https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên n để: ĐỀ BÀI a) A = n − n + n − số nguyên tố n + 3n3 + 2n + 6n − B= n2 + b) có giá trị số nguyên c) D = n − n + số phương Câu (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + a) biết abc = a + b + c = ( ab + bc + ca ) b) Với a + b + c = a2 b2 c2 c b a + 2+ 2≥ + + b c a b a c c) Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 a) b) x ( x − 1) ( x − 1) = 2 c) x − y + x − y − 10 = với x, y nguyên dương ABCD ( AB / / CD ) Câu (5 diểm) Cho hình thang , O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 + = b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu A = n3 − n + n − = ( n + 1) ( n − 1) a) Để A nguyên tố n − = ⇔ n = Khi A = B = n + 3n − n +2 b) B có giá trị nguyên ⇔ 2Mn + n2 + =  n = −1(ktm) ⇒ ⇔ n + =  n + ước tự nhiên  n = (tm) Vậy với n = B có giá trị nguyên c) D = n5 − n + = n ( n − 1) + = n ( n + 1) ( n − 1) ( n + 1) + = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) + 5 + = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) ( n + ) + 5n ( n − 1) ( n + 1) + n n − 1) ( n + 1) ( n − ) ( n + ) M Mà ( (tích số tự nhiên liên tiếp) 5n n − 1) ( n + 1) M Và ( Vậy D chia dư Do D có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu a) a b c ac abc c + + = + + ab + a + bc + b + ac + c + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + b) a + b + c = ⇒ a + b + c + ( ab + ac + bc ) = ⇔ a + b + c = −2 ( ab + ac + bc ) (1) ⇒ a + b + c + ( a 2b + a 2c + b 2c ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) + 8abc ( a + b + c ) (Vì a + b + c = ) ⇒ ( ab + ac + bc ) = ( a 2b + a 2c + b 2c ) (2) ⇒ a + b + c = ( ab + ac + bc ) Từ (1) (2) 2 c) Áp dụng bất đẳng thức x + y ≥ xy Dấu xảy x = y 2 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a b2 a b a + ≥ = b2 c2 b c c a c2 a c c + ≥ = b2 a b a b c2 b2 c b b + ≥ = 2 a c a c a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2  a b2 c2  c2 a c b a c b a b  + + ÷ ≥  + + ÷⇒ + + ≥ + + c a  c a c b a c b a b b Dấu " = " xảy a = b = c Câu a) x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82  x − 214   x − 132   x − 54  ⇔ − 1÷+  − ÷+  − ÷=  86   84   82  x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1   ⇔ ( x − 300 )  + + ÷ = ⇔ x − 300 = ⇔ x = 300  86 84 82  Vậy S = { 300} b) x ( x − 1) ( x − 1) = ⇔ ( 64 x − 16 x + 1) ( x − x ) = ⇔ ( 64 x − 16 x + 1) ( 64 x − 16 x ) = 72 64 x − 16 x + =k Đặt Ta có: ( k + 0,5 ) ( k − 0,5 ) = 72 ⇔ k = 72,25 ⇒ k = ±8,5 Với k = 8,5 ta có phương trình :  x=  64 x − 16 x − = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔   x = −1  Với k = −8,5 ta có phương trình: 64 x − 16 x + = ⇔ ( x − 1) + = (vô nghiệm) 1  S =  ;−  2 4 Vậy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x − y + x − y − 10 = ⇔ ( x + x + 1) − ( y + y + ) − = c) 2 ⇔ ( x + 1) − ( y + ) = ⇔ ( x − y − 1) ( x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x − y − x = x − y −1 = 1⇒  ⇒ x + y + = y =1 Phương trình có nghiệm dương Câu ( x; y ) = ( 3;1) a) Vì AB / /CD ⇒ S DAB = SCBA (cùng đáy đường cao) ⇒ S DAB − S AOB = SCBA − S AOB hay S AOD = S BOC EO AO = DC AC b) Vì Mặt khác AB / / DC AB AO AB AO AB AO EO AB ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 ⇒ = ⇒ = ⇒ + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF EN / / MK ( N ∈ DF ) c) Dựng trung tuyến EM , dựng EO / / DC ⇒ Kẻ đường thẳng KN đường phải dựng Chứng minh: S EDM = S EFM (1) S = S IMN ( ) Gọi giao điểm EM KN I IKE Từ (1) (2) suy S DEKN = S KFN BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k; 77 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 95 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN TỐN Bài (3 điểm) Chứng minh rằng: 11 a) + chia hết cho 17 19 19 b) 19 + 69 chia hết cho 44 Bài (3 điểm) x2 + x − a) Rút gọn biểu thức : x − x − 18 x + 1 yz xz xy + + = ( x, y , z ≠ ) + 2+ 2 x y z x y z b) Cho Tính Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + ĐÁP ÁN Bài 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 = 211 ( 24 + 1) = 211.17 a) Ta có: Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) Áp dụng đẳng thức a n + b n = ( a + b ) ( a n−1 − a n−2b + a n−3b2 − − ab n−2 + b n−1 ) 19 + 69 = ( 19 + 69 ) ( 19 − 19 69 + + 69 19 Ta có: 19 18 17 18 ) với n lẻ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ = 88 ( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) chia hết cho 44 Bài a) Ta có: *) x + x − = x + x − x − = x ( x + 3) − ( x + ) = ( x − ) ( x + ) *) x3 − x − 18 x + = x3 + x − x − 21x + x + = x ( x + 3) − x ( x + ) + ( x + ) = ( x + 3) ( x − x + 3) x2 + x − ( x + 3) ( x − ) = x − x ≠ −1; x − x + ≠ ⇒ = ( ) x − x − 18 x + ( x + 3) ( x − x + 3) x − x + 1 1 1 1 + + = ⇒ = − + ÷ x y z z x y b) Vì 1 1 1 1 1 1  ⇒ = −  + ÷ ⇒ = −  + + + ÷ z z x y x y y  x y x 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + = −3 . + ÷⇒ + + = x y z x y x y x y z xyz 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy xyz  + + ÷ = ⇔ + + = ⇔ + + = y z  x y z x y z x Do đó: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài Vẽ hình bình hành ABMC ta có: AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM µ µ BC = CE ( gt ) ⇒ ∆CBE Thật vậy, xét tam giác BCE có cân C ⇒ B1 = E Vì góc C1 góc ngồi tam giác BCE µ =B µ +E µ ⇒B µ = 1C µ µ = CBM · µ = CBM · ⇒C ⇒C ⇒B 1 1 1 mà AC / / BM (ta vẽ) nên BO ·CBM · tia phân giác Hồn tồn tương tự ta có CD tia phân giác BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O · ⇒ MO tia phân giác CMB · · Mà BAC , BMC hai góc đối hình bình hành BMCA ⇒ MO / / với tia phân giác góc A theo giả thiết tia phân giác góc A cịn song song với OK ⇒ K , O, M thẳng hàng ¶ = BMC · ¶ ⇒M ¶ =µ M (cmt ); µA = M A2 ả 1 Ta li cú: m A2 = K1 (2 góc đồng vị) ¶ =M ¶ ⇒ ∆CKM ⇒K 1 cân C ⇒ CK = CM Kết hợp Bài AB = CM ⇒ AB = CK ( dfcm ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ M = x + x + = x + x + + = ( x + 1) + Ta có 2 x + ≥ ⇒ x + +4≥4⇔ M ≥4 ( ) ( ) Vì ( Vậy MinM = ⇔ x = − ) ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2 điểm) Cho biểu thức A= x − 3x x+4 − + x +1 x − x +1 x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ −1 Câu (3 điểm) a) Chng minh rng: Vi mi x Ô thỡ giỏ trị đa thức : M = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 16 bình phương số hữu tỉ x + = x ( x + 1) b) Giải phương trình : Câu (1,5 điểm) Đa thức P( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P (1) = 0; P (3) = 0; P (5) = Q = P ( −2 ) + P ( ) Hãy tính giá trị biểu thức Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi E F giao điểm BN MQ; CM NP Chứng minh a) DE song song với AC b) DE = DF ; AE = AF Câu (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a b c + + ≥ a + b b + c c + a với a ≥ b ≥ c > https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu a) x − 3x x + x ( x − x + 1) − ( x + 1) ( − 3x ) + x + A= − + = x + x − x + x3 + ( x + 1) ( x − x + 1) x3 + x + x + ( x + 1) ( x + x + 1) x + x + = = = ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x − x + 1  x+ ÷ +  x + x +1  2 A= = x − x +1  1 x− ÷ + 2  x ≠ − b) Với 2 1 1    x + ÷ + > 0;  x − ÷ + > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ A > 0, ∀x ≠ −1 2 2  Vì  Câu M = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 16 a) Ta có: Đặt a = x + 10 x + 16 2 M = a a + + 16 = a + a + 16 = a + ( ) ( ) Suy M = ( x + 10 x + 20 ) (dpcm) Vậy b / x + = x ( x + 1) ⇔ x ( x + 1) − x + = ⇔ x x + − x + = ⇔ x + ( x − 1) =  x +1 = x +1 = x =1 ⇔ ⇔ ⇔  x = −1  x − =  x =1 Câu P ( x )M ( x − 1), ( x − 3) , ( x − ) Ta có: P x P x = x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x + a ) Nên ( ) có dạng ( ) ( P (−2) + 7.P(6) = ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −2 + a ) + 7.5.3.1 ( + a ) Khi đó: = −105 ( −2 + a ) + 105.( + a ) = 105.( − a + + a ) = 840 Câu https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ BE BQ BQ AB BD = = = = EN QP MQ AC DC ⇒ DE / / NC hay DE / / AC a) Chứng minh DE BD BD DE / / AC ⇒ = ⇒ DE = CN (1) CN BC BC b) Do CD DF = BM (2) BC Tương tự: DE BD CN = Từ (1) (2) suy DF CD BM BD AB CN AC DE = = = ⇒ DE = DF Mà CD AC BM AB nờn DF Ã Ã ả Ta cú: D1 = DAC = DAB = D2 ⇒ ∆ADE = ∆ADF ⇒ AE = AF 10 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a b c x2 y z x y z + + = + + =1 + + =1 b c b) Cho a b c x y z Chứng minh rằng: a Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Vì ? b) Chứng minh : CH CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB AH + AD AK = AC 20 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu a)3x − x + = x − x − x + = 3x ( x − ) − ( x − ) = ( 3x − 1) ( x − ) b) a ( x + 1) − x ( a + 1) = ax + a − a x − x = ax ( x − a ) − ( x − a ) = ( x − a ) ( ax − 1) Câu ĐKXĐ: x ≠ { 0; ±2;3} 2 2+ x 4x2 − x  x − 3x ( + x ) + x − ( − x ) x ( − x ) a) A =  − − = ÷: − x x − + x x − x − x + x x ( x − 3) ( ) ( )   x( − x) 4x ( x + 2) x ( − x ) x2 + 8x 4x2 = = = ( − x ) ( + x ) x − ( − x ) ( + x ) ( x − 3) x − x2 A>0⇔ > ⇔ x − > ⇔ x > 3(tmdk ) x − b) Vậy x > A > x − =  x = 11(tm) 121 c) x − = ⇔  ⇔ ⇔ A= x = 11 x − = − x = 3( ktm )   Câu 2 x + y + z − 18 x + z − y + 20 = a) ⇔ ( x − 18 x + ) + ( y − y + ) + ( z + z + 1) = ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 1) = 0(*) Do ( x − 1) 2 ≥ 0; ( y − 3) ≥ 0; ( z + 1) ≥ 2 Nên : x = 1; y = 3; z = −1 a b c ayz + bxz + cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz b) Từ ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + =1⇔  + + ÷ =1 a b c Ta có: a b c x2 y2 z  xy xz yz  ⇔ + + + 2 + + ÷= a b c  ab ac bc  x2 y2 z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 21 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu a) Ta có BE ⊥ AC ( gt ); DF ⊥ AC ( gt ) ⇒ BE / / DF Chứng minh ∆BEO = ∆DFO ( g c.g ) ⇒ BE = DF Suy tứ giác BEDF hình bình hành · · · · b) Ta có : ABC = ADC ⇒ HBC = KDC CH CK ∆CBH : ∆CDK ( g g ) ⇒ = ⇒ CH CD = CK CB CB CD Chứng minh AF AK ∆AFD : ∆AKC ( g g ) ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC c) Chứng minh CF AH ∆CFD : ∆AHC ( g.g ) ⇒ = CD AC Chứng minh CF AH CD = AB ⇒ = ⇒ AB AH = CF AC AB AC Mà Suy AB AH + AB AH = CF AC + AF AC = ( CF + AF ) AC = AC 22 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn lớp Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) B= Rút gọn biểu thức Câu (4,0 điểm) x3 − y − z − 3xyz ( x + y) + ( y − z) + ( x + z) 2 x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + a) Tìm số dư phép chia đa thức ( cho x + x + 12 2 b) Tìm số nguyên x cho x − x + x − chia hết cho x + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1  3   x + 3÷ +  x − ÷ + ( − x) =  4  a)  3− x   − x  x ÷ x + ÷= x + x +    b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3x + + x + − x + a) 14 x − x + B= 3x + x + b) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M , D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh a) ∆MHD : ∆CMD b) E trực tâm ∆ABN Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm · đường chéo AC cho BNM = 90 Gọi F điểm đối xứng A qua N Chứng minh FB ⊥ AC 23 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu Ta có: x3 − y − z − xyz = ( x − y ) + xy ( x − y ) − z − xyz = ( x − y − z ) + ( x − y ) z ( x − y − z ) + xy ( x − y − z ) = ( x − y − z ) ( x − y − z ) + xz − yz + xy    = ( x − y − z ) ( x + y + z − xy − xz + yz + xz − yz + xy ) = ( x − y − z ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) *) ( x + y ) + ( y − z ) + ( x + z ) 2 = x + xy + y + y − yz + z + x + xz + z = ( x + y + z + xy − yz + xz ) B= Vậy Câu ( x − y − z ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) 2 = x− y−z f x = x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + a) Đặt ( ) ( Ta có: A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 15 ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + 3 + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + 12 ) + − 15 = ( x + x + 12 ) ( x + x + 10 ) − f x Vậy số dư phép chia ( ) cho x + x + 12 −6 2 b) Thực phép chia đa thức B = x − x + x − cho C = x + , ta được: Đa thức thương: x − 2; đa thức dư: x − x − x + x − = ( x + 3) ( x − ) + x − Suy : BM x + 3) ⇔ ( x − 1) M x + 3) (1) ( ( Do x ≠ −1 nên: Vì x ≠ vs ( 1) ⇒ ( x − 1) ( x + 1) Mx + ⇒ ( 16 x − 1) M ( x2 + 3) ⇒ 16 ( x2 + 3) + 49M( x + 3) ⇒ 49M( x + 3) Vì x + ≥ nên xảy tong hai trường hợp sau: • x + = 49, khơng có giá trị thỏa mãn 24 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/  x = 2(tm) •x2 + = ⇒ x2 = ⇔   x = −2( ktm) Vậy x = Câu 3 a = x + 3; b = x − ⇒ a + b = x − ⇒ − x = − ( a + b ) 4 a) Đặt ⇔ a + b3 − ( a + b ) = Ta có (pt đề) ⇔ a + b3 − a − b3 − 3ab ( a + b ) = ⇔ −3ab ( a + b ) = 1 4 x + =  x = −12 a =   16   ⇔ b=0 ⇔ x − = ⇔ x =  4   a + b = x −1 = x =1    16   S = −12; ;1   Vậy b) ĐKXĐ: x ≠ −1 3− x  3x − x x + x − − x  − x  x =2 ÷ x + ÷= ⇔ x +1  x +1 x +1  x +  x − x ) ( x + 3) ( ⇔ =2 ( x + 1) ⇒ x + x − x − 3x = x + x + ⇔ x − 3x3 + x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = x −1 =  x = 1(tm) ⇔ ⇔ VN x − x + = S = { 1} Vậy Câu a ≥ a, a) Áp dụng tính chất dấu " = " xảy ⇔ a ≥ 0, ta có: A = 3x + + x + − x + ≥ 3x + + x − − x + = ⇒ A ≥ −1 x+2≥0⇔ x≥ ⇔ x≥− x ≥ −2 Dấu “=” xảy ⇔ x + ≥ −1 A = ⇔ x ≥ Vậy 25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 14 x − x + B− = − 3x + x + b) Ta có ( 14 x = − x + ) − ( x + x + 3) ( x + x + 3) 12 x − 12 x + ( x − 1) = = 2 ( x + x + 3) ( x + 1) + 2 Với x, ta có: ( x − 1) ≥ 0, ( x + 1) + ≥ > 2 x − 1) ( 2 ⇒ ≥0⇔ B− ≥0⇒ B≥ ⇔ x= 3 ( x + 1) + 2 Câu a) Vì M trung điểm BC nên AM đường trung tuyến ∆ABC Mà ∆ABC cân A (gt) nên AM đường cao ∆ABC · · · · Xét ∆MHD ∆CMD có: MHD = CMD = 90 ; MDH = CDM ⇒ ∆MHD : ∆CMD ( g.g ) b) ∆MHD : ∆CMD (câu a) HD HM HD HM ⇒ = ⇒ = (Vi MD CM AD BM MD = AD, CM = BM ) · · · Mặt khác ta có: ADH = 90 + DMH = BMH Suy ∆HDA : ∆HMB (c.g c ) · · · · Do đó: AHD = BHM ⇒ AHB = DHM = 90 ⇒ BH ⊥ AN Kết hợp với AM ⊥ BC ⇒ E trực tâm ∆ABN Câu 26 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Gọi I trung điểm BF, đường thẳng NI cắt BC E Ta có: F đối xứng với A qua N (gt) ⇒ N trung điểm AF Mà I trung điểm BF nên NI đường trung bình ∆ABF ⇒ NI / / AB, NI = AB Mặt khác AB / /CD; AB = CD (ABCD hình chữ nhật M trung điểm CD) CD AB ⊥ BC ; CM = suy NI ⊥ BC ; NI / / CM NI = CM ⇒ Tứ giác CINM hình bình hành ⇒ CI / / MN · MN ⊥ BN BNM = 900 ⇒ CK ⊥ BN Mà K Do I trực tâm ∆BCN ⇒ BF ⊥ AC ( ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) x − y − 5x + y b) x − x − x − 16 A = x Bài Tìm đa thức A, biết x + 5x + Bài Cho phân thức x + x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài a) Giải phương trình : x+2 − = x − x x ( x − 2) 27 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( x − 3) ( x + 3) < ( x + ) + b) Giải bất phương trình : Bài Giải tốn sau cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm Do hồn thành trước kế hoạch ngày vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài Cho ∆ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đường cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ABC : ∆HBA b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích ∆AHM 28 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN CẤP HUYỆN Bài a) x − y − 5x + y = ( x − y ) − ( x − y ) = ( x + y ) ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) ( x + y − 5) b) x − x − = x + x − x − = ( x + x ) − ( x + ) = x ( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1) ( x − ) Bài A= x ( x − 16 ) x + 2x = x ( 2x − 4) ( 2x + 4) x( x + 2) = x( x − 2)( x + 2) = 4x − x( x + 2) Bài a ) x + x = x( x + 1) ≠ ⇔ x ≠ va x + ≠ ⇔ x ≠ x ≠ −1 b) Rút gọn 5x + 5( x + 1) = = 2 x + x x( x + 1) x 5 = ⇔ = x ⇔ x = (t / m) 2x x= Bài a) Điều kiện xác định x ≠ 0; x ≠ x( x + 2) − ( x − 2) = ⇔ x2 + x − x + = x ( x − 2) x ( x − 2) ⇔ x = (loai ) vs x = −1 Vậy S = { −1} b) ( x − 3) ( x + 3) < ( x + ) + ⇔ x2 − < x2 + 4x + ⇔ x − x − x < + ⇔ −4 x < 16 ⇔ x > −4 Vậy nghiệm phương trình x > −4 Bài - Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất : x ngày ( x ∈ ¥ *, x > 1) - Vậy số ngày tổ thực x − (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch : 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực : 57.( x − 1) (sản phẩm) Theo đề ta có phương trình : 57( x − 1) − 50 x = 13 ⇔ 57 x − 57 − 50 x = 13 ⇔ x = 70 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Vậy số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch : 50.10 = 500 (sản phẩm) Bài 29 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ µ a) Xét ∆ABC ∆HBA có: A = H = 90 ; B chung ⇒ ∆ABC : ∆HBA ( g.g ) b) Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ABC có µ µ BC = AB + AC = 152 + 202 = 625 = 25(cm) AB AC BC 15 20 25 = = hay = = HB HA 15 Vì ∆ABC : ∆HBA nên HB HA BA 20.15 15.15 ⇒ AH = = 12 (cm) ; BH = = (cm); HC = BC − BH = 25 − = 16 (cm) 25 25 BC 25 c ) HM = BM − BH = − BH = − = 3,5(cm) 2 1 S AHM = AH HM = 12.3,5 = 21(cm ) 2 ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Bài (2 điểm) x3 ( x − ) − 36 x a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Dựa vào kết chứng minh : A = n3 ( n − ) − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài (2 điểm)  − x3  − x2 A= − x ÷: x ≠ −1;1) ( − x − x − x + x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x = −1 b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < a, b, c thỏa mãn abc = 2004 2004a b c M= + + ab + 2004a + 2004 bc + b + 2004 ac + c + Tính Bài (1 điểm) Cho ba số 30 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh ∆APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài (1 điểm) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho x = y + y + 13 31 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Bài 2 a ) x3 ( x − ) − 36 x = x ( x − x ) − 36   = x ( x3 − x − ) ( x3 − x + ) = x ( x − x − x − ) ( x3 − x − x + ) = x ( x + 1) ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x − ) ( x + ) b) Theo phần a ta có: A = n3 ( n − ) − 36n = ( n − 3) ( n − ) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) Đây tích số nguyên liên tiếp nên có 2, bội 3, bội 5, bội 2,3,5,7 ) = AM2.3.5.7 ) ⇒ AM210 Mà ( nên ( Bài a) Với x ≠ ±1 − x3 − x + x ( 1− x) (1+ x) A= : 1− x ( + x ) ( − x + x2 ) − x ( + x ) = ( − x ) ( + x + x2 − x ) 1− x : ( 1− x) ( 1+ x) ( + x ) ( − 2x + x2 ) = ( + x2 ) ( − x ) 1− x 2 x = −1 ⇒ A = 10 27 b) Tại A < ⇔ ( + x2 ) ( − x ) < ⇔ − x < ⇔ x > x ≠ ± c) Với = ( + x2 ) : 32 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 2004 = abc vào M ta có: a 2bc b c M= + + ab + a 2bc + abc bc + b + abc ac + c + a 2bc b c = + + ab(1 + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + Thay = ac c ac + c + + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + 1 + ac + c Bài µ µ a) Chứng minh ∆ADM = BAN (cgc) A1 = D1 ả M D1 + M = 90 ( ∆ADM vuông A) 0 ả Ã Do ú: A1 + M = 90 ⇒ APM = 90 Hay ∆APM vuông P 5 (cm), AM = cm, S APM = (cm ) 5 b) Tính c) Gọi I trung điểm AD Nối C với I; CI cắt DM H Chứng minh tứ giác AICN hình bình hành ⇒ AN / /CI mà AN ⊥ DM ⇒ CI ⊥ DM Hay CH đường cao ∆CPD (1) AP = Vận dụng định lý đường trung bình trung tuyến ∆CPD (2) Từ (1) (2) suy Bài ∆ADP chứng minh H trung điểm DP suy CH ∆CPD cân C 33 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( x + y + 1) ( x − y − 1) = 12 Biến đổi đẳng thức cho dạng Lập luận để có x + y + > x − y − x + y + 1; x − y − ước dương 12 từ có trường hợp 12 x + y +1 x − y −1 x y Mà 13 2 −1 x, y nguyên dương nên ( x; y ) = ( 4;1) 34 ... PHÚC =100 k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC =100 k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ... PHÚC =100 k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC =100 k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ... BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6 =100 k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC =100 k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG