X¥y düng to¡n tû nghàch £o
Trong chữỡng n y, ta nghiản cựu vã tẵnh khÊ nghàch cừa toĂn tỷ S trong
L 2 (0, w) vợi toĂn tỷ S cõ dÔng
0 s(x − t)f(t)dt l mởt h m số liản tửc tuyằt ối.
Toán tỷ là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp phân tích và hiểu rõ các mối quan hệ giữa các số Để tính toán tỷ lệ, chúng ta cần xác định các số N1 và N2 sao cho thỏa mãn điều kiện nhất định Việc nắm vững cách tính toán tỷ lệ sẽ hỗ trợ trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kinh tế đến khoa học.
SN 1 (x) = M (x), SN 2 (x) = 1, vợi 1 l h m hơng bơng 1 v M (x) = s(x), 0 ≤ x ≤ w Khi õ, toĂn tỷ nghàch Êo
T = S −1 ữủc biºu diạn qua h m số N 1 (x) v N 2 (x). ành lỵ 1.1 Cho S l toĂn tỷ bà ch°n trong L 2 (0, w) Khi õ, toĂn tỷ S ữủc biºu diạn dữợi dÔng
0 s(x, t)f (t)dt, trong õ s(x, t) thuởc L 2 (0, w) vợi mội x cố ành.
Chựng minh Ta ành nghắa h m số e x (t) =
Náu f ∈ L (0, w) thẳ Sf ∈ L (0, w) Theo ành nghắa tẵch vổ hữợng trong L (0, w) ta câ hSf, e x i = x
L¤i câ hSf, e x i = hf, S ∗ e x i (1.2) vợi S ∗ l toĂn tỷ liản hủp cừa toĂn tỷ S °t
Tứ ành nghắa cừa h m e x v ¯ng thực (1.3) ta suy ra hằ quÊ sau Ơy.
Hằ quÊ 1.1 H m số s(x, t) trong cổng thực (1.1) cõ thº ữủc chồn sao cho s(x, t) thuởc L 2 (0, w) vợi mội x v s(0, t) = 0; w
Ta kẵ hiằu A l toĂn tỷ tẵch phƠn trản L 2 (0, w) xĂc ành bði
Khi õ, toĂn tỷ liản hủp A ∗ cõ dÔng
Z x f (t)dt (1.6) ành lỵ 1.2 Cho S l toĂn tỷ bà ch°n vợi nhƠn vi phƠn dÔng (1.1) Khi õ, ta cõ biºu diạn
Chựng minh Tứ (1.1), (1.5) v (1.6) ta cõ
Vêy ành lỵ Â ữủc chựng minh
Gi£ sû to¡n tû S d¤ng (1.1) câ nghàch £o bà ch°n Khi â, ¯ng thùc (1.7) l cỡ sð º ta nghiản cựu v xƠy dỹng toĂn tỷ nghàch Êo cừa S Vợi T = S −1 ta câ
Q(x, t)f(t)dt. ành lỵ 1.3 Náu toĂn tỷ T bà ch°n trong L 2 (0, w) v thọa mÂn
2 ds (1.9) liản tửc tuyằt ối theo t v
Chựng minh Do T bà ch°n nản theo ành lỵ 1.1 tỗn tÔi F (x, t) thuởc L 2 (0, w) sao cho toĂn tỷ T ữủc biºn diạn dữợi dÔng
Theo Hằ quÊ 1.1, h m số F (x, t) cõ thº ữủc chồn sao cho
F (x, s)ds liản tửc theo x nản ta cõ thº ành nghắa F 1 (x, t) bði
Tứ (1.11), (1.12) ta suy ra toĂn tỷ T 1 ữủc xĂc ành bði
Theo (1.8), ta câ ¯ng thùc sau
Tứ (1.13), (1.16) ta cõ ¯ng thực w
Sỷ dửng ph²p ời bián ξ = x + t, η = x − t trong (1.19), (1.20) ta thu ữủc
Sỷ dửng cổng thực Ôo h m cừa h m hủp ta ữủc
Hỡn nỳa tứ (1.20) suy ra,
2 ds. ữa vã bián x v t , ta ữủc
Kát hủp (1.11), (1.23), (1.24) ta chựng minh ữủc ành lỵ
Ta ành nghắa toĂn tỷ
Bờ ã 1.1 Ta cõ biºu diạn
Chựng minh Vợi mội h m g(x) khÊ vi thọa mÂn g(0) = g(w) = 0, v f ∈ L 2 (0, w), ta câ hSf, gi = w
−x s(v).g(v + t)dv. °t v + x = t, ta viát lÔi biºu thực dữợi dÔng
Theo ành nghắa toĂn tỷ S, U ta cõ
Vẳ vêy, (1.26) úng vợi mồi h m g khÊ vi v thọa mÂn g(0) = g(w) = 0 Do S bà ch°n nản U SU = S ∗ úng vợi mồi h m g thuởc L 2 (0, w)
Bờ ã 1.2 Cho cĂc h m số N 1 v N 2 trong L 2 (0, w) thọa mÂn
S(1 − N 1 (x)) = N (w − x) (1.30) Theo (1.26), (1.27) v (1.30) ta cõ vợi M 1 (x) = N 2 (w−x)v M 2 (x) = 1−N 1 (w − x) thẳ
S ∗ M 2 (x) = U SU(1 − N 1 (w − x)) = U S(1 − N 1 (x)) = U (N (w − x)) = N (x). Theo ành lỵ 1.3, toĂn tỷ T ữủc xĂc ành náu T cõ dÔng (1.8) v Q(x, t) =
N 1 (x)M 1 (t) + N 2 (x)M 2 (t) là công thức cơ bản trong bài toán này Kết quả sẽ được trình bày trong hình 1.2 và hình 1.4 Để giải bài toán, ta cần xác định S là một toán tử tỷ trong không gian L 2 (0, w), với điều kiện (1.1) Giải sỹ S sẽ có nghĩa là xác định T = S −1 Khi T được xác định, ta sẽ áp dụng các phương trình (1.9) và (1.10) để hoàn thiện bài toán.
Q(x, t) = N 2 (w − t)N 1 (x) + (1 − N 1 (w − t))N 2 (x) (1.31) Tiáp theo, ta s³ chựng minh ành lỵ ngữủc cừa ành lỵ 1.2 ành lỵ 1.5 Cho toĂn tỷ S bà ch°n trong L 2 (0, w) thọa mÂn
(M (x) + N (t))f(t)dt, (1.32) vợi M(x) v N (x) trong L 2 (0, w) Khi õ, S l mởt toĂn tỷ vợi nhƠn dÔng hiằu v M (x) = s(x), N (x) = −s(−x)
Chựng minh Ta viát lÔi (1.32) dữợi dÔng sau
M (w − x) + N (w − t) f (t)dt, vợi S 1 = U SU; A ∗ = U AU Thêt vêy,
[M (w − x) + N (w − s)]f (s)ds. p dửng ành lỵ 1.3, ta ữủc
N (w − s)ds náu x < t (1.34) Thay (1.34) v o vá phÊi cừa (1.33) ta ữủc
Tứ (1.35), (1.36) ành lỵ ữủc chựng minh.
Sỹ tỗn tÔi v cĐu trúc cừa toĂn tỷ nghàch Êo
Cho S l toĂn tỷ dÔng (1.1) v R S l têp Ênh cừa toĂn tỷ S , tực l ,
Bờ ã 1.3 GiÊ sỷ 1 v M (x) thuởc R s Khi õ, R s trũ mêt trong L 2 (0, w)
Chựng minh Ta s³ chựng minh {1, x, x 2 , } l têp con cừa R S, tực l , vợi mồi m ≥ 1, tỗn tÔi h m L m sao cho SL m = x m−1 Theo giÊi thiát 1 ∈ R S nản tỗn tÔi
L 1 sao cho L 1 = 1 GiÊ sỷ tỗn tÔi L m sao cho
0 x m−1 dx = i x m m Thay v o ¯ng thực trản ta ữủc i x m m = SA ∗ L m + i w
Do 1 v M thuởc R s nản tỗn tÔi h m số N 1 v N 2 sao cho SN 1 = M v SN 2 = 1. Khi õ, ta cõ thº viát lÔi biºu thực trản dữợi dÔng i x m m = S
Chựng tọ x m ∈ R S v S(L m+1 ) = x m vợi L m+1 ữủc xĂc ành bði cổng thực
Bờ ã ữủc chựng minh ành lỵ 1.6 (iãu kiằn tỗn tÔi cừa toĂn tỷ nghàch Êo) GiÊ sỷ 1 v M (x) thuởc
R s v toĂn tỷ T ữủc xĂc ành bði (1.9), (1.10) v (1.31) bà ch°n Khi õ, S khÊ nghàch v T = S −1
Chựng minh Ta viát lÔi (1.38) dữợi dÔng
0 t m−1 (1 − N 1 (w − t))dt = hSL m , M 2 i nản ¯ng thực trản ữủc viát dữợi dÔng
L m (x) = T x m−1 , m = 1, 2, (1.40) Theo ành lþ 1.3, ta câ
Thay f = x m−1 trong (1.41) v tứ (1.31), (1.40) ta cõ
(1.42) p dửng ành lỵ 1.3 ta tẳm ữủc
Tứ (1.37), (1.42) v (1.43) ta suy ra L m = L m Khi õ
U ST U = U IU ⇔ S ∗ U T U = I ⇔ U T ∗ U S = I (1.45) Theo (1.44), (1.45) ta suy ra to¡n tû S kh£ nghàch, T = S −1 v T = U T ∗ U ành lþ 1.7 (C§u tróc cõa to¡n tû nghàch £o) Gi£ sû to¡n tû T bà ch°n trong
L 2 (0, w) v toĂn tỷ nghàch Êo S cụng bà ch°n Khi õ, S l toĂn tỷ vợi nhƠn dÔng hiằu khi v ch¿ khi T ữủc xĂc ành bði (1.9), (1.10) v , (1.31) vợi N 1 , N 2 thuởc L 2 (0, w)
Chùng minh. iãu kiằn cƯn ành lỵ ữủc chựng minh ð mửc trữợc. iãu kiằn ừ Theo ành nghắa tẵch vổ hữợng, ta cõ hf, T ∗ 1i = hT f, 1i = w
(AS − SA ∗ )f = ihSf, U (N 2 )SN 1 + hSf, U (1 − N 1 )iSN 2 i.
Do vêy, theo (1.43) v (1.46) ta suy ra
(M (x) + N (t))f(t)dt, (1.46) trong â M (x) = SN 1 ; N(x) = S ∗ (1 − N 1 (w − x)) Theo ành lþ 1.5, S câ d¤ng (1.1) vợi s(x) ữủc xĂc ành bði M (x) = s(x); N(x) = −s(−x) ành lỵ ữủc chùng minh.
Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi °c biằt
Trong Mửc 1.1, chúng ta  xƠy dỹng toĂn tỷ T = S −1 tứ h m số N 1 (x)v
N 2 (x) Trong mửc n y, ta sỷ dửng kát quÊ õ º giÊi phữỡng trẳnh
Sf = e iλx (1.47) ành lỵ 1.8 Cho S l toĂn tỷ bà ch°n vợi nhƠn dÔng (1.1) v cĂc h m số
Chựng minh Tứ (1.38), ta thĐy tỗn tÔi hơng số C sao cho
Tứ (1.53) ta thĐy vá phÊi cừa (1.54) hởi tử khi |λ| < C −1 Do S bà ch°n nản SB(x, λ) =
Khi õ kát hủp vợi L 1 (x) = N 2 (x) ta thu ữủc
Do u(x, λ) giÊi tẵch theo λ nản phữỡng trẳnh trản cõ nghiằm duy nhĐt l
Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp trong L p (0, w )
Tẵnh chĐt toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp trong L p (0, w)
X²t toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng hiằu trong L p (0, w) ành lỵ 2.1 Cho S l mởt toĂn tỷ bà ch°n trong L p (0, w) vợi (p ≥ 1) Khi õ, toĂn tỷ S ữủc biºu diạn dữợi dÔng
0 s(x, t)f (t)dt, vợi s(x, t) thuởc L q (0, w) vợi 1 p + 1 q = 1, vợi mội x cố ành.
Ta x²t to¡n tû trong L p (0, w) câ d¤ng
Tữỡng tỹ trong khổng gian L 2 (0, w), ta ành nghắa trong khổng gian L p (0, w) cĂc to¡n tû sau
Khi 1 ≤ p < 2 thẳ A v A ∗ khổng l toĂn tỷ liản hủp cừa nhau.
Cho f ∈ L p (0, w) v g ∈ L q (0, w) , khi õ, tẵch vổ hữợng cừa f v g ữủc ành nghắa nhữ sau hf, gi = w
0 f (x)g(x)dx. ành lþ 2.2 Cho S l to¡n tû bà ch°n trong L p (0, w), 1 ≤ p ≤ 2 câ d¤ng (2.1). Khi õ, toĂn tỷ S bà ch°n trong mồi khổng gian L r (0, w) vợi p ≤ r ≤ q v
Chựng minh Cho f ∈ L p (0, w), g ∈ L q (0, w) ToĂn tỷ liản hủp cừa toĂn tỷ S ữủc kẵ hiằu l S ∗ v ữủc xĂc ành bði ¯ng thực sau hSf, gi = hf, S ∗ gi.
Tứ (2.2) v (2.3) ta thu ữủc ||S|| p = ||S|| q º tẳm toĂn tỷ nghàch Êo cừa toĂn tỷ S ta s³ tẳm cĂc h m số N 1 (x), N 2 (x) thọa mÂn
SN 1 (x) = M (x), SN 2 (x) = 1, vợi 1 l h m hơng bơng 1 v M (x) = s(x), 0 ≤ x ≤ w Khi õ, toĂn tỷ nghàch Êo
T = S −1 s³ ữủc biºu diạn theo N 1 (x), N 2 (x) ành lỵ 2.3 GiÊ sỷ cĂc h m số N 1 (x) v N 2 (x) l cĂc h m liản tửc Khi õ toĂn tỷ T ữủc xĂc ành bði (1.8)- (1.10) v ữủc biºu diạn dữợi dÔng
Hỡn nỳa, tỗn tÔi h m số h(x) thuởc L(−w, w) sao cho
Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp
Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi °c biằt
Mằnh ã 2.1 Cho S l toĂn tỷ bà ch°n trong khổng gian L p (0, w) cõ dÔng (2.1) Khi õ, ¯ng thực (1.7) luôn úng vợi M (x) = s(x), N (x) = −s(−x) ¯ng thực (1.38) úng vợi L m ữủc cho bði (1.37) Khi õ, toĂn tỷ S bà ch°n trong khổng gian L r (0, w) (p ≤ r ≤ q) v toĂn tỷ S ∗ trong khổng gian L r ˜ (0, w) (˜ r = r r − 1) ữủc cho bði cổng thực.
S ∗ = U SU, U f = f (w − x) (2.9) Mằnh ã n y ữủc chựng minh tữỡng tỹ Bờ ã 1.1 ð Chữỡng 1.
Bờ ã 2.1 Náu f thuởc L p (0, w) v Sf thuởc L q (0, w) thẳ hSf, U fi = hf, S ∗ U f i (2.10)
Chứng minh cho thấy rằng nếu \( f \) thuộc \( L^q(0, w) \) thì \( S^*U f \) cũng thuộc \( L^q(0, w) \) Do đó, hai vế trong (2.10) có nghĩa tương đương Đẳng thức (2.10) thu được từ tính chất sau: \( hU f_2, U f_1 \) với \( f_1 \in L^q(0, w) \) và \( f_2 \in L^p(0, w) \) Định lý 2.4 chỉ ra rằng để tồn tại \( S \) cần có dạng (2.1) và chọn trong \( L^p(0, w) \) với \( 1 \leq p \leq 2 \) và tồn tại các hàm số \( N_1(x) \) và \( N_2(x) \) thuộc \( L^p(0, w) \) thỏa mãn \( SN_1 = M \) và \( SN_2 = 1 \).
SB γ (x, λ) = e ixλ , λ 6= −1 iγ , (2.12) trong â γ = hSN 1 , U N 2 i − hN 1 , S ∗ U N 2 i; B γ (x, λ) =
B(x, λ) (2.13) vợi B(x, λ) thuởc L p (0, w) v ữủc xĂc ành bði (1.50) - (1.52).
Chựng minh Theo Mằnh ã 2.1, ¯ng thực (1.7) v cổng thực (1.38) văn úng trong trữớng hủp S thuởc L p (0, w) Do N (x) thuởc L q (0, w) v (1.38) nản tỗn tÔi hơng số C sao cho
Ta kẵ hiằu ||f || p l chuân cừa f trong khổng gian L p (0, w) Theo (2.14), chuội
(iλ) m m! hởi tử vợi |λ| < c −1 Vêy SB γ (x, λ) = e iλx , |λ| < c −1 Theo Bờ ã (1.3), ta cõ
Ta viát lÔi a γ (λ) v a(λ) dữợi dÔng a γ (λ) = iλhB γ (x, λ), S ∗ U N 2 i, a(λ) = iλhSB γ (x, λ), U N 2 i (2.19)
Tứ (2.15) - (2.17) ta ữủc a(λ) = a γ (λ)(1 + iλγ) (2.20) vợi γ xĂc ành bði (2.13).
Ta viát lÔi b γ (λ) v b(λ) dữợi dÔng b γ (λ) = 1 + iλhB γ , S ∗ U(1 − N 1 )i, b(λ) = 1 + iλhSB γ (x, λ), U (1 − N 2 )i (2.21)
Do B(x, λ) v e iλx giÊi tẵch theo λ nản ành lỵ ữủc chựng minh.
Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi trong khổng gian
Chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán liên quan đến hàm số N1(x) và N2(x) trong khoảng (0, w), với điều kiện SN1 = M và SN2 = 1 Mục tiêu là tìm nghiệm cho phương trình (2.1) với hàm φ(x) = e^(iλx) Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng các kết quả để giải phương trình (2.1) trong trường hợp hợp và đảm bảo rằng hàm số φ(x) thuộc không gian Wp2.
Ta ành nghắa h m số sau r(x, t) = N 2 (w − t)N 1 (x) − N 1 (w − t)N 2 (x).
= −r(x, t), Vợi f(x) l h m số bĐt ký thuởc L q (−w, w) °t
Ta ành nghắa toĂn tỷ T trong W p 2 bði
Ta thĐy T l mởt Ănh xÔ tứ W p 2 v o L p (0, w) Theo (1.50) - (1.52) ta thu ữủc
Náu γ = 0 thẳ tứ (2.12) ta suy ra
Sỷ dửng mối liản hằ (2.25) cho thấy sự liên kết giữa các yếu tố trong hệ thống Ảnh hưởng của các điều kiện tại 2.4 được kiểm tra với γ = 0, cho thấy sự thỏa mãn của các yếu tố này Khi điều này xảy ra, toán tỷ T tại (2.23) thể hiện rõ nghĩa bði (2.23) và liên quan đến nghành Êo phÊi cừa S, tạo nên một mối quan hệ chặt chẽ giữa các thành phần.
Do vêy, vợi γ = 0 v ϕ thuởc W p 2 thẳ h m số f (x) = T ϕ l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1).
Ta x²t trữớng hủp γ = hSN 1 , U N 2 i − hN 1 , S ∗ U N 2 i 6= 0.
S(B(x, λ)) = (iλγ + 1)e ixλ Khi λ tián tợi λ 0 , do S liản tửc v B l h m giÊi tẵch theo λ nản
SB(x, λ 0 ) = lim λ→λ SB(x, λ) = lim λ→λ (iλγ + 1)e ixλ = 0.
Ta viát lÔi (2.12) nhữ sau
Tứ ta thĐy T l Ănh xÔ tứ W p 1 v o L p (0, w) v ữủc viát dữợi dÔng
Tứ (2.28) v (2.30), ta ch¿ ra rơng
Do vêy, ta cõ ành lỵ sau Ơy Ảnh lỵ 2.6 chỉ ra các điều kiện của ảnh lỵ 2.4 là thỏa mãn với γ khác 0 Khi tính toán tỷ lệ T γ ữủc ảnh nghĩa bði (2.31), l mởt nghạch Êo phÊi của S sẽ được xác định.
ST γ ϕ = ϕ, ϕ(x) ∈ W p 1 (2.32) ành lỵ 2.5 v 2.6 cho ta phữỡng phĂp º tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) º mổ tÊ têp nghiằm v tẵnh duy nhĐt cừa nõ, ta s³ x²t phữỡng trẳnh thu¦n nh§t
Ta có hiểu biết về chiều H của tập nghiệm cừa Sf = 0 thuộc Lp(0, w) Nếu dim H S > 1 thì ta cần xem xét các điều kiện sau đây Cho S là toán tử tỷ vợi nhân dân hiằu và chọn trong Lp(0, w) với 1 ≤ p ≤ 2 và 1 < dim H S = n < ∞ Khi đó, chiều H S có cỡ sđ là fk (0 ≤ k ≤ n − 1) thoả mãn fk+1 = A * fk, 0 ≤ k ≤ n − 2, trong đó Af = iR x.
Chựng minh Do A ∗ khổng cõ khổng gian hỳu hÔn chiãu bĐt bián nản A ∗ H S 6= H S Theo (1.7) ta câ
Khi õ, vợi mồi f thuởc H S ta cõ Sf = 0 nản
Náu dim SA ∗ H S = 2 thẳ tỗn tÔi h m số N 1 v N 2 liản tửc Khi õ, S khÊ nghàch nản H S = 0 (vổ lỵ do dim H S > 1) Vêy dim SA ∗ H S = 1. °t H S 1 = A ∗ H S ∩H S Vẳ dim SA ∗ H S ≤ 1nản dim(A ∗ H S −∩H S ) ≥ dim A ∗ H S −
1 = dim H S − 1 = n − 1hay dim H S 1 = n − 1 Tữỡng tỹ trản ta cõ A ∗ H S 1 6= H S 1 ⊂ H S v dim S(A ∗ H S 1 ) ≤ dim S(A ∗ H S ) ≤ 1.
T÷ìng tü ta °t H S 2 = A ∗ H S 1 ∩H S Khi â, dim(A ∗ H S 1 ∩H S ) ≤ dim A ∗ H S 1 −1 = n − 2 Ta dạ d ng thĐy ữủc H S 2 ⊂ H S 1
Cự l°p lÔi tữỡng tữ nhữ vêy vợi viằc °t H S ∗ = AH S k−1 ∩ H S (2 ≤ k ≤ n − 1) v H S ⊃ H S 1 ⊃ ã ã ã ⊃ H S n−1 , dim H S k = n − k Khi õ, tỗn tÔi h m số f 0 ∈ H S thọa m¢n f k = A ∗k f 0 ∈ H S k (1 ≤ k ≤ n − 1, ||f 0 || p 6= 0).
Vẳ vêy, f k (0 ≤ k ≤ n − 1)l mởt cỡ sð cừa H S v thọa mÂn f k+1 = A ∗ f k (0 ≤ k).
Vẵ dử Ăp dửng
Trong mửc n y chúng ta s³ Ăp dửng lỵ thuyát trản º giÊi phữỡng trẳnh sau
Ta s³ ch¿ ra h m số L 1 (x), L 2 (x) tữỡng ựng vợi phữỡng trẳnh (2.34) cõ dÔng
Ta cụng cõ thº viát (2.40) dữợi dÔng sin πρ = 1 − β
0 < à − ρ < 1 (2.42) ành lỵ 2.8 Cho toĂn tỷ S α ữủc xĂc ành bði (2.34), (2.35) v cĂc h m số
L 1 (x), L 2 (x) ữủc ành nghắa bði (2.36) - (2.40) Khi õ, ta cõ
Chựng minh Ta chựng minh (2.43) vợi k = 1 ời bián x = wu, t = ws v viát lÔi (2.43) dữợi dÔng
|wu − ws| α−1 D(ws) −ρ (w − ws) ρ−à ds
°t s = zu ð tẵch phƠn thự nhĐt v s = 1 − (1 − u)z ð tẵch phƠn thự hai, ta câ
(1 − tz) a dt (2.44) trpng õ Γ l h m gamma Khi õ, ta ữủc
Tứ cổng thực (2.47) v Γ(x + 1) = xΓ(x) ta cõ
Theo tẵnh chĐt cừa h m gamma Γ(z)Γ(1 − z) = π sin πz (2.49) v (2.41), ta câ Γ(1 − ρ)(1 − β) Γ(à − ρ) = Γ(1 + ρ − à)(1 + β) Γ(ρ) (2.50)
0 t à−ρ−1 (1 − t) ρ−1 dt = Γ(à − ρ)Γ(ρ) Γ(à) (2.53) ta câ ¯ng thùc sau
Ta chựng minh (2.43) vợi k = 2 Ta x²t
Z x t 1−ρ (w−t) ρ−à (t−x) à−1 dt(1+β)) ời bián x = wu, t = wuz ð tẵch phƠn thự nhĐt v x = wu, t = w[1 − (1 − u)z] ð tẵch phƠn thự hai ta ữủc
Ta ành nghắa hằ thực Gauss nhữ sau
Ta viát lÔi (2.57) nhữ sau
Ta sỷ dửng kẵ hiằu φ(ρ, à, u) l biºu thực trong ngo°c vuổng trong (2.59). p dửng (2.46) v (2.47) ta viát lÔi φ(ρ, à, u) nhữ sau φ(ρ, à, u) =
Dx −ρ (w − x) ρ−à dx = Dw 1−à Γ(1 − ρ)Γ(1 + ρ − à) Γ(2 − à) Theo (2.36), (2.37) ta câ
Tứ õ, ta xƠy dỹng dữợi dÔng toĂn tỷ T α (lữu ỵ N 2 (x) = L 1 (x)) Vêy
Chú ỵ: Ta ch¿ tẳm ữủc cĂc h m số L 1 v L 2 cừa phữỡng trẳnh (2.34) vợi iãu kiằn 1 < α < 2.
Luên vôn  trẳnh b y nhỳng vĐn ã sau vã phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp:
• XƠy dỹng toĂn tỷ nghàch Êo cừa toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp trong L 2 (0, w)
• Tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp trong L p (0, w)
• GiÊi phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp trong W p 2 (0, w).