Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy
Trang 1ON THỊ ĐẠI HỌC HINH HỌC GIAI TỊCH NAM 2012 A.Lí Thuyết :
— Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thắng cosy = al — trong dé Uy Uy lan lượt là hai VTCP của hai đường thăng
— Cơng thức tính gĩc giữa đường thắng và mặt phẳng sin W = ai bi P | trong đĩ
nu lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thắng
— Cơng thức tính gĩc giữa hai đường thắng cosø= peal =] mone do N,N, lan
lượt là hai VTPT của hai mặt thăng
— Cơng thức tính khoảng cách giữa hai điêm 4(x,;y¿;Z¿);B(xp;p;Zg)
AB=,|(x, "Xa ý + (y, “Ya ý + (z; “Za y
— Khoang cach tir diém Mo(Xo;yozo) dén mat phang (a) cé phuong trinh Ax+by+Cz+D=0 là: d(M,,@))—|Ê 9ˆ 83,*€s, +D| — Khoảng cách từ điểm M; đến đường thắng A đi qua Mụ và cĩ vectơ chỉ [MoM =| cl
phương u la: d(M,,A=
— Khoang cach gitta hai duong thang A va A’, trong đĩ A đi qua điểm Mp, cé vecto chi phuong u và đường thắng A'° đi qua điểm M;, cĩ vectơ chỉ phương ư' [ae] MM, [uu — Cơng thức tính diện tích hình bình hành : S, „= la: d(A,A)= aD]
— Cơng thức tính diện tích tam giác : S woos | | AB,AC | |
— Cơng thức tính thể tích hình hộp : Visco ane =| [ AB,AD |.AA' |
— Cơng thức tính thể tích tứ diện : Vasco | | AB,AC |.AD | Chú ý :
Trang 2GV: Ngơ Quang Nghiệp B13
B.VI DỤ :
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (4): T = T =1 và hai điểm A(0;0;3), B(0;3;3)
Tìm tọa độ điểm M e (2) sao cho: l) MA+ MB nhỏ nhất 2) MA? + 2MB? nhỏ nhất 3) [MA _ 3MB nhỏ nhất 4) |M4— MB| lớn nhất Hướng dân: x=t 1) Chuyén p/trinh cia (d) sang dang tham s6 (d):4 y= Z=t Goi toa d6 cla M e(d) c6 dang M(¢;t;t), te0 Ta c6 P=_MA+MB =,(0-1)' +(0-1)' +(3-1)° + (0-2) + (3-1) +(3-0)" P=V30? —6t +9 +3? —12t +18 =M|ýẺ ~2:+3 tí? =4r+6) P=3| j1 +2 tjứ~2) +2) povil flea +(0- 2} ] Trong mặt phắng Oxy xét các điểm N(t;0) € Ox; H(1,V2);K (2;V2) Goi H (b2 là điểm đối xứng của điểm H (x2 qua trục Ox e Ta cĩ P=xJ3(NH + NK)=Al3(NH' + NK)>+xJ3HK
Dâu “=” xảy ra © H',N,K thang hang © N=H'K NOx
Đường thắng /K cĩ vecto chỉ phương WK = (2⁄2 nên cĩ vecto pháp tuyén n= (2V2 ;-1) va di qua H '(1;-V2 nên cĩ phương trình tơng quát 20/2 (x-1)-1(y +V2)=0< 2V2x- y-3V2 =0 Tọa độ giao điêm N của đường thắng #X và trục Ĩx là nghiệm của hệ 3 p8 vien Vậy x-š) y=0 y=0 2 Vay min P = V3H'K = V3 P +(2v2) = 33 Dat duoc khi N(:0)=N[ i0 Jeo r=3
Suy ra M4+MB nho nhat bang 3V3 khi u(3: 3 |
"2
No
Trang 4GV: Ngơ Quang Nghiệp B13
2) Làm tương tự câu l1), ta tính được Q = MA? +2.MB? = 32 -6:+9+23 —12/+18) =9/2—30/ +45 Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số a=9 >0 nên đạt giá trị nhỏ nhất khi =—— =` Tức là u{ 55:3) 2.9 3 222 Nhán xét: néu khơng nhớ tính chat vé d6 thi bac hai thi co thé khảo sát hàm sơ f (t) =907 -30t+45 dé tim giá trị hỏ nhất 3) Theo câu 1), gọi M(;z;?) Ta cé MA =(-t;-t;3-t), MB =(-t;3-1;3-1) Suy ra MA-2MB =(-t-2(-t);-t-2(3-1);3-t-2(3-2)) = (tt -6;t-3) => |Ma—2MB| = 0? + (¢—6)' +(¢-3)° =3/?—18/+45 = |MA—2MB] = )3(t-3)" +18 > Vi8 =3V2
Dau “=” xay ra > t-3=01=3 hay M(3;3;3)
Vay min|MA -2MB =3/2 dat dugc tai M (3;3;3)
Nhân xét: nêu khơng phân tích được [MA - 2MB| = \J3(—3)” +18 thì cĩ thể khảo sát hàm số ƒ(7) = 3/7 —18: +45 để tìm giá trị nhỏ nhất 4) Tương tự câu 1), ta tính được |Ä⁄4— MB| = N3(ve ~2/+3—|# -Ar+6] | MA — MB| “Nal (ea +2—(1-2)° +2] Trong mặt phẳng Oxy xét các diém N(t;0) € Ox; H(1,V2);K (22) Khi đĩ |M4- MB|= v3|NH - NK| Nhận thấy 7, K nằm cùng phía so với trục Ĩx Suy ra |M4— MB|= \3|NH - NK|<v3HK
Bai toan nay v6 nghiém vi KH || Ox
Trang 55) |MA+3MB+4MC| nhỏ nhất, biết 4(I,2;1), B(0;1;2), C(0;0;3) Hướng dân : 1) Cách øiải e Xét vị trí tương đơi của 4, B so với (P) Đặt ƒ(x:y;:z)=x+y+z-4
Thay tọa độ của 4, 8 vào và tính ƒ(x¿;y¿;Z¿).ƒ(Xp:yp:Zg )
- Nếu ƒ(x¿:y¿:z4).ƒ(xs:yg:z,)<0 thì A, B ở hai phần khơng gian khác nhau ngăn cách bởi (P)
- Nêu ƒ(x¿;y„;Z4)./(xp:yg;z;) >0 thì 4, 8 ở cùng phía so với (P)
e Nếu 4, Ư ở khác phía so với (P) thì với M e(P) tùy ý ta cĩ
MA + MB > AB Suy ra min(MA + MB) = AB đạt được khi M = 4B ¬(P)
- Viết p/trình đường thăng 4B
- Tìm giao điêm Ä⁄ của 48 ¬(P) (Giải hệ p/trình của 4 và (P)) - Ket luận / e Nêu 44, ở trong cùng phía so với (P), ta lây điêm 4 đơi xứng với 4 qua (P) Khi đĩ MA = MA => MA + MB = MA + MB> 4B = min(M4+ MB) = 4'B đạt được khi M = 4B ¬(P) ®& lính tọa độ 4:
- Viết phương trình đường thắng (Z) qua 4 và (đ) 1 (P)
- Giải hệ {(4):(P)} tìm được tọa độ của # =(đ)=¬(P) là hình chiếu vuơng gĩc của 44 trên (P) - H là trung điêm của 44 Biết tọa độ của 4,H suy ra tọa độ của A’ ® Viết p/trình đường thắng 48 & Giải hệ | 4'B;(P)} tìm được tọa độ của M = 48 ¬(P) , Z 7 ⁄ “Gs L⁄ ⁄ wt 7A Tr.Hop 1 Tr.Hop 2
2) Làm ngược lai cua hai trường hợp trên câu 1
e Nếu 4, Ư ở trong cùng phía so với (P) thì |M4— MB|< AB
e Nếu 4, Ư ở trong cùng phía so với (P), ta lẫy điểm 4' đối xứng với 4 qua (P)
Khi dé MA’ = M4 => |MA-— MB| =|MA' - MB|< A'B
Cách làm mỗi trường hợp như câu I
Trang 6GV: Ngơ Quang Nghiệp B13
—2 — —\2 - —2 —2 — —
MB? = MB = (Mi + 18) = MIˆ +IB +2MI.IB
Suy ra MA? +2MB? = MỸ” + TẢ” +2MÏ.TÂ+ 2(mĩ +B + 2 Mi 18)
2 2 =2 2 2 _—_(— ^=
=> MA? +2MB? =3MIˆ + LÁ +21B +2MI (T4 + 218) => MA? + 2MB? =3MI? + LA2 + 21B? + 2MI (14 + 218)
Gia sử 14+21B =Ũ © A= -21B, ta cĩ tọa độ của 7 là: _*a+2xsg _l+Z.0 1 122 3 3 [y= Yate _2+2.1 4 Hay |: 4, 3] 1+2 3 3 3 3 3 _Z4†+2Zp (142.2 5 _ 1+2 3 3
Vậy, với l[: as |, ta cĩ 14+ 218 =0 nên M4? +2MB? = 3MI? + IA? + 21B} Do 7 cĩ định nên 742,787 khơng đổi Vậy M⁄4? +2MB” nhỏ nhất © M!? nhỏ nhất
<> MI nho nhat <= Ä⁄ là hình chiêu của 7 trên (P)
e Đường thắng (2) qua 7 Ko) và vuơng gĩc với (P) nhận vecto pháp tuyến =(1:1;:1) của (P) làm vecto chỉ phương nên cĩ p/trình
x=J4+t
y=
z= 3⁄4 +
- Tọa độ giao điểm H của (4) (P) là: H(rg ty )
- H là hình chiếu của 7 trên (P)
e Vậy 1 là hình chiếu của 7 trên (P) nén M =H
5 14 17
Kết luận: MA? +2MB? nhỏ nhất khi M l: a2)
4) Lam tuong ty cau 3)
5) Can rit gon tong M4+3MB+4MC thanh mét vecto MH
Khi dé |M4+3™MB +4MC|=|MH|= MH nhé nhat <= M 1a hinh chiéu cia H trén
(P)
Làm như câu 3)
Bang cách phân tích M4+3MB+4MC = Mĩ +1Ä+3( Mĩ + 1B)+4(Mi + 1C}
Trang 7Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm 7 sao cho 14+ 37B +41C = 0 rồi làm tiếp theo
hướng dân trên
Chú ý: 14+ 3I8 + 41C =Ư Ọ =- (O4+3O8 + 40C) 1 X, = (4+ 3%5 + 4x0) Suy ra toa do cua J la<y, =sÚ/ +3y, +4yc) Z¡ = sứ, +3Zp +4z.) mat phang (@) chira d sao cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (ø Vi du 3:(DH — 42008) Cho mặt phẳng 4: x 2-2 2 Lap phyong trinh ) là lớn nhất Hướng dẫn : 1) Phương trình mat phang (a) chứa d cĩ VTPT: n(A;B;C), A? + B27 +C? #0 c6 dang : A(x —-1)+ By + C(z-2)=0 Ta cĩ : đc ()©„zm„ =0 B=-2A-2C 9|4+ C| (A+CÝ => d(A,(a)) = (4,2) 542 +8AB +5C? =9,,— 4+" _ 5A’ +8AB+5C* — THỊ: Nếu C=0 9 d(A,(a)) =—= (A,(@)) 5 - THI: Nếu C z0 ,Đặt 1-2 — t+) d(A,(a)) =9 5 48/45 =9V f(t) > pp- 41: f(D) =0: fF) =2 va 5 POV tH 415 /CY=O/O=5 lim f(t) =— t—>too Xét ham sé f(t) =
Lập bảng biến thiên => Ä⁄axƒŒ) = = tait =1 Vay Maxd(A,(a)) = 3V2 khi 4 an So sanh TH1 va TH2 : ycbt <=>A= C và B=—4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z— 3 =0
Nhận xéi :
— Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (ø ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (ø) là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đĩ là hằng số
Trang 9- TH2: Nếu B z0 ,Đặt = 2 sin(¥) = 1 L@13— 3 \ 22° +4t4+5 (4¢+3)° Xét hàm số ƒ()=———— I) 2/2 +4t+5 => Maxf(t) -2 tai t =-7 hay a =-7, Vay Maxsiny 58 5/3 _, A So sanh TH1 va TH2 =>W,ax„ © sinW = > VỚI 2 —7 => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9=0 Nhận xéi :
— Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn như sau :
+) Lập phương trình mặt phăng (z) chứa d sao cho gĩc giữa hai mặt phẳng hoặc gĩc giữa đường thăng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đây
— Cĩ thê sử đụng hình học thuần túy để làm bài này
Trang 10
GV: Ngơ Quang Nghiệp B13 —l-t Xx => Phương trình đường thắng cần tìm là : 4 y = Z=t Nhận xéi :
— Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn như sau :
+) Lập phương trình đường thắng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đây
— Cĩ thê sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 6: Lập phương trình đường thắng d đi qua A (1:-1;2),song song với mặt
Trang 11+) Lập phương trình đường thăng d di qua A ,song song voi mat phang (@).,đồng thời d tạo với đường thăng Z một gĩc thỏa mãn một điều kiện nào
Trang 12GV: Ngơ Quang Nghiệp B13 => max(d(A,d)) =V26 x =29t => Phuong trinh duéng thang can tim la: { y =-1-41¢ z=2+4t Nhận xét :
— Cĩ thê mở rộng ra các bài tốn trên thỏa mãn một điêu kiện nào đây cho trước
— Cĩ thê sử dụng hình học thuân túy đê làm bài này Ví dụ 8: Lập phương trình đường thăng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thăng ' xe]: y2 Z+2 đ : = = 2 1 —] x-3 y-2_ 2+3 ¬ sao cho gĩc giữa đường thăng d và A: là lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : đmđ'`= M => M(I+2¡;2+f;—2—f),£c R => VTCP của d : Ug = AM (2t+2;t+2;-1-1) Gọi gĩc giữa hai mặt phẳng là ø,(0 <@< 2) =IfO 2 => cos =—, (2) 3 “am (6? — 6/7 +14 +9 => Maxf(t)= f(-2)== ¡ Mif[()= ƒ(0)=0 Xét ham sé f(t) = +) Min(cos(9)) =0 => @,, =90° <>t=0 => Phương trình đường thắng cần tim 14: —— == = 2 2 2w5 9 +) Max(cos(9)) = hs => Oni, t= 5 => Phương trình đường thắng cân tìm là : = = 5 = — Nhận xéi :
— Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn như sau :
+) Cĩ thế mở rộng ra các bài tốn trên thỏa mãn một điều kiện nào đây cho
trước
Trang 13C.Bài Tập
Bài 1 : Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (0) : x — y +zT— 1= 0 và các điểm A (1 ;2;—1),B(1;0;—1), C(2;1 ;—2) Tìm điểm M thuộc mặt phang (a) sao cho MA” + MB’ — MC’ nho nhất
212 DS: M( 33353 )
Bài 2 : Trong khơng gian toa d6 Oxyz cho mat phang (a) : x —3y + 3z— 11 =0 va cac diém A (3;-4;5),B(3;3;—3) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (œ) sao cho
|MA-MB| lớn nhất
DS :M(-S;-Ẻ;)
xe ` 3 xty-z-1=0 | oa
Bài 3 : Cho đường thăng A: 2x-y-1=0 và hai điêm A(2 ; —1 ; 1), B(1 ;-1;0)
Tìm điểm M thuộc đường thắng A để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhât
1 2 3 DS :M(¢3- 3375)
Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ;2 ;—1), B(_—I ; 1 ;2) Việt phương trình mặtphăng (0) tạo với mặt phắng (xOy) một gĩc nhỏ nhât
ĐS: ĩx †3y+5z—7=0
Xe, ` - x+y+z—1=0
Bài 5 : Cho đường thăng A: pe +z—1=0 va cdc diém A(2 ; 1 ;-1) ,B(-1 ;2; 0) Trong các đường thắng đi qua B và cắt đường thắng A › viết phương trình
đường thăng sao cho khoảng cách từ A tới nĩ là lớn nhât 2 bé nhât ?
ĐS : Lớn nhất : Me: : nhỏ nhất : th
Bài 6 : Trong khơng gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phăng (ø) đi qua
điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các truc toa dé Ox , Oy , Oz lần lượt tại M,N,PKhác ốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP cĩ thể tích nhỏ nhất
XY, 2 DS : 3 + 6 + 12 =]
Bài 7 : Trong khơng gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phăng (ø) đi qua
điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa dé Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho
1 1
OA? OB? O
DS :x+2y +3z-14=0
Bài 8 : Trong khơng gian toa d6 Oxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại
Trang 14GV: Ngơ Quang Nghiệp B13
Tìm M thuộc mat phang (a) sao cho a) MA+MB nho nhat b) |MA-MC| lớn nhất c) MA? - MB? - MC? lon nhat > > Ro „ d) |MA+MB+MCI| nhỏ nhât DS :a) MP5 15-3 5) 7 11 b)MC2;-2 ; l) c) M(2 ;s -2 5 5 1 3’°3’ 3 3) Bài 10 : Cho các đường thang x-l_ytl Ai 2 TT Ty Â2 | x~y+z+1=0
Trong các đường thắng đi qua AC ; —1 ; 2) và cắt đường thăng A;¡, viết
phương trình đường thắng A sao cho khoảng cách giữa A và A; là lớn nhất zl 1 x-2_ytl_ 7-2 ĐỒ! 1] — 6g ` -27 Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;—1 ; 0) và song song với đường thắng ¿.XHI_y-2_zH S1 1 —] Viết phương trình mặt phẳng (ơ) tạo với mặt phắng (xOy) một gĩc nhỏ nhất ĐS : xt+y+2z—1=0
Bài 12 : Trong các đường thang di qua A(1 ; 1 ; —1) va vuơng gĩc với mặt phang (B) : 2x—y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thắng Oy một gĩc lớn nhất
DS :x+5y+2Z~3=0
Bài 13 : Cho mat phang (a) : x+y—z+1=0 và đường thăng
ĐÀ a
' |3x-y+z-2=0
Trong các đường thắng đi qua A(1; —1 ; 2) và song song với mặt phẳng (œ) viết phương trình đường thắng A sao cho khoảng cách giữa A và d là lớn nhất
x=l
DS : y=-l+/
z=2+t
Trang 15‹- Tớn nhất -X 2 —Ÿ!2_—Z—Ì Nhỏ nhất.X-3-y†2_Z—1
DS : Lon nhat : 79 ="=3 = 5 ; Nho nhat : —z 20 — =7
xe 5 3 xty-z-l=0.„ .; `
Bài 15 : Cho đường thắng A: 2x—y—z=0 và hai điêm A(2 ;1 ; 1) va B(—1;2;0) Tim M thuộc A sao cho MA” + MB nhỏ nhất 5 6 4 DS:M(~;7 ;7) Bài 17: (THTT 2009) ` 2 —-l1 yt2 2 x-1 y+t+l z-l
Cho đường o đường thắng (đ) ¬ thắng (đ4):”—=“=ZÝ ; (4):—=“—= Ta (4) 5 và hai điểm A(1 ; 4 ; 2) B(-1 ;2 ;4)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thăng d sao cho khoảng cách từ A tới (P) là lớn nhất b) Viết phương trình mặt phăng (Q) chứa đường thăng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một gĩc nhỏ nhất c) Viết phương trình mặt phắng (R) chứa đường thắng d và tạo với trục Oy sĩc lớn nhất
d) Trong các đường thắng đi qua A và cắt đường thăng d, viết phương trình các đường thắng sao cho khoảng cách từ B tới nĩ là lớn nhất , nhỏ nhất e) Trong các đường thắng đi qua A(2 ; —1 ; 2) và cắt đường thăng đ, viết
phương trình đường thắng sao cho khoảng cách giữa nĩ và d; là lớn nhất DS: a) 5x + 13y —4z+21=0 b) x ~y+ z-3 =0 c) x+5y-—z+9=0 1 d) Lớn nhất : x-!_y~#_Z~2 Nhỏ nhất: X-L~#=4~Z~2 1 —4 —3 15 18 19 Bài 18: (THTT 2009) Cho đường thắng (đ) | xiytz-d=0 Viết phương trình mặt phắng (P) chứa 2x+y+z-4=0 đường thắng đ và tạo với mặt phẳng (xOy) một gĩc băng 607 DS: a) J2x+y+z—-V2-2=0 và A2x-y-z-N2+2=0 Bai 19: (THTT 2009) x=-Í Cho đường thắng (d):4y=-1+2t Viét phuong trinh mat phang (P) di qua z=2+t dudng thang d va tao voi mat phang (P): 2x-y—z-—2=0 mét géc nho nhat DS: x+y+z-3=0
Trang 16GV: Ngơ Quang Nghiệp B13
thắng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thắng mà khoảng cách từ B đến đường thăng đĩ là nhỏ nhất
DS x†3ả_y_z-l
26 11 -2
Bài 21: (ĐH - B2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thắng
A: 2 = x = > Xác định tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho khoảng cách từ
M dén A bang OM
DS: M(-1;0;0);M(2;0;0)
Bài 22: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thắng A: — = on =5 và hai điểm 4(;4;2); B(—1;2;4) Xác định tọa độ điểm Ä⁄ thuộc A sao cho a) MA’ + MB nhỏ nhất b) Bom +2VAM - 4BM| nhỏ nhất C) Si tích tam giác MAB nhỏ nhất a) — 7, b) M ) G:- 273) -12 5 38 c) M(——;~;—) 7 7 7 `* 22 ^ ^ ` 2 x yt2 z-l
Bai 23: Trong khong gian toa d6 Oxyz, cho duong thang A: Tap
các điểm A(1;0;0); B(0;1;1);C(0;0;2) Xác định tọa độ điểm M thuộc A sao cho
Gĩc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 30° DS: M(0;-2;1)
Bai 24: (DH - A2009) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x—2y + 2z - l1 =0 và hai đường thăng
A = =T= =; A, - = = Xác định toạ d6 diémM thuéc A, sao
cho khoảng cách từ M đến A; và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau DS: M(0:1;-3);M(2 23:3) 35 35 35 Bài 25: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm O(0;0;0); 4(3;0;0) BQ;2;1);C@;—1;2) a) Lập phương trình mặt thắng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện tích và
tam giác ABM bằng
b) Lập phương trình mặt thắng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể tích
hồi tứ điện ABCN bang 12
a) x+2y—2z-3=0 b) 19x+3y+18z—57=0
(file word tai tai day : nghiepbt3.violet.vn)