Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1 2. Các kiến thức cơ bản được sử dụng a, Bất đẳng thức Cô si Cho n số thực không âm 1 2 ; ; n a a a ta có 1 2 1 2 n n n a a a a a a n     dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a    b, Bất đẳng thức Bunhia – copxki Cho hai bộ số 1 2 ; ; n a a a và 1 2 ; ; n b b b ta có       2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b           Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n a a a b b b    c. Bất đẳng thức Trê bư sep Cho hai bộ số sắp thứ tự giống nhau 1 2 n a a a    và 1 2 n b b b    ta có 1 2 1 2 1 1 2 2 . n n n n a a a b b b ab a b a b n n n           Nếu hai dãy sắp thứ tự ngược chiều thì ta được bất đẳng thức với chiều ngược lại. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi 1 2 n a a a    hoặc 1 2 n b b b    . Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2 II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau Bài toán 1 ( Bất đẳng thức Nestbit): Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có 3 2 a b c b c c a a b       (1) Có nhiều cách chứng minh ở đây tôi trình bày một số cách chứng minh như sau Lời giải Cách 1: Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3 Ta có 3 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 9 ( )( ) ( )( ) 2 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b                                        Vậy 3 2 a b c b c c a a b       dấu bằng xảy ra khi a=b=c Cách 2: Đặt x=b+c; y=c+a; z=a+b suy ra ; ; 2 2 2 y z x x z y x y z a b c          với x,y,z>0 ta có 1 ( ) 2 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c y z x x z y x y z b c c a a b x y z y z x z x y y x y z x z x y z x y z y z x                             mặt khác 2; 2; 2 y x y z x z x y z y z x       (theo bđt cô si) suy ra 6 y x y z x z x y z y z x       vậy 3 2 a b c b c c a a b       Cách 3 Không mất tổng quát ta cho 1 1 1 0 0 a b c b c c a a b           Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 1 1 1 ( )( ) 3( ) a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác   1 1 1 ( )( ) 1 1 1 1 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b                    Vậy 3 2 a b c b c c a a b       Bây giờ ta mở rộng vấn đề Nhân hai vế của (1) với a+b+c ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4   2 2 2 2 2 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 2 a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b                                      Từ đó ta có bài toán 2 Bài toán 2. Cho a,b,c là các số dương ta luôn có 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         (2) ( Đề thi thử đại học lần 1 THPT Đô Lương 2) Lời giải: Nhận xét vừa rồi chính là lời giải 1 Cách 2 Theo bđt cô si ta có 2 2 2 4 4 4 a b c a b c b c a b c a c a b c a b             Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c c a a b            2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b          Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có 2 2 ( ) ( ) a b c a b c b c c a a b b c c a a b            2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2( )( ) a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c b c c a a b                    2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b          Cách 4 Không mất tổng quát ta cho 0 0 a b c a b c b c c a a b           Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 5 2 2 2 ( )( ) 3( ) a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác 3 2 a b c b c c a a b       Vậy 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         Bây giờ ta thêm giả thiết là a,b,c>0 và a.b.c=1 khi đó theo bđt cô si ta có 3 3 3 a b c abc     dấu bằng khi a=b=c=1 Từ đó ta suy ra bài toán sau Bài toán 3 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 ta luôn có 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       Bây giờ quay lại bài toán 1 ta thử đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    thì x,y, z >0 thi ta có bất đẳng thức luôn đúng là 3 ( ) ( ) ( ) 2 yz xz xy x y z y z x z x y       (*) Để có bài toán mới hơn ta thêm giả thiết là x.y.z=1 Thay vào (*) ta có (*) 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 xyz xyz xyz x y z y z x z x y        2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 x y z y z x z x y        Khai thác kĩ hơn suy nghĩ đó vào bài toán 3 ta đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    thì x,y, z >0 và x.y.z=1 Thay vào (2) ta có 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 yz xz xy x y z y z x z x y       biến đổi thêm một chút ta có 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 xyz xyz xyz x y z y z x z x y x y z y z x z x y              Như vậy ta có thêm các bài toán mới Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6 Bài toán 4 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 ta luôn có 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       Bài toán 5 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 ta luôn có 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 bc ca ab a b c b c a c a b       ( Đây là đề thi vào ĐH Ngoại ngữ -1998) Bài toán 6 ( Để ra kì này tháng 5-2010 Toán học tuổi trẻ) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 ta luôn có 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       Cách giải cho học sinh khi gặp hai bài toán này là Đặt 1 1 1 ; ;x y z a b c    Một phát hiện thú vị là mối quan hệ gần giống nhau giữa bài toán 3 và bài toán 4 với cùng giả thiết đó là giữa hai bđt 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       và 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       Đặt câu hỏi tương tự cho bài toán 6 đã có bđt 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       Như vậy liệu có bất đẳng thức 3 3 3 3 2 a b c b c c a a b       Ta có bài toán Bài toán 7( Đề thi học kì 2 toán 10 THPT Đô lương 2 -2010) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 ta luôn có 3 3 3 3 2 a b c b c c a a b       Lời giải Cách 1 Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta có Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7 3 3 3 1 3 4 2 2 1 3 4 2 2 1 3 4 2 2 a b c a b c b c a b c a c a b c a b                Cộng tương ứng các bđt ta có   3 3 3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c b c c a a b               3 3 3 3 2 a b c a b c b c c a a b           Mà ta có 3 3 3 a b c abc     dấu bằng khi a=b=c=1 Vậy 3 3 3 3 2 a b c b c c a a b       dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Cách 2 Không mất tổng quát ta cho 2 2 2 0 0 a b c a b c        2 2 2 0 a b c b c c a a b        Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 2 2 2 3 3 3 ( )( ) 3( ) a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       và 3 3 3 a b c abc     Vậy 3 3 3 3 2 a b c b c c a a b       Cách 3 Nhân hai vế của bất đẳng thức 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       với a+b+c Như vậy qua cách giải thứ 2 ta suy nghĩ đến bđt tổng quát hơn như sau Ta đã có 2 2 2 3 3 3 ( )( ) 3( ) a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         thế vào trên ta có 3 3 3 2 ( ) 6 a b c a b c b c c a a b         Bài toán 8 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 8 Cho a,b,c là các số dương ta luôn có 3 3 3 2 ( ) 6 a b c a b c b c c a a b         Đến đây các bạn thấy rằng từ những bài toán trên chỉ cần đặt thêm điều kiện cho a,b c là xuất hiện thêm rất nhiều bài toán khó tương đối đẹp dành cho các kì thi hay kiểm tra hoc sinh khá giỏi. Chẳng hạn ta thêm điều kiện ta có bài toán Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 2 2 2 1 a b c    ta luôn có 3 3 3 1 2 a b c b c c a a b       Lời giải : Không mất tổng quát ta cho 2 2 2 0 0 a b c a b c        0 a b c b c c a a b        Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 3 3 3 2 2 2 ( )( ) 3( ) a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác 3 2 a b c b c c a a b       và 2 2 2 1 a b c    Vậy 3 3 3 1 2 a b c b c c a a b       Tiếp tục mạch suy nghĩ trên ta hoàn toàn có thể giải một bài toán tương đối hay mà một đồng nghiệp của tôi đã đề cập. Bài toán 10 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 2 2 2 1 a b c    ta luôn có 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       Đây là một bài toán làm tôi mất rất nhiều thời gian mà nhờ nó trong quá trình giải tôi đã xây dựng được những vấn đề cốt lõi trong hệ thống trên. Ở đây rõ ràng ta thấy vấn đề rất rõ ràng có liên quan hệ thống bài toán trên nhưng vận dụng thế nào cho hợp lí vấn đề là tồn tại số 3 là vì sao và ta cũng thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1 3 như vậy một điều có thể nghĩ đến là phải sử dụng bình phương của vế trái như thế nào đó Lời giải Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9 Ta đã có 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         (2) Không mất tổng quát ta cho 2 2 2 0 0 a b c a b c        1 1 1 0 b c c a a b       Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( ) 3( ) a b c a b c b c c a a b b c c a a b              mặt khác 2 2 2 1 a b c    nên ta suy ra 2 2 2 1 1 1 1 3 a b c b c c a a b b c c a a b                  (4) Nhân hai vế của (2) và (4) ta có     2 2 2 2 1 1 1 1 6 1 1 1 1 9 3 ( ) ( ) 12 12 4 a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b                                                 Vậy ta đã chứng minh được 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b       dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 1 3 Ở bài toán này nếu đặt nó độc lập không theo hệ thống trên thì đây là một bài toán thật sự không đơn giản Các thầy cô và các em còn có thể phát triển thêm các bài toán riêng và tổng quát như sau Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a.b.c=1 ta có 4 4 4 3 2 a b c b c c a a b       4 4 4 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       Tổng quát 3 2 n n n a b c b c c a a b       với n  1 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 n n n a b c b c a c a b       với n  2 Từ bài toán 9 và 10 tổng quát lên ta có bài toán Bài toán 11 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10 Cho n (n  3) số dương 1 2 ; ; n a a a thỏa mãn 2 2 2 1 2 1 n a a a     với S= 1 2 n a a a    ta có 3 3 3 1 2 1 2 1 1 n n a a a S a S a S a n         Bây giờ ta lại chuyển hướng suy nghĩ về ứng dụng cho các bài toán trong các tam giác từ các bài toán trên. Với tam giác ABC bất kì ta luôn có sinA, sinB, sinC là các số dương nên hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức về góc khá đẹp. a. sin sin sin 3 sin sin sin sin sin sin 2 A B C B C C A A B       (5) Ta lại có B-C B-C sin sin 2sin cos 2cos cos 2 2 2 2 B C A B C     và A 2sin os 2 2 A SinA c suy ra sin sin 2 B-C sin sin os 2 A A B C c   tương tự sin sin 2 C-A sin sin os 2 B B C A c   ; sin sin 2 A-B sin sin os 2 C C A B c   thay vào (5) ta có sin sin sin 3 2 2 2 B-C C-A A-B 2 os os os 2 2 2 A B C c c c    (5') b. 2 2 2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2 A B C A B C B C C A A C         (6) c. 3 3 3 2 sin sin sin (sin sin sin ) sin sin sin sin sin sin 6 A B C A B C B C C A A B         (7) Nhưng với tam giác bất kì ta lại có B C sin sin sin 4cos cos cos 2 2 2 A A B C   lồng ghép với (6) ta có bài toán Bài toán 12 Với tam giác ABC bất kì ta luôn có các bất đẳng thức sau 2 2 2 sin sin sin B C 2cos cos cos sin sin sin sin sin sin 2 2 2 A B C A B C C A A C       3 3 3 2 2 2 sin sin sin 8 B C cos cos cos sin sin sin sin sin sin 3 2 2 2 A B C A B C C A A B       [...]... b3 c3 1 và    bc c a a b 6 Tiếp tục vận dụng định lí sin a= 2R sinA; b= 2R sinB ; c=2R.sin C ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) thay vào bài toán này ta có các bất đẳng thức tương đối lạ sin 2 A sin 2 B sin 2 C 1    sin B  sin C sin C  sin A sin A  sin C 4 R sin 3 A sin 3 B sin 3 C 1    sin B  sin C sin C  sin A sin A  sin B 24 R 2 Như vậy đứng trước bài toán nào đó nếu ta chịu...Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Các bài toán trên ta đã đặc biệt hóa cho trường hợp là a.b.c=1 bây giờ ta xét trường hợp khi a+b+c=1 ta có các bất đẳng thức Bài toán 13 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 ta luôn có a2 b2 c2 1    bc c a a b 2 a3 b3 c3 1    bc c a a b 6 Nếu thay a+b=1-c; b+c=1-a; c+a= 1-b ta có các bất đẳng thức rất đẹp là Bài toán 14: Cho các số dương a,b,c... tự ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 abc    mb  nc mc  na ma  nb mn Đến đây ta thấy rằng hóa ra bất đẳng thức Trê bư sép là một trường hợp riêng của bài toán 18 đó cũng là một bất đẳng thức đẹp Nếu ta đặc biệt hóa cho các trường hợp a.b.c=1 hay a+b+c=1 thì ta hoàn toàn có thể sáng tạo ra các bài toán mới dành cho các đề thi hay và khó Chẳng hạn ta cho một số ví dụ 1 Cho a,b, c là các số dương thỏa... mở ra một lớp các bài toán về bất đẳng thức khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kì thi chọn học sinh giỏi và các Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 18 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung kì bồi dưỡng học sinh khá giỏi , mỗi bài toán liên quan ngay cả những bài toán mở rộng trong tam giác và có thể cho đa giác, cũng có thể tổng quát hóa để có thêm nhiều bất đẳng thức đẹp tôi nghĩ... >0 theo bất đẳng thức cô si ta có Cho a,b,c >0 ta có C A B C A B    33    3 A B C A B C B A C B A C    33    3 A C B A C B Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C a b c    1 dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c b  2c c  2a a  2b a2 b2 c2 a b c Tiếp tục mạch suy nghĩ đó từ bất đẳng thức ta suy    bc ca ab 2 ra bất đẳng thức sau Bài toán 17 a2 b2 c2 a bc Cho a,b,c là các số dương... rằng bất đẳng thức kiểu như trên khi vận dụng cô si phải lưu ý dấu bằng xảy ra để chọn hệ số cho đúng chẳng hạn trong bài toán này ta muốn có a2 a dấu bằng xảy ra a=b=c thì  nên ta phải ghép cùng với biểu thức b  2c 3 b  2c a  2a a   đó là một kinh nghiệm tuyệt vời khi sử dụng cho các bài toán 9 9 3 liên quan đến bđt cô si mà ta cần triệt tiêu mẫu Một câu hỏi đặt ra là nếu thay bởi các số tự nhiên... sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà bản thân tôi chưa làm được trong phạm vi đề tài này Với hi vọng viết ra cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá và nội dung nào đó có thể ứng dụng giới thiệu thêm cho học sinh trong quá trình bồi dưỡng Vì thời gian ngắn cũng như bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết ,kính mong được quí thầy cô nghiên cứu , đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn... còn khai thác rộng hơn ứng dụng cho các bài toán khác.Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa , đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rât cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em học sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng... bđt cô si ta có Vậy Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 13 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung a2 b  2c 2a   b  2c 9 3 2 b c  2a 2b   c  2a 9 3 2 c a  2b 2c   a  2b 9 3 Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có a2 b2 c2 a  b  c 2 a  b  c      b  2c c  2a a  2b 3 3 2 2 2 a b c abc     b  2c c  2a a  2b 3 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Lưu ý với học sinh rằng bất đẳng. .. Sáng kiến kinh nghiệm Phần 3 Cao Tiến Trung KẾT LUẬN Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thông qua bài toán bât đẳng thức đẹp và quen thuộc tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối logic Điều này tạo nên tính mới mẻ trong cái nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài toán đó Bài toán 1 ứng dụng khá rộng rãi vơi việc nhìn bài toán dưới góc độ khác bằng cách biến đổi các điều kiện của các . đối lạ 2 2 2 sin sin sin 1 sin sin sin sin sin sin 4 A B C B C C A A C R       3 3 3 2 sin sin sin 1 sin sin sin sin sin sin 24 A B C B C C. (5) ta có sin sin sin 3 2 2 2 B-C C-A A-B 2 os os os 2 2 2 A B C c c c    (5') b. 2 2 2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2 A B