tuyen tap vd vdc trong cac de thi thu thpt qg mon toan truong cong dat

CÂU HỎI

Hàm số f(x) là một hàm đa thức bậc 3 với đồ thị đã cho Xét hàm số g(x) = f(2x^3 + x - 1) + m Để tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của g(x) trên đoạn [0; 1] bằng 2022, cần phân tích và xác định điều kiện phù hợp cho m.

Câu 2 Cho a là số thực dương sao cho 3 x +a x ≥6 x + 9 x với mọi x∈R Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y=f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Trên [−2; 4], gọi x 0 là điểm mà tại đó hàm số g(x) =f x

−ln x 2 + 8x+ 16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đóx 0 thuộc khoảng nào?

Câu 4 Cho phương trình ln(x+m)−e x +m= 0, với mọi m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyênm∈[−2022; 2022] để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 5 Cho các số thựcx, ythỏa mãn 2 x 2 +y 2 −2 +2 2xy−1 log 3 (x−y) = 2 1−xy +2 2xy−2 [1 + log 3 (1−xy)].

Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 x 3 +y 3 −6xy bằng

Câu 6 Có bao nhiêu số nguyên y≥3 sao cho tồn tại đúng 2 số thực x lớn hơn 1

2021 thỏa mãn e y x −xy+x ln y =xy?

Hàm số y=f(x) có đồ thị được mô tả trong hình ảnh Cần xác định số lượng giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f²(sinx) + (m−5)f(sinx) + 4 = [f(sinx) + m−1]|f(sinx)−2| có đúng 5 nghiệm thực phân biệt trong khoảng [0; 2π].

Câu 8 Xét các số thực x, y thỏa mãn 2 x 2 +y 2 +1 ≤ x 2 +y 2 −2x+ 2 4 x Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x−4y

Câu 9 Cho hàm số y x 2 −2mx+ 1 x 2 −x+ 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−10; 10] để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng 4.

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị được cho Để tìm giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(3|cosx| − 1) + m bằng 4, chúng ta cần phân tích đồ thị của hàm f(x) và xác định giá trị lớn nhất của g(x).

Hàm số f(x) = ax^4 + bx^2 + c có đồ thị như hình vẽ Gọi n là số điểm cực trị của hàm số g(x) = f^2(h(f^2(x))) - 2022m Với mọi giá trị m, ta luôn có a ≤ n ≤ b, trong đó a, b là các số tự nhiên Câu hỏi đặt ra là giá trị của a + b là bao nhiêu?

Để xác định số giá trị nguyên của tham số m cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, chúng ta cần phân tích phương trình 3f(|x|)³ - 3|x| + 2 - m + 1 = 0 Phương trình này yêu cầu có 8 nghiệm phân biệt, từ đó dẫn đến việc tìm ra các điều kiện cho m Việc khảo sát đồ thị của hàm số f(x) và các yếu tố liên quan sẽ giúp xác định các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu trên.

Câu 13 Cho f(x) là hàm đa thực bậc bốn và hàm số y=f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số g(x) =f(sinx−1) +cos 2x

4 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2π)?

Đường cong (C m) được định nghĩa bởi hàm số y = x³ - 3(m - 1)x² - 3(m + 1)x + 3 Ta cần xác định tập hợp các giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B, với O, A, B thẳng hàng Tổng các phần tử của tập S này sẽ được tính toán để tìm ra giá trị cuối cùng.

Câu 15 Cho hàm số f(x) = log 3 q

+ 3x 2021 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−2021; 2021] để bất phương trình f x 2 + 1 +f(−2mx)≥0 nghiệm đúng với mọi x∈(0; +∞).

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị nguyên m∈(−2021; 2021) thỏa mãn q m 2 −2m+ 4 + 1−m

Câu 17 yêu cầu xác định số giá trị nguyên của tham số m trong khoảng [−2021; 2021] sao cho phương trình logf(x) mx^2 + x[f(x)−mx] = mx^3 − f(x) có hai nghiệm dương phân biệt Đồ thị của hàm số bậc bốn y = f(x) cung cấp thông tin quan trọng để phân tích các nghiệm của phương trình Việc tìm kiếm giá trị m thỏa mãn điều kiện trên là một bài toán thú vị trong toán học.

Câu 18 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu f ′ (x) như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số g(x) =f x 2 −2x+ 1− |x−1| là x f ′ (x)

Câu 19 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn lim h→0

Câu 20 Gọi S là tập hợp các số tự nhiênn có 4 chữ số thỏa mãn (2 n + 3 n ) 2020 < 2 2020 + 3 2020 n

Số phần tử của S là

Câu 21 Tính a+b biết [a;b] là tập tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log 2 q x 2 −2x+m+ 4 q log 4 (x 2 −2x+m)≤5 thỏa mãn với mọix∈[0; 2]

Câu 22 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R\ {0} sao cho f x 1 x 2

= f(x 1 ) f(x 2 ) với mọi x 1 , x 2 ∈R\ {0}, f(x 2 )̸= 0 Biết f ′ (1) = 2, khi đó f ′ (x) bằng

Câu 23 Cho hàm số y=f(x) =ax 3 +bx 2 +cx+d có bảng biến thiên như sau x f ′ (x) f(x)

Tìm m để phương trình |f(x−1) + 2|=m có 4 nghiệm thỏa mãnx 1 < x 2 < x 3 1 và log x 2 +y 2 (2x+ 4y)≥1 Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x+y bằng

Câu 45 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

Câu 46 Cho hàm số f(x) = 2x−m 2 x+ 1 , với m là tham số Gọi m 1 , m 2 (với m 1 < m 2 ) là các giá trị của tham sốm thỏa mãn 2 max

Câu 47 Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x+y) 3 + 4xy≥2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 5 x 4 +y 4 +x 2 y 2 −4 x 2 +y 2 + 2 bằng

Câu 48 Cho hàm số bậc bốn y =f(x) Hàm số y =f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Đặt hàm số g(x) =f(x)−x 2 −x Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 49 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0≤x≤2020 và log 2 (2x+ 2) +x−3y= 8 y Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn các điều đã cho?

Câu 50 Với a, blà các số thực thỏa mãn 2a 3 −6a 2 + 7a= (3−2b)√

1−b+ 3 và biểu thứcP = 2a+b đạt giá trị lớn nhất Tổnga+b bằng

Hàm số f(x) liên tục trên R có đồ thị được mô tả trong bài viết Để tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m, cần xác định giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = |f(x) + 2m| trên đoạn [-3; 2], sao cho giá trị này bằng 5.

Để xác định tập hợp các giá trị thực của tham số m, sao cho hàm số g(x) = f²(x) + 4f(x) - 2m có đúng 5 điểm cực trị, cần phân tích đồ thị của hàm số y = f(x) và tính toán các điều kiện liên quan đến đạo hàm Việc tìm kiếm các giá trị m phù hợp sẽ liên quan đến số lượng và vị trí của các điểm cực trị trong hàm g(x).

Câu 53 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =x 2 +y

2 với a vàb là các số hữu tỉ Giá trị của biểu thứcS=a 2 +b 2 thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 54 Cho hàm số f(x) là hàm đa thức bậc bốn và có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm sốg(x) = 2 −

Câu 55 Có bao nhiêu cặp số (x;y), trong đóx, y nguyên dương thuộc đoạn [0; 2022], thỏa mãn điều kiện 2 x −log 2 y 2 + 615 =y 2 −x+ 615?

Câu 56 Có bao nhiêu số nguyên xsao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

Hàm đa thức \( y = f(x) \) có đạo hàm \( y = f'(x) \) với đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Biết rằng \( f(0) = 0 \), ta cần xác định số điểm cực đại của hàm \( g(x) = f(x) - x^3 \).

Câu 58 Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho ứng với mỗi x có đúng 9 số nguyên y thỏa mãn

Câu 59 Cho hàm số f(x) =ax 4 +bx 2 +ccó đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) =f q x 2 −4x+ 6

−2 x 2 −4x q x 2 −4x+ 6−12 q x 2 −4x+ 6 + 1 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốg(x) trên đoạn [1; 4] bằng

Câu 60 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

27 x −(2m−1) 9 x + m 2 + 2m−53 3 x −m 2 + 51 = 0 có ba nghiệm không âm phân biệt Số phần tử củaS là

Câu 61 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y √3−x+ 2

Câu 62 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 2 số nguyên y thỏa mãn

Câu 63 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2 x 2 +y 2 + 4 + log 2022 2 x+2 y

2(xy−4) 2 Khi biểu thức P =x+ 4y đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của y x bằng

Để tìm các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y=f(|4−2x|+m−6) có đúng 3 điểm cực tiểu, ta cần phân tích đồ thị của hàm số y=f'(x) có đạo hàm liên tục trên R Tập S chứa các giá trị nguyên của m sẽ được xác định qua các điều kiện về số lượng điểm cực tiểu của hàm số Cuối cùng, tổng các phần tử của S sẽ được tính toán để đưa ra kết quả chính xác.

Câu 65 Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn log √ 3 x+y x 2 +y 2 +xy+ 2 =x(x−3) +y(y−3) +xy sao cho biểu thức P =4x+ 5y−3 x+ 2y+ 1 đạt giá trị lớn nhất Khi đó 2021x+ 2022y bằng

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 38 A CÂU HỎI

Để tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x^3 + x - 1) + m trên đoạn [0; 1] bằng 2022, ta cần phân tích hàm số f(x) là hàm đa thức bậc 3 và xem xét đồ thị của nó Việc xác định giá trị nhỏ nhất của g(x) trong khoảng này sẽ giúp chúng ta xác định m phù hợp.

Câu 2 Cho a là số thực dương sao cho 3 x +a x ≥6 x + 9 x với mọi x∈R Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y=f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Trên [−2; 4], gọi x 0 là điểm mà tại đó hàm số g(x) =f x

−ln x 2 + 8x+ 16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đóx 0 thuộc khoảng nào?

Câu 4 Cho phương trình ln(x+m)−e x +m= 0, với mọi m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyênm∈[−2022; 2022] để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 5 Cho các số thựcx, ythỏa mãn 2 x 2 +y 2 −2 +2 2xy−1 log 3 (x−y) = 2 1−xy +2 2xy−2 [1 + log 3 (1−xy)].

Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 x 3 +y 3 −6xy bằng

Câu 6 Có bao nhiêu số nguyên y≥3 sao cho tồn tại đúng 2 số thực x lớn hơn 1

2021 thỏa mãn e y x −xy+x ln y =xy?

Để xác định số giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f^2(sinx) + (m−5)f(sinx) + 4 = [f(sinx) + m−1]|f(sinx)−2| có 5 nghiệm thực phân biệt trong đoạn [0; 2π], ta cần phân tích đồ thị của hàm số y = f(x) đã cho Việc tìm kiếm giá trị m phù hợp sẽ liên quan đến tính chất của hàm f và sự phân bố của các nghiệm trong khoảng đã chỉ định.

Câu 8 Xét các số thực x, y thỏa mãn 2 x 2 +y 2 +1 ≤ x 2 +y 2 −2x+ 2 4 x Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x−4y

Câu 9 Cho hàm số y x 2 −2mx+ 1 x 2 −x+ 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−10; 10] để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng 4.

Để tìm giá trị của tham số m trong hàm số g(x) = f(3|cosx| − 1) + m sao cho giá trị lớn nhất của g(x) bằng 4, ta cần xem xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] Điều này cho phép xác định các giá trị của f(x) trong khoảng này và từ đó tính toán giá trị lớn nhất của g(x).

Hàm số f(x) = ax^4 + bx^2 + c có đồ thị như hình vẽ, và số tự nhiên n đại diện cho số điểm cực trị của hàm g(x) = f^2(hf^2(x)) - 2022m Đối với mọi giá trị của m, ta có bất đẳng thức a ≤ n ≤ b, với a và b thuộc tập hợp số tự nhiên N Giá trị tổng a + b cần được xác định.

Để tìm số giá trị nguyên của tham số m cho phương trình 3f(|x|)^3 - 3|x| + 2 - m + 1 = 0 có 8 nghiệm phân biệt, ta cần phân tích đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên R Số nghiệm phân biệt phụ thuộc vào sự giao nhau giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng y = m - 1 Cần xác định các giá trị của m sao cho đồ thị cắt đường thẳng này tại 8 điểm khác nhau.

Câu 13 Cho f(x) là hàm đa thực bậc bốn và hàm số y=f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số g(x) =f(sinx−1) +cos 2x

4 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2π)?

Đường cong (C m) được xác định bởi phương trình y = x^3 - 3(m - 1)x^2 - 3(m + 1)x + 3 Tập hợp S chứa các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B, đồng thời O, A, B thẳng hàng Tổng các phần tử của S cần được tính toán.

Câu 15 Cho hàm số f(x) = log 3 q

+ 3x 2021 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[−2021; 2021] để bất phương trình f x 2 + 1 +f(−2mx)≥0 nghiệm đúng với mọi x∈(0; +∞).

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị nguyên m∈(−2021; 2021) thỏa mãn q m 2 −2m+ 4 + 1−m

Câu 17 yêu cầu xác định số lượng giá trị nguyên của tham số m trong khoảng [−2021; 2021] sao cho phương trình logf(x) mx^2 + x[f(x)−mx] = mx^3 − f(x) có hai nghiệm dương phân biệt Đồ thị hàm số bậc bốn y = f(x) sẽ ảnh hưởng đến số nghiệm của phương trình, do đó việc phân tích đồ thị và các điều kiện liên quan là cần thiết để tìm ra các giá trị m thỏa mãn yêu cầu.

Câu 18 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu f ′ (x) như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số g(x) =f x 2 −2x+ 1− |x−1| là x f ′ (x)

Câu 19 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn lim h→0

Câu 20 Gọi S là tập hợp các số tự nhiênn có 4 chữ số thỏa mãn (2 n + 3 n ) 2020 < 2 2020 + 3 2020 n

Số phần tử của S là

Câu 21 Tính a+b biết [a;b] là tập tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log 2 q x 2 −2x+m+ 4 q log 4 (x 2 −2x+m)≤5 thỏa mãn với mọix∈[0; 2]

Câu 22 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R\ {0} sao cho f x 1 x 2

= f(x 1 ) f(x 2 ) với mọi x 1 , x 2 ∈R\ {0}, f(x 2 )̸= 0 Biết f ′ (1) = 2, khi đó f ′ (x) bằng

Câu 23 Cho hàm số y=f(x) =ax 3 +bx 2 +cx+d có bảng biến thiên như sau x f ′ (x) f(x)

Tìm m để phương trình |f(x−1) + 2|=m có 4 nghiệm thỏa mãnx 1 < x 2 < x 3 1 và log x 2 +y 2 (2x+ 4y)≥1 Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x+y bằng

Câu 45 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

Câu 46 Cho hàm số f(x) = 2x−m 2 x+ 1 , với m là tham số Gọi m 1 , m 2 (với m 1 < m 2 ) là các giá trị của tham sốm thỏa mãn 2 max

Câu 47 Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn (x+y) 3 + 4xy≥2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 5 x 4 +y 4 +x 2 y 2 −4 x 2 +y 2 + 2 bằng

Câu 48 Cho hàm số bậc bốn y =f(x) Hàm số y =f ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Đặt hàm số g(x) =f(x)−x 2 −x Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 49 Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0≤x≤2020 và log 2 (2x+ 2) +x−3y= 8 y Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn các điều đã cho?

Câu 50 Với a, blà các số thực thỏa mãn 2a 3 −6a 2 + 7a= (3−2b)√

1−b+ 3 và biểu thứcP = 2a+b đạt giá trị lớn nhất Tổnga+b bằng

Để tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = |f(x) + 2m| trên đoạn [-3; 2] bằng 5, cần phân tích đồ thị của hàm f(x) liên tục trên R Việc xác định các giá trị của m sẽ giúp đảm bảo rằng g(x) đạt giá trị tối đa là 5 trong khoảng đã cho.

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị cụ thể Cần xác định tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số g(x) = f^2(x) + 4f(x) - 2m có đúng 5 điểm cực trị.

Câu 53 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =x 2 +y

2 với a vàb là các số hữu tỉ Giá trị của biểu thứcS=a 2 +b 2 thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 54 Cho hàm số f(x) là hàm đa thức bậc bốn và có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm sốg(x) = 2 −

Câu 55 Có bao nhiêu cặp số (x;y), trong đóx, y nguyên dương thuộc đoạn [0; 2022], thỏa mãn điều kiện 2 x −log 2 y 2 + 615 =y 2 −x+ 615?

Câu 56 Có bao nhiêu số nguyên xsao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

Hàm đa thức y = f(x) có đạo hàm y = f'(x) với đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Biết rằng f(0) = 0, câu hỏi đặt ra là hàm g(x) = f(x) - x^3 có bao nhiêu điểm cực đại.

Câu 58 Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho ứng với mỗi x có đúng 9 số nguyên y thỏa mãn

Câu 59 Cho hàm số f(x) =ax 4 +bx 2 +ccó đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) =f q x 2 −4x+ 6

−2 x 2 −4x q x 2 −4x+ 6−12 q x 2 −4x+ 6 + 1 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốg(x) trên đoạn [1; 4] bằng

Câu 60 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

27 x −(2m−1) 9 x + m 2 + 2m−53 3 x −m 2 + 51 = 0 có ba nghiệm không âm phân biệt Số phần tử củaS là

Câu 61 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y √3−x+ 2

Câu 62 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 2 số nguyên y thỏa mãn

Câu 63 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2 x 2 +y 2 + 4 + log 2022 2 x+2 y

2(xy−4) 2 Khi biểu thức P =x+ 4y đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của y x bằng

Cho hàm bậc bốn y=f(x) với đạo hàm liên tục trên R, đồ thị của hàm số y=f′(x) được cho Xác định tập S gồm các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=f(|4−2x|+m−6) có đúng 3 điểm cực tiểu Tính tổng các phần tử trong S.

Câu 65 Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn log √ 3 x+y x 2 +y 2 +xy+ 2 =x(x−3) +y(y−3) +xy sao cho biểu thức P =4x+ 5y−3 x+ 2y+ 1 đạt giá trị lớn nhất Khi đó 2021x+ 2022y bằng

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 54 A CÂU HỎI

Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn 2f(x) +xf

Câu 2 Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0; 2] Biết f(0) = 1 và f(x)f(2−x) = e 2x 2 −4x với mọix∈[0; 2] Tính tích phân I 2 Z

Câu 3 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f ′ (x)−f(x) = e x và f(0) = 1. Tính f(1).

Câu 4 Cho hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f(1) = e, f(x) =f ′ (x)√

3x+ 1 với mọi x >0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 5 Cho hàm sốf(x) có đạo hàm liên tục trênR, thỏa mãn 2f(x) +xf ′ (x) = 3x+ 10,∀x∈Rvà f(1) = 6 Biết

−1 ln 2 + q f(x) f 2 (x)−6f(x) + 9dx=aln 5 +bln 6 +√ cln 2 +√

3 với a, b, c là số hữu tỉ Giá trị của biểu thức T =a+b+c thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 6 Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) và f(x)̸= 0 với mọi x > 0 Tính tổng f(1) +f(2) + +f(2022) biết rằng f ′ (x) = (2x+ 1)f 2 (x) vàf(1) = −1

Câu 7 Cho hàm sốy=f(x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn 2xf ′ (x) +f(x) = 3x 2 √ x,∀x∈(0; +∞).

Câu 8 Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, thỏa mãn f ′ (x) q x 2 + 1 = 2x q f(x) + 1 ∀x∈R và f(x)>−1 Biết rằng f(0) = 0, khi đó f(2) có giá trị bằng

Câu 9 Cho hàm sốf(x) thỏa mãnf(1) = 2 và x 2 + 1 2 f ′ (x) =f 2 (x) x 2 −1 với mọix∈(0; +∞). Tính giá trịf(3).

Câu 10 Cho hàm số f(x) thỏa mãnf(1) =−1

2 và đạo hàmf ′ (x) = 2x+ 1 x 4 + 2x 3 +x 2 Tính giá trị của biểu thức P =f(1) +f(2) + +f(2022).

(với m là tham số) Biết hàm số f(x) liên tục trên R và

−1 f(x)dx=ae−b c với a, b, c∈N ∗ ; b c tối giản (e = 2,718281828 ) Biểu thức a+b+c+m có giá trị bằng

Câu 12 Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm xác định trên [0; +∞) và thỏa mãn f(1) = e + 1; x h f ′ (x) +x i = (x+ 1)f(x) Biết rằng

0 f(x)dx=a b; trong đó a, blà các số nguyên dương và phân số a b tối giản Khi đó giá trị của 2a+b tương ứng bằng

3 +bln 2 +c với a, b, c∈R Giá trị củaa+b+ 6cbằng

Câu 14 Cho hàm số y=f(x) liên tục trênR\{−2; 0}thỏa mãnx(x+ 2)f ′ (x) + 2f(x) =x 2 + 2xvà f(1) =−6 ln 3 Biết f(3) =a+bln 5 (a, b∈R) Giá trị a−b bằng

Câu 15 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f(x) =x 2 + 12

Câu 16 Cho đồ thị hai hàm số y=f(x) vày=g(x) như hình vẽ Biết đồ thị của hàm sốy=f(x) là một parabol đỉnh I có tung độ bằng −1

Hàm số bậc ba y=g(x) giao điểm với hàm số y=f(x) tại các hoành độ x1, x2, x3, trong đó tích x1.x2.x3 = -6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị này gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Câu 17 Cho hàm số f(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d (a, b, c, d∈R) thỏa mãn min

1 4 và hàm số g(x) = f(x) x 2 + 1 Biết đồ thị hàm số y=g(x) có ba điểm cực trị là A(m;g(m)), B(0;g(0)),

C(1;g(1)) Gọi y=h(x) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm A, C và D(2;b+ 5) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x) và y= x 2 + 1 (h(x) +x−1) bằng

Câu 18 Cho hàm sốf(x) có đạo hàm liên tục trên

Câu 19 Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ′ (x)−(2x+ 3)f 2 (x) = 0 với mọix >0 và f(1) =−1

6 Giá trị của biểu thức T =f(1) +f(2) + +f(2022) thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hai hàm số f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + 3x và g(x) = mx^3 + nx^2 - x với a, b, c, m, n ∈ R Hàm số y = f(x) - g(x) có ba điểm cực trị tại x = -1, 3 và 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f'(x) và y = g'(x) cần được xác định.

Câu 21 Cho hàm số f(x) thỏa mãnf π

= 1 và f ′ (x) = cosx 6 sin 2 x−1 , ∀x∈R BiếtF(x) là nguyên hàm củaf(x) thỏa mãn F(0) = 2

Câu 22 Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên R\{0; 1} thỏa mãn f(2) = 1

2, f(x) ̸= 0 và x h f ′ (x)−2f 2 (x) i = f(x) h 1−3x 2 f(x) i ∀x ∈ R\{0; 1} Giá trị của biểu thức

Câu 23 Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(x) +f(2−x) =xe x 2 , ∀x∈R Tính tích phân I 2

Câu 24 Cho hàm số f(x) liên tục trên Rthỏa mãn f x 3 + 3x+ 1 =x+ 3 Tính

Hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx - 4 và g(x) = dx² + ex + 2 (với a, b, c, d, e ∈ R) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ -3, -1 và 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số này cần được xác định.

Cho hàm số f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e (với a ≠ 0) và g(x) = mx^3 + nx^2 + px + q Đồ thị của các hàm số đạo hàm f′(x) và g′(x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là -3, -1 và 1 Biết rằng f(0) = g(0), từ đó ta cần tính toán các hệ số của hàm số.

Đồ thị của hàm số \(6x^3 + ax^2 + bx + c\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Hàm số \(g(x) = \left( f'(x) \right)^2 - 2f''(x)f(x) + \left( f'''(x) \right)^2\) có ba điểm cực trị \(x_1 < x_2 < x_3\) với các giá trị \(g(x_1) = 2\), \(g(x_2) = 5\), và \(g(x_3) = 1\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(h(x) = f(x)g(x) + 1\) và trục Ox được tính toán dựa trên các điểm cực trị của hàm số \(g(x)\).

Câu 28 Cho hàm số y=f(x) liên tục trên Rvà có đồ thị như hình vẽ Tích phân

Câu 29 Cho hàm số f(x) liên tục và thỏa mãn f(x)>0, ∀x∈(1; 3) Biết rằng f(2) = e 4 3 và e 2x f 3 (x) + 1 =−3e x f ′ (x) q f(x), ∀x∈(1; 3), khi đó giá trị của f

3 2 thuộc khoảng nào dưới đây?

Đồ thị (C) của hàm số f(x) = x^4 + bx^2 + c (với b, c ∈ R) có điểm cực trị tại A(1; 0) Parabol (P) có đỉnh tại I(0; -1) và đi qua điểm B(2; 3) Cần xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và parabol (P) trong khoảng nào.

Câu 31 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R Biết f(5) = 1 và

Câu 32 Biết rằng tồn tại duy nhất bộ số a, b, c ∈ N ∗ và b c là phân số tối giản sao cho

√1 + e x dx=a+ 2 lnb c Giá trị của biểu thức a+b+cthuộc khoảng

Câu 33 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên

Câu 34 Cho hàm số f(x) liên tục trên Rthỏa mãn f(0) =−1 vàf ′ (x) +f(x) =xe −2x ,∀x∈R Khi đóf(1) bằng

Cho hàm số bậc ba y=f(x) với đồ thị có hai điểm cực trị x1 và x2, trong đó x2 = x1 + 2 và f(x1) - 3f(x2) = 0 Đồ thị hàm số đi qua điểm M(x0; f(x0)), với x0 = x1 - 1 Hàm g(x) là hàm số bậc hai đi qua hai điểm cực trị của y=f(x) và điểm M Tính tỉ số S1.

S 2 (S 1 và S 2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm f(x), g(x) như hình vẽ).

Câu 36 Cho hàm số f(x) =x 3 +ax 2 +bx (a, b∈R) Biết hàm sốg(x) =f(x)−2

6f ′′ (x) có hai điểm cực trị làx= 1, x=1

Đối với mỗi hằng số t thuộc đoạn [0; 1], chúng ta xác định S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường x=0, y=f(t) và y=f(x), trong khi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=f(t) và y=1 Biểu thức P = 8S1 + 4S2 cần được khảo sát để tìm số lượng giá trị nguyên mà nó có thể nhận được.

Để giải bài toán, chúng ta cần xác định hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong y = (x−3)², trục tung và trục hoành Tiếp theo, xác định hai đường thẳng có hệ số góc k₁ và k₂ (với k₁ > k₂) đi qua điểm A(0; 9) và chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau Cuối cùng, nhiệm vụ là tính toán giá trị của k₁ - k₂.

Câu 38 Cho hàm số bậc ba y=f(x) =ax 3 −1

2x 2 +cx+d và parabol y=g(x) có đồ thị như hình vẽ Biết AB= 3√

2 , diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) bằng

Câu 39 Cho hàm số y=f(x) Đồ thị của hàm số y=f ′ (x) trên [−5; 3] như hình vẽ.

Câu 40 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên Rthỏa mãn f(2x)−xf x 2 = 5x−2x 3 −1 với mọi x∈Rvà f(1) = 1 Tính tích phân I Z 2

Câu 41 Cho đồ thị hàm số bậc ba y=f(x) =ax 3 +bx 2 +1

3x+cvà đường thẳngy=g(x) có đồ thị như hình vẽ.

Biết AB= 5, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=−1, x= 0 bằng

Câu 42 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x 3 + 2x 2 −2mx−1 (m là tham số) và y=x 3 +x 2 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 43 Cho hai hàm sốy=f(x) =ax 3 +bx 2 +cx−1

2 vày=g(x) =dx 2 +ex+ 1 trong đóa, b, c, d, e là các tham số thực Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng −3;

−1; 2 (tham khảo hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳngy=f(x) và y=g(x) bằng

Câu 44 Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(x) = 2f(3x), ∀x∈R Biết rằng F là một nguyên hàm củaf và thỏa F(3) = 6 Giá trị của 3F(1) + 2F(9) bằng

Câu 45 Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f(0) = √

2 và 2f(x).f ′ (x) = 1 + (2x+ 1) e −f 2 (x)+x 2 +2x+2 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳngy=f(x), trục hoành và hai đường thẳngx= 0,x= 1 quay quanh trụcOx.

Câu 46 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f ′ (x) thỏa mãn 1 +x 2 f ′ (x)−1 = 3x 4 + 4x 2 ,∀x∈Rvà f(1) = 0 Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số 21.f x 2 và F(0) = 10, hãy tính F(2).

Cho hàm số bậc bốn f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e và hàm số bậc ba g(x) = mx^3 + nx^2 + px + q, với các hàm số y = f ′ (x) và y = g ′ (x) có đồ thị như hình vẽ Biết rằng f(1) = g(1) - 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = f ′ (x) và y = g ′ (x) bằng 4 Từ đó, cần xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).

Câu 48 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\ {−1;−2}, thỏa mãn f(−3) = 0 và x 2 + 3x+ 2 f ′ (x) +f(x) =x 2 +x−2, ∀x∈R\ {−1;−2} Khi đó giá trị của f(0) là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R với 3 cực trị, thỏa mãn phương trình 2f(x) + f(1−x) = −3x^4 + 4x^3 − 2, ∀x ∈ R Gọi g(x) là hàm số bậc hai đi qua 3 điểm cực trị của y = f(x) Cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của y = f(x) và y = g(x).

Hàm số y = f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e có các giá trị cực trị tại 1, 16 và 25 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số g(x) = f'(x) và f(x) với trục hoành cần được tính toán.

Câu 51 Cho hàm sốf(x) liên tục trên Rthỏa mãnf(x) =x 2 +

2ln 3 +cln 2 vớia, b, c∈Z Giá trị của a+b+cbằng

Câu 53 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(2) = 30 và

1 a+1 b với a < b và a, b∈N ∗ Khi đó, giá trị của biểu thức P = 3a−2b bằng

Câu 55 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và f ′ (x)−f(x) = (x+ 1)e 3x , với mọi x∈R Biết f(0) = 5

Câu 56 Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm f ′ (x) = ln(x+a), ∀x >−a, a là số thực dương và f(0) =alna Biết a

0 f(x)dx= 0, khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số f(x) = x^4 + bx^2 + c (với b, c ∈ R) có đồ thị là đường cong (C) và tiếp xúc với đường thẳng d: y = g(x) tại điểm x0 = 1 Ngoài ra, đường cong (C) còn có hai điểm chung khác với đường thẳng d, có hoành độ là x1 và x2 (với x1 < x2).

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng d.

Câu 58 Cho hàm số f(x) = 3x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d (a, b, c, d∈R) có ba điểm cực trị là −2;−1 và

Hàm số Gọig(x) = mx³ + nx² + px + q (với m, n, p, q ∈ R) có cực trị tại điểm -2 và đồ thị của nó đi qua ba điểm cực trị của hàm số y = f(x) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) sẽ được tính toán dựa trên các đặc điểm này.

Cho hai hàm số f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + d và g(x) = kx + d với a, b, c, d, k ∈ R Đặt h(x) = f'(x) + g'(x) Đồ thị hàm số y = h(x) có h(2) = -2 Cần tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) gần nhất với giá trị nào.

SỐ PHỨC 69 A CÂU HỎI

Trong không gian với hai điểm I(2; 3; 3) và J(4;−1; 1), khối trụ (T) có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu có đường kính IJ, với hai tâm nằm trên đường thẳng IJ Để đạt được thể tích (T) lớn nhất, hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của (T) sẽ có phương trình dạng x + by + cz + d1 = 0 và x + by + cz + d2 = 0 Giá trị của d1^2 + d2^2 cần được xác định.

Câu 2 Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng √

Trong hình học không gian, 2a và O là tâm của đáy, trong khi M và N là hai điểm nằm trong nửa mặt phẳng SAC với bờ là AC, sao cho BM và BN đều vuông góc với đáy Thể tích lớn nhất của khối đa diện ABCDMN được xác định từ vị trí của các điểm này.

Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) được xác định bởi phương trình (x−1)² + (y−1)² + z² = 25 và hai điểm A(7; 9; 0) và B(0; 8; 0) Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA + 2MB, trong đó M là điểm bất kỳ thuộc mặt cầu (S).

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, với SB gấp đôi AB và góc SBA bằng 120 độ Điểm E là chân đường phân giác trong góc SBA, trong khi BE = a Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 45 độ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V Gọi M là trung điểm của cạnh SA và N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 3N B Mặt phẳng (P) đi qua M và N cắt các cạnh SC, SD tại hai điểm phân biệt P, Q.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có mặt cầu (J) tiếp xúc với mặt đáy (ABCD) tại điểm A và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp của hình chóp Một mặt phẳng (P) đi qua điểm J và cạnh BC Gọi φ là góc giữa mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD) Cần tính giá trị tan φ, biết rằng các đường chéo của thiết diện do mặt phẳng (P) cắt qua hình chóp sẽ cắt và vuông góc với các cạnh SA và SD.

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với thể tích 84a³ Gọi M là trung điểm của cạnh AB, J là điểm thuộc cạnh SC với tỉ lệ JC = 2JS, và H là điểm thuộc cạnh SD với tỉ lệ HD = 6HS Mặt phẳng (MHJ) chia khối chóp thành hai phần, trong đó phần chứa đỉnh S có thể tích cần tính.

Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có chiều cao AA' = 2 và đáy ABCD là hình thoi với tam giác đều ABC có cạnh dài 4 M, N, P lần lượt là trung điểm của B'C', C'D', và DD', trong khi Q thuộc một vị trí nào đó trong hình hộp.

BC sao cho QC = 3QB Tính thể tích tứ diện M N P Q.

Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 3; 5), B(−1; 3; 2), C(−2; 1; 3), D(5; 7; 4) Điểm

M(a;b;c) di động trên mặt phẳng (Oxy) Khi biểu thức T = 4M A 2 + 5M B 2 −6M C 2 +M D 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a+b+cbằng

Câu 10 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S 1 ) : x 2 + (y−1) 2 + (z−2) 2 = 16, (S 2 ) : (x−1) 2 + (y+ 1) 2 +z 2 = 1 và điểm A

Gọi I là tâm của mặt cầu (S1) và (P) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S1) và (S2) Xét các điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng IM tiếp xúc với mặt cầu (S2) Khi đoạn AM đạt độ dài ngắn nhất, ta có M = (a;b;c).

Câu 11 Cho hình chópS.ABCcóSA⊥(ABC),SB=a√

Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, với góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là 45 độ Đồng thời, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy (ABC) được ký hiệu là α, với điều kiện 0 độ < α < 90 độ Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC được tính toán dựa trên các thông số này.

Câu 12 Cho hình trụ (T) chiều cao bằng 2a, hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và

O 1 , bán kính bằng a Trên đường tròn đáy tâmO lấy điểmA, trên đường tròn đáy tâm O 1 lấy điểm

5a Thể tích khối tứ diệnOO 1 AB bằng

Câu 13 Cho một hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R=√

5 và góc ở đỉnh là 2α với sinα= 2

Mặt phẳng (P) vuông góc với SO tại điểm H, cắt hình nón tạo thành một đường tròn có tâm tại H Thể tích của khối nón với đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H được ký hiệu là V, với giá trị V = 50π.

SH =a b với a, b∈N ∗ và a b là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức T = 3a 2 −2b 3

Hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều và thể tích là V Các điểm E, F, I di động trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AE = BF = CI Tính thể tích khối chóp được hình thành từ các điểm này.

A ′ EF I đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 15 Khối lập phươngABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có độ dài cạnh bằnga Các điểmM, N lần lượt di động trên các tia AC và B ′ D ′ sao cho AM+B ′ N =a√

2 Thể tích khối tứ diện AM N B ′ có giá trị lớn nhất bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 10) và B(4; 6; 5), điểm M di chuyển trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các đường thẳng MA và MB tạo với mặt phẳng (Oxy) các góc bằng nhau Cần tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AM.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−3;−5) và I(2; 0;−1) cùng với mặt phẳng (P) : 2x−y−2z+ 5 = 0 Điểm M(a;b;c) di chuyển trên mặt phẳng (P) với điều kiện IM = 5, và cần xác định giá trị lớn nhất của đoạn AM Từ đó, tính giá trị của biểu thức T = a + b + 2c.

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho tam giácABC cóAB= 2AC và điểmM(2; 0; 4).

Biết điểm B thuộc đường thẳng d:x

1, điểm C thuộc mặt phẳng (P) : 2x+y−z−2 = 0 và

AM là phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ A (M ∈BC) Phương trình đường thẳng BC là

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng d 1 : x−3

(với tham số t và a, b∈R) Biết rằng không có đường thẳng nào cắt đồng thời cả 4 đường thẳng đã cho Giá trị của biểu thức 2b−a bằng

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) được xác định bởi phương trình (x+ 2)² + y² + (z+ 5)² = 24 cắt mặt phẳng (α) : x + y + 4 = 0, tạo thành giao tuyến là đường tròn (C) Để tìm điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(4;−12; 1) là nhỏ nhất, ta cần xác định tung độ của điểm M.