Bài tập toán học cao cấp tập 2 docx

hỞiI NÓI DẦU

Lam bài tập là một khâu rầt quan trọng trong việc học toán, nó

giúp cho người học toán hiểu được lý thuyết thấu đáo hơn, rèn

luyện tư duy khoa học, kỹ năng tính toán và khả năng vận dụng toán học vào giải quyết vấn đề (problem solving), kích thích niềm say mê học tẬP, say mê tìm tòi của người học Vì vậy, cuóï mỗi

chương của bộ sách "Toán học cao cấp" viết cho các hệ, lớp cao

đẳng của các trường đại học kỹ thuật, chúng tôi đã dưa ra một số

bài tập Bộ sách "Bài tập Toán học cao cấp" này được viết nhằm

trình bảy bài giải và hướng dẫn giải của hầu hết các bài tập đã

ra ong bộ sách trên, Ngoài ra, một số bài tập khác cũng đã được bé sung

Môi chương của bộ sách đêu mở đầu bằng phần Tóm tắt lý thuyết, nhằm nhắc lại các điểm mấu chốt của ly thuyết về những : định

nghĩa, định lý cơ bản, phương pháp 'cơ bản, công thức cơ bản

Phân Đề bài và phân Bài giẢi và hướng dẫn của mỗi chương được

xếp tách rời nhau

Chúng tôi không khuyên khích người học khi làm bài tập sử dụng

ngay bài giải trong sách này mà không tự mình giải các bài tập đó

Gặp khó khăn khi làm một bài tập nào đó, người học nên xem lại

phân Tóm tắt lý thuyết và nếu cần cả phần tương ứng trong giáo trình Chỉ nên xem lời giải trong sách sau khi đã giải xong bài đề đánh giá kết quả học tập của mình Chi trong quá trình vừa học ly

thuyết, vừa làm bài tập thì người học mới dân dân hiểu được các

khái niệm toán học mới, nắm được các phương pháp cơ bản và

rthớ được các kết quả cơ bản

,

Hy vọng rằng, quyền sách nảy sẽ giúp các bạn sùnh viên học tốt

mơn Tốn, u thích mơn Toán và say mê tìm tơi các vấn đề tốn

học trong công nghệ và kỹ thuật

Chúng tôi mong nhận được ý kiên của bạn đọc đối với bộ sách

nay Xin chân thành cam on

MỤC LỤC

Trang

m1 3

Chương VI HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ .- eceririeirie 5

_A Tóm tắt lý thuyết hư rrrrerrdddrrrrdree 5

R› 1n — TH nh 10

C Bài giải và hướng dẫn . -eeierrerreerre 16

Chương VHI TÍCH PHÂN KÉP 4 _ BT

A Tóm tắt lý thuyết .: cicenrieeerrrrrerrrree 57

N4 1, 8n 5 62

C Bài giải và hướng dẫn .- ceeererrrrrrrre 65

'Chương IX — TÍCH PHÂN ĐƯỜNG .eneerrrerrrrrrree 90

A Tóm tắt lý thuyết c.ehhhrrrrrrrrrrerrrrriie 90

B Đề bài — ¬ 84

C Bài giải và hướng dẫn ceiiedderrrre 97

7 san ion a 113

A Tóm tắt lý thuyết .eeereee TH H kg x8 xe rxkp 413

Rẻ — 116

C Bài giải và hướng dẫn .àccenreerrrree 120

Chương XI PHƯƠNG TRÌNH VI PHẪN .cnennre 140

A Tóm tắt lý thuyết cenenhhrrerrrrrrrdrie 140

_, ®ˆ'”"' 144

C Bài giải và hướng dẫn -ccsherrrrrreh 148

Chương Vil

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số nhiều biến số Miễn xác định

Giả sử D c ïRˆ, ánh xạ f: D -> R gọi là hàm số hai biến số xác định

trên D Đó là một quy tắc cho ứng với mỗi cap số thực (x, y) é D một số thực duy nhất z = f(x y) Nếu hàm số được cho bởi biểu thức z = f(x, y) thì miền xác định của nó được hiểu là tập hợp những điểm (x, y) sao cho biểu

thức f(x, y) có nghĩa

2 Giới hạn và liên tục

Dãy điểm M,(xụ, vạ) gọi là dần tới điểm Mo(Xạ, yạ) trong IR? nếu

lim V(x, -Xy) +(Y, ~Yo) = 0

Khi do ta ky hiéu M, — Mg hay (x, yạ) — (Xa, yạ) khi n —> 0

Hàm số f(M) = f(x, y) xác định trong miền D chứa điểm MŒ, yọ), có thể trừ điểm Mạ, gọi là dần tới L khi M(x, y) dân tới Mo(xạ, vạ) nếu với mọi dãy M,(x„, y„) (khác Mụ) thuộc miền D dần tới Mạ ta đều có

lim f(x,,¥,) = L

Cho hàm số Í(x, y) xác định trong miền D, Ma(X vọ) là một điểm thuộc D Hàm số f(x y) được gọi là liên tục tại Mụ nếu:

3 Đạo hàm riêng `

of f(x, +Ax,y )— f(x, ¥,) to, ¥o) = Ox (Xp, ¥o) = lim ạ AK ova’

XS of — Tả Í(X,,V, +ÀYy)— Í@,Ya)

f,(Xg, Yo) = ay PO Yo) = lim, Ay

Như vậy, khi tính đạo- hàm riêng của hàm số đối với biến số nào thì coi các biến số còn lại là hằng số Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng định nghĩa ở trên gọi là đạo hàm riêng cấp hai: "ty =t xà na ay | ax? ax?’ afar) đit # ),=6, -2{ 2) = a Gy\ Ox) Oydx dyOx afar) we @& (f), =f, =| S i= Ox dy} ðxôy ôxôy ==; aefa) ef az

(f,), =f, =<-| a0 l= aor Tar By\ dy} dy" Oy

_ Nếu hàm số f{x, y) có các đạo hàm riêng f,y va f, wong mot mién D va

nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm (xạ, yo) € D thì

Fy ylXo, Yo) = TÚ: Yo):

Các đạo hàm riêng cấp cao hơn định nghĩa tương tự 4 VI phân toàn phần

e Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng Í,, Í„ trong miền D chứa

điểm M,G, yạ) và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại Mụ thì ta có

f(Xo + AK, Yọ + AY) — Í(Xọ, yọ) = [(Xo, YoAX + f (Xo Yo)Ay + aAX + BAy,

trong đó œ —> 0 và — 0 khi Ax > 0 va Ay > 0

Biểu thức f;(&o, yạ)Ax + f,Œo yọ)Ay là phần chính của.số gia

gọi là ví phân toàn phần của hàm số Í(x, y) tại (xạ, yọ) và được ký hiệu là

dfÍ(xa, yạ) Vì x, y là biến số độc lập nên Ax = dx, Ay = dy, vậy

df(X, Yo) = £,(X%, Yo)dx + f(Xo, Youdy `

# Khi Ax, Ay khá nhỏ ta có

f(Xq + AX, Yo + AY) — f(Xo Yo) = fJŒXọ; Yo)ÁX + Ê (Xo, Yo)ÁY

e Diéu kién cdn va di dé biéu thitc P(x, y)dx + Q(x, y}dy 1A mot vi phan

toàn phần trong một miền D nào đó là trong miền ấy

Khi điều kiện trên được thoả mãn, ta có thể tìm được hàm số f(x, y) sao cho

df = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

5 Bao ham cua hàm số hợp

Néu z = f(u, w) là hàm số kha vi cha u, v va néu u = u(x), v = v(x) la | những hàm số khả vị của x thì z là hàm số khả vi ca x và ta có

dz _ a du, oz dv dx ổu dx av dx

_ Nếu z = Ñu, v) là hàm số khả vi của u, v và các hàm số u = u(, y),

Nếu hàm số F(x, y, z) khả vi và nếu F,(x, y, z) # Ö thì phương trình F(x, y, Z) = 0 xác định ở lân cận điểm (x, y) một hàm số ấn z(x, y) khả vi và: on FAG Y,z), ôx E(xy,z)’ oz FY.) ô F@y.2

7 Đạo hàm theo hướng Vectơ građien

® Đạo hàm của hàm số f(M) = f(x, y, z) theo hướng của vectơ đơn vị u

tại điểm Mo(Xp, Yo, Zp) là giới hạn nếu có của tỷ số | f(M)~f(M,) _ f(%,y,z)~f(Xu,Yu;Zu) p P | khi p —> 0, trong đó p=MM, và được ký hiệu là D,Í(xạ,Yạ, z4) |

_Nếu hàm số f(x, y, z) kha vi tai Mo(Xo, Yo Zo) thi tại đó nó có đạo hàm

theo mọi hướng xác định bởi vectơ I và

D,Í(X;.Va.Z¿) = ÍJXo Yọ, Zo)€OSGŒ + fy(Xos Yo: Zo)COSB + Í (Xo Yọ› Zo)COSY, trong đó œ, B y là những góc mà u tạo với các trục Ox, Oy, Oz

® Nếu hàm số Í(x, y, 7) có các đạo ham riéng f,, f,, f, tai điểm

M(x, y, Z), người ta gọi građiên của f tại M là vectơ có các thành phần

(f,(x, y, Z), F(x, y, 2), £,(%, y, Z)), ky higu là gradf(x,y,z) hay VfÍ(x,y,2) Giữa D,f(M) và gradf(M) có hệ thức

D,f(M)= grad f(M).i,

trong đó u là vecto don vi |

Néu ham sé f(x, y, z) kha vi tai diém M(x, y, z) thì giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng D,f(M) bằng \gradf(M)} và đạt được khi u cùng hướng với veciơ grad f(M)

8 Cực trị của hàm số hai biến số

Ta nói hàm số z = fx, y) đạt cực trị tại điểm MŒ, yọ) nếu với mọi

điểm M(x, y) khá gần Mẹ (nhưng khác Mạ) hiệu f(M) - fQ(MỤ) có dấu -

Nếu hàm số f{x y) đạt cực trị tại điểm Mạ(xạ, yạ) và tại đó các đạo hàm

riêng f,, £, ton tai thì Í (xo, yạ) = Ú, Ê(Xạ, yọạ) = 0 Điểm (xạ, yg) tai dé

Í (Xe, Yo) = Ê(Xo; Yo) = Ô gọi là điểm dừng của hàm số (x, y)

Giả sử Mo(Xo, yọ) là một điểm dừng của hàm số f(x, y) và hàm số f(x, y)

có đạo hàm Họng cấp hai ở lân cận điểm Mạ Đặt r = f xạ, Vọì

8 = F vŒ, Yo) t=f,,(%, ¥o) Khi do:

1) Néu s? — rt < 0 thì Mo(Xo, ¥o) 1a diém cuc tri của hàm sé ffx, y); do la

cực tiểu nếu r > 0, là cực đại nếu r < 0

2) Nếu v — rt > 0 thì MgŒo, yạ) không là điểm cực trị của hàm số f(x, y)

3) Nếu s” — rt = O thì chưa thể kết luận được Ma(o, vọ) là điểm cực trị

của hàm số Í(x, y) hay khơng

e Cuc tri của hàm số f(x, y) với điều kiện y = o(x) được gọi là cực trỊ có điều kiện

e Muốn tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x, y) trong mot

miền đóng bị chặn D ta thực hiện các bước sau:

1) Tính giá trị của f tại các điểm dừng của f nằm trong miền D; 2) Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của f trên biên của miền D;

3) Số lớn (bé) nhất trong các giá trị tính ở 1) và 2) là giá trị lớn (bé) nhất phải tìm

9, Phương trình tiếp tuyến v và pháp diện của đường cong tại một điểm

Cho đường cong có phương trình tham số x = x(t), ¥ = y(t), z = z(t) Phương trình tiếp tuyến của đường cong đó tại M(x(¿), y(), Z(ta)) là

X~-x(t,) Y~yit,) _Z-2xt,)

xŒ) oy) zq)

trong đó X, Y, Z là các toạ độ chạy của đường tiếp tuyến

Phương trình pháp diện của đường cong tại M(x(), ¥{ty), no) là

[X - xŒa)]x'ứạ) + [Y - y(fo)]y'đạ) + [Z — z(to)]z Œạ) =

10 Phuong trinh phap tuyén va tiép diện của mặt cong tại một điểm

3

| Cho mặt cong có phương trình f(x, y, z) = 0 Phương trình tiếp điện của

(X ~ xạ)f,(Mạ) + CY — yo)fy(Mo) + ŒZ — 2o)f,(Mụ) = 0 Phương trình pháp tuyến của mặt cong tại M(Xo, yọ, Zọ) là X~X,_ YTY, _ Z—7, f.(M,) f,(M,) £(M,) B DE BAI 1 Cho f(x, y) = <2 Tinh: x? 42y? f(2, 1); f(-1, 3); f(x, 2x”); f(x +h, y +k) 2 Cho g(x, y, z)= x*Iny.sinz Tinh: -

e(-1 e, “| g(t, tO; BÉX + Y, X, X— Y),

3, Tim miền xác định của các hàm số sau: | | a) f(x, y) = b) f(x, y) = yx? -y: c) f(x, y) = x7In(4 — x”— 4y'); d) f(x, y)= Vx+1-Jy-1; e) f(x, y) = Vx In(x+y); f) f(x, y) = 3x TY, * X+dy x+y+l` 8) i(x, y) = arccos— * | y h) f(x, y) = yx’ +y’ -1+In(4-x’ ~y*); 1) f(x, ¥; Z)= Ji-x-y?-2; xXx yy 7 f(z, y, Z) = In| —+—+—-1 } j) f(, y, Z) nh 21a

4 Mô tả các mặt bậc hai sau:

a) x? +y? +27 —2x -2y+1=0, b)z=4x7°+y' +1;

c) 4x? + y?)- 77 -4=0; d)y-x2-1=0; ey? -x?-1=0: _Ðy?-x?-z#?=0,

Tìm giới hạn khi (x, y) —> (0, 0) của các hàm số sau: + 3 a) f(x, y} = oxy ~3xytl, 2xy—] 2.2 c) f(x,y) = 24K TY vu, 2y x' ty e) f(x, y) =X *y Vx +y +1 -] 2x° —3y’ b) f(x, y})= —————; y) 3x'+2y” x+yy d) f(x, yy = BEY X +Y Tính các dao ham riêng cấp một của các hàm số sau: a) f(x, y) = x*y7(x3 + y) ; c) f(x, y) = yln(x? — y’); e) f(x, y) = e2 cười : g) f(x, y) = arctg—2_; l+x i) f(xy) = etg(x — 2y) ; k) f(x, y, z) = e*” sin: x X b) fŒ, y)= ==—; x"+y d) f(x, y)= ~yvx +4xiy? ; 3 Nf y= t+; y x h) f(x, y) = In(x+Jx’?+y’); j) f(x, y)= x” (x > 0);

Tinh vi phan toàn phần của các hàm số sau:

-a) Í(%, y}= XÌ+ vÌ— 3xy¿

c) f(x, y} = ye™;

e) f(x, y) = e*’sin(x — y);

g) f(x,y, 2) = Inyx? +y? +2? ;

10

Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

a) f(x, y)= xy" + 2x,Jy : b) f(x, y) = cos (2x — 3v}:

c)f{x, y)= (X ty): d) f(x, y) = sin(x — y) + cos(x + y)

Tính các đạo hàm riêng cấp cao của các hàm số sau:

_a)f@x,y)=xŸy?- 5x!y,tínhf, „;¡ b)fŒ%,y)= e*`, tính fexys 11 12 13 14 12

c) f(x, y) = cos(ax +e”), tinh f,,,; d) f(x, y, z) = e””“, tính f„v;

e) f(x, y, z) =e sinz, tinh f,,,; f) f(x, y, z) = In(x’ + 2y” + 32), tính f„

Trong các hàm số sau, hàm số nào thoả mãn phương trình u + u,, =0?

4) u(%, y)=x +" b) u(%, y) = x” — y” c) u(x, y) =x’ + 3xy” d) u(x, y) = x? — 3xy*

e)u(x, y)= In.lx?+vÏ ; f) u(x, y)=e “cosy — e *cosx Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn phương trình tụ = a”u, '

a) u(x, t) = sin(kx)sin(akt); b) u(x, t)=(x —at)? +(x + at)’: c) u(x, t) = sin(x — at} + In(x + at)

a) Tim ham số u(x, y) thoa man phuong trinh u, = 0;

‘b) Tim ham s6 u(x, y) thoa man phuong trinh u,, = 0

Nếu biểu thức nào trong các biểu thức œ dưới đây là vi phân toàn phần

hay tim ham s6 f(x, y) sao cho df = @ :

ao= (3x? + y)dx + (x — 4y )dy;

b) @ =(5xy + 3)đx + (2y” — x” + l)đy:

C} 0= (3x'y! — 4xy + 3)dx + (2xÌy — 2x*)dy: d) w = (6x + siny)dx + (xcosy + N4 + siny)dy; e) w = (xcosy — ysiny)dy + (xsiny + ycosy)dx;

f) @ = (y te*cosy + x°)dx + (x - e*siny + e* dy;

g)0)= x”Inydx ~(x+ yˆInx)dy (œx>0,y>0);

ha

15 Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp, tính " ;

x

2

a)Z=u” + vỶ, trong đóu =x?,v=l—e*;

b)z= uvi+v’, trong d6 u = xe *, v =cosx:

c)z = In(u + v2), trong đó u = V1+x, v=l+x 16 Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp, tính = oe

a}Z= u’siny, trong đó u = xÃ+ Vì, v=2xV; b) z = sinucosy, trong đó u=(x- yy’, vax’ v2:

€)Z = uˆ — 3u”v”, trong đồ u = xe’, v= xe ?:

2

d) z = arctg(uv), trong đó u = x*, v= xe’:

eyz=et trong dé u=x’y, v= xy”

17, a) Chứng minh rằng hàm số u = jx” +y” +z” thoả mãn phương trình U,, Huy, +, = = y il b) Chitng minh rang ham sé z = yln(x? — y”) thoả mãn phuong trinh ] Ì z ~Z,+-Z, => * Ỷ- Ÿ

c) Chứng minh rằng hàm số u = xÍ(x + y) + yg(x + y), trong đó f, g là hai hàm số khả vi, thoả mãn phương trình

U,x — 2uy, + Uy, =O 18 Tinh đạo hàm của các hàm số ẩn sau:

a) y` + 3x7y? + 5x* = 9, tinh Yì

b) y + (x? +l)y+ xia 0, tinh y'; c) InJx?+y’ = arctg tinh y', y";

x ‘d) xcosy + ycosx = I, tinh y’;

e) 1 + xe” - ye* = 0, tinh y':

f) xy’ ~ sin(x + y) + y =, tinh y':

Ø) Xy + y2 ~ Zx = Ö, tinh z,, 2y

h) x? + v —z?= 2x(y + 7) tính z„, Zy

ï) yx” + x”y” = e**”, tính Z„, Zy j) xe” + yz + ze* = 0, tinh z,, z, k) In(1 + y — z) ~z— x= 0, tính z„, Zv 19 Tính građiên của các hàm số f tại điểm P và đạo hàm của hàm số f theo hướng & a) fŒœ, y) = x”y” + 4xy”, PQ, —1), SH -s] b) f(x, y) =e siny, P(t =|, đ[¬% +) c) f(x, y, z) = xyz 3 PC, -2,1), if SỊ= a d) f(x, y, Z}= x *y4+xvV1+z, P(1 2, 3), nã: 23)

20 Tính giá trị lớn nhất của vận tốc biến thiên của hàm số f tại điểm M, giá

trị lớn nhất ấy đạt được theo hướng nào?

a) f(x, y) = In@ˆ + y’), MG, 4); &

b) f(x, y)= yx’ +2y, M(2, 4); c) f(x, y, Zz) = x42, MÔ, 2, 1): y Zz nu T d) f(x, y, z) = ) f(x, y, z) = cos(2x — 3y 2x — 3y + 3z), Mi —.—.-7— 2 & 1 | 21 Chứng minh rằng nếu u(x, y), v(x, y) là các hàm số khả vi; a, b là hằng 14 số thì:

a) grad (au + bv) = agrad u + bgrad Vị

—- =—== ve0: VY y 5 d) grad (u")= nu"“ grad u, ne N’ 22 Tìm cực trị của các hàm số sau: ˆ a) f(x, y) = 2x? + y’ + 2xy + 2x + 2y; b) f(x, y) = xsiny; c) f(x, y) = sy+1-x=y[5 +`)| d) f(x, y}= x? + v — 4xy+Ï; e) f(x, y)= 3x”y + vì — 3x? — 3y? +2; Ð fŒ y) = (x -— y)? + (x + yy; g) (x, y) = xy( — x —y); h) f(x, y) = x[(nx)” + y?]; i) f(x, y) = sinx + siny + cos(x + y), OS x,y < AIA J) f(x, y) = (% - yoe*”

23 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số: a) f(x, y) = xy với điều kiện 2x + 3y — 5 = 0;

b) f(x, y) = x7 + y với điều kiện x” + y = 1;

24 a) Điểm nào trên mật z” = xy + | gần gốc toạ độ nhất?

b) Điểm nào trên đường tròn x” + yˆ = 4 gần điểm (3, —1) nhất?

c) Điểm nào trên mặt phẳng x + 2y + 3z = 4 gần gốc toạ đô nhất?

d) f(x, y) = X” + vˆ + XẨy + 4, D là miền đóng giới hạn bởi các đường

thắng x=1,x=-l,y=lvày=-l;

e) f(x, y) = sinx + siny + sin(x + y), D 14 mién đóng giới hạn bởi các

dudng thang x = 0, x = x y=0,y=~ 2 2 26 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm P: t? 3 ayK=LY= z= P[I.2.3Ì| b) x = 2L, v= 2/2 cost, z= 2/2 sint, p[ 3.2.2) TT c) xX = tsint + cost, y = tcost — sint, z = 2t, (5 —], "| : d) x =cost, y= 3et, z= 3e ', P(1, 3, 3)

2 3 2(x + h)(y + k) (x + h)* + 2(y + kỲ _ 2xy + 2Zhy + 2kx + 2hk x? 4+2y’ +h? +2k? + 2hx+4ky_ f(x +h, y+k)= a(x, ¥, Z}= x"Inysinz A => e( le”, *)- (~ y (e“) =(-I}`In@œˆ sin— = Ì 2.Ÿ? - đ2; 4 2 g(t, t,t) = t lntsint ; g(x + y,x,x— y) = (x+y) Inx sin(x — y) a) Miễn xác định của hàm số Í(x, y} = ——— là tập hợp x+y+tÌ {(x,y)c R”:x+y+lz0], đó là tồn bộ mại phẳng tọa độ trừ những điểm trên đường thẳng x+yt+1=0 b) Miền xác định của ham s6 f(x, y) = x? —y 14 tap hợp {(x, y) € R’ix*—y20},

nó gém những điểm của mặt phẳng tọa độ nam ở dưới đường parabôn y = x”, kể cả những điểm trên tường y =x’

c) Ham sé f(x, y) = x*In(4 - x’ — 4y’) xdc dinh khi 4 - x? — 4y* > 0

Vậy miền xác định của nó là tập những điểm nằm trong đường clip 2

x 2

* +y? =1 Tỳ

đ) Miễn xác định của hàm số f(x, y) = Jx+1~./y—1 là tập hop

(x,y) R?:x>-_—l và y 2 l1], đó là một phần tư của mặt phẳng tọa độ nằm trên đường thẳng y = 1 và ở bên phải đường thẳng x = —1, kể cả biên của nó (hình 7.L)

€) Miền xác định của hàm số f(x, y) = vx In(x + y) la tap hap |

{(œ, y) € R?:x>0 và x+y >0} (hình 7.2)

- - + ` “ j9 — x? — LấN `

f) Miền xác định của hàm số f{x, y)= ————————— Ì à

| x+y

[(x,v)e R?:x”+yˆ <9 và x + y#0],

đó là tập hợp những điểm nằm ở trong hay trên đường tròn x? + yˆ ='9,

trừ đi những điểm trên đường phân giác thứ hai (hình 7.3)

Hình 7.1 _ Binh 7.2 Hình 7.3

ø) Hàm số f(x, ¥) = arc cos = xác định khi y # Ö và ` <1 Miền xác y

định của nó là tập hợp {(x, y)e R’: y#0 va x < y?] Phương trình

giữa hai đường tròn cùng tâm tại gốc tọa độ có bán kính i và 2, kể cả đường tròn bán kính 1 (hình 7.35) |

1) Ham sé f(x, y, z) = j1—xÌ—y °—z? xác dinh khi x? + y?+ 2 < 1

Miền xác định của nó là hình cầu đơn vị, đóng, tâm tại gốc tọa độ

J) Miền xác định của hàm sé f(x, y, z) = In (* + 5 + ; — 7 la tap hop (x, y,z) « `: ++ + bo |< 5 > 1}, đó là phần của ` nằm trên mặt phẳng 7 424 37 z — 1 a) Phương trình đã cho có thể viết là x— J+(y-1+Z#=L | | Đó là phương trình của mặt cầu có tam tai diém (1, 1, 0), có bán kính bang L b) Mặt có phương trình z—1=4x7+y" là mặt parabôlôit eliptic nhận các mật phẳng x = 0, y = 0 làm mặt phẳng đối xứng Nó cắt mặt phẳng x = 0 theo đường parabôn : z=y + 1,x=0; cat mat phang y = 0 theo đường parabôn | z=4xˆ+l,y=0; | cắt mặt phẳng z = k nếu k > 1 theo đường elip 4x? + yˆ=k~ 1 c) Viét lại phương trình dưới dạng đưới dạng 2 2, „2 Z X +Y ha ——=l]

Đó là phương trình của mặt hypebôlôit một tầng, nhận các mãt phẳng

tọa độ làm mat phẳng đối xứng, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Mặt

đó cắt các mặt phẳng x = 0, y = 0 theo các đường hypebôn:

20 cắt mặt phẳng z = k theo đường tròn 2 2, 2 k x“+y=l+—- y 4 2

Do dé mat dang xét là một mặt tròn xoay, do hypebôn x?— a = 1,

y = 0 quay quanh truc Oz sinh ra

d) Phương trình y — x” — ] =0 không chứa biến số z, nên là phương trình

của mặt trụ có đường sinh song song với truc Oz, cat mat phẳng z = 0

theo đường parabôn y = x +1, |

e} Mat bac hai yŸ —x —1=0 là mặt trụ, có đường sinh song song với trục Oz, cắt mặt phẳng z = 0 theo đường hypebôn y -x*=1,

Ð Mặt vỶ — x2 — z? = 0 cất mặt phẳng z = 0 theo đường có phương trình

_y?—x?=0, tức là theo cập đường thẳng y = +x, cắt mặt phẳng x = Ô theo cặp đường thẳng y = + z và chỉ giao với mặt phẳng y = 0 tai gốc tọa độ Nó cắt mặt phẳng z = k theo đường tròn x” + z” = k” Đó là mặt nón tròn xoay có đỉnh tại gốc tọa độ, nhận Oz làm trục đối xứng 5xy* — 3x*y +1 _ 1 a) Ta có: im =—] (x,y)—>(0.0) 2xy —1 —] b) Ta có: 2 lim £(x,0) = lim 2% =: x30 x30 3x2 3 -3y7 3 lim f(0,y)= lim SEF y 30 ¥>0 2y 2

Khi (x, y) —> (0, 0) theo hai hướng khác nhau, f{x, y) dần tới hai giới hạn

khác nhau, do đó không tổntại lim f(x,y)

(x.y)—>(0.0)

c) Ta có

lim G+ x? +yˆ) siny - lm 24x? +y? ‘lim siny

(x,y)—(0,0) 2 ¥ (xy)-(00) 2 yoo y

24 vao ham s6 f(x, y} = xÌ+ yÌ ~ 3xy, ta có: f, = 3x” — 3y, f, =3y" - 3x: ‘df = (3x? - 3y)dx + (3y? - 3x)dy b) fix y)=—— X +y? +f x? +y* -2x? _ y* -x? f =<- 2xy „ Pty P oP tye EGP ay?) ty? —x?)dx - 2xvdy - df = x (x? +y*) c) fx,y)=ye”

> f=ye , fy=e%+ xyc”;

— đf=e*[y2đx + (1+ xy) đy]

d) f(x y) = In(x? + 3y7 +1) => df= 2ndk + Gydy

x° +3y" +1

e) f(x, y) = e* "sin(x - y)

=> f, =e*sin(x — y) + e* cos(x — y),

f, =e" sin(x — y) e**Ÿcos(x ~ y);

h) f(x, y, z) = xe” + ye’ + ze * | => df=(e" —ze “dx + (xe” + e?kỈy + (ye + edz a) Ta can tinh gan dung f(x, + Ax, y, + Ay) voi: f(x, y) = J9x? +y? ; Ry = 2: ¥, = 8; Ax = -0,05; Ay = 0,1, Theo công thức tính gần đúng | fŒ%¿ + ÁX, Yạ + Ấy) #Ẩ XU; Yọ) + ff (Xo Yo)AX +f y(Xo YAY, trong đó: | , (2, 8)=10; aT +y’ ae ty a= f (2, 8)=18-18, ¢ 2,8)=-—=0,8 x (8) 10 TÔ Vậy —— 1,95; 8,1) = 10 ~ (1, 8)(0,05) + (0,8X0,1) = 10 - 0,09 + 0,08 = 9,99, _b) Tính f(x, + Ax, y, + Ay) vai: f(x, y) = In(x? + y°); X, = 0; y, = 1; Ax = 0,09; Ay = -0,01 Ta có: 2 2 k= f= ae x+y x" +y f(0, 1) =1In1 =0; £,(0, 1) = 0; f,(0, 1) = 3; f(0.09; 0,99) ~ 3.(—0,01) = -0,03,

c) Với hàm số ba biến số f(x, y, z) ta cũng có cong t thức tính gần đúng tương tự như với hàm số hai biến số

f(x, + AX, yo + Ay, 2, + AZ)® ÍOXU, Yạ, Z2) + TS, Mẹ; 1)Ax

+ lữ, Yoo Z,)Ay + tu; ¥os 2,)Az

Ta cần tính f(x, + Ax, y, + Ay, Z, + Az) VOi:

- £3, 2,6) =7, £,(3, 2, 6) = = f (3,2, 6) = xi2 6 2, £03, 2, 6) = 7 , Vay: 3 2 6 f(3,02; 1,99; 5,98) = 7+ 7 (0,02)+ 7 (-0,01) + 5 (0,02) ~ 6,989, 9% a) f(x, y) = x"y? + 2x Jy A, Wy | ]

fx = OXY", fy = fy = Oxy + a, fyy = 2x? - Vy

b) f(x, y)= cos*(2x ~3y)= 21 + cos(4x — 6y)}

=> f=3xy°+2djy, f=2xŸy+

2y`-

> Í=-2sin(4x- 6y), f, = 3sin(4x ~ 6y); " Íy = -Bcos(4x — 6y), fy = Fix = L2cos(4x ~ 6y), fýy= ~l8cos(4x — Óy) 3 ce) f(x,y) =(x? +y?)2 | 1 1 > f,= 3x(x? +y7)2, fy =3y(x?+y2)2; ‘ 1 3(x2 +y7) + 3x? 2x* +y? f„ =3@x” +y”)2 +3xx(x?+y2) 2 = x?+y2 : =3 x?+y2 - f =f _ 3xy f _ 3% +2y? Ry yx x" +y 2 2 7° x+y 2,20 d) f(x, y) = sin(x ~— y) + cos(x + y)

=> f, =cos(x — y) ~ sin(x + y), fy = —cos(x — y) — sin(x + y);

f,, = —sin(x — y) — cos(x + y), fy =f, = sin(x — y) — cos(x + y),

fyy = —sin(x — y) — cos(x + y),

10 a) f(x, y) = xy? - 5xỈy

11, 28 b) c) d) e) a) b) {, = 3x2y? ~ 20x V; fx = 6xy? ~ 60x”y; f,„„= 6y” — 120xy f(x, y) =e | faye ifpayte™ Fexy = aye! 4 yte® Ixy =2y'e” (2 + xy’) f(x, y) = cos(ax + e’)

f, = —asin(ax + e”); f,, = —acos(ax + e”}e’;

Ey = asin(ax + e”) e7” — acos(ax + e”)e’ f(x, y, z) =e"

XYF.£ _ xe? fy, + x*zye""" 2 XYZ,

fy = xze

2 2 XYZ

= x“ze** + x“ze XYE = x?ze*2

fay +x*yz"e (2 + xyz) f(x, y, Zz) =e sinz | f, = e’’cosz; f,, = xcosz.e"7; f,yx = cosz.e™” + xycosz.e” = cosz.e""(1 + xy) f(x, y, 2) =In(x? + 2y? + 324) | ˆ p akg wR x? + 2y? +32 ` # (x? +2y? +32? ý” fay = 88:20" + 2y, t3y )6z =— “32 = (x“ +2y“ˆ +3x“) (x° +2y* +32") u(X, y) =X +” => Uu=2X,U,,= 2,Uyy,= 2 = Uu„„+U,=4zÔ, u(x, y)=x?—y? ˆ

=> uy, =2Xx,U,, =2,uU, = -2y, uy, = —2 => u,, +u,, =O,

U(x, y)= xo + 3xy"

=u, = 3x? + 3y”, uy, = OR, Uy = OXY, Uy = 6X

d) u(x, y) = x? - 3xy? => u, =3x?~3y?, U,x = 6X, Uy = —6xy, uy, = —6x > Uu,u†+u,=0, e) Dat yx? +y? =1, hàm sO u=Iny x? +y? = Ine xéc dinh khir 0 „ 1 X 1x x Ta có u, = u,.r, Nhưng u, = —,1, =—, nénu, = —.— => Dođó I I re T 3 x r —X.2r,— _ r? —X.2r.ty | X.2 r_17-2x? XX — ~ = r’ r‘ r Vi ly do déi xing, tacé © uz r? ~2y? yy _ Do đó r?—2x? +r? ~2y? _ 2r* -2(x? +7) _ 2r?—2r? _ Uxx tUyy = T r = 2 = 7, =O r r

f) u(x, y) =e “cosy — e “cosx

_ ox “Yor, awk ¬y > u,=-e “cosy +e "sinx; u,, =e “cosy +e *cosx; x: —y ta ak ~y uy = —€ “siny + € “cosx; uy, =-e “cosy — e Ycosx => u, tu, =O, _ Vậy các hàm số b), d}, e), f) thoa man phuong trinh u,, + uy =0 12 a) u(x, t) = sin(kx)sin(akt} | |

=> wu, =kcos(kx)sin(akt); u,, = -k’sin(kx)sin(akt);

u, = aksin(kx)cos(akt); u,, = ~a“k sin(kx)sin(akt)

=> uy =a'u,, |

b) u(x, th=(x- at)’ + (x +at)*

=> u,=4(x- at) + 4(x + at)”, Uy, = 12(x - at)” + 12(x + at)’: u, = —4a(x ~ at)” + 4a(x + at)?, tụ = 12a7(x — at} + 12a (x + at}

_ 9

-13 14 30 C) | u(x, t) = sin(x — at) + In(x + at) 1 => u, =cos(x—at)+ ; U,, = —sin(x — at) — 5 X + al {x + at) a 2 i, = ~acos(x — at) + —, u, =—a’ sin(x —at)— ; xX tat (x+at) — am :

Chú thích Có thể chứng minh được rằng, nếu f(u) và f(v) là hai hàm số bất kỳ có đạo hàm cấp hai lién tuc thi ham s6 z = f(x — at) + g(x + at) thỏa mãn phương trinh u,, = a’u,, |

a) Nếu hàm số hai biến số độc lập u(x, y) thỏa mãn phuong trinh u, = 0

thi u(x, y) khong phu thudc x, vay u(x, y) = f(y) với mọi hàm số f bất ky b) Viu,, = (uy), = 0, nên u, không phụ thuộc y, do đó u, = f{x) với mọi

hàm số f bất kỳ Nếu gọi F(x) là một nguyên hàm nào đó cua f(x), ta

được

u(x, y) = F(x) + GÓ),

'G(y) đóng vai trò của hằng số tùy ý khi lấy nguyên hàm đối với xxcòn

F(x) la một hàm số khả vi tùy ý vì là nguyên hàm của ham sé f(x) Tém lại nghiệm của phương trình u„v = 0 cd dang u(x, y) = F(x} + Gy)

a) Biểu thức œ = P(x, y)dx + Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần khi và

chỉ khi P, = Q, Ta có

P(x, y) = 3x” + y,QŒ&, y)=x— 4y” = P,= l=Q,

Do đó œ là một vi phân toàn phần Hàm sé f(x, y) thỏa mãn điều kiện

df = œ khi và chỉ khi

= 3x7 +y

2 fy =x-4y

Từ phương trình đầu của hệ, ta được

- f(x, y)= x + Xy¥ + oly),

3o sánh với phương trình sau của hệ, ta được @'{y) = —4y2, do đó 9y) ==Sy'+C, trong đó C là hằng số tùy ý, vậy f(x, y)= x? + xy -Sy'+C b) @ = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, P(x, y) = Sxy + 3, QŒ, y) = 2y?~— x? + => Py = 5x, Q, = —-2x => Py #Q, Vậy œ không là vi phân toàn phần

C) œ = P(x, y)dx+ Q(x, yidy, Pex, y)= 3xy? ~ 4xy + 3, Q(x, y)= 2x? y- 2x”

> P= 6x’y ~ 4x = Q,

Vậy œ là ví phân toàn phần của hàm f(x, y) Tim ham f(x, y) thỏa mãn hệ

f, = 3x7y? —Axy +3

k = 2x4y ~ 2x? Từ phương trình đầu của hệ ta được

f(x, y} = x°y? ~ 2x7y + 3x 4 ety),

p(y) la mot ham số khả vi bất kỳ, do đó f, = 2xỶy -2x?+ p(y)

So sánh với phương trình sau của hệ, ta được @{y) = 0, do đó œ(y) = C,

C là hằng số tùy ý Vậy

Í(x, y) = xỶyˆ— 2X'y + 3x +

d) @=(6x +siny)dx + (xcosy + y” + siny)dy

32 Do đó yÌ | (= d 3x? + “J 7 cosy + xsiny Vay o la vi phan toàn phần của hàm số 3 _fx,y)= 3x? + TC — eosy + Xsiny + C C là hằng số tùy ý Sinh viên hãy tìm lại kết quả này bằng phương pháp giải của các câu trên ©) œ = P(x, yklx + Q(x, y)dy,

P(x, y) = xcosy — ysiny, Q(x, y) = xsiny + ycosy,

=> P, =—xsiny — ycosy — siny, Q, = sin y => P, = Q,

Vậy œ không là vị phân toàn phần

f) wm ={y + e*cosy + x7\dx + (x — e*siny + e”)dy

= x?dx + eŸdy + ydx + xảy + (e cosydx — e`sinydy)

2 x

Vi x°dx = d Fh e'dy = d(e”), xdy + ydx = d(xy),

e*cosydx ~ e sinydy = d(e”“cosy), nên

4

@ = af Eve +xy+€” cosy)

h) œ = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, „ 1 2 x | P(x, y) = „tàn Q0uo=-| | y X V X I 2 > mm đo đó œ là vi phân toàn phần, Tìm hàm Í(x, y) thỏa mãn hệ f, ¬= Y x x l {, =-—-— -— y y? x2 Từ phương trình sau của hệ, ta được x f(x, y) = =-+9(x), y x p(x) la ham số khả vi bất kỳ của x Do đó f= —-+C y x so sánh với phương trình đầu ta có @'(x) = 0 = o(x) = C, C 1a hang sé bất kỳ Vậy - | 1 2 f(x, y) =—4+ 24 0(x) Y x 15.a)z=we+v’, u=x?v=l-eY, Theo công thức dz oz , OZ, — =—.U(X)+—vi{x t dx éu k Ov 9 ta có sa % _ gy u'(x) = 2x, v(x) =-e* ou OV |

=> = = 3uŸ.2x + 3v”(—e") = 3x4.2x + 3(1 — e*)(-e*) x

= 6x” ~ 3e*(1 — 2e* + e”*),

b) z=ult+v’ , u=xe%, v=cosx OZ uv ~ ¬ => —=Vleiv?, —= ,M{x)=e ”— xe `, v{x) = —sinx ồu XI+v' dz xe” cosx

> X l+cos? x e *“(I—x}+ =———=——(—sin X) l+cos* x

_ (t+ cos* x)e *(1—x) — xe sin x cos x V1 +cos? x €)z = níu + v2).u= J1+x, veltvx OZ 1 oz 2V i ; I ee ua a Oa dz ~ — oo + -—_ -.T— . — —- 2n 24+xx) dxX VJl+x+l+x+24x 2/1tx Vl+x+l+x+2VŸx 2X - 1 1 bev -AJl+x+l+x+24x 2v1+x vx 16 a) Áp dụng công thức ð_ 2z 0u z Ox eu Ox OV Ơx % _ ở MU, OZ OV ôu dy | ev ay

Ta có z=usinv, u=x?+ y?, v= 2xy

= 2(xˆ + y*)sin(2xy).2y + (x7 + y’)"cos(2xy).2x 212 = (x? + v2[4ysin(2xy) +2X.(x”+ y2)cos(2xy)] ¬ 2 3 b) Z = sinucosyv, u = (x — yy)’, v=x" — V Ie CZ => “ 7 = COSU Cosy, — = —sinu Siny, u oN Ou — = 2(X — V), se =—2(x-y), 0 - ØW = 2x ov =—2y Ox cy OX oy ¬ ue ¬ 2 2 + ” , > 2 =cos(k —y) cos(x* = y°).2(x — y}—sin(x — vy)" sin(x? - Vo ).2x, > es C " = —€OS(X— Y}” cos(XỶ — y`).2(x = y) +sin(x ~ v)" sin(x? — v2).2y 3 3 c} Z=U 3u v” u=xe v=xe? Oz * => eu —=2u -6uvÌ, “=~ uv’, , , ou oN _ CN ae = =e, _—= =ÄÈ”, CC =€ Ÿ Và =—XC ` CN OY Ox By 4 OZ - Ty

— = (2xe? -6x'e ”!)e'” 0x 1e? =2xe”Y — [5x 4e”, ỒN

C) Ta có U= xi(x + y) + yg(x + y) U, = XP(x + y) + yg'(x + y) + f(x + y) uy =xP(xXt+y)+ye'x+y)+g(xty) Ux, = REX + y) + ye"(x + y) + F(x + y) (1) Uxy = XẾ (X + y) + yg”(x + y) + ÍŒ% + V) + gŒ + y) (2) Uyy = Xf°(K + y) + ye"(x + y) + 2g'(x + y) (3)

Nhân phương trình (1) với !, nhân phương trình (2) với (-2), nhân phương trình (3) với 1 rồi cộng lại, ta được

Uxx — 2U,y + Uy, = 0