trong a b,  và tồntại f n  x0 x0a b,   Khi ấy với xa b,  ta có:

n k

R x O x x được gọi là phần dư dạng Peano

5.3 Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản

2 !

2

n

x x R

1.1 Cực trị địa phương:

Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)

Giả sử hàm số y  f x liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ x0) Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số.

Nếu f  x đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực trị địa phương tại x0 và x0

được gọi là cực trị của hàm số.

Nếu f x đổi dấu từ (+) sang (-) thì x0 là điểm cực đại.

Nếu f x đổi dấu từ (-) sang (+) thì x0 là điểm cực tiểu.

Định lý 14 ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)

Giả sử hàm số f x có đạo hàm lien tục đến cấp hai trong lân cận điểm x0

và f x0 0 và f x0 0 Khi đó nếu:

+ f x0  thì 0 f x đạt cực đại tại x0

+ f x0  thì 0 f x đạt cực tiểu tại x0

Ta có thể mở rộng định lý 14 trong trường hợp sau:

Định lý 15 Giả sử rằng hàm số yf x  khả vi đến cấp n 1 trong lân cận của điểm x0 và      1    

1.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa 10 Hàm số f x có cực đại tuyệt đối (hay giá trị lớn nhất) tại điểm x0

thuộc miền xác định của nó nếu f x  f x 0 với x thuộc miền xác định của f Tương tự, hàm số f x có cực tiểu tuyệt đối (hay giá trị nhỏ nhất) tại điểm x0

thuộc miền xác định của nó nếu f x  f x 0 với x thuộc miền xác định của f Cực đại và cực tiểu tuyệt đối gọi chung là cực trị tuyệt đối Ký hiệu giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của f trên miền xác định của nó là fmax và fmin

Một hàm số bị chặn cũng có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

1.3 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng mở

Định lý 16: Giả sử f là hàm liên tục trên khoảng a, b và:

 lim

Ước lượng sai số

Định lý 17 (Ước lượng sai số cho xấp xỉ tuyến tính)

Nếu f x tồn tại với mọi t trong khoảng chứa x và x0 thì tồn tại điểm c

giữa x và x0 sao cho:      02

2

n

f c

R x   x x Trường hợp đặc biệt nếu f t có dấu không đổi trên khoảng ta xét thì R n x

có cùng dấu với nó, nếu f t k với k là hằng số thì:

   022

Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục Ox, khi đó vị trí của vật là hàm của

thời gian t , ký hiệu x  x t (x t cũng chính là phương trình chuyển động củavật)

* Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian t,t t là:

tb

x t t x t x

Vận tốc của vật tại thời điểm t cho ta biết độ nhanh chậm của chuyển động, đông

thời cho ta biết hướng chuyển động của vật

 Nếu v t   0 thì x t  tăng: vật đang chuyển động về bên phải

 Nếu v t   0 thì x t  giảm: vật đang chuyển động về bên trái

 Nếu v t   0 tại tt0 thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng

Chú ý Vận tốc bao gồm cả độ nhanh chậm và hướng chuyển động, còn tốc độ là giá

trị tuyệt đối của vận tốc

4.2 Gia tốc

Tốc độ biến thiên của vận tốc đối với thời gian của vật chuyển động thẳng gọi

là gia tốc của vật Ký hiệu a t 

Ta có a t  v t  x t 

Nếu a t   0 thì vận tốc tăng Trong trường hợp này, không nhất thiết tốc độ tăng.Bảng sau cho ta biết chi tiết về chuyển động:

Vận tốc Gia tốc Hướng chuyển động Tốc độ

Dạng 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

1 Phương pháp giải

Xác định miền xác định

Áp dụng định nghĩa của đạo hàm:

Đạo hàm tại một điểm:

2 Bài tập minh họa

1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

0sin

x x x

x x

x x x

x x

e e

e e

e e

3 2

11

2lim

x x

x x

x x



f x x và  

2 3



g x x Tính f 0 và g 0 .

22

f f

0

f f

* Tương tự với x1, 2ta được y x  2x 3.

* Tương tự với x2,ta được y x  1.

8.2   1/

11

Theo định nghĩa đạo hàm một phía ta nhận được :

0

1lim

0

lim0

lim0

lim

1lim

1lim

0

lim0

lim0

lim

1lim

x x x

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP 1.

8 Theo định nghĩa đạo hàm ta có :

2

2

2

11

1

1 sinlim

x nÕu x

12

nÕu x x

1

12

nÕu x x

2 Bài tập minh họa

1 Tìm xấp xỉ tuyến tính của các hàm số sau tại điểm đã cho:

2 3sin

2os

x x

f x

1 2

17

4   

x x

f x x

2 6 51 , 0

2

2 2

2 41

10 10

10 10

2

24 1 2 2

24 1 2 24 1024

x x

f x x

24 5

1 2

f x x

f

2 sin

2 tan

x x

f x x

1 , 0 1 1

1 , 0 1

arctan 1

f x x f

Chọn x0  1và x 0 , 01

Áp dụng công thức ta được:

005 , 1 2

01 , 0 1 2

01 , 0 1

r r

r r V

V r r r dr

dV

3 4

4 4

3

2 2

Vậy thể tích trái banh tăng lên xấp xỉ 6%

6 Cạnh của khối lập phương tăng lên 1 cm Khi đó V của thể tích khối lập

phương bằng 12 cm 3 Tính độ dài ban đầu của cạnh

Giải:

Ta có thể tích của khối lập phương cạnh a là:   V a a3

Khi đó:

 *

a V

Vậy độ dài ban đầu của cạnh là 2 cm.

7 Bằng cách xấp xỉ hãy tính xem diện tích của hình vuông tăng bao nhiêu nếu

độ dài cạnh nó tăng từ 10 cm đến 10,4 cm.

Giải:

Diện tích hình vuông với độ dài cạnh a là:   S a a2

Khi độ dài cạnh a tăng từ 10 cm đến 10.4 cm thì a0.4cm

Theo công thức tính gần đúng ta có:

 a a S a da

Vậy độ dài cạnh tăng lên 0,4 cm thì diện tích tăng thêm 8 cm 2

8 Cho hình quạt tròn có bán kính R 100m và góc ở tâm   60 0 Diện tíchcủa hình quạt đó sẽ thay đổi bao nhiêu:

10.60.100.0,1

4 Tính xấp xỉ % diện tích hình tròn tăng lên khi bán kính nó tăng lên 4%.

5 Tìm giá trị gần đúng của diện tích hình tròn có bán kính 3,02

6 Tính giá tị gần đúng của thể tích hình cầu bán kính 2,01 m.

7 Tìm biểu thức gần đúng của số gia V với V là thể tích của hình trụ tròn,với chiều cao h khi bán kính r của đáy biến thiên một lượng là r

8 Tính y x x x 2  4 đạt độ chính xác  0,1thì giá trị của x phải có độ chính xác nào?

9 Tìm giá gần trị gần đúng của x trong phương trình: 13sinx 15cosx0