Giợi thiằu b i toĂn nghiản cựu v mởt số kián thực giÊi tẵch h m cụng nhữ mởt số khĂi niằm vã cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai
Cho X, Z, W l cĂc khổng gian Banach, Y l khổng gian ành chuân, C ⊂ Y l nõn lỗi õng, v K ⊂ Z l têp lỗi Cho f :X → Y, g :X → Z, v h :X → W l cĂc Ănh xÔ Chúng tổi x²t b i toĂn tối ữu vectỡ sau Ơy:
Chúng tôi định nghĩa không gian metric trong tập hợp N = {1, 2, , n, } và R là tập hợp các số thực Với không gian chuẩn X, X* là không gian topo của X; trong đó, d(y, S) là khoảng cách từ điểm y đến tập S Bán kính B(x, r) được xác định là {y ∈ R^n : ||x - y|| < r}; và S^n là tập hợp các điểm y trong R^n sao cho ||y|| = 1.
BX(x, r) = {y ∈ X : kx−yk < r}, SX = {y ∈ X : kyk = 1} v ối vợi BX(0,1) ta viát ỡn giÊn l B X L(X, Y) l kỵ hiằu khổng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh bà ch°n tứ
X v o Y v B(X, X, Y) l khổng gian cĂc Ănh xÔ song tuyán tẵnh bà ch°n tứ X ìX v oY, trong õX v Y l cĂc khổng gian ành chuân VợiP n ,P trong L(X, Y), ta viát
P n −→ p P hay P =p-limP n náu P n hởi tử iºm ánP Kỵ hiằu tữỡng tỹ ữủc dũng cho
M n, M ∈ B(X, X, Y) Với một tập hợp C ⊂ X, kỵ hiếu C ∗ được định nghĩa là {c ∗ ∈ X ∗ : hc ∗ , ci ≥ 0, ∀c ∈ C}, là tập hợp các yếu tố hỗ trợ cho C Đối với A ⊂ X, các khái niệm như kỵ hiếu riA, intA, clA, bdA, coneA, coA đều liên quan đến các thuộc tính của A(x) như phần trong, bao gồm, biên và bao lồi.
Av bao gồm một phần đặc trưng A+x Với t > 0 và r ∈ N, o(t r) là một hàm kỵ hiểu của một biến phụ thuộc vào t sao cho o(t r)/t r → 0 khi t → 0+ C 1,1 là không gian các hàm xô khế vi Fr²chet, trong đó độ hạng m của Fr²chet là Lipschitz theo phương.
Trong phƯn n y ta x²t X, Y l cĂc khổng gian ành chuân v h :X →Y l Ănh xÔ.
Ta nói rằng hàm \( h \) là Lipschitz tại \( x_0 \) nếu tồn tại một hằng số \( \kappa > 0 \) sao cho, với mọi \( x \in U \), có \( \| kh(x) - h(x_0) \| \leq \kappa \| x - x_0 \| \) Đặc biệt, hàm \( h \) là khả vi tại \( x_0 \) nếu tồn tại một hàm Fréchet \( h_0(x_0) \) tại \( x_0 \) và giới hạn \( \lim_{y \to x_0, y_0 \to x_0} \| kh(y) - h(y_0) - h_0(x_0)(y - y_0) \| / \| y - y_0 \| = 0 \) Do đó, nếu hàm \( h \) khả vi tại \( x_0 \), thì nó cũng là Lipschitz gần \( x_0 \).
Kát quÊ sau Ơy ữủc chựng minh mởt cĂch tữỡng tỹ nhữ Bờ ã 3 cừa [7].
Mằnh ã 1.1 Cho h l Ănh xÔ khÊ vi Fr²chet quanh x 0 ∈X vợi h 0 l ờn ành tÔi x 0 , v u, w ∈X Náu(t n , r n )→(0 + ,0 + ), t n /r n →0 + , v w n := (x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t n r n →w, thẳ y n := h(xn)−h(x0)−tnh 0 (x0)u t n r n /2 →h 0 (x 0 )w.
Ta nhợ lÔi cĂc khĂi niằm vã cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai sau Ơy. ành nghắa 1.2 Chox0, u∈X v S ⊂X.
(a) Nân contingent (hay Bouligand) cõa S t¤i x 0 l
(b) Nõn tiáp xúc trong (nõn tiáp xúc trong Clarke, tữỡng ựng) cừa S tÔi x0 l
(IT C (S, x 0 ) ={v ∈X | ∀x n → S x 0 ,∀t n →0 + ,∀v n →v,∀n ừ lợn, x n +t n v n ∈S}). (c) Têp contingent (têp kã, tữỡng ựng) cĐp hai cừa S tÔi (x 0 , u) l
(d) Nõn tiáp xúc (nõn kã, tữỡng ựng) cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x0, u) l
(e) Têp tiáp xúc trong cĐp hai cừa S tÔi (x 0 , u) l
IT 2 (S, x 0 , u) = {w∈X | ∀t n →0 + ,∀w n →w,∀n ừ lợn, x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n ∈S}. (f) Nõn tiáp xúc trong cĐp hai tiằm cên cừa S tÔi (x 0 , u) l
Trong bài viết này, chúng tôi khám phá các khái niệm liên quan đến tập hợp S và các yếu tố như IT(S, x₀) và T(S, x₀, u) Các loại tập hợp A₀(S, x₀, u) và T₀(S, x₀, u) được đề cập theo nghiên cứu của Penot Chúng tôi định nghĩa rõ ràng các yếu tố IT₀(S, x₀, u) và nhấn mạnh rằng nếu x₀ không thuộc lớp bọc của S, thì các tập tiệm cận sẽ mở rộng Do đó, chúng tôi luôn xem xét các tập tiệm cận chỉ bao gồm những điểm thuộc vào tập S.
Chúng tổi ữa ra mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai ð trản trong ba mằnh ã sau Ơy.
Mằnh ã 1.3 Cho S ⊂X v x 0 , u∈X Khi õ, cĂc tẵnh chĐt sau ữủc biát ró
(ii)IT 2 (S, x 0 , u) =IT 2 (intS, x 0 , u)v náuu∈bd[cone(S−x 0 )], thẳ06∈IT 2 (S, x 0 , u); (iii) náu u6∈T(S, x 0 ), thẳ T 2 (S, x 0 , u) = ∅.
GiÊ sỷ, thảm nỳa, S l lỗi, intS 6=∅ v u∈T(S, x 0 ) Ta cõ iãu sau ([11, 23, 29]): (iv) intcone(S−x 0 ) =IT(intS, x 0 ) =IT C (intS, x 0 ) v do õ 06∈intcone(S−x 0 ) vợi x 0 6∈intS;
(ii)IT 00 (S, x 0 , u) = IT 00 (intS, x 0 , u)v náuu∈bd[cone(S−x 0 )], thẳ06∈IT 00 (S, x 0 , u). (iii) Náu u6∈T(S, x 0 ), thẳ T 00 (S, x 0 , u) =∅.
(iv) A 00 (S, x0, u) +ITC(S, x0)⊂IT 00 (S, x0, u), v do õ, náu IT C (S, x 0 )6=∅ v A 00 (S, x 0 , u)6=∅, thẳ
Chựng minh CĂc phƯn (i)-(iii) ữủc suy ra tứ cĂc ành nghắa Vợi phƯn (v), xem
Bờ ã 4.1 cừa [28] đề cập đến việc xét phần (iv) Cho w ∈ A 00 (S, x0, u) và v ∈ IT C (S, x0), ta định nghĩa z := w + v Khi (tn, rn) tiến tới (0+, 0+), có tỉ lệ t n /r n → 0 và v z n → z Do đó, tồn tại w n → w sao cho x n := x0 + tn u + 1/2 t n r n w n ∈ S Đồng thời, v n := z n - w n → v, cho thấy v ∈ IT 00 (S, x0, u) Khi n lớn, ta có x0 + tn u + 1/2 t n r n z n = x n + 1/2 t n r n v n ∈ S.
Mằnh ã 1.5 GiÊ sỷ rơng X =R m v x0 ∈S ⊂X Náu xn∈S\ {x0} hởi tử án x0, thẳ tỗn tÔiu∈T(S, x 0 )\ {0} cõ chuân bơng mởt v mởt dÂy con, kỵ hiằu lÔi bði x n , sao cho
(i) (cê iºn) (xn−x0)/tn →u, trong â tn =kxn−x0k;
(ii) ([11]) ho°c z ∈T 2 (S, x 0 , u)∩u ⊥ tỗn tÔi sao cho(x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t 2 n →z ho°cz ∈
T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}v r n →0 + tỗn tÔi sao cho r t n n →0 + v (x n −x 0 −t n u)/ 1 2 t n r n →z,trong â u ⊥ l ph¦n bò trüc giao cõa u∈R m
Ôo h m suy rởng kiºu xĐp x¿ cĐp mởt v cĐp hai
ành nghắa 2.1 ([1, 13]) X²th:X →Y l Ănh xÔ.
Têp A h (x 0 ) ⊂ L(X, Y) được định nghĩa khi x gần x 0, với x trong một lân cận lớn của x 0, tồn tại r→0 sao cho ||x−x 0 || −1 →0 khi x→x 0 và h(x)−h(x 0 ) thuộc A h (x 0 )(x−x 0 ) + rB Y Đồng thời, cặp (A h (x 0 ), B h (x 0 )) cũng được xác định với A h (x 0 ) ⊂ L(X, Y) và B h (x 0 ) ⊂ B(X, X, Y), trong đó A h (x 0 ) là một phần của lân cận mở của x 0 Khi x trong lân cận lớn của x 0, tồn tại r→0 sao cho ||x−x 0 || −1 →0 khi x→x 0 và h(x)−h(x 0 ) thuộc A h (x 0 )(x−x 0 ) + B h (x 0 )(x−x 0 , x−x 0 ) + r² B Y.
Nhên x²t 2.2 (i) Náuh :X →Y cõ Ôo h m Fr²chet cĐp haih 00 (x 0 ), thẳ(h 0 (x 0 ), 1 2 h 00 (x 0 )) l x§p x¿ c§p hai cõah t¤i x 0
(ii) ([1, 13]) Náu h : R n → R m l Lipschitz àa phữỡng tÔi x0, thẳ Jacobian Clarke
[4]∂ C h(x 0 ) l xĐp x¿ cĐp mởt cừah tÔi x 0 Náu, thảm nỳa, h thuởc lợp C 1,1 tÔi x 0 , thẳ (h 0 (x 0 ), 1 2 ∂ C 2 g(x 0 ))l x§p x¿ c§p hai cõa ht¤i x 0 , trong â ∂ C 2 h(x 0 )l Hessian Clarke [8] cõa h t¤i x 0
Náu h: Rn → Rm là một hàm có liên quan đến ma trận Jacobian, với ∂h(.) là đạo hàm tại điểm x0, và h(x0) là giá trị của hàm tại điểm này Nếu h là hàm khả vi, thì ∂h(.) tại x0 cho biết sự biến đổi của hàm h xung quanh điểm x0 Ngoài ra, nếu h là hàm khả vi bậc hai, thì ma trận Hessian ∂²h(.) tại x0 cho phép xác định tính chất của hàm h ở điểm này, với (h(x0), 1/2 ∂²h(x0)) là giá trị tại điểm x0 cho hai chiều của hàm.
Do các ô hình suy rỗng rất tường quát, mỗi ảnh số đã mởt xấp xỉ tầm thường tôi bắt gặp, lộ tỏ ra khổng gian L(X, Y) Các ô hình kiểu xấp xỉ tiềm ẩn khi dũng hớn so với các ô hình suy rỗng khác là các xấp xỉ có thể tồn tại khổng tầm thường ngay cả cho ảnh số khổng liển tửc Vẫn giữ cho R→R được ánh nghĩa bởi h(x).
Khi õh l khổng liản tửc tÔi 0 v ta cõ thº lĐyA h (0) = (α,+∞) vợi bĐt ký α >0 v
Tuy nhiản, ta khổng cõ tẵnh duy nhĐt cho cĂc xĐp x¿ °c biằt, bĐt ký têp n o chựa mởt xĐp x¿ thẳ nõ cụng l mởt xĐp x¿.
CĂc vẵ dử dữợi Ơy chựng tọ rơng cĂc Ôo h m suy rởng cĐp mởt ð trản cõ thº bơng nhau hay kh¡c nhau [15].
Vẵ dử 2.1 Choh :R 2 →R xĂc ành bði h(x, y) x 2 sin(1/x) +|y| náu x6= 0,
Khi â,h l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0, 0) v ta câ tüa Jacobian
∂h(0,0) =Ah(0,0) ={(0, β) :β ∈ {−1,1}}, cụng l tỹa Jacobian Fr²chet [9] Tuy nhiản,
Vẵ dử 2.2 Choh:R 2 →R 2 ữủc ành nghắa bðih(x, y) = (|x| − |y|,|y| − |x|) Khi õ, hl Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0,0) v
1 −1 l tỹa Jacobian những khổng l tỹa Jacobian Fr²chet Hỡn nỳa, xĐp x¿ cĐp mởt l
1 1 công l tüa Jacobian Fr²chet Ta công câ ∂ C h(0,0) = coA h (0,0).
Vẵ dử 2.3 Cho h : R 2 → R 2 nhữ sau h(x, y) = (|x| 1/2 sign(x), y 1/3 +|x|) Khi õ, h l liản tửc những khổng Lipschitz àa phữỡng tÔi (0,0) v xĐp x¿ cĐp mởt
:α >0, β=±1, γ >0 thẳ khĂc tỹa Jacobian Fr²chet
Hai vẵ dử sau Ơy chựng tọ cĂc Ôo h m suy rởng cĐp hai ð trản cụng xÊy ra tẳnh huèng t÷ìng tü [15].
Vẵ dử 2.4 Choh :R 2 → R ành nghắa bði h(x, y) = 1 2 x 2 sign(x) + 1 2 y 2 sign(y) Khi õ, h∈C 1,1 t¤i (0,0) Ta câ h 0 (x, y) = (|x|,|y|)v ba ¤o h m c§p hai kh¡c nhau:
Vẵ dử 2.5 nh xÔ h : R 2 → R cho bði h(x, y) = 2 3 |x| 3/2 + 1 2 y 2 thuởc lợp C 1 những khổng thuởc lợp C 1,1 Do õ ∂ C 2 h khổng tỗn tÔi v hai Ôo h m cĐp hai xĂc ành bði
ành nghắa 2.3 ([15, 17]) Têp A ⊂ L(X, Y) (B ⊂ B(X, X, Y)) ữủc gồi l compact iºm tiằm cên (theo dÂy) (viát tưt p-compact) náu hai iãu kiằn sau Ơy thọa:
(i) mội dÂy bà ch°n theo chuân (Mn) ⊂ A (⊂ B, tữỡng ựng) ãu cõ dÂy con hởi tử iºm;
(ii) náu (Mn)⊂A (⊂B, tữỡng ựng) vợi limkMnk =∞, thẳ (Mn/kMnk) cõ dÂy con hởi tử iºm án mởt giợi hÔn khĂc khổng.
Náu hởi tử iºm trong ành nghắa trản ữủc thay bði hởi tử, thẳ ta nõi rơng A (hay B) l compact tiằm cên (theo dÂy) Lữu ỵ rơng náu Y = R, thẳ hởi tử iºm trũng vợi hởi tử sao-yáu KhĂi niằm compact theo dÂy nõi trản khĂc khĂi niằm p-compact Tuy nhiản, trong ã t i n y chúng tổi ch¿ sỷ dửng khĂi niằm p-compact theo dÂy v bọ i thuêt ngỳ theo dÂy Lữu ỵ rơng náu X v Y l hỳu hÔn chiãu, thẳ bĐt ký têp A hay.
B nõi trản l p-compact tiằm cên.
Vợi A⊂L(X, Y)v B ⊂B(X, X, Y) ta dũng cĂc kỵ hiằu: p-clA ={P ∈L(X, Y)| ∃(P n )⊂A, P = p-limP n }, p-clB ={M ∈B(X, X, Y)| ∃(M n )⊂B, M = p-limM n },
CĂc iãu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai
Chúng ta hÂy nhợ lÔi cĂc khĂi niằm vã nghiằm tối ữu cừa b i toĂn (P) Kỵ hiằu
G=g −1 (−K) v H =h −1 (0) Khi õ, têp chĐp nhên ữủc cừa (P) l
S =G∩H ={x∈X |g(x)∈ −K, h(x) = 0}. iºm x 0 ∈S ữủc gồi l nghiằm yáu àa phữỡng (nghiằm àa phữỡng, tữỡng ựng) cừa (P) náu tỗn tÔi mởt lƠn cênU cừa x0 sao cho, ∀x∈U∩S, f(x)−f(x 0 )6∈ −intC (f(x)−f(x 0 )6∈(−C)\C, t÷ìng ùng).
Têp hủp tĐt cÊ cĂc nghiằm yáu àa phữỡng liên quan đến LWE(f, S) và LE(f, S) được nghiên cứu kỹ lưỡng Với m ∈ N, x 0 ∈ S là một điểm được gọi là nghiằm chưc chưn àa phữỡng cấp m Nếu x 0 thuộc LFE(m, f, S) và tồn tại γ > 0 cùng với một lƠn cênU quanh x 0, thì với mọi x thuộc U ∩ S \ {x 0}, các điều kiện nhất định sẽ được thỏa mãn.
(f(x) +C)∩B Y (f(x 0 ), γkx−x 0 k m ) = ∅, hay, t÷ìng ÷ìng, d(f(x)−f(x 0 ),−C)≥γkx−x 0 k m Lữu ỵ rơng, vợip≥m,
Để tối ưu hóa các điều kiện cho nghiệm trong không gian metric, chúng ta cần áp dụng các định nghĩa chính xác Cụ thể, cho x₀, u ∈ X (với u ≠ 0) và T ⊂ Y, ta định nghĩa h: X → Y Nếu tồn tại một khoảng cách > 0 và ρ > 0 sao cho với mọi t ∈ (0, ρ) và v ∈ B_X(u, ρ), thì chúng ta có thể khẳng định rằng các điều kiện này là cần thiết để đảm bảo tính chính xác của nghiệm.
Ta nõi rơng h l dữợi chẵnh quy metric tÔi x 0 ối vợi T náu tỗn tÔi à >0, ρ >0 sao cho, vợi mồi x∈BX(x0, ρ), ta cõ
Lữu ỵ rơng nhiãu khĂi niằm liản hằ án dữợi chẵnh quy metric  ữủc nghiản cựu v sỷ dửng dữợi nhiãu thuêt ngỳ khĂc nhau Trong đó, iãu kiằn (MSR) trũng vợi iãu kiằn dữợi chẵnh quy metric có thể được diễn đạt qua hàm h(x)−T tại (x 0 ,0) Chúng tổi sỷ dửng thuêt ngỳ dữợi chẵnh quy và quan sát rơng, với bĐt ký u 6= 0, iãu kiằn (DMSRu) là hàm quÊ cừa (MSR) Khi u= 0, chúng tổi sẽ xem xét (DMSRu) trong bối cảnh những khổng nõi dữợi chẵnh quy metric Khi đó, (DMSR0) tương đương với (MSR) Hơn nữa, khi T l lỗi õng, iãu kiằn (MSR) là hàm quÊ cừa iãu kiằn chẵnh quy Mangasarian-Fromovitz.
Trước hát chúng tôi thiết lập yếu kiện tối ưu cho (P) trong các không gian gèc Ảnh lý 3.2 cho các phần trong cỏa C và K khác trên v x 0 ∈ LWE(f, S) Khi đó, với mỗi u ∈ X, các không ảnh sau đây thỏa mãn.
Cho (f, g, h) là khái niệm vi Fréchet tại điểm x₀, với h là đường chẵn quy metric theo hướng t tại (x₀, u) đối với T = {0} khi u ≠ 0 Khi đó, (f, g, h)₀(x₀) u ∉ −int[CìK(g(x₀))] ∪ {0} Đồng thời, (f, g, h) là khái niệm chất tại x₀, với h là đường chẵn quy metric theo hướng t tại (x₀, u) đối với T = {0}, và ((f, g, h)₀(x₀), B(f, g, h)(x₀)) là đáp ứng yêu cầu cặp hai cửa (f, g, h) tại x₀.
B (f,g,h) (x 0 ) l p-compact tiằm cên Náu (f, g, h) 0 (x 0 )u ∈ −[C ìclK(g(x 0 ))\int(C ì K(g(x0)))]ì {0}, thẳ
(a) ho°c tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-clB (f,g,h) (x 0 ) sao cho, vợi mồi w∈X,
(f, g, h) 0 (x0)w+ 2(M, N, P)(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x0)u]×IT 2 (−K, g(x0), g 0 (x0)u)× {0}; (b) ho°c tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x 0 )∞\ {0} sao cho
(iii) Chof l khÊ vi Fr²chet tÔi x 0 , (f 0 (x 0 ), B f (x 0 )) l xĐp x¿ cĐp hai cừaf tÔi x 0 vợi
B f (x 0 ) l p-compact tiằm cên, v f 0 (x 0 )u ∈ −bdC (v intK khổng cƯn khĂc rộng), thẳ vợi mồi w∈T 00 (S, x 0 , u) ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 ) ∞ sao cho f 0 (x 0 )w+M(u, u)6∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u], ho°c tỗn tÔi M ∈ p-B f (x 0 ) ∞ \ {0} sao cho
Chựng minh (i) Náuu= 0, thẳ kát quÊ l ró r ng GiÊ sỷ phÊn chựng rơng, vợiu∈X khĂc khổng,
Khi \( t_n \) tiến về 0 dương, ta có \( h(x_0 + t_n u) \) tiến về \( h_0(x_0) u = 0 \) Với một khoảng cách metric xác định, tồn tại \( \rho > 0 \) sao cho với mọi \( \epsilon \in (0, \rho) \) và \( v \in B_X(u, \rho) \), ta có \( d(x_0 + t v, H) \leq \| h(x_0 + t v) \| \) Khi \( n \) lớn, tồn tại \( y_n \in H \) sao cho \( \frac{x_0 + t_n u - y_n}{t_n} \) tiến về 0 Do đó, ta có \( u_n := \frac{y_n - x_0}{t_n} \) tiến về \( u \) và \( x_0 + t_n u_n \in H \).
Vẳ f(x 0 +t n u n )−f(x 0 ) t n →f 0 (x0)u∈ −intC, g(x 0 +t n u n )−g(x 0 ) t n →g 0 (x0)u∈ −intK(g(x0)), vợi n ừ lợn, ta cõ f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )∈ −intC,g(x 0 +t n u n )∈ −intK ⊂ −K,tực l , ta ữủc iãu mƠu thuăn.
(f, g, h) 0 (x 0 )u∈ −[C×clK(g(x 0 ))\int(C×K(g(x 0 )))]× {0}. Vợi t n →0 + , tỗn tÔi (M n , N n , P n )∈B (f,g,h) (x 0 )sao cho, vợi n lợn,
(a) Náu {(M n , N n , P n )} bà ch°n, ta cõ thº giÊ sỷ rơng (M n , N n , P n ) −→ p (M, N, P) ∈ p-clB (f,g,h) (x 0 ) Do â,
(f, g, h)(x 0 +t n u)−(f, g, h)(x 0 )−t n (f, g, h) 0 (x 0 )u t 2 n /2 →2(M, N, P)(u, u). Vợi bĐt ký w∈X, bði giÊ thiát khÊ vi ch°t cừa f, ta cõ f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 = f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−f(x 0 +t n u) t 2 n /2
+f(x 0 +t n u)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 →f 0 (x0)w+ 2M(u, u). Tữỡng tỹ, ta Ôt ữủc g(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u t 2 n /2 →g 0 (x0)w+ 2N(u, u), h(x0+tnu+ 1 2 t 2 n w)−h(x0)−tnh 0 (x0)u t 2 n /2 →h 0 (x 0 )w+ 2P(u, u). Gi£ sû
Vẳh(x 0 ) = 0v h 0 (x 0 )u= 0, iãu n y suy ra rơngh(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w)/ 1 2 t 2 n →0 Bði tẵnh dữợi chẵnh quy metric cừah, vợinlợn tỗn tÔiy n ∈Hsao cho(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w−y n )/ 1 2 t 2 n →
0 Do â, wn:= (yn−x0−tnu)/ 1 2 t 2 n →wv x0+tnu+ 1 2 t 2 n wn∈H.
M°t khĂc, tẵnh liản tửc Lipschitz cừaf gƯn x0 v (1) suy ra rơng f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 = f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w) t 2 n /2
∈ −intcone[C+f 0 (x0)u] (2) T÷ìng tü, ta câ g(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u t 2 n /2 →g 0 (x0)w+ 2N(u, u)
VẳIT(−intC, f 0 (x0)u) =−intcone(C+f 0 (x0)u), (2) suy ra rơng, vợin lợn, f 0 (x 0 )u+1
2t n f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 ∈ −intC, v vẳ thá f(x 0 +t n u+ 1 2 t 2 n w n )−f(x 0 )∈ −intC (4) Tữỡng tỹ, bði (3) v ành nghắa cừaIT 2 , ta cõ, vợi n ừ lợn, g(x 0 ) +t n g 0 (x 0 )u+1
2t 2 n g(x0+tnu+ 1 2 t 2 n wn)−g(x0)−tng 0 (x0)u t 2 n /2 ∈ −K, v vẳ vêy g(x 0 +t n u n + 1 2 t 2 n w n )∈ −K (5) CĂc cổng thực (4) v (5) mƠu thuăn vợi giÊ thiát x 0 l nghiằm yáu àa phữỡng.
(b) Náu{(M n , N n , P n )} khổng bà ch°n, ta giÊ sỷ rơngα n :=k(M n , N n , P n )k → ∞v 1 α n (Mn, Nn, Pn)−→ p (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x0)∞\ {0} Do â,
(M, N, P)(u, u)∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u]×IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u)× {0} (6) Vẳ(f, g) 0 (x 0 )u∈ −[CìclK(g(x 0 ))\int(CìK(g(x 0 )))], ta cõ ho°cf 0 (x 0 )u∈ −bdC ho°c g 0 (x 0 )u∈ −bdK(g(x 0 )) Vẳ thá, bði Mằnh ã 1.3 (iv) v 1.4 (ii), ho°cM(u, u)6= 0 ho°c N(u, u)6= 0, v do â α n t n →0 +
Vẳ h(x0) = 0 v h 0 (x0)u = 0, ta cõ h(x0 +tnu)/αnt 2 n → 0 Bði giÊ thiát dữợi chẵnh quy metric cừah, vợi n lợn, tỗn tÔi y n ∈H sao cho (x 0 +t n u−y n )/α n t 2 n →0. °tu n := (y n −x 0 )/t n , ta câ(u n −u)/α n t n →0 v x 0 +t n u n ∈H.
M°t khĂc, vẳ f l Lipschitz gƯn x 0 , (6) dăn án f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n = f(x 0 +t n u n )−f(x 0 +t n u) α n t 2 n
+f(x 0 +t n u)−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n →M(u, u)∈ −intcone[C+f 0 (x 0 )u] (7) T÷ìng tü, ta câ g(x 0 +t n u n )−g(x 0 )−t n g 0 (x 0 )u αnt 2 n →N(u, u)∈IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) (8) VẳIT(−intC, f 0 (x 0 )u) =−intcone(C+f 0 (x 0 )u), tứ (7) ta ữủc, vợin lợn, f 0 (x 0 )u+α n t n f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u α n t 2 n ∈ −intC, v vẳ thá f(x 0 +t n u n )−f(x 0 )∈ −intC (9)
Tữỡng tỹ, bði (8) v ành nghắa cừaIT 00 , ta cõ, vợi n lợn, g(x 0 ) +t n g 0 (x 0 )u+1
CĂc cổng thực (9) v (10) mƠu thuăn vợi giÊ thiát vãx 0
Kết quả suy ra từ ảnh lý 4.1 (b) của [17] cho thấy có sự liên quan giữa ảnh lý 3.2 và các nhân tỷ Lagrange Chúng ta cần xem xét kết quả này một cách tỉ mỉ để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các thành phần trong hệ thống.
Bờ ã 3.3 Cho E và G là các không gian Banach, F là không gian ảnh chuẩn, với (y₀, z₀) ∈ F x G, và B là tập con lỗi của F với intB ≠ ∅ Cho ϕ: E → F và ψ: E → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục Giả sử rỗng, với mọi x ∈ E.
(ϕ, ψ)(x) + (y 0 , z 0 )6∈ −intB× {0}. Náuψ(E) = G, thẳ tỗn tÔi (y ∗ , z ∗ )∈F ∗ ìG ∗ vợi y ∗ 6= 0 sao cho, vợi mồi b ∈B, y ∗ ◦ϕ+z ∗ ◦ψ = 0, hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0.
Thảm nỳa náuBl nõn, thẳ bĐt ¯ng thực trản trð th nhy ∗ ∈B ∗ v hy ∗ , y0i+hz ∗ , z0i ≥0. Chựng minh Ró r ng têp hủp
A = {(y, z) ∈ F × G | ∃x ∈ E : y − ϕ(x) ∈ y₀ + intB, z − ψ(x) = z₀} với b₀ ∈ intB Ta có (b₀ + y₀, z₀) ∈ intA Tồn tại một lân cận U của b₀ trong F sao cho b₀ + U + U ⊂ intB và tồn tại r > 0 sao cho −ϕ(x) ∈ U với mọi x ∈ B_E(0, r) Với ψ là một ánh xạ mở, tồn tại một lân cận V của z₀ trong G sao cho V ⊂ ψ(B_E(0, r)) Ta chứng minh rằng (b₀ + y₀ + U) × (z₀ + V) ⊂ A, với y ∈ U và z ∈ V Khi đó, tồn tại x ∈ B_E(0, r) sao cho z = ψ(x) Hơn nữa, ta có b₀ + y₀ + y − ϕ(x) ∈ b₀ + y₀ + U + U ⊆ y₀ + intB Do đó, (b₀ + y₀ + y, z₀ + z) ∈ A và (b₀ + y₀, z₀) ∈ intA.
Bði ành lỵ tĂch thổng thữớng, tỗn tÔi(y ∗ , z ∗ ) ∈F ∗ ìG ∗ \ {(0,0)} sao cho, vợi mồi (y, z)∈A, hy ∗ , yi+hz ∗ , zi ≥0 (11)
Vợi moi x∈E v b ∈ intB, ta cõ(y, z) := (ϕ(x) +b+y 0 , ψ(x) +z 0 )∈A Tứ (11) ta suy ra hy ∗ , ϕ(x)i+hz ∗ , ψ(x)i+hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0.
Do õ, vẳ ϕ v ψ l tuyán tẵnh, y ∗ ◦ϕ+z ∗ ◦ψ = 0, hy ∗ , y 0 i+hz ∗ , z 0 i+hy ∗ , bi ≥0,∀b ∈B. Náuy ∗ = 0, thẳ ¯ng thực trản dăn án z ∗ = 0, mởt iãu mƠu thuăn.
NáuB l nõn, tứ bĐt ¯ng thực trản ta suy ra y ∗ ∈B ∗ , v do õ hy ∗ , y0i+hz ∗ , z0i ≥
Ta dũng kỵ hiằu sau Ơy cho têp cĂc nhƠn tỷ Fritz John Λ(x 0 ) :={(c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈X ∗ ×Y ∗ ×Z ∗ : (c ∗ , k ∗ , h ∗ )6= (0,0,0), c ∗ ◦f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 )
+ h ∗ ◦h 0 (x 0 ) = 0, c ∗ ∈C ∗ , k ∗ ∈N(−K, g(x 0 ))}. ành lỵ 3.4 Vợi b i toĂn (P), cho intC v intK l khĂc rộng v x0 ∈ LWE(f, S) Khi õ, vợi mồi u∈X, cĂc kh¯ng ành sau Ơy thọa.
(i) Chof, g, hl khÊ vi Fr²chet tÔix 0 , v h 0 (x 0 )(X) =W Khi õ, tỗn tÔi(c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈ Λ(x0) vợi (c ∗ , k ∗ )6= (0,0);
(ii) Chof, g, h l kh£ vi ch°t t¤ix 0 ,h 0 (x 0 )(X) =W, ((f, g, h) 0 (x 0 ), B (f,g,h) (x 0 ))l x§p x¿ cĐp hai cừa(f, g, h)tÔix 0 vợiB (f,g,h) (x 0 )l p-compact tiằm cên, v A 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) khĂc rộng Náu (f, g, h) 0 (x0)u∈ −[CìclK(g(x0))\int(CìK(g(x0)))]ì {0}, thẳ
(a) ho°c tỗn tÔi(M, N, P)∈p-clB (f,g,h) (x 0 )v (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x 0 )vợi(c ∗ , k ∗ )6= (0,0) sao cho hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hh ∗ , P(u, u)i ≥ 1 2 sup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki, v c ∗ 6= 0 náu, thảm nỳa, iãu kiằn chẵnh quy cĐp hai sau Ơy thọa
(b) ho°c tỗn tÔi (M, N, P)∈p-B (f,g,h) (x 0 )∞\ {0}and (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈C ∗ ìK(g(x 0 )) ∗ ì
W ∗ \ {(0,0,0)} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui=hk ∗ , g 0 (x 0 )ui= 0 sao cho hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hh ∗ , P(u, u)i ≥0, v (c ∗ , k ∗ )6= (0,0) náu h = 0.
Cho f là hàm Fréchet tại x₀, với (f₀(x₀), Bf(x₀)) là cặp hai chiều của f tại x₀, trong đó Bf(x₀) là p-compact Nếu f₀(x₀) thuộc -bdC và intK không rỗng, thì với mọi w thuộc T₀₀(S, x₀, u), tồn tại M thuộc p-Bf(x₀)∞ và c* thuộc C* \ {0} sao cho hc*, f₀(x₀)ui = 0 và hc*, f₀(x₀)w + M(u, u)i ≥ 0 Đồng thời, cũng tồn tại M thuộc p-Bf(x₀)∞ \ {0} và c* thuộc C* \ {0} sao cho hc*, M(u, u)i ≥ 0.
Chựng minh (i) Bði ành lỵ 3.2 (i), Ăp dửng Bờ ã 3.3 vợiE =X, G=W, F =Y ìZ, ϕ = (f 0 (x 0 ), g 0 (x 0 )), ψ = h 0 (x 0 ), (y 0 , z 0 ) = (0,0), v B = CìK(g(x 0 )), ta cõ thº tẳm ữủc (c ∗ , k ∗ ) ∈ [C ìK(g(x 0 ))] ∗ =C ∗ ìN(−K, g(x 0 )) vợi (c ∗ , k ∗ ) 6= (0,0) v h ∗ ∈ W ∗ sao cho c ∗ ◦f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 ) +h ∗ ◦h 0 (x 0 ) = 0.
(ii) (a) GiÊ sỷ A 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) 6= ∅ (náu khổng, kh¯ng ành l tƯm thữớng). Bði ành lỵ 3.2 (ii) (a), tỗn tÔi(M, N, P)∈ p-clB (f,g,h) (x 0 )sao cho, vợi mồi w∈X,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ thống toán học với các biến số như (f, g, h) và các điều kiện liên quan đến không gian X, G, F, Z Cụ thể, ta có E = X, G = W, F = Y, và các hàm số φ = (f 0 (x 0 ), g 0 (x 0 )) cùng ψ = h 0 (x 0 ) Đặt y 0 = 2(M, N)(u, u) và z 0 = 2P(u, u), ta định nghĩa B là cone[C + f 0 (x 0 )u] × [−IT 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u)] Để thỏa mãn điều kiện (c ∗ , k ∗ , h ∗ ) ∈ X ∗ × Y ∗ × Z ∗, cần có c ∗ ◦ f 0 (x 0 ) + k ∗ ◦ g 0 (x 0 ) + h ∗ ◦ h 0 (x 0 ) = 0 với (c ∗ , k ∗) ≠ (0,0) Hơn nữa, với mọi c ∈ cone[C + f 0 (x 0 )u] và k ∈ −IT 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), ta có điều kiện hc ∗ , 2M(u, u)i + hk ∗ , 2N(u, u)i + hh ∗ , 2P(u, u)i + hc ∗ , ci + hk ∗ , ki ≥ 0 Cuối cùng, từ (12), ta suy ra rằng hk ∗ , ki ≤ α với mọi k ∈ IT 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u).
A 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) (xem Mằnh ã 1.3 (v)) iãu n y cũng vợi (12) suy ra rơng hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i+hh ∗ , P(u, u)i ≥ 1 2 sup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki. º thĐy rơng (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x 0 ), ta quan sĂt Mằnh ã 3.1 trong [5]
Đối với mỗi mồik ∈A 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) và k 1 ∈T(T(−K, g(x 0 )), g 0 (x 0 )u), có hk ∗ , k+k 1 i ≤α Nếu VẳT(T(−K, g(x 0 )), g 0 (x 0 )u)l nõn, thì suy ra rằng k ∗ ∈ −[T(T(−K, g(x0)), g 0 (x0)u)] ∗ Đặc biệt, nếu c ∗ = 0, với mọi (y, z) ∈ Y × Z, tồn tại x ∈ X và k ∈T(T(−K, g(x 0 )), g 0 (x 0 )u) sao cho (g, h) 0 (x 0 )x−(k,0) = (y, z) Do đó, h(k ∗ , h ∗ ),(y, z)i=hk ∗ , g 0 (x 0 )xi+hh ∗ , h 0 (x 0 )xi − hk ∗ , ki=−hk ∗ , ki ≥0, và (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x 0 ) Cuối cùng, (y, z) l tùy ý, và (k ∗ , h ∗ ) = (0,0) mở đầu mƠu thuăn.
(b) Bði ành lỵ 3.2 (ii) (b), tỗn tÔi (M, N, P)∈ p-B (f,g,h) (x 0 )∞\ {0}sao cho,
Ta cõ hai trữớng hủp sau.
NáuP(u, u) = 0, với điều kiện tồn tại (c ∗ , k ∗) ∈ Y ∗ ì Z ∗ \{0,0} sao cho w ∈ intcone[C+f 0 (x 0 )u] và k ∈ −IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), đồng thời hc ∗ , M(u, u)i + hk ∗ , N(u, u)i + hc ∗ , wi + hk ∗ , ki ≥ 0 Hơn nữa, intcone[C+f 0 (x 0 )u] v −IT 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) là các yếu tố quyết định, với điều kiện c ∗ ∈ C ∗, hc ∗ , f 0 (x0)ui = 0, và hk ∗ , ki ≤ 0 cho mọi k ∈ IT 00 (−K, g(x0), g 0 (x0)u) Điều này dẫn đến việc k ∗ ∈ K(g(x 0 )) ∗ và hk ∗ , g 0 (x 0 )ui = 0, từ đó ta có hc ∗ , M(u, u)i + hk ∗ , N(u, u)i ≥ 0 Cuối cùng, chính ∗ ∈ W ∗ tùy thuộc vào các điều kiện trên, ta có thể đạt được kết quả mong muốn.
•NáuP(u, u)6= 0, thẳ ró r ng rơng tỗn tÔih ∗ ∈W ∗ khĂc khổng sao chohh ∗ , P(u, u)i ≥
0 Vợi (c ∗ , k ∗ ) = (0,0), ta cõ kát luên.
(iii) Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.2 (iii) v ành lỵ tĂch thổng thữớng Kát quÊ sau Ơy l mởt hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ 3.4.
Hằ quÊ 3.5 Vợi b i toĂn (P), cho f, g v h l khÊ vi Fr²chet cĐp hai tÔi x 0 v h 0 (x0)(X) =W Náu intC v intK l khĂc rộng v x0 ∈LWE(f, S), thẳ
(ii) vợi mồiu∈X vợi (f, g, h) 0 (x0)u∈ −[CìclK(g(x0))\int(CìK(g(x0)))]ì {0}, tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ , h ∗ )∈Λ(x 0 ) vợi (c ∗ , k ∗ )6= (0,0) sao cho hc ∗ , f 00 (u, u)i+hk ∗ , g 00 (u, u)i+hh ∗ , h 00 (u, u)i ≥sup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki, v náu, thảm nỳa, iãu kiằn (TRu) thọa, thẳ c ∗ 6= 0;
Nếu \( f_0(x_0)u \in -bdC \) và \( v \in T_{00}(S, x_0, u) \) với \( v \) không thuộc tập rỗng, thì tồn tại \( c^* \in C^* \setminus \{0\} \) sao cho \( h(c^*, f_0(x_0)u) = 0 \) và \( h(c^*, f_0(x_0)w) \geq 0 \) Nếu điều kiện chính quy Slater được thỏa mãn, thì theo định lý 6.2 trong tài liệu [12], điều kiện (TRu) cũng được thỏa mãn Hơn nữa, theo Hệ quả 3.5 (ii-iii) trong tài liệu [14], trong trường hợp \( Y = R, K \), điều kiện chính quy Slater được áp dụng.
Nhên x²t 3.6 đề cập đến bơng cĂch thảm v o ành lỵ 3.4, với giÊ thiát rơng (g, h) l khÊ vi Fr²chet quanh x 0 và (f, g) 0 l ờn ành tÔi x 0 v dữợi chẵnh quy metric theo hữợng tÔi (x 0 , u) ối vợi −K ì {0} Kát luên cừa (iii) trð nản mÔnh hỡn nhữ, náu g 0 (x 0 )w ∈.
T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) v h 0 (x 0 )w = 0, thẳ tỗn tÔi c ∗ ∈ C ∗ \ {0} vợi hc ∗ , f 0 (x 0 )ui = 0 sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )wi ≥ 0 Thêt vêy, Ăp dửng Mằnh ã 3.7 dữợi Ơy vợi (g, h) thay bði g, v −Kì {0} thay bði −K, ta cõ, vợi S= (g, h) −1 (−K ì {0}) = G∩H,
={w∈X |g 0 (x 0 )w∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), h 0 (x 0 )w= 0}. (ii) M°c dũ biºu thựcsup k∈A 2 (−K,g(x 0 ),g 0 (x 0 )u)hk ∗ , ki l khổng dữỡng, ta ữa ra lới cưt nghắa ỡn giÊn vẳ tƯm quan trồng cừa nõ Bði Mằnh ã 1.3 (i), ta cõ
CĂc iãu kiằn tối ữu ừ cĐp hai
Trong phần này, chúng ta xem xét bài toán (P) với h = 0 và các điều kiện liên quan đến C, K Đặc biệt, chúng ta tập trung vào các hàm f và g, cũng như tính chất Fréchet của chúng tại điểm 0 ∈ S Giá trị của hàm số f và g tại x₀, cùng với các đạo hàm Bf(x₀) và Bg(x₀), sẽ được phân tích để xác định các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm trong không gian p-compact.
Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈ LFE(2, f, S).
(i) ∀u∈S X , ∃(c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ×K(g(x 0 )) ∗ , hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) thọa f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ
∃(c ∗ , k ∗ )∈Λ 1 (x 0 ), hc ∗ ,2M(u, u)i+hk ∗ ,2N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u)i, v ∀(M, N) ∈ p-B (f,g) (x 0 )∞ \ {0}: N(u, u) ∈ T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), ∃c ∗ ∈ C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0;
(b) ∀w∈T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}, ∀M ∈ p-B f (x 0 )∞, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}, hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , f 0 (x0)w+M(u, u)i>0, v ∀M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}, hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0.
Chựng minh (i) Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.3 cừa [18].
(ii) GiÊ sỷ phÊn chựng rơng tỗn tÔix n ∈S∩B X (x 0 , 1 n )\ {x 0 } v c n ∈C sao cho f(x n )−f(x 0 )+c n ∈B Y (0, n 1 t 2 n ), (21) trong õt n =kx n −x 0 k →0 + Ta cõ thº giÊ sỷ rơng(x n −x 0 )/t n →u∈T(S, x 0 )∩S X
Chia (21) bði t n v chuyºn qua giợi hÔn ta cõ f 0 (x 0 )u ∈ −C M°t khĂc, bði Mằnh ã
1.5, ch¿ cƯn x²t hai trữớng hủp sau Ơy l ừ (dũng cĂc dÂy con náu cƯn).
Trữớng hủp mởt: Tỗn tÔi w∈T 2 (S, x0, u)∩u ⊥ vợi wn := (xn−x0−tnu)/ 1 2 t 2 n →w.
Vợi n lợn, tỗn tÔi (Mn, Nn)∈B (f,g) (x0)sao cho
Náu{(M n , N n )}bà ch°n, giÊ sỷ rơng (M n , N n )−→ p (M, N)∈p-clB (f,g) (x 0 ) Khi õ,
(f, g)(x n )−(f, g)(x 0 )−t n (f, g) 0 (x 0 )u t 2 n /2 →(f, g) 0 (x 0 )w+ 2(M, N)(u, u), Vẳ g(x n ) ∈ −K, iãu n y dăn án g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u) ∈ T 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u) v do õ, g 0 (x0)u∈T(−K, g(x0)) Bði giÊ thiát (ii) (a), tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ )∈Λ1(x0) thọa hc ∗ ,2M(u, u)i+hk ∗ ,2N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+ 2N(u, u)i, v vẳ thá hc ∗ , yi>0.
M°t khĂc, tứ (21) suy ra rơng f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 +c n +t n f 0 (x 0 )u t 2 n /2 →0.
Do õ, y ∈ − clcone(C +f 0 (x 0 )u) Vẳ f 0 (x 0 )u ∈ −C, g 0 (x 0 )u ∈ T(−K, g(x 0 )) v c ∗ ◦ f 0 (x 0 ) +k ∗ ◦g 0 (x 0 ) = 0, ta suy rahc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, v vẳ vêy c ∗ ∈[clcone(C+f 0 (x 0 )u)] ∗ Nhử thá, hc ∗ , yi ≤0, mởt iãu mƠu thuăn.
Náu{(M n , N n )}khổng bà ch°n, giÊ sỷ rơngα n :=k(M n , N n )k → ∞v 1 α n (M n , N n )−→ p (M, N)∈ p-B (f,g) (x 0 )∞\ {0} Do â,
Nếu \( M(u, u) = 0 \) và \( N(u, u) = 0 \) thuộc \( T^{00}(-K, g(x_0), g'(x_0)u) \), tồn tại \( c^* \in C^* \setminus \{0\} \) với \( h c^* \) và \( f'(x_0)u_i = 0 \), thì \( M(u, u)_i > 0 \) Nếu \( N(M, N)(u, u) \neq 0 \), thì \( n t_n \to 0^+ \) Từ đó, ta có \( N(u, u) \in T^{00}(-K, g(x_0), g'(x_0)u) \) Với điều kiện \( c^* \in [clcone(C + f'(x_0)u)]^* \), thì \( M(u, u)_i > 0 \) vẫn được thỏa mãn.
M°t khĂc, (21) dăn án f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u αnt 2 n +c n +t n f 0 (x 0 )u αnt 2 n →0, v vẳ thá M(u, u) ∈ −clcone(C +f 0 (x 0 )u) Do õ, hc ∗ , M(u, u)i ≤ 0, mởt iãu mƠu thu¨n.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét trường hợp tồn tại của hàm số f(x) tại điểm x0 với điều kiện t n /r n →0 Định nghĩa w n = x n − x 0 − t n u t n r n /2 cho phép chúng ta xác định w thuộc T 00 (S, x 0 , u) và u ⊥ \ {0} Để có được sự gần đúng của f(x n ) tại x0, tồn tại một hằng số Mn trong Bf(x0) sao cho f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t n r n /2 = f 0 (x0)wn + (2t n r n)Mn(u + 1/2 rnwn, u + 1/2 rnwn) + o(t^2 n) t n r n /2 Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác của các kết quả này.
• ( 2t r n n)Mn →0 Khi õ, (23) suy ra rơng f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t n r n /2 →f 0 (x0)w.
Tứ (21) ta cõ f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t n r n +c n +t n f 0 (x 0 )u t n r n →0, v do õf 0 (x 0 )w∈ −clcone(C+f 0 (x 0 )u), mƠu thuăn vợi giÊ thiát (ii) (b) vợi M = 0.
• k( 2t r n n)M n k →a >0 Khi â, kM n k → ∞v t n kM n k →0 Do â, M n /kM n k
→M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, v ta câ a(f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u) t 2 n kM n k →f 0 (x 0 )w+aM(u, u). Tữỡng tỹ nhữ trản, (21) dăn án iãu mƠu thuăn f 0 (x0)w+aM(u, u) ∈ −clcone(C+ f 0 (x 0 )u).
→M ∈ p-B f (x 0 )∞\ {0}, v ta ữủc f(x n )−f(x 0 )−t n f 0 (x 0 )u t 2 n kM n k →M(u, u). Tữỡng tỹ nhữ trữợc, ta i án iãu khổng thº ữủcM(u, u)∈ −clcone(C+f 0 (x 0 )u)
Nhên x²t 4.2 (i) iãu kiằn (ii)(a) trong ành lỵ 4.1 ró r ng ữủc suy ra bði iãu kiằn sau
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến các hàm số f và g tại điểm x₀, đặc biệt là trong bối cảnh không gian Fréchet Đối với mọi cặp (M, N) thuộc p-clB (f,g) tại x₀, tồn tại cặp (c*, k*) thuộc Λ₁ (x₀) sao cho tích vô hướng giữa c* và M(u, u) cộng với tích vô hướng giữa k* và N(u, u) lớn hơn 1/2 sup k thuộc T₂ (-K, g(x₀), g'(x₀)u) nhân với k* Hơn nữa, nếu (M, N) thuộc p-B (f,g) tại x₀ và không bằng 0, thì tồn tại c* thuộc C* không bằng 0 sao cho tích vô hướng giữa c* và f'(x₀) bằng 0, và tích vô hướng giữa c* và M(u, u) lớn hơn 0 Điều này chỉ ra rằng trong không gian Fréchet quanh x₀, các điều kiện liên quan đến tính chất của các hàm số và các yếu tố liên quan đến không gian con đều có những ảnh hưởng quan trọng đến cấu trúc của bài toán.
Hằ quÊ sau Ơy ữủc suy ra trỹc tiáp tứ ành lỵ 4.1 vợi (f, g) l khÊ vi Fr²chet cĐp hai t¤ix 0
Hằ quÊ 4.3 Vợi b i toĂn (P) vợi h = 0, giÊ sỷ rơng X l hỳu hÔn chiãu v f v g l khÊ vi Fr²chet cĐp hai tÔi x 0 ∈ S Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈ LFE(2, f, S).
(i) Vợi mồi u∈S X , tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ìK(g(x 0 )) ∗ sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) vợi f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ
(a)∀w∈T 2 (S, x 0 , u)∩u ⊥ :g 0 (x 0 )w+g 00 (x 0 )(u, u)∈T 2 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u),∃(c ∗ , k ∗ )∈ Λ 1 (x 0 ), hc ∗ , f 0 (x 0 )w+f 00 (x 0 )(u, u)i>0; (b) ∀w∈T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , f 0 (x 0 )wi>0. Hằ quÊ 4.3 (ii) mð rởng ành lỵ 4.5 cừa [25], trong õ Y =R, v Hằ quÊ 7 cừa [7], trong õ Y v Z l hỳu hÔn chiãu.
CĂc Hằ quÊ 4.4 v 4.5 dữợi Ơy ữủc suy ra ngay tực khưc tứ ành lỵ 4.1 dũng Hessian suy rởng Clarke v tỹa Hessian Jeyakumar-Luc, tữỡng ựng.
Hằ quÊ 4.4 Vợi b i toĂn (P) vợi h = 0, giÊ sỷ rơng X, Y, Z l hỳu hÔn chiãu v (f, g) thuởc lợp C 1,1 tÔi x 0 ∈ S Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau l ừ cho x 0 ∈
(i) Vợi mồi u∈S X , tỗn tÔi (c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ìK(g(x 0 )) ∗ sao cho hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) vợi f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ
(b) ∀w∈T 00 (S, x0, u)∩u ⊥ \ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , f 0 (x 0 )wi>0. Hằ quÊ 4.4 (ii) mð rởng Hằ quÊ 8 cừa [7].
Hằ quÊ 4.5 Vợi b i toĂn (P) vợi h= 0, giÊ sỷ rơng X, Y, Z l hỳu hÔn chiãu v (f, g) thuởc lợp C 1 tÔi x 0 ∈ S GiÊ sỷ hỡn nỳa f v g cõ cĂc Ănh xÔ tỹa Hessian ∂ 2 f(.) v
∂ 2 g(.), tữỡng ựng, l nỳa liản tửc trản tÔi x0 Khi õ, mởt trong cĂc iãu kiằn sau Ơy l õ cho x 0 ∈ LFE(2, f, S).
(i) Vợi mồi u∈S X , ∃(c ∗ , k ∗ )∈C ∗ ìK(g(x 0 )) ∗ , hc ∗ , f 0 (x 0 )ui+hk ∗ , g 0 (x 0 )ui>0. (ii) Vợi mồi u∈S X ∩T(S, x 0 ) vợi f 0 (x 0 )u∈ −C, ta cõ
∃(c ∗ , k ∗ )∈Λ 1 (x 0 ), hc ∗ , M(u, u)i+hk ∗ , N(u, u)i>hk ∗ , g 0 (x 0 )w+N(u, u)i, v ∀(M, N) ∈ co∂ 2 (f, g)(x 0 )∞\ {0}: N(u, u)∈T 00 (−K, g(x 0 ), g 0 (x 0 )u), ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0;
(b) ∀w∈T 00 (S, x 0 , u)∩u ⊥ \ {0}, ∀M ∈co∂ 2 f(x 0 )∞, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x 0 )ui= 0, hc ∗ , f 0 (x0)w+M(u, u)i>0 v ∀M ∈ co∂ 2 f(x0)∞\ {0}, ∃c ∗ ∈C ∗ \ {0}: hc ∗ , f 0 (x0)ui= 0, hc ∗ , M(u, u)i>0.
Trong vẵ dử sau Ơy, ành lỵ 4.1 tẳm ra ữủc nghiằm chưc chưn, trong khi õ cĂc kát quÊ gƯn Ơy thẳ khổng.
Vẵ dử 4.1 ChoC =R+, K ={(k 1 , k 2 , k 3 )∈ R 3 |k 2 k 3 ≥ 2k 2 1 , k 2 ≤0, k 3 ≤0}, (x 0 , y 0 ) (0,0), v f :R 2 →Rv g :R 2 →R 3 ữủc ành nghắa bði f(x, y)
−x 2 +y if x≥0, y