Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÍ THUYẾT ❖ Phương trình ttham số đường thẳng  qua điểm M o ( xo ; yo ; zo ) có vectơ phương  x = x0 + a1t  a = (a1 ; a2 ; a3 ) , a  có dạng :  y = y0 + a2t (t  R) z = z + a t  ❖ Nếu a1 , a2 , a3 khác khơng Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 ❖ Vị trí tương đối hai đường thẳng ▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng  x = xo + a1t  d :  y = yo + a2t z = z + a t  ▪ (d )  x = xo' + a1' t '  d ' :  y = yo' + a2' t ' có VTCP u qua M o d ' có vtcp u ' qua M o'  ' '  z = zo + a3t ' [u , u ']=0 ( d )   M '  o (d )  (d ' )  d ' [u , u ']=0   M  d '  u , u '     ▪ ( d ) cắt ( d )   ( d ) chéo ( d ' )  u, u ' M M 0'  '  u , u ' M o M = ❖ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ▪ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua điểm M ( xo ; yo ; zo ) có vectơ phương ' a = (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = có vecto pháp tuyến n = ( A; B; C ) ▪ (d ) cắt ( )  a.n  ▪ (d )  a.n = // ( )     M  ( ) a.n = nằm mặt phẳng ( )    M  ( ) ❖ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ▪ Khoảng cách từ M o ( xo ; yo ; zo ) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = cho công thức ▪ (d ) d (M , ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C ❖ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ▪ Khoảng cách từ đường thẳng d qua điểm M o có VTCP u đến điểm M cho cơng thức d ( M , ) = [M M , u ] u | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz ❖ Khoảng cách hai đường thẳng chéo ▪ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua M ( xo ; yo ; zo ) ; có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) ( ) đường thẳng d ' qua M ' xo' ; yo' ; zo' có VTCP a ' = (a1' ; a2' ; a3' ) Khi khoảng cách hai đường thẳng : d (d , d ') = [a, a '].MM ' [a, a '] = Vhop S day ❖ Góc hai đường thẳng: ▪ Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng () qua M ( xo ; yo ; zo ) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) ( ) (’) qua M ' xo' ; yo' ; zo' có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) ▪ Khi góc hai đường thẳng cho công thức sau đây: cos = cos(a, a ') = a.a ' a a' = a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 a + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 ❖ Góc đường thẳng mặt phẳng: ▪ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () qua M o có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) , mặt phẳng ( ) có VTPT n = ( A; B; C ) ▪ Gọi  góc hợp () mặt phẳng ( ) , góc đường thẳng mặt phẳng sin  = cos(a, n) = Aa1 +Ba +Ca A + B + C a12 + a22 + a32 ▪ NOTE: Cho tam giác ABC ▪ Đường phân giác góc BAC có vectơ phương u = AB AB + AC AC Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( −2; −2; 1), B (1; 2; − 3) đường thẳng d: x +1 y − z = = Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua A, vng góc với d 2 −1 đồng thời cách điểm B khoảng bé A u = (1;0;2) B u = (2;2; −1) C u = (25; −29; −6) D u = (2;1;6) Lời giải Cách Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với d , B ' hình chiếu B lên ( P ) Khi đường thẳng  đường thẳng AB’ u = B'A Qua A(−2; −2;1)  (P) : x + y − z + = VTPT nP = ud = (2;2; −1) Ta có ( P ) :   x = + 2t  Gọi d ' đường thẳng qua B song song d '  d '  y = + 2t  z = −3 − t  B ' giao điểm d ' ( P )  B '(−3; −2; −1)  u = B ' A = (1;0;2)  Chọn A Cách 2: TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Khơng cần viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với d  x = + 2t  Gọi d đường thẳng qua B song song d  d '  y = + 2t  z = −3 − t  ' ' B '  d '  B ' A = ( −2t − 3; −2t − 4; t + ) AB ' ⊥ d  ud B ' A =  t = −2  u = B ' A = (1;0;2) VÍ DỤ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác x y −6 z −6 góc A là: = Biết điểm M ( 0;5;3) thuộc đường thẳng AB = −4 −3 điểm N (1;1;0 ) thuộc đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC A u = ( 0;1; − 3) B u = (1; 2;3) C u = ( 0;1;3) D u = ( 0; − 2;6 ) Lời giải Chọn C x = t  Phương trình tham số đường phân giác góc A :  y = − 4t ( d )  z = − 3t  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Gọi D điểm đối xứng với M qua ( d ) Khi D  AC  đường thẳng AC có vectơ phương ND Ta xác định điểm D Gọi K giao điểm MD với ( d ) Ta có K ( t ;6 − 4t;6 − 3t ) ; MK = ( t ;1 − 4t ;3 − 3t ) Ta có MK ⊥ ud với ud = (1; − 4; − 3) nên t − (1 − 4t ) − ( − 3t ) =  t =  x D = x K − xM  xD =   1 9 K  ; 4;  K trung điểm MD nên  yD = yK − yM   yD = hay D (1;3;6 ) 2 2 z = 2z − z z = K M  D  D Một vectơ phương AC DN = ( 0; − 2; − ) Hay u = ( 0;1;3) vectơ phương x + y −5 z −2 = = −5 −1 mặt phẳng ( P ) : x + z − = Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với VÍ DỤ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; − 3; ) , đường thẳng d : d song song với ( P ) x −1 = x −1 C  : = −1 A  : y +3 = −1 y +3 = −1 z−4 z−4 −2 x −1 = x −1 D  : = B  : y +3 z −4 = −1 −2 y +3 z −4 = −2 Lời giải Chọn D x + y −5 z −2 có VTCP u = ( 3; − 5; − 1) = = −5 −1 Mặt phẳng ( P ) : x + z − = vó VTPT n ( 2; 0; 1) Đường thẳng d : Đường thẳng  có VTCP a = u, n  = −5 (1; 1; − ) Đường thẳng  có phương trình  : x −1 y + z − = = 1 −2 VÍ DỤ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm mặt phẳng ( ) : x + y + z − = d: đồng thời qua điểm M (1; 2;0 ) cắt đường thẳng x −2 y −2 z −3 = = Một vectơ phương  1 A u = (1;1; −2 ) B u = (1;0; −2 ) C u = ( −1;1; ) D u = ( −1; −1; ) Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi A ( + 2t ; + t ; + t )  d giao điểm  d MA = (1 + 2t ; t ; + t ) , VTPT ( ) n( ) = (1;1;1)   ( )  MA ⊥ n( )  MA n( ) =  + 2t + t + + t =  t = −1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  MA ( −1; − 1; ) = −1(1; 1; − ) Vậy ud = (1; 1; − ) Cách 2: Gọi B = d  ( ) B  d  B ( + 2t ; + t ; + t ) B  ( )  + 2t + + t + + t − =  t = −1  B ( 0;1; ) BM (1;1; − )  ud (1;1; − ) VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d qua điểm A (1; 2; − ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = x = + t  A d :  y = + 2t  z = −4 − 5t   x = + 2t  B d :  y = + 3t  z = −5 + 4t   x = + 2t  C d :  y = + 3t  z = −5 − 4t  x = + t  D d :  y = + 2t  z = + 5t  Lời giải Chọn C Đường thẳng d qua điểm A (1; 2; − ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = nên nhận u = ( 2; 3; − ) véctơ phương  x = + 2t  Phương trình đường thẳng d d :  y = + 3t  z = −5 − 4t  VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 2; − 3) N ( −4; 2;1) Gọi  đường thẳng qua M , nhận vecto u = ( a; b; c ) làm vectơ phương song song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z = cho khoảng cách từ N đến  đạt giá trị nhỏ Biết a , b hai số nguyên tố Khi a + b + c bằng: A 14 B 13 C 16 D 15 Lời giải Chọn D Gọi ( Q ) mặt phẳng qua M ( 2; 2; − 3) song song với mặt phẳng ( P ) Suy ( Q ) : x + y + z − = Do  // ( P ) nên   ( Q ) d ( N ,  ) đạt giá trị nhỏ   qua N  , với N  hình chiếu N lên ( Q )  x = −4 + 2t  Gọi d đường thẳng qua N vng góc ( P ) , d :  y = + t z = 1+ t  Ta có N   d  N  ( −4 + 2t ; + t ;1 + t ) ; N   ( Q )  t =  10   N − ; ;   3 3  10 16  u = ( a; b; c ) phương MN  =  − ; ;   3 3 Do a , b nguyên tố nên chọn u = ( −5;2;8 ) Vậy a + b + c = 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −1 y z + = = −1 x −1 y + z − = = Gọi  đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − = cắt −2 d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng   x = − t   B  y =    z = − + t  x = 12 − t  A  y =  z = −9 + t   x =   C  y = − t    z = − + t   x = − 2t   D  y = + t    z = − + t Lời giải Chọn B A  d1  A (1 + 2a; a; −2 − a ) ; B  d  B (1 + b; −2 + 3b; − 2b )  có vectơ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; −2b + a + ) ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = (1;1;1) Vì  / / ( P ) nên AB ⊥ nP  AB.nP =  b = a − Khi AB = ( −a − 1; 2a − 5;6 − a ) AB = ( −a − 1) + ( 2a − 5) + ( − a ) Dấu " = " xảy a = 2  49  = 6a − 30a + 62 =  a −  +  ; a  2 2   9  7  A  6; ; −  , AB =  − ;0;   2  2  9 Đường thẳng  qua điểm A  6; ; −  vec tơ phương ud = ( −1;0;1)  2 VÍ DỤ 5: Cho mặt cầu ( S1 ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) = , ( S2 ) : ( x − 1) + y + ( z − 1) = Gọi d 2 2 đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu cách gốc tọa độ O khoảng lớn Nếu u = ( a; 1; b ) vectơ phương d tổng S = 2a + 3b bao nhiêu? A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn C ( S1 ) có tâm I1 ( 3; 2; ) , bán kính R1 = ( S ) có tâm I (1; 0; 1) , bán kính R2 = 5 4 Ta có: I1 I = = R1 + R2 , ( S1 ) ( S ) tiếp xúc với điểm A  ; ;  3 3 Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I1 I nên d phải tiếp xúc với hai mặt cầu A  d ⊥ I1 I Mặt khác d = d ( O; d )  OA  d max = OA d ⊥ OA Khi đó, d có vectơ phương  I1 I , OA = ( 6; − 3; − )  u = ( −2; 1; ) Vậy S = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh DẠNG Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Xác định vecto phương đường thẳng I PHẦN ĐỀ BÀI x − y −1 − z = = Vectơ vectơ −1 −1 Câu 1: Trong không gian, cho đường thẳng d: Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : x −1 y − z + = = Vectơ 2 vectơ phương đường thẳng  ? A u = ( 2; 2;1) Câu 3: B u = (1; 2; −3) C u = ( −1; −2;3) D u = ( 2; −2;1) Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A ( 3; −2; ) B (1;1; ) có vectơ phương A u2 = ( 4; −1;6 ) Câu 4: C u3 = ( −2;3; )   D u4 =  2; − ;3    Trong không gian Oxyz , đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ) : x + y − z − = có vectơ phương A u1 (1; 2; −2 ) Câu 5: B u1 = ( 2; −3; ) B u2 ( 2; −2; −1) C u3 ( −2; −1;1) D u4 (1; 2; −1) Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm M (1; − 2;1) ? A u1 = (1;1;1) Câu 6: B u2 = (1; 2;1) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : C u3 = ( 0;1;0 ) D u4 = (1; −2;1) x + y −1 z − Biết M điểm = = −1 thuộc d u vectơ phương d , mệnh đề sau đúng? Câu 7: A M ( 2; − 1; − 3) u = ( 2; − 1;3) B M ( 2; − 1;3) u = ( −2;1;3) C M ( −2;1;3) u = ( 2; − 1; − 3) D M ( −2;1;3) u = ( 2; − 1;3) Trong không gian Oxyz , đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − 3z + = có vector phương là: A u = (1;1; −3) Câu 8: B u = (1;0; −3) C u = (1; −3; ) D u = ( 3;1;0 ) Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm M (1; −2;1) A u1 = (1;1;1) Câu 9: B u2 = (1; 2;1) C u3 = ( 0;1;0 ) D u4 = (1; −2;1) Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 5;1;3) , B (1; 2;3) , C ( 0;1; ) Đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A tam giác ABC nhận véc-tơ sau làm véc-tơ phương? A d = ( 3; −2; −1) B u = ( 2; −1; −1) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C v = ( 5; −6;1) D c = ( 3; −5; ) Hình học tọa độ Oxyz Câu 10: Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ trọng tâm tam giác ABC với A ( 0; 2;1) , B ( 4; −2;1) , C ( 2;3; ) ? A u2 = (1; −2; ) B u1 = (1; −2; −1) C u3 = ( 2;1; ) D u4 = ( 4; −2;1) Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;1;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( −1;0; ) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Vectơ vectơ phương d ? A u = ( 0; 2;1) B u = ( 0; −2;1) C u = ( −2;1;0 ) Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : véctơ phương Tính a − b A B −4 x −1 y − z +1 nhận vectơ u = ( a; 2; b ) làm = = −2 D −8 C Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm  x=t  d :  y = + 2t ( t   z = −1 + 3t  ) Gọi D u = (1; −2;0 ) A ( 2;1;1) đường thẳng  đường thẳng qua A , vuông góc với đường thẳng d cắt trục hồnh Tìm vectơ phương u đường thẳng  A u = (1; −2;0 ) B u = ( 5; −1; −1) C u = (1;0;1) D u = ( 0; 2;1) x −1 y − z +1 mặt phẳng = = 2 −1 ( P ) : x − y + z − = Véc tơ véc tơ phương đường thẳng hình Câu 14: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng  : chiếu vng góc đường thẳng  lên mặt phẳng ( P ) A u1 = ( 27;7; −6 ) B u2 = ( 27; −7; −6 ) C u3 = ( 27;7;6 ) D u4 = ( −27;7;6 ) Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1; ) N ( 3; 4;5 ) Tọa độ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm M N A ( −2; −3;3) B ( 2;3;3) C ( 4;5;3) D ( 2; −3; −3) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng P :4 x A u z Véctơ véctơ phương d ? B u 4;0; 4; 1;3 C u 4;1;3 D u 4;1; Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng sau có vectơ phương u = ( 2;3; −1)  x = − 4t  A  y = − 6t , t   z = −1 + 2t   x = − 2t  C  y = − 3t , t   z = −1 − t   x = + 4t  B  y = + 6t , t   z = −1 − 4t   x = + 2t  D  y = − 3t , t   z = −1 − t  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;1;1) đường thẳng  x=t  d :  y = + 2t ( t  ) Gọi  đường thẳng qua điểm A , vng góc với đường thẳng d  z = −1 + 3t  cắt trục hồnh Tìm vectơ phương đường thẳng  A u = (1; − 2;0 ) B u = ( 5; − 1; − 1) C u = (1;0;1) D u = ( 0; 2;1) Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;1;1) ; B ( −1;1;0 ) ; C (1;3; ) Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC nhận vectơ a vectơ phương? A a = (1;1;0 ) B a = ( −2; 2; ) C a = ( −1; 2;1) D a = ( −1;1;0 ) Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0; −1; −2 ) B ( 2; 2; ) Vectơ a vectơ phương đường thẳng AB ? A a = ( 2;1;0 ) B a = ( 2;3; ) C a = ( −2;1;0 ) D a = ( 2;3;0 ) Câu 21: Trong không gian Oxyz , vectơ sau vectơ phương đường thẳng AB với A (1; 2; − 1) A ( 3; 4;1) ? A u1 = ( −2; −2; ) B u1 = (1;1; −1) C u1 = ( 4; 6; ) Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : D u1 = (1;1;1) x −1 y + z + Vectơ = = −4 −6 vectơ phương d A u = (1; −3; −5 ) B u = (1; −2;3) C u = ( 2; 4;6 ) D u = ( −1; 2;3) Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z + = (  ) : x + y + 3z + = Một vectơ phương  có tọa độ A ( 2; −1; −1) B (1; −1;0 ) C (1;1; −1) D (1; −2;1) Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( d ) vng góc với hai đường thẳng a b : x = + t x −3 y +7 z −5 = = Tìm tọa độ vectơ phương ( d ) ( a ) :  y = −1 + 2t , ( b ) : −  z = 2t  A (14;0;7 ) B ( 0;0;1) C ( 2;0; − 1) D ( 2;1;1) Câu 25: Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A ( 0; 4;3) B ( 3; −2;0 ) ? A u1 = (1; 2;1) B u2 = ( −1; 2;1) C u3 = ( 3; −2; −3) D u4 = ( 3; 2;3) Câu 26: Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm M (1; −2;1) A u1 = (1;1;1) B u2 = (1; 2;1) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C u3 = ( 0;1;0 ) D u4 = (1; −2;1) Hình học tọa độ Oxyz Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 3z + = đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) Vectơ vectơ phương d ? A u2 = (1; −2; ) B u4 = (1; 2;3) C u3 = ( 0; −2;3) D u2 = (1; −2;3) Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3; −4) OB = 4i − j − 2k Vectơ phương đường thẳng AB A u = (1; −2;1) B u = (−1; 2;1) C u = (6; 2; −3) D u = (3;1; −3) Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) Gọi M , M hình chiếu vng góc M lên trục Ox , Oy Vectơ véctơ phương đường thẳng M 1M ? A u4 = ( −1; 2;0 ) B u1 = ( 0; 2;0 ) C u2 = (1; 2;0 ) D u3 = (1;0;0 ) Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 5;1;3 ) , B (1; 2;3 ) , C ( 0;1; ) Đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A tam giác ABC nhận véc-tơ sau làm véc-tơ phương? A d = ( 3; −2; −1) B u = ( 2; −1; −1) C v = ( 5; −6;1) D c = ( 3; −5; ) Câu 31: Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ trọng tâm tam giác ABC với A ( 0; 2;1) , B ( 4; −2;1) , C ( 2;3; ) ? A u2 = (1; −2; ) B u1 = (1; −2; −1) C u3 = ( 2;1; ) D u4 = ( 4; −2;1) Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;1;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( −1;0; ) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Vectơ vectơ phương d ? A u = ( 0; 2;1) B u = ( 0; −2;1) C u = ( −2;1;0 ) Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : véctơ phương Tính a − b A B −4 x −1 y − z +1 nhận vectơ u = ( a; 2; b ) làm = = −2 D −8 C Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm  x=t  d :  y = + 2t ( t   z = −1 + 3t  ) Gọi D u = (1; −2;0 ) A ( 2;1;1) đường thẳng  đường thẳng qua A , vng góc với đường thẳng d cắt trục hồnh Tìm vectơ phương u đường thẳng  A u = (1; −2;0 ) B u = ( 5; −1; −1) C u = (1;0;1) Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  : D u = ( 0; 2;1) x −1 y − z +1 mặt phẳng = = 2 −1 ( P ) : x − y + z − = Véc tơ véc tơ phương đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng  lên mặt phẳng ( P ) A u1 = ( 27;7; −6 ) B u2 = ( 27; −7; −6 ) C u3 = ( 27;7;6 ) D u4 = ( −27;7;6 ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh  x = −1 + 2t   y = 2t  z = 3t  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 8 3 Câu 40: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B(− ; ; ) Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB ) có phương trình là: A x +1 y − z +1 x +1 y − z − B = = = = −2 −2 11 y− z− 3= 3= −2 C 2 y− z+ 9= 9= −2 x+ x+ D Lời giải Chọn A Ta có: OA; OB  = ( 4; −8;8 ) Gọi d đường thẳng thỏa mãn d có VTCP u = (1; −2; ) Ta có OA = 3, OB = 4, AB = Gọi I ( x; y; z ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Áp dụng hệ thức OB.IA + OA.IB + AB.IO =  4.(OA − OI ) + 3.(OB − OI ) + 5.IO =  OI = ( ) 4OA + 3OB  I ( 0;1;1) 12 x = t  Suy d :  y = − 2t cho t = −1  d qua điểm M (−1;3; −1)  z = + 2t  Do d qua M (−1;3; −1) có VTCP u = (1; −2; 2) nên đường thẳng có phương trình x +1 y − z +1 = = −2 Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; − 1; ) , B ( −1; 2; 3) đường thẳng x −1 y − z −1 = = Tìm điểm M ( a; b; c ) thuộc d cho MA2 + MB = 28 , biết c  1 A M ( −1; 0; − 3) B M ( 2; 3; 3) d: 2 1 C M  ; ; −  3 6 2  D M  − ; − ; −  3  Lời giải Chọn C Ta có : M  d nên t  : M (1 + t ; + t ; + 2t ) Điều kiện: + 2t   t  MA2 + MB = 28  ( −t ) + ( −3 − t ) + (1 − 2t ) + ( −2 − t ) + ( −t ) + ( − 2t ) = 28 2 t = 1(l )  12t − 2t − 10 =   t = − (t /m)  27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 2 −1 ( *) Hình học tọa độ Oxyz Với t = , ta có M ( 2;3;3) (loại c  ) 1 2 Với t = − , ta có M  ; ; −  (nhận) 6 3 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P ( −3;0; −3) C N ( 0;3; −5 ) B M ( 0; −3; −5 ) D Q ( 0;5; −3) Lời giải Chọn C Ta có mơ hình minh họa cho tốn sau: Ta có d ( A; d )min = d ( A; Oz ) − d ( d ; Oz ) = Khi đường thẳng d qua điểm cố định ( 0;3;0 ) d / / Oz  ud = k = ( 0;0;1) làm vectơ x =  phương d  d  y = Dựa vào phương án ta chọn N ( 0;3; −5 ) z = t  Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho điểm E ( 2;1;3) , mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) 2 = 36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm ( P ) cắt ( S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x = + 9t  x = − 5t x = + t    A  y = + 9t B  y = + 3t C  y = − t  z = + 8t z = z =     x = + 4t  D  y = + 3t  z = − 3t  Lời giải Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; 2;5 ) , bán kính R = , mp ( P ) có véctơ pháp tuyến n = ( 2; 2; − 1) Gọi u véctơ phương đường thẳng  Ta có IE =  R nên đường thẳng  qua E cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B Gọi H trung điểm AB IH ⊥ AB  AB = AH = IA2 − IH = R − IH Do IH  IE nên AB  R − IE Dấu xảy H  E  AB ⊥ IE Ta có  EI ; n  = ( −5;5;0 ) u ⊥ EI Vì  nên u phương với  EI ; n  = ( −5;5;0 ) Chọn u (1; −1;0 ) u ⊥ n  x = + t  Vậy đường thẳng  có phương trình là:  y = − t ( t  z =  ) Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = điểm A (1; 2;3) 2 Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y + z + 15 = B x + y + z − 15 = C x + y + z + = D x + y + z − = Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; ) bán kính r = Do AM tiếp tuyến mặt cầu ( S ) nên IM ⊥ AM  AM = AI − IM Ta có AI = 3; IM =  AM = Gọi H tâm đường tròn tạo tiếp điểm M ta có AHM đồng dạng với AMI Suy AH AM AM =  AH = = AM AI AI Gọi ( ) mặt phẳng chứa tiếp điểm M Khi ( ) có vectơ pháp tuyến n = AI = (1;1;1) nên phương trình có dạng x + y + z + d = Do d ( A, ( ) ) = AH  6+d =  d = −5  6+ d =1   d = −7 Vậy (1 ) : x + y + z − = 0; ( ) : x + y + z − = 29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Do d ( I , (1 ) ) =  nên (1 ) không cắt ( S ) (loại) Và d ( I , ( ) ) =  nên ( ) cắt ( S ) (TM) Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;3; − ) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm đây? A Q ( −2;0; − 3) B M ( 0;8; − ) C N ( 0; 2; − ) D P ( 0; − 2; − ) Lời giải Chọn D Do đường thẳng d / / Oz nên d nằm mặt trụ có trục Oz bán kính trụ R = Gọi H hình chiếu A trục Oz , suy tọa độ H ( 0; 0; − ) Do d( A, Oz ) = AH = Gọi B điểm thuộc đường thẳng AH cho AH = AB  B ( 0; − 2; − ) Vậy d ( A, d )max =  d đường thẳng qua B song song với Oz x =  Phương trình tham số d :  y = −2  z = −2 + t Kết luận: d qua điểm P ( 0; − 2; − ) Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;3; −2 ) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P ( −2;0; −2 ) B N ( 0; −2; −5 ) C Q ( 0; 2; −5 ) D M ( 0; 4; −2 ) Lời giải Chọn C Ta có mơ hình minh họa cho tốn sau: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Cách (cách trắc nghiệm) Ta có d ( A; d )min = d ( A; Oz ) − d ( d ; Oz ) = Khi đường thẳng d qua điểm cố định ( 0; 2;0 ) d / / Oz  ud = k = ( 0;0;1) vectơ x =  phương d , suy phương trình đường thẳng d có dạng:  y = z = t  Ta thấy điểm Q ( 0; 2; −5 ) thỏa mãn phương trình đường thẳng d Cách Do d / / Oz d ( d , Oz ) =  d đường sinh mặt trụ có trục Oz Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vuông góc Oz  ( P ) cắt mặt trụ theo giao tuyến đường tròn ( C ) tâm I bán kính Gọi B = d  ( C )  AB = d ( A, d ) d / / Oz  d ⊥ ( P )  d ⊥ AB Do B  ( C )  AB  IA − ; IA = d ( A, Oz ) =  AB  Vậy ABmin = 31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Khi B giao điểm ( C ) với đường thẳng d d qua điểm cố định ( 0; 2;0 ) d / / Oz  ud = k = ( 0;0;1) vectơ phương d , suy phương trình đường thẳng d có x =  dạng:  y = z = t  Ta thấy điểm Q ( 0; 2; −5 ) thỏa mãn phương trình đường thẳng d Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; − 3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm đây? A P ( −3;0; − 3) B Q ( 0;11; − 3) C N ( 0;3; − ) D M ( 0; − 3; − ) Lời giải Chọn D Cách 1: Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 32 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Ta có d thuộc mặt trụ có bán kính r = có trục Oz Gọi A hình chiếu A lên mặt phẳng Oxy  A ( 0;4;0 ) Gọi điểm K giao mặt trụ Oy cho AK lớn nhất, suy K ( 0; −3;0 ) Ta có: d ( A, d )  A ' K = Suy maxd ( A, d ) = Khi đường thẳng d qua K ( 0; −3;0 ) song song với Oz  x=0  Phương trình đường thẳng d là:  y = −3  z =t  Vậy d qua M ( 0; −3; −5 ) Cách 2: 33 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d  ( P ) : z + = Gọi I hình chiếu vng góc A Oz  I ( 0;0; −3) Gọi M = ( P )  d Ta có tập hợp điểm M đường trịn ( C ) có tâm I ( 0;0; −3) , bán kính R = nằm ( P ) Tọa độ điểm thuộc đường trịn ( C ) nghiệm hệ phương trình  x + y + ( z + 3) =   z + = x =  Phương trình đường thẳng AI :  y = − t , t  R  z = −3   M ' ( 0;3; −3)  AM ' = Gọi M ' = AI  ( C )    M ' ( 0; −3; −3)  AM ' = Ta có: d ( A, d ) = AM  AM  = , với M  = ( 0; −3; −3) Suy maxd ( A, d ) = Khi đường thẳng d qua K song song với Oz x =  Phương trình đường thẳng d là:  y = −3 , t '  R  z = −3 + t '  Vậy M = ( 0; −3; −5 )  d x = 1+ t  Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + t Gọi  đường thẳng qua điểm z =  A(1; 2;3) có vectơ phương u = (0; −7; −1) Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 34 Phan Nhật Linh  x = + 6t  A  y = + 11t  z = + 8t   x = −4 + 5t  B  y = −10 + 12t z = + t  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  x = −4 + 5t  x = + 5t   C  y = −10 + 12t D  y = − 2t  z = −2 + t z = − t   Lời giải Chọn B Đường thẳng d qua A(1; 2;3) có VTCP a = (1;1;0) Ta có a.u = 1.0 + 1.(−7) + 0.(−1) = −7   ( a , u )  90 Đường phân giác góc nhọn u a b =− + = ( 5;12;1) // ( 5;12;1) u a tạo d  có VTCP:  x = −4 + 5t  Phương trình đường thẳng cần tìm  y = −10 + 12t z = + t   x = + 3t  Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −3 Gọi  đường thẳng qua điểm  z = + 4t  A (1; −3;5 ) có vectơ phương u (1; 2; −2 ) Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình  x = −1 + 2t  A  y = − 5t  z = + 11t   x = −1 + 2t  B  y = − 5t  z = −6 + 11t   x = + 7t  C  y = −3 + 5t z = + t  x = 1− t  D  y = −3  z = + 7t  Lời giải Chọn B Ta có điểm A (1; −3;5 ) thuộc đường thẳng d , nên A (1; −3;5 ) giao điểm d  Một vectơ phương đường thẳng d v ( −3;0; −4 ) Ta xét: u1 = v1 = u = 1 2 (1; 2; −2 ) =  ; ; −  ; 3 3 v = ( −3;0; −4 ) =  − ;0; −  5  u v Nhận thấy u1.v1  , nên góc tạo hai vectơ u1 , v1 góc nhọn tạo d  15  10 22  Ta có w = u1 + v1 =  − ; ; −  = − ( 2; −5;11) vectơ phương đường phân giác  15 15 15  góc nhọn tạo d  hay đường phân giác góc nhọn tạo d  có vectơ  x = −1 + 2t  phương w1 = ( 2; −5;11) Do có phương trình:  y = − 5t  z = −6 + 11t  35 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  x = + 7t  Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = + 4t Gọi  đường thẳng qua điểm z =  A (1;1;1) có vectơ phương u = (1; −2; ) Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình  x = + 7t  A  y = + t  z = + 5t   x = −1 + 2t  B  y = −10 + 11t  z = −6 − 5t   x = −1 + 2t  C  y = −10 + 11t  z = − 5t   x = −1 + 3t  D  y = + 4t  z = − 5t  Lời giải Chọn C d H I N K A M x = + t '  Phương trình  :  y = − 2t '  z = + 2t '  Ta có d   = A (1;1;1) Lấy I ( 4;5;1)  d  AI = ( 3; 4;0 )  AI = Gọi M (1 + t ';1 − 2t ';1 + 2t ' )   cho AM = AI  t ' = Khi t ' =   t ' = −  Với t ' = 15  13   −10 10   M  ; − ;   AM =  ; ;   AM = 3 3 3  3 3  Khi cos IAM = −  IAM  900  trường hợp ( d ;  )  900 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 36 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 15  13 −7   10 10  Với t ' = −  N  − ; ;   AN =  − ; ; −   AN = 3 3  3   3 Khi cos IAN =  IAM  900  trường hợp ( d ;  )  900  14 −2  Gọi H trung điểm NI  H  ; ;   AH = ( 2;11; −5 ) 3 3   14 −2  Khi đường phân giác góc nhọn tạo d  qua H  ; ;  A (1;1;1) 3 3   x = −1 + 2t  nhận làm u = ( 2;11; −5 ) VTCP  phương trình phân giác  y = −10 + 11t  z = − 5t  ( 2 Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + ) = Có tất điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 D C 16 Lời giải B Chọn A Do A a;b; c thuộc mặt phẳng Oxy nên A a;b; Nhận xét: Nếu từ A kẻ tiếp tuyến vng góc đến mặt cầu R IA R a2 b2 a2 b2 Tập điểm thỏa đề điểm nguyên nằm hình vành khăn, nằm mặt phẳng Oxy , tạo đường tròn đồng tâm O 0; 0; bán kính Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 52: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) 2 = 16 điểm A ( −1; −1; −1) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y − = B x + y + = C x + y + 11 = D x + y − 11 = Lời giải Chọn A 37 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) ; bán kính R = A ( −1; −1; −1)  IA = ( −3; −4;0 ) , tính IA = Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận IA = ( −3; −4;0 ) làm vectơ pháp tuyến Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính IM = IH IA  IH = IM 16 = , từ IA 16  11  IA tìm H  ; ; −1 25  25 25    11   Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: −3  x −  −  y −  =  3x + y − = 25   25   tính IH = Câu 53: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = điểm A(2;3; 4) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y + z − 15 = B x + y + z − = C x + y + z + 15 = D x + y + z + = Lời giải Chọn B Dễ thấy A nằm mặt cầu ( S ) Tâm mặt cầu I (1; 2;3) Đường thẳng AM tiếp xúc với ( S )  AM ⊥ IM  AM IM =  ( x − 2)( x − 1) + ( y − 3)( y − 2) + ( z − 4)( z − 3) =  ( x − − 1)( x − 1) + ( y − − 1)( y − 2) + ( z − − 1)( z − 3) =  ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) − ( x + y + z − 7) =  x + y + z − = ( Do ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 0) Câu 54: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;1; −1) Gọi ( P ) mặt phẳng chứa trục Oy cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Phương trình ( P ) là: A x − z = B x + z = C x − z = Lời giải D x + z = Chọn A Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 38 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng ( P ) , A hình chiếu vng góc điểm A lên trục Oy suy A ( 0;1;0 ) Khi khoảng cách từ A đến ( P ) đoạn thẳng AH  AA ' Độ dài đoạn thẳng AH dài H A trùng Khi mặt phẳng ( P ) nhận AA = ( 2;0; −1) làm véc tơ pháp tuyến Suy phương trình mặt phẳng ( P ) qua A ( 0;1;0 ) có VTPT: AA = ( 2;0; −1) là: ( x − ) + ( y − 1) + ( −1)( z − ) =  x − z = Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) tâm I ( 4;1; ) bán kính Gọi M ; N hai điểm thuộc hai trục Ox ; Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với ( S ) , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính Gọi A tiếp điểm MN ( S ) , giá trị AM AN A B 14 C Lời giải D Chọn A Cách 1: Ta có: d ( I , (Oxy ) ) = nênmặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) điểm A ( 4;1;0 ) , đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với ( S ) điểm A ( 4;1;0 ) MN  ( Oxy ) Gọi M ( m ;0;0 ) ; N ( 0; n ;0 ) , m, n   4n m − = −4k Do A  MN nên AM = k AN    ( m − )( n − 1) =  m = , n −1  n −1  −1 = k ( n − 1) 21 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI :4 x + y + z − = m Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM : x = n Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON : y =  m n −n + 6n − 21  Do tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN J  ; ;  4n − 2  7 Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính nên OJ = 2 49  OJ = 39 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz n ( n − 6n + 21) 49  + + = 2 16 ( n − 1) ( n − 1) 4n  n − 4n3 − 10n + 28n + 49 =  n = 1 2 Vì n  nên chọn n = + 2 , suy m = + Khi AM AN = Cách 2: Dễ thấy mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) điểm A ( 4;1;0 ) , đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với ( S ) điểm A (1; 4;0 ) MN  ( Oxy ) Gọi M ( a ;0;0 ) ; N ( 0; b ;0 )  a − = −4k Do A  MN nên AM = k AN    + = b a  −1 = k ( b − 1) a b  Gọi J trung điểm MN  J  ; ;0  I ( 4;1; ) thuộc đường thẳng  vng góc với 2  a  x =  b ( Oxy ) điểm J Phương trình   y =  z = t    a b   Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN điểm K  ; ; t  2  1 b + a =    Theo giả thiết ta có hệ: OK =    IK =  1  + =1 b a  a b 2 49  + +t = 4 2  a 49  b   −  +  − 1 + ( t − ) =  2    4b 4b  a = b −1 a = b −    b − 6b + 21  4a + b + 4t − 21 =  t = ( b − 1)  a b2  49  + +t =  a b2 49 4 4  + + t2 = 4 4 2 b − 6b + 21) ( b2 4b 49   16    4b + 64 1 + + =  +  + b −5 +  = 196 ( b − 1)2 b −1  16 ( b − 1)  b −1    4b + 64 + 128 64 256 + + ( b − ) + 32 ( b − ) + = 196 b − ( b − 1) b − ( b − 1)2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 40 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 320 64  5b − 10b + 25 + + 32 ( b − + ) = 132  ( b − 1) + = 16 2 b −1 ( b − 1) ( b − 1) b = − 2 2  ( b − 1) − 8 =  ( b − 1) =     b = + 2 Với b = − 2 ta a = −  AM AN = Với b = + 2 ta a = +  AM AN = 41 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ... Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 65: Trong khơng gian Oxyz , phương trình đường thẳng qua A (1; 2; ) song song với ( P ) : x−2 y−2... 13: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x qua điểm A 3y 5z x = 1+ t  D  y = + t z =  Phương trình đường thẳng 2;1;3 , song song với P vng góc với trục Oy Tư toán học 4.0 – Luyện thi. .. Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với VÍ DỤ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; − 3; ) , đường thẳng d : d song song với ( P ) x −1 = x −1 C  : = −1 A  : y +3 = −1 y +3