(LUẬN văn THẠC sĩ) tích phân ngẫu nhiên đối với martingale

Không gian L p và tính đo được

Trong không gian đo được (S, Σ), với S là tập hợp không rỗng và Σ là σ-trường các tập con của S, một hàm X: S → R^d được gọi là Σ-đo được nếu nghịch ảnh X^(-1)(A) thuộc Σ cho mọi tập Borel A trong R^d Định nghĩa này cũng áp dụng tương tự cho các hàm khác.

R = [−∞,∞] Ta sử dụng 00 X ∈ Σ 00 có nghĩa là " X là Σ- đo được " và 00 X ∈ bΣ 00 có nghĩa ” X bị chặn và Σ đo được ".

Nếu Γ là một họ con của Σ, một hàm X : S → R d gọi là Γ- đơn giản nếu

Một hàm được định nghĩa dưới dạng X = Pn k=1ck1Λ k, trong đó ck là hằng số trong R d, tập hợp Λk thuộc Γ, và n là số tự nhiên Hàm này được gọi là hàm Σ-đo được Ngược lại, bất kỳ hàm nào là Σ-đo được đều có thể được biểu diễn như một giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm Σ-đơn giản.

Ví dụ : Một hàm Σ-đo được X : S → R là giới hạn theo từng điểm của một dãy {X n } của hàm Σ-đơn giản xác định bởi:

2 n 1 {k2 −n 6 X 0, giới hạn khi n tiến tới vô cùng của P[|Xn − X| > ε] tiến tới 0 Định nghĩa 1.4.2 cho biết rằng dãy biến ngẫu nhiên Xn hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại một tập A có xác suất không bằng 0.

Xn(ω) →X(ω) với ω /∈ A Định nghĩa 1.4.3 Dãy biến ngẫu nhiên Xn được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu

Mệnh đề 1.4.4 khẳng định rằng, với p ∈ [1,∞) và dãy biến ngẫu nhiên {X n } thuộc L p hội tụ theo xác suất hoặc hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X, thì ba phát biểu sau đây là tương đương.

(ii) {|X n | p } là khả tích đều

Quá trình ngẫu nhiên

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.5.1 Quá trình (X t ) t≥0 được cho là đo được nếu ánh xạ (R + ×Ω,B + ⊗F) −→ (R) :(t,ω ) −→ X t (ω) là đo được trên (R + ×Ω) đối với σ- trường B(R + )⊗F

Liên kết với một quá trình là một lọc , một chuỗi tăng của σ - đại số ,nghĩa là.

Nếu (Xt) t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên,thì lọc tự nhiên của (Xt) t≥0 được cho bởi

Quá trình (Xt) t≥0 được cho là (F t ) t≥0 thích nghi, nếu Xt là F t đo được đối với mỗi t ≥ 0.

Quá trình (Xt)t≥0 thích nghi với lọc tự nhiên, với định nghĩa rằng một quá trình được đo dần dần nếu cho mỗi t trong khoảng [0, t], quá trình này là đo được đối với B[0,t]⊗Ft, trong đó B[0,t] là σ-đại số Borel của các tập con của [0, t] Ngoài ra, một quá trình (Xt)t≥0 được coi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số K sao cho với mọi ω và t≥0, |Xt(ω)| < K Cuối cùng, hai quá trình ngẫu nhiên (Xt)t≥0 và X’=(Xt0)t≥0 có cùng phân bố hữu hạn chiều nếu với mọi n, các thời điểm t1, t2, , tn và các tập A1, A2, , An thuộc E đều thỏa mãn điều kiện tương ứng.

Quá trình ngẫu nhiên d chiều X là một hàm X: I × Ω → R d, trong đó I đại diện cho khoảng thời gian trong R + Đối với mỗi t ∈ I, X(t, ) là một biến đo được theo F Khi chiều không quan trọng, nó có thể được hiểu là xác định.

Quá trình X được coi là đo được nếu nó thỏa mãn điều kiện X là B×F-đo được Giá trị ban đầu của X được xác định khi 0 ∈ I và X(0, ) = x hầu chắc chắn Quá trình này có thể được biểu diễn dưới dạng {X t , t ∈ I} hoặc đơn giản là {X t } khi I = R + Biến ngẫu nhiên vectơ X(t, ) cũng có thể được ký hiệu là X(t) hay X t Nếu có một họ tăng {F t , t ∈ I} của σ-trường trên Ω, thì quá trình X được gọi là thích nghi với họ này nếu X t ∈ F t với mọi t ∈ I Cuối cùng, quá trình X được xem là liên tục (phải/trái) nếu hàm t→ X(t, ω) là liên tục (phải/trái) trên I với mỗi ω ∈ Ω, mặc dù tính liên tục tại điểm cuối bên phải (trái) của I có thể không được xác định.

Hai tập hợp của biến ngẫu nhiên (hoặc vectơ) X = {X α , α ∈ Γ} và

Y = {Y α , α ∈ Γ} là tập hợp các bản sao khác nhau, với điều kiện P(X α = Y α ) = 1 cho mọi α ∈ Γ X và Y được coi là không phân biệt nếu P(Xα = Yα với mọi α ∈ Γ ) = 1 Hai tập hợp bản sao khác nhau không cần phải phân biệt rõ ràng Tuy nhiên, nếu X và Y là bản sao khác nhau và Γ là đếm được hoặc nếu X và Y là quá trình liên tục, chúng sẽ không phân biệt được Trong thực tiễn, các quá trình không phân biệt được thường được xem là giống nhau Trong trường hợp cá biệt, nếu định nghĩa của quá trình liên tục chỉ yêu cầu rằng hầu hết mọi quỹ đạo liên tục, một quá trình sẽ không phân biệt được từ một với tất cả quỹ đạo liên tục Thường thì, chúng ta chứng minh rằng trên phần bù của một P - tập hợp có độ đo không tồn tại bản sao liên tục của một quá trình đã cho Định nghĩa bản sao trên tập hợp có độ đo không để làm cho nó liên tục trên tất cả Ω là điều tầm thường Do đó, một bản sao là duy nhất về tính không thể phân biệt được Nếu thay thế liên tục bằng liên tục phải, điều chỉnh cũng sẽ tương tự Từ bây giờ, quá trình được hiểu là một quá trình một chiều với I = R +, trừ trường hợp quy định.

Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng

Một quá trình N = {N t , t ∈ R + } là một quá trình Poisson với tham số α > 0 nếu nó có những tính chất sau đây:

(ii) với 0 6 s < t < ∞, N t − N s là một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình là α(t−s) có nghĩa là N t −N s lấy giá trị trong N 0 sao cho

{N t 0 ;N t k −N t k−1 , k = 1, , l} là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập

Mọi quá trình Poisson đều có bản sao với quỹ đạo liên tục phải, và chúng ta sẽ chỉ sử dụng bản sao này Quá trình Poisson có quỹ đạo hầu như là các hằng số, ngoại trừ tại các bước nhảy, mà mỗi bước nhảy có độ lớn bằng 1 Số lượng các bước nhảy này là hữu hạn trong mỗi khoảng thời gian bị chặn, nhưng sẽ trở thành vô hạn trong khoảng [0;∞) Thời gian giữa các bước nhảy liên tiếp được mô tả bằng các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối mũ với tham số α Cụ thể, nếu T_n là thời gian giữa bước nhảy thứ n và (n+1) thì xác suất P(T_n > t) = e^(-αt) cho mọi t Đối với một quá trình Poisson N, tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn {F_t} được xác định bởi F_t = σ{N_s, 0 ≤ s ≤ t} với t ∈ R+.

P - không của F trong F t ta có F t = F t+

Một quá trình B = {B t , t ∈ R + } đươc gọi là một chuyển động Brown trong R nếu nó có tính chất sau đây:

(i) với 0 6s < t < ∞, B t −B s là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình không và phương sai t−s ;

{B t 0 ;B t k −B t k−1 , k = 1, , l} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập.

(iii) B là quá trình liên tục,tức là hầu hết các quỹ đạo của B là hàm liên tục

Một chuyển động Brown trong R d là một bộ d- quá trình một chiều

Trong đó mỗi B i = {B t i , t ∈ R + }, i = 1,2, , d là một chuyển động Brown trong R và các B i là độc lập với nhau

Ta sẽ ki hiệu P x và E x là xác suất và kỳ vọng của một chuyển độngBrown B sao cho B 0 = x hầu chắc chắn

Từ tính chất (i), chúng ta có thể kết luận rằng mỗi thành phần độc lập của quá trình B phân phối của B t - B s chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian t - s Tính chất này được gọi là tính thuần nhất theo thời gian hay tính dừng Hơn nữa, nếu B 0 = x với xác suất cao, thì xác suất chuyển tiếp sẽ được xác định.

A exp(−|x−y| 2 /2t)dy với mọi t > 0 ,x ∈ R d và tập Borel A trong R d Do đó

Tính chất (ii) ở trên gọi là tính chất có số gia độc lập Tính chất này vẫn đúng cho chuyển động Brown d-chiều.

Mọi chuyển Brown đều có một bản sao liên tục Ta sẽ sử dụng bản sao này Chuyển động Brown có lọc tự nhiên xác định bởi:

Một trong những tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh Tính chất này chỉ ra rằng, khi đã biết diễn biến của chuyển động Brown B đến một thời điểm dừng hữu hạn τ, thì hành vi của B sau thời điểm đó chỉ phụ thuộc vào τ và trạng thái B τ tại thời điểm τ Cụ thể, nếu f : R d → R là một hàm đo được Borel và τ là một thời điểm dừng, thì các yếu tố này sẽ xác định hoàn toàn diễn biến tiếp theo của chuyển động.

Nếu A là tập Borel bất kỳ trong R d thì τ A ≡ inf{t > 0 : B t ∈/ A} là một thời điểm dừng.

Thời điểm dừng

Hàm F-đo τ : Ω → R¯ + được xem là thời điểm dừng thích nghi với bộ lọc {F t } nếu điều kiện {τ 6 t} thuộc F t với mọi t ∈ R + được thỏa mãn Trong trường hợp {F t } là một lọc tiêu chuẩn với F t = F t+ , điều kiện này tương đương với việc {τ < t} thuộc F t cho mọi t.

Kết hợp với một thời điểm dừng τ là σ-trường F τ Điều này bao gồm tất cả tập A trong F ∞ ≡ ∨ t∈ R + F t , thỏa mãn

A∩ {τ 6 t} ∈ F t với mọi t ∈ R + Định lý 1.6.1 τ là một thời điểm dừng đối với F t+ nếu và chỉ nếu với mọi t∈ R + ,biến cố {τ < t} là F t -đo được

Chứng minh Cho τ là một F t+ thời điểm dừng thì với mọi t ∈ R + biến cố {τ < t} là F t -đo được.

∈ F (t−1/n)+ ∈ F t Để chứng minh chiều ngược lại nếu t∈ [0,∞) ta có {τ < t} ∈ F t thì với mỗi t τ < t+ 1 n

∈ F (t+1/n) như một hệ quả mà

Kỳ vọng có điều kiện và tính chất

Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện

Trong không gian xác suất (Ω,F, P), với A ∈ F và P(A) > 0, ta định nghĩa Q(B) = P(B|A) = P(AB) / P(A) cho mọi B ∈ F Q(B) trở thành một độ đo xác suất trên (Ω,F) Đối với một biến ngẫu nhiên X, kỳ vọng có điều kiện của X đối với A được xác định dựa trên định nghĩa này.

Trong không gian xác suất (Ω,F, P), với G là σ-đại số con của F và X là biến ngẫu nhiên khả tích, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G được định nghĩa là biến ngẫu nhiên M, thỏa mãn các điều kiện nhất định.

(ii) M thỏa mãn đẳng thức

M được ký hiệu là E(X|G), với (Ω,F,P) là không gian xác suất Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, nếu với xác suất có min{E(X + |G), E(X − |G)} < ∞, thì X được coi là có kỳ vọng có điều kiện đối với σ-trường G.

E(X|G) = E(X + |G)−E(X − |G) là kỳ vọng có điêu kiện của X đối với G

Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Kỳ vọng có điều kiện sở hữu những tính chất cơ bản quan trọng, trong đó các đẳng thức và bất đẳng thức được hiểu là đúng với xác suất cao Những tính chất này giúp xác định mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên và hỗ trợ trong việc phân tích dữ liệu.

1.Nếu C là hằng số thì E(C|G) = C

3.Nếu a, b là các hằng số thì E(aX +bY|G) = aE(X|G) +bE(Y|G) 4.|E(X|G)| 6 E(|X||G)

5 Nếu X và G độc lập thì E(X|G) =EX

8.Nếu Y là G - đo được và E|Y| < ∞, E|XY| < ∞ thì

9 Nếu G 0 = {∅,Ω}(σ- trường tầm thường) thì

Martingale

Định nghĩa 1.8.1 Cho X = {X t ,F t , t ≥ 0} là một quá trình khả tích thì X là một

(i) Martingale nếu E(X t |F s ) = X s hầu chắc chắn với mọi 06s6t < ∞

(ii) Martingale trên nếu E(Xt|F s ) 6 Xs hầu chắc chắn với mọi 06s6t

(iii) Martingale dưới nếu E(X t |F s ) >X s hầu chắc chắn với mọi 06s6t

< ∞ Định nghĩa 1.8.2 Một martingale X = {X t ,F t , t ≥ 0} được cho là mộtL 2 -martingale hay martingale bình phương khả tích nếuE(X t 2 ) < ∞ với mọi t≥ 0 Định nghĩa 1.8.3 Một quá trình X = {X t ,F t , t ≥ 0} được cho là một

L p bị chặn nếu (sup t ) t≥0 E(|X t | p ) < ∞ Định nghĩa 1.8.4 Một quá trình X = {X t ,F t , t ≥0} được cho là khả tích đều nếu và chỉ nếu (sup t ) t≥0 E(|X t |1 |X t | > N ) −→ 0 khi N → ∞.

Với p ∈ [1,∞), một quá trình M được gọi là L p - martingale nếu nó là martingale và M t thuộc L p cho mọi t Nếu sup t∈ R + E(|M t | p ) < ∞, thì M được xem là L p - bị chặn Tính chất martingale được bảo toàn bởi L p - giới hạn khi F 0 là hoàn toàn đầy đủ.

Mệnh đề 1.8.5 Giả sử {X n } hội tụ trong L p tới X ∈ L p đối với p ∈ [1.∞) Thì với bất kỳ σ - trường con G của F,{E(X n |G)} hội tụ trong L p đến E(X|G)

Chứng minh Điều này được chứng minh bởi bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện thoả mãn

Mệnh đề 1.8.6 Cho p ∈ [1,∞) Giả sử {M t n ,F t , t ∈ R + } là một L p

- martingale đối với mỗi n ∈ N, và đối với mỗi t, M t n hội tụ trong L p tới M t khi n → ∞ Nếu F 0 là đầy đủ ,thì {M t ,F t , t ∈ R + } là một L p - martingale

Chứng minh Theo định nghĩa của martingale cố định s < t trong R + Với mọi n

Vế bên trái ở trên hội tụ trong L p tới M s bởi giả thiết và bởi mệnh đề 1.8.5, vế bên phải hội tụ tới E(M t |F s ) trong L p Do đó

M s = E(M t |F s ) là một định nghĩa hầu chắc chắn trong lý thuyết martingale Nếu F 0 là đầy đủ, thì M s thuộc F s, và trong trường hợp này, điều kiện hầu chắc chắn có thể được loại bỏ Định nghĩa này áp dụng cho martingale với tham số liên tục, trong đó t thuộc R + Đôi khi, martingale cũng được đề cập với tham số t bị giới hạn trên một tập con của R +, bao gồm một khoảng thời gian con hoặc một tập hợp rời rạc các điểm.

Nếu M = {M t ,F t , t ∈ R + } là một martingale, thì với mỗi hằng số

Khi T ∈ R +, ta dễ dàng kiểm chứng rằng M T = {M t∧T ,F t , t ∈ R + } là một martingale, từ đó suy ra M t∧T = E(M T |F t ), cho thấy M T là khả tích đều Khi T được thay thế bằng một thời gian bị chặn τ, kết quả tương tự vẫn được bảo toàn, điều này đặc biệt quan trọng đối với martingale có quỹ đạo liên tục phải và lọc tiêu chuẩn Nhiều lý thuyết liên quan đến martingale tham số liên tục yêu cầu những giả thiết này, do đó chúng ta đưa ra định nghĩa sau: Một martingale M = {M t ,F t , t ∈ R + } được gọi là liên tục phải nếu

(i) {F t , t ∈ R + } là một lọc tiêu chuẩn, và

(ii) {M t , t ∈ R + } có tất cả quỹ đạo liên tục phải

Ví dụ 1 Cho N = {N t , t ∈ R + } là một quá trình Poisson với tham sốα > 0và {F t }là một lọc tiêu chuẩn liên đới Thì {N t −αt,F t , t ∈ R + } là một L p - martingale liên tục phải với p ∈ [1,∞)

Ví dụ 2 Cho B = {B t , t ∈ R + } là một chuyển động Brown trong R với

B 0 ∈ L p đối với p ∈ [1,∞) và cho {F t } là lọc tiêu chuẩn liên đới với B. Thì {B t ,F t , t ∈ R + } là một L p - martingale liên tục.Hơn nữa, nếu p >2 thì {B t 2 −t,F t , t ∈ R + } là một L p/2 - martingale liên tục

Nếu M là một martingale và điều kiện (i) được thỏa mãn, thì tồn tại một bản sao liên tục của M theo Định lý 1.8.8 Đối với p ∈ [1,∞) và M là một L p - martingale liên tục, với mỗi t và c > 0, có thể xác định P( sup).

Nếu p > 1, thì với mỗi t, sup 0 6 s 6 t |M s | ∈ L p và

Bất đẳng thức (1.3) được áp dụng cho tham số rời rạc theo định lý 9.4.1 của Chung [3] cho thấy martingale trên |M| p là ước lượng hữu hạn tại nhiều thời điểm, dẫn đến giới hạn các điểm này hội tụ hầu chắc chắn trong [0, t] Tương tự, bất đẳng thức (1.4) cũng được áp dụng theo định lý 9.5.4 của Chung [3] cho martingale dương [M] Bất đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Doob và trong trường hợp tham số rời rạc, nó được thay thế bởi một kết quả phức tạp hơn khi p= 1, được nêu trong Định lý 1.8.9 về hội tụ martingale.

Cho p ∈ [1,∞) và M là một martingale liên tục phải và L p -bị chặn, tồn tại một biến ngẫu nhiên M ∞ ∈ L p sao cho lim t→∞ Mt = M ∞ hầu chắc chắn Ngoài ra, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (i) p=1 và {M t , t ∈ R + } là khả tích đều, thì kết quả trên được khẳng định.

thì {M t ,F t , t ∈ [0,∞]} là một L p -martingale trong đó F ∞ W t∈ R + F t và E(|M ∞ | p )= lim t↑∞ ↑E(|M t | p )

Chứng minh Sự tồn tại của M ∞ ∈ L 1 sao cho lim t→∞ Mt = M ∞ hầu chắc chắn theo bổ đề của Fatou ta có

Nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện (i) hoặc (ii), thì M n hội tụ đến

M ∞ trong L 1 khi n → ∞ Khi đó đối với n > 1, ta có

M t = E(M n |F t ) và bằng cách cho n → ∞ và dùng mệnh đề 1.8.5, ta được

Từ M ∞ = lim t↑∞ M t hầu chắc chắn và F ∞ là hoàn toàn đầy đủ, ta có

M ∞ ∈ F ∞ Như vậy {M t ,F t , t ∈ [0,∞]} là một L p -martingale Do đó {|M t | p ,F t , t ∈ [0,∞]} là một martingale trên ,và do đó limt↑∞ ↑ E(|M t | p ) = sup t∈ R + E(|M t | p ) 6E(|M ∞ | p )

Bằng cách kết hợp với (1.5), ta xác nhận rằng bất đẳng thức cuối cùng là đúng theo Định lý 1.8.10 (Định lý bị chặn Doob) Đối với p ∈ [1,∞) và martingale liên tục M phải L p -bị chặn, nếu p = 1, giả sử M là khả tích đều Giả sử M ∞ ∈ L p với lim t→∞ Mt = M ∞ hầu chắc chắn Nếu Γ ⊂ R + và {τ t , t ∈ Γ} là một họ tăng của thời điểm dừng, thì {M τ t ,F τ t , t ∈ Γ} là một L p -martingale và {|M τ t | p , t ∈ Γ} là khả tích đều.

Chứng minh Theo định lý hội tụ martingale, {M t ,F t , t ∈ [0,∞]}là một

L p-martingale và M t = E(M ∞ |F t ) cho mọi t Đối với hai thời điểm dừng η và σ, Mη và Mσ thuộc L 1, và Mη = E(Mσ|F η ) Khi η = τs và σ = τt với s < t trong Γ, ta áp dụng tính chất martingale cho {M τ t ,F τ t , t ∈ Γ} Ngoài ra, nếu η = τs với t ∈ Γ và σ = ∞, theo bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện, ta có kết quả tương ứng.

Từ điều này mà M τ t ∈ L p với mỗi t ∈ Γ và {|M τ t | p , t ∈ Γ} là khả tích đều

Hệ quả 1.8.11 Cho p ∈ [1,∞) và M là một L p -martingale liên tục phải

(i) Nếu Γ ∈ R + và {τ t , t ∈ Γ} là họ thời điểm dừng tăng sao cho sup t∈Γ τt 6 T với T ∈ R + , thì {M τ t ,F τ t , t ∈ Γ} là một L p -martingale và {|M τ t | p , t ∈ Γ} là khả tích đều

(ii) Nếu τ là một thời điểm dừng, thì {M t∧τ ,F t , t ∈ R + } là một L p - martingale Hơn nữa, nếu τ bị chặn ,thì {|M t∧τ | p , t ∈ R + } là khả tích đều

Chứng minh phần (i) cho thấy rằng từ M t∧T = E(M T |F t ) và M T ∈ L p, ta có {M t∧T ,F t , t ∈ R + } thỏa mãn giả thiết của định lý (1.8.10), dẫn đến kết luận τt ∧T = τt Ở phần (ii), áp dụng kết quả trên với τ t = t ∧ τ trong khoảng t ∈ Γ = [0, T] và T cố định, ta có thể kết luận rằng {M t∧τ ,F t∧τ , t ∈ R + } là một L p -martingale Điều này cho thấy F t∧τ có thể được thay thế bởi F t Nếu τ bị chặn bởi T, thì khả tích đều trên.

[0, T] Định nghĩa 1.8.12 {F t , t ∈ R + }là một lọc tiêu chuẩn và vớip ∈ [1,∞) một tập hợp M = {M t ,F t , t ∈ [0,∞]} được gọi là một L p -martingale địa phương Nếu

(i) M 0 là một biến ngẫu nhiên F 0 -đo được

(ii) Có một dãy {τ k , k ∈ N} của thời điểm dừng sao choτ k ↑ ∞ hầu chắc chắn và với mỗi k ,

Dãy {τ k } được gọi là dãy địa phương hóa đối với M Khi p= 1, ta không cần xác định "L p" Nếu M t = M 0 ∈ F 0 cho mọi t, thì M là martingale địa phương theo định nghĩa này Một ví dụ điển hình là chuyển động Brown trong R với biến ngẫu nhiên ban đầu tùy ý và bộ lọc F t = σ{B s ,0 ≤ s ≤ t} Định nghĩa này được minh họa qua các ví dụ trong đó biến ngẫu nhiên ban đầu M 0 không phụ thuộc vào bất kỳ điều kiện khả tích nào Chúng ta thường bỏ qua bộ lọc {F t } khi ký hiệu cho martingale địa phương.

Một L p - martingale địa phương M = {M t ,F t , t ∈ R + } được gọi là liên tục phải nếu

(i) {F t , t ∈ R + } là một lọc tiêu chuẩn , và

(ii) M có tất cả quỹ đạo liên tục phải

Mệnh đề 1.8.13 Cho p∈ [1,∞) và M là một L p martingale địa phương với một dãy địa phương hóa {τ k } Nếu với mọi t> 0 ta có

{|M t∧τ k | p , k ∈ N} là khả tích đều (1.8) thì M là một L p -martingale Đảo lại thì cũng đúng để chứng minh rằng

Giả sử (1.8) đúng, khi t = 0, ta có |M 0 | ∈ L p, và do đó {M 0 ,F t , t ∈ R + } là một L p -martingale Biểu thức (1.7) bổ sung rằng {M t∧τ k ,F t , t ∈ R + } cũng là một L p -martingale Khi lim k→∞ M t∧τ k = M t hầu chắc chắn và tính khả tích đều (1.8) kéo theo tính hội tụ trong L p theo mệnh đề 1.4.1 Với Mt ∈ F t cho mỗi t, theo mệnh đề 1.8.6, {M t ,F t , t ∈ R + } là một L p -martingale Nếu M là một L p -martingale liên tục, từ hệ quả 1.8.11 (i) suy ra {|M t∧τ k | p , k ∈ N} là khả tích đều với t cố định.

Nếu M là một Lp-martingale liên tục, thì có một lựa chọn tự nhiên cho dãy martingale địa phương tương ứng với M Điều này chứng tỏ rằng M là một Lp-martingale cho mọi p ∈ [1,∞) Dãy martingale địa phương này sẽ được trình bày dưới đây.

Mệnh đề 1.8.14 khẳng định rằng nếu M là một martingale địa phương liên tục và τk được định nghĩa là inf{t > 0 : |M t − M0| > k} cho mỗi k thuộc N, thì với mọi p trong khoảng [1,∞), M sẽ là một L p -martingale địa phương Hơn nữa, τk sẽ tạo thành một dãy địa phương hóa tương ứng với M.

Chứng minh Cho {σ n } là một dãy địa phương hoá đối với M, sao cho {M t∧σ n −M 0 , t ∈ R + } là một martingale liên tục Thì

M t∧τ k ∧σ n −M 0, t ∈ R + là một martingale cho mọi k và n Theo định nghĩa của τ k, nó bị chặn bởi k, do đó M k = {M t∧τ k −M0, t ∈ R + } cũng là một martingale Theo mệnh đề 1.8.13, khi thay thế τk bằng σn, ta có τk là một dãy địa phương đối với M, đảm bảo rằng với mỗi k, M k bị chặn trong L p cho mọi p ∈ [1,∞).

Ví dụ: ChoB = {B t , t ∈ R + }biểu thị một chuyển động Brown trong

Hàm h: R³ \{0} → R được xác định bởi h(x) = |x| - 1 với x ∈ R³ \{0} Đối với mỗi k ∈ N, ta định nghĩa τ_k = inf{t > 0 : |B_t| ≤ k - 1} Dãy {τ_k} là dãy tăng của các thời điểm dừng, thích nghi với lọc F_t kết hợp với B, và τ_k tiến tới vô cùng hầu chắc chắn.

P{B t = 0 với t > 0} = 0 h là hàm điều hoà trong R 3 \{0} mà bao hàm

D k = {x : |x| > k −1 } với mỗi kXác định một hàm g k trên bao đóng D¯ k của D k bởi g k (x) = E x {h(B τ k )} với mỗi x ∈ D¯k, trong đó E x biểu thị kỳ vọng cho B0 = x hầu chắc chắn

Các tập hợp và quá trình dự đoán được

Họ các tập hợp con của R + × Ω, bao gồm các tập hợp có dạng {0} ×F 0 và (s, t]×F, với F 0 ∈ F 0 và F ∈ F s (s < t), được gọi là lớp các hình chữ nhật dự đoán được, ký hiệu là R Vành Bun A sinh ra bởi R là tập hợp con nhỏ nhất của R + ×Ω bao hàm R, trong đó nếu A 1 ∈ A và A 2 ∈ A thì hợp A 1 ∪ A 2 và hiệu A 1 \A 2 cũng thuộc A A bao gồm tập hợp rỗng và tất cả hợp hữu hạn các hình chữ nhật rời nhau trong R σ-trường P của các tập con của R + ×Ω sinh ra bởi R được gọi là σ-trường dự đoán được, và các tập hợp trong P được gọi là các tập hợp dự đoán được.

X : R + × Ω → R gọi là dự đoán được nếu X là P - đo được.Điều này được kí hiệu bởi X ∈ P Nếu Alà một tập hợp trong R , thì 1 A (t, ) là F t

Mỗi hàm đo được với t là một quá trình thích nghi, trong đó A c là phần bù của A, được hình thành từ tổ hợp tuyến tính hữu hạn Điều này áp dụng cho A trong miền sinh ra bởi R và cho bất kỳ A nào trong P Hàm P - đo được là giới hạn theo từng điểm của tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm chỉ tiêu của các tập hợp trong P, cho thấy rằng nó là một quá trình dự đoán được Do đó, một hàm sẽ hướng theo một quá trình dự đoán có thể xác định.

Trong nghiên cứu lý thuyết quá trình, việc chú ý đến σ-trường P và quá trình có thể dự đoán trên (0,∞) ×Ω là điều tự nhiên Tuy nhiên, việc xác định tất cả các quá trình tại thời điểm không là một cách tiếp cận thuận tiện hơn Ý nghĩa thực chất của lôgic không thời gian và tập hợp {0} ×F0 cần phải được xử lý khác nhau Điều này được thể hiện dưới đây cho bất kỳ thời điểm dừng τ.

Tập hợp dự đoán được [0, τ] = {(t, ω) ∈ R + ×Ω : 0 ≤ t ≤ τ(ω)} đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng định nghĩa của tích phân ngẫu nhiên Khoảng thời gian này giúp xác định các yếu tố liên quan đến sự phát triển và ứng dụng của tích phân trong các lĩnh vực khác nhau.

Khoảng thời gian ngẫu nhiên

Cho η và τ là thời điểm dừng, tập hợp

Khoảng thời gian ngẫu nhiên được định nghĩa là tập hợp các cặp (t, ω) thuộc R + ×Ω, thỏa mãn điều kiện η(ω) ≤ t ≤ τ(ω) Có ba loại khoảng thời gian ngẫu nhiên khác nhau: (η, τ], (η, τ) và [η, τ), với η là điểm cuối bên trái và τ là điểm cuối bên phải Các khoảng thời gian này hướng tới bốn loại khác nhau, trong đó η và τ là các thời điểm dừng bất kỳ Lưu ý rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên là các tập con của một không gian lớn hơn.

R + × Ω, do đó (∞, ω) không thể là một phần của tập hợp này, ngay cả khi τ(ω) = ∞ Hơn nữa, không có quy định rằng η không thuộc τ, nhưng cần xác định tương giao của [η, τ].

Các σ-trường các tập con của R + ×Ω sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên gọi là σ- trường dừng và được kí hiệu bởi O Một hàm

X : R + ×Ω → R được gọi là quá trình dừng nếu X là O đo được Khi A là một khoảng thời gian ngẫu nhiên, thì 1A(t, ) sẽ là F t - đo được cho mọi t, vì các điểm cuối của A là điểm dừng Do đó, đối với các hàm dự đoán được, bất kỳ hàm dừng nào cũng là một quá trình thích nghi, và chúng ta sẽ xem xét nó như một quá trình dừng.

Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa P và O Một hình chữ nhật dự đoán có dạng (s, t]×F, trong đó F thuộc F s và s nhỏ hơn t trong R +, đại diện cho một khoảng thời gian ngẫu nhiên (η, τ] với η = s, τ = s trên Ω\F và τ = t trên F Hơn nữa, cho F 0 thuộc F 0, {0} ×F 0 = ∩ n [0, τ n ], trong đó τ n được xác định rõ ràng.

0 trên Ω\F 0 là tùy ý đối với n, nó cho bởi R ⊂ O và do đó từ R sinh ra P, ta có

P ⊂ O trong các bổ đề sau ta chỉ ra rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên là dự đoán được

Bổ đề 2.2.1 Khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [0, τ] và (η, τ] là dự đoán được

Để chứng minh rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [0, τ] là có thể dự đoán được, ta xem xét khoảng (η, τ] = [0, τ]\[0, η] Phương pháp được sử dụng là xấp xỉ tiêu chuẩn của τ bằng một dãy giảm τn, trong đó τn được xác định bởi công thức τn = 2 −n [2 n τ + 1], với n là giá trị đếm được của thời điểm dừng.

Từ τ n ↓τ, chúng ta có: [0, τ] = ∩ n [0, τ n ] với mỗi n

. Ở đây {τ >k2 −n } = Ω\{τ < k2 −n } ∈ F k2 −n , do đó τ là thời điểm dừng Điều đó chứng tỏ rằng [0.τ] ∈ P

Bổ đề 2.2.2 (i) Nếu τ là một thời gian dự đoán được, thì [τ,∞) là khoảng thời gian dự đoán được.

(ii) Tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên mà cả hai điểm kết thúc dự đoán được là dự đoán được.

(iii) Các σ- trường dự đoán được sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [τ,∞) trong đó τ là thời điểm dừng.

(iv) Các σ- trường dừng được tạo ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ,∞) trong đó τ là thời diểm dừng.

Chứng minh Để chứng minh (i) giả sử τ là thời gian dự đoán được và {τ n } là một dãy thông báo đối với τ Từ τ n ↑ τ và τ n < τ trên {τ 6= 0} ,ta có

! Ở đây {τ = 0} ∈ F 0 và (τ n ,∞) = (R + ×Ω)\[0, τ n ) là dự đoán được đối với mỗi n , bởi bổ đề 2.2.1 Do đó [τ,∞) là dự đoán được, ta đã chứng minh (i).

Đối với thời gian dự đoán được τ, khoảng [0, τ] và [0, τ) là các bộ phận dự đoán được theo bổ đề 2.2.1 Các khoảng thời gian ngẫu nhiên với điểm cuối τ và η có thể được biểu diễn như sự khác biệt của các khoảng [0, τ], [0, η], [0, τ) và [0, η) Để chứng minh Oá kớ hiệu σ-trường dự đoán được bởi các khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [τ,∞), ta thấy rằng Oá ⊂ P và P ⊂ Oá, từ đó R ⊂ Oá Với bất kỳ thời điểm dừng τ, ta có [0, τ] = T n[0, τ + 1/n), trong đó τ + 1/n là dự đoán được, dẫn đến [0, τ + 1/n) ∈ Oá và do đó [0, τ] ∈ Oá Một hình chữ nhật dự đoán được (s, t] thuộc F với F ∈ F s và s < t, là khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng (η, τ] = [0, τ] \ [0, η] và cũng thuộc Oá Cuối cùng, {0} ∈ Oá với F ∈ F 0, từ đó chứng minh R ⊂ Oá và khẳng định (iii) đã được chứng minh.

Từ O tạo ra các khoảng thời gian ngẫu nhiên, chứng minh rằng tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên đều nằm trong σ-trường S được sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian dạng [τ,∞) Nếu τ là thời điểm dừng, thì τ + n 1 cũng là thời điểm dừng cho mỗi n, dẫn đến (τ,∞) = S n[τ + n 1 ,∞) thuộc S Qua các lớp bao hàm của các khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [τ,∞) và (τ,∞), ta có thể sinh ra tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên thông qua các phép toán phần bù của một hiệu, điều này chứng tỏ rằng tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên đều nằm trong S Đối với τ: Ω → R¯ +, điều này được xác nhận bởi bổ đề trên.

(i) Nếu τ là dự đoán được, thì [τ,∞) là dự đoán được

(ii) Nếu τ là thời điểm dừng , thì [τ,∞) là thời điểm dừng.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định một độ đo cho các tập hợp dự đoán, dựa trên cơ sở phép đẳng cự đã được sử dụng trong việc xác định tích phân ngẫu nhiên.

Độ đo trên các tập hợp dự đoán được

Giả sử rằng Z = {Z t , t ∈ R + } là một quá trình có giá trị thực thích nghi với lọc (tiêu chuẩn) {F t , t ∈ R + }, Z t ∈ L 1 với mỗi t ∈ R +

Chúng ta xác định một hàm tập hợp λZ trên R bởi. λ Z ((s, t]×F) =E(1 F (Z t −Z s )) với F ∈ F s và s < t trong R + , λ Z ({0} ×F 0 ) = 0 với F 0 ∈ F 0

Ta mở rộng λ Z để trở thành một hàm tập hợp cộng tính hữu hạn trên vành A sinh bởi R xác định bởi λ Z (A) n

Giá trị λ Z (A) được xác định cho bất kỳ A = Sn j=1R j, với {R j, 1 ≤ j ≤ n} là một tập hợp hữu hạn các tập hợp rời nhau trong R, và λ Z được gọi là dung lượng nếu λ Z > 0 trên R và A Nếu Z là một martingale, thì λ Z ≡ 0, trong khi nếu Z là một martingale dưới, thì λ Z > 0 Đặc biệt, với M = {M t, t ∈ R +} là một L 2-martingale, (M) 2 = {(M t) 2, t ∈ R +} là một martingale dưới và do đó λ (M) 2 > 0 Hơn nữa, đối với F ∈ F s và s < t, ta có λ (M) 2 ((s, t]×F) = E{1 F (M t − M s ) 2}, điều này được chứng minh bởi tập Y = 1F trong đồng nhất thức quan trọng.

Tính chất martingale của M đã được sử dụng để được ba đẳng thức trên.

Trong L2-martingale M, λ(M)2 có thể được mở rộng thành một độ đo trên P nếu λ(M)2 là đếm được cộng tính trên A Theo định lý Caratheodory về sự mở rộng, sẽ có một sự mở rộng duy nhất của λ(M)2 tới một độ đo trên P Để λ(M)2 trở thành cộng tính đếm được, một điều kiện đủ là L2-martingale M phải có quỹ đạo liên tục.

M = {M t , t ∈ R + } là một L 2 -martingale liên tục Chúng ta sử dụng M để biểu thị độ đo duy nhất trên P nhằm mở rộng λ (M ) 2 Độ đo này được gọi là độ đo Doleans của M tiếp sau C.

L 2 (R + ìΩ,P, àM), trừ khi ta cần nhấn mạnh sự liờn kết với M trong trường hợp ta sử dụng L 2 (àM)

Xét chuyển động Brown B trong R với B 0 ∈ L 2, B là một L 2-martingale liên tục liên kết với lọc tiêu chuẩn {F t} Tính chất này cho thấy B là độ đo tích λìP trên P, trong đó λ là độ đo Lebesgue trên R + Đối với s < t và F ∈ F s, ta có λ(B) 2 ((s, t]×F) = E(1 F (B t −B s ) 2).

= (λ×P)((s, t]×F) Đẳng thức thứ ba ở trên đây cho bởi B t −B s là độc lập của F s , một kết quả độc lập của số gia của B Đẳng thức thứ tư theo sau bởi vì

Bt −Bs có trung bình không và phương sai t−s Đối với F0 ∈ F 0 λ (B) 2 ({0} ×F 0 ) = 0 = (λ×P)({0} ×F 0 )

Do đó, λ(B) 2 phù hợp với λ × P trên R và trên A Điều này cho thấy λ × P là một độ đo trên B với F ⊃ P Từ đó, ta có B = λ ì P trên P, nhờ vào tính duy nhất của sự mở rộng của λ(B) 2 từ A đến B trên P.

Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

Đầu tiên ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên R

XdM ở đây X là một R-quá trình đơn giản và chỉ ra rằng ánh xạ X → R

XdM là một phép đẳng cự từ không gian con của L 2 vào L 2 Phép đẳng cự này là kết quả của sự mở rộng định nghĩa tới tất cả X trong L 2

Khi X là một hàm chỉ tiêu của hình chữ nhật dự đoán được , tích phân

R XdM thì xác định như sau Với s < t trong R + và F ∈ F s

Lớp tất cả các hàm X : R + ×Ω → R được biểu thị bởi E là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm chỉ tiêu của hình chữ nhật dự đoán được Những hàm này được gọi là R quá trình đơn giản, và do đó, X ∈ E có thể được biểu diễn theo dạng này.

F0 thuộc F0 Mặc dù cách biểu diễn này không phải là duy nhất, nhưng luôn có thể lựa chọn sao cho các hình chữ nhật dự đoán được (sj, tj]×Fj với 16 j ≤ n là rời nhau.

XdM với X ∈ E được xác định bởi tính chất tuyến tính.

Do đó với X biểu diễn bởi (2.6) ta có

Nó có thể dễ dàng thỏa mãn rằng đó là giá trị của tích phân không phụ thuộc vào sự chọn lựa biểu diễn đối với X.

Từ 1 R ∈ L 2 đối với bất kỳ hình chữ nhật dự đoán được R, nó có thể chỉ ra rằng E là một không gian con của L 2 , và từ M t ∈ L 2 với mỗi t,

R XdM là trong L 2 với mỗi X ∈ E Định lý sau đây chỉ ra rằng ánh xạ tuyến tính X → R

XdM là một phép đẳng cự từ E ⊂ L 2 vào ảnh của nó trong L 2 Định lý 2.4.1 Cho X ∈ E ta có phép đẳng cự

Chứng minh Cho X ∈ E biểu thị trong (2.6) ở đó các hình chữ nhật dự đoán được Rj = (sj, tj]×Fj với 1 6 j 6 n là rời nhau Thì bởi (2.7) ta có.

Nếu cố định chỉ số j và k trong tổng kép bằng không, và giả định rằng j < s k, thì theo tính chất martingale, E(M t k −M s k |F s k ) = 0 Điều này dẫn đến tính chất trực giao cơ bản trong không gian Hilbert L 2, cho thấy rằng số gia Mt k −Ms k của M là trực giao với các không gian con L 2 (Ω,F s k , P), tức là cho bất kỳ Y ∈ L 2 (Ω,F s k , P).

Từ 1F J ∩F k(Mt j −Ms j ) ∈ L 2 (Ω,F s k , P), có thể khẳng định rằng giá trị của chỉ số số hạng j và k trong tổng kép (2.9) sẽ bằng không nếu điều kiện (ii) được cố định Do đó, bằng cách lấy kỳ vọng trong (2.9) và áp dụng (2.1), ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.

Bổ đề 2.4.2 Tập hợp của R- quá trình đơn giản E là trù mật trong không gian Hillerrt L 2

Chứng minh Từ P là được sinh ra bởi vành A, đối với mỗi > 0 , và

A ∈ P sao cho à M (A) < ∞, cú A 1 ∈ A sao cho à M (A∆A 1 ) < , ở đõy A∆A 1 , là hiệu đối xứng của A và A 1 Điều sau đây chỉ ra rằng bất kỳ

P- hàm đơn giản trong L 2 có thể xấp xỉ một cách tùy ý chặt chẽ trong

L 2 - chuẩn bởi hàm trong E Chứng minh được hoàn thành bởi kết quả tiêu chuẩn dẫn chứng mà tập hợp của P- hàm đơn giản là trù mật trong

Nếu ta coi L 2 và L 2 như là không gian Hilbert thì ánh xạ X →

R XdM là một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian con trù mật E của L 2 vào L 2 Phép đẳng cự này có thể được mở rộng duy nhất tới một phép đẳng cự tuyến tính từ L 2 vào L 2 Đối với mỗi X ∈ L 2, ta định nghĩa R.

XdM là một phép đẳng cự với mọi X trong không gian L2, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán Phép đẳng cự này chỉ là một trong những công cụ mà chúng ta sử dụng trong phân tích.

Kí hiệu: Cho Λ 2 (P, M) biểu thị không gian của tất cả X ∈ P sao cho

1 [0,t] XdM được xác định và có tính chất đẳng cự.

Bởi định nghĩa à M ({0} ìΩ) = 0, từ đú do (2.10) ta cú:

Nếu X ∈ E và (2.6) là một phép biểu diễn đối với X thì đối với mỗi t,

Công thức (2.12) biểu thị rằng các phần tử bên phải là một L²-martingale liên tục được chỉ số bởi t Bằng cách áp dụng phép đẳng cự, chúng ta sẽ mở rộng kết quả này để chứng minh rằng đối với X thuộc Λ²(P, M), tập hợp {R } cũng thỏa mãn các điều kiện cần thiết.

Martingale L2 có một bản sao liên tục, cho thấy rằng các tính chất của nó được bảo toàn qua phép tích phân Định lý 2.4.3 khẳng định rằng nếu X thuộc Λ2(P, M), thì với mỗi t, Yt sẽ bằng R.

1 [0,t] XdM. Thì Y = {Y t , t ∈ R + } là một L 2 - martingale trung bình không và có một bản sao của Y với tất cả quỹ đạo liên tục phải.

Chứng minh rằng với n ∈ N, hàm 1[0,n] X thuộc L2 và tồn tại một dãy {Xk, k ∈ N} trong không gian E hội tụ tới 1[0,n] X trong L2 Điều này cho thấy với mỗi t ∈ [0, n], 1[0,t] Xk hội tụ tới 1[0,t] X trong L2 khi k tiến tới vô cùng Do đó, theo phép đẳng cự, ta có Ytk ≡ R.

1 [0,t] XdM trong L 2 Đối với mỗi k, bởi chú ý theo sau bởi phương trình (2.12),

Y k = {Y t k , t ∈ R + } là một L 2 - martingale liên tục phải Từ tính chất martingale được bảo toàn bởi L 2 - giới hạn, ta suy ra rằng {Y t , t ∈ [0, n]} là một L 2 - martingale Vì n là tùy ý, nên kết luận rằng {Y t , t ∈ R + } cũng là một L 2 - martingale Hơn nữa, do Y 0 = 0 hầu chắc chắn, nên E(Y t ) = E(Y 0 ) = 0 với mọi t.

Chúng ta có thể xác định một bản sao liên tục Z n của tập hợp {Y t , t ∈ [0, n]} Đối với mọi j < k, hiệu Y k −Y j là một L 2 - martingale liên tục, và theo bất đẳng thức cơ bản trong định lý 1.8.8, ta có thể rút ra kết luận.

6 2 2m E(|Y n k −Y n j | 2 ) (2.13) với mỗi m ∈ N Từ Y n k hội tụ tớI Y n trong L 2 khi k → ∞, có một dãy con {Y n k m , m ∈ N} sao cho:

Bằng cách kết hợp (2.13) và (2.14) ta được

Một ứng dụng của bổ đề Borel - Cantelli

Trong bài viết này, chúng ta xem xét khái niệm "vô cùng thường" (i.o.) trong xác suất, liên quan đến tập Ω n Đối với mỗi ω thuộc Ω n, dãy {Y k m (t, ω), m ∈ N} hội tụ đều với t trong khoảng [0, n] đến giới hạn Z n (t, ω) Do Y k m (., ω) liên tục trên [0, n], nên Z n (., ω) cũng hội tụ đều Hơn nữa, với mỗi t thuộc [0, n), Yt k m được đề cập trong bối cảnh này.

, hội tụ hầu chắc chắn tới Z t n , và trong L 2 tới Y t khi m → ∞, do đó

Z t n = Y t hầu chắc chắn, dẫn đến Z n = {Z t n , t ∈ [0, n)} là một bản sao liên tục phải của {Y t , t ∈ [0, n)} trên Ω n Với n 1 < n 2, cả hai tập {Z t n , t ∈ [0, n 1 )} và {Z t n 2 , t ∈ [0, n 1 )} đều là bản sao liên tục phải của {Y t , t ∈ [0, n 1 )} trên Ω n 1 ∩Ω n 2 và không phân biệt được Điều này chỉ ra rằng tồn tại một tập Ω 0 ⊂ T nΩ n với xác suất sao cho mỗi ω ∈ Ω 0, lim n→∞ Z n (t, ω) tồn tại và hữu hạn cho mỗi t ∈ R + và n ∈ N Giới hạn này được ký hiệu là Z(t, ω), và Z là một bản sao liên tục phải của Y trên Ω0, có thể mở rộng thành một bản sao liên tục phải trên Ω.

Hệ quả 2.4.4 Theo giả thiết của định lý 2.4.3 nếu M có quỹ đạo liên tục, thì có một bản sao của Y với quỹ đạo liên tục.

Chứng minh Thay "liên tục phải" bởi "liên tục" trong chứng minh trên ta suy ra điều phải chứng minh.

Ký hiệu: Ta sẽ dùng kí hiệu {R

[0,t]XdM, t ∈ R + } để biểu thị bản sao liên tục phải của {R

[0,s]XdM đối với s < t trong R + Nếu M đã biết để trở thành liên tục, ta sẽ dùng {Rt

0 XdM, t ∈ R + } để biểu thị một bản sao liên tục của {R

0 XdM để biểu thị Rt

Trong định lý sau ta sẽ đưa ra một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên R

[0,t]XdM Định lý 2.4.5 Cho X ∈ Λ 2 (P, M) và cho Y biểu thị quá trình tích phân ngẫu nhiên liên tục phải {R

[0,t]XdM, t∈ R + } Thì có các tính chất sau đây.

(i) Với s < t trong R + , và với bất kỳ biến phân Z ∈ bF s , ta có hầu chắc chắn.

(ii) Độ đo à Y liờn kết với L 2 - martingale liờn tục phải Y cú tớnh trự mật (X) 2 với mỗi quan hệ tới à M , đối với bất kỳ A ∈ P. à Y (A) Z

(iii) Với bất kỳ thời điểm dừng bị chặn τ,

Đẳng thức đầu tiên trong (2.17) được định nghĩa là Y τ (ω) là giá trị của Y t (ω) tại thời điểm t = τ(ω) cho mỗi ω Trong khi đó, tích phân bên phải của (2.17) là một biến ngẫu nhiên xác định thông qua phép đẳng cự L2 Do đó, cần phải chứng minh rằng đẳng thức này đúng hầu chắc chắn.

Chứng minh Đối với chứng minh của (i), (2.15) có thể dễ dàng kiểm chứng nếu Z = 1 G đối với G ∈ F s và X = 1 (u,v]×F đối với u < v trong

R + và F ∈ F s Bằng tính chất tuyến tính mà (2.15) cố định khi Z là một

F s - hàm đơn giản mà X trong E Thay cho tổng quát Z và X ,có một dãy bị chặn {Z k } của F s hàm đơn giản hội tụ tới Z theo từng điểm trên

Ω, và một dãy {X k } của hàm trong E sao cho lim k→∞ 1 (s,t] X k = 1 (s,t] X trongL 2 Do đó{Z k }bị chặn đều.Thìlim k→∞ 1 (s,t] Z k X k = 1 (s,t] ZX cũng trong L 2 Ta có:

Ta cho rằng số hạng theo sau dấu bằng cho trên hội tụ tới không trong

L 1 khi k → ∞ Bởi hàm đơn giản ở trên Số hạng thứ hai (trong dấu ngoặc) bằng không Số hạng đầu tiên và thứ ba hội tụ tới không trong

Số hạng cuối trong L2 tiến đến không nhờ vào phép đẳng cự và bất đẳng thức Schwarz, trong khi tính hội tụ bị chặn cho phép tính giá trị của biểu thức đại số trong (2.18) tiến đến không một cách chắc chắn Đối với phần chứng minh (ii), chỉ cần chứng minh (2.16) là đủ.

Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân

Vì xa hơn chúng ta có xét đến tích phân ngẫu nhiên R

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét khái niệm tích phân trong không gian L², đặc biệt là liên quan đến martingale liên tục Một martingale liên tục phải là một hàm có thể lấy tích phân trong không gian L² (P, M) Chúng ta sẽ xác định tích phân ngẫu nhiên trong bối cảnh này, tập trung vào tính chất địa phương của nó Do đó, giả sử rằng M là một martingale liên tục phải địa phương, và với một dãy địa phương hóa {τ k }, chúng ta sẽ sử dụng M k để biểu thị martingale liên tục phải {M t∧τ k −M 0 , t ∈ R + } cho mỗi k.

Để xác định lớp của hàm tích phân liên kết với M, ta sử dụng ký hiệu Λ(P, M) để biểu thị lớp của tất cả các quá trình X có một dãy địa phương hóa {τ k } tương ứng với M.

Một dãy như vậy sẽ được gọi là một dãy địa phương hoá đối với M và

X Ví dụ Giả sử M có quỹ đạo liên tục và X là một quá trình thích nghi liên tục, ta phải có X ∈ Λ(P, M) và τ k = inf{t > 0 : |M t −M 0 | ∨ |X t | > k}.

Xác định một dãy địa phương hóa đối với M và X.

Ta chứng minh khẳng định này Với X là dự đoán được Khi đó đối với mỗi k và t ta có:

Bằng định nghĩa của τk,(X) 2 6 k 2 trên (0, t∧ τk] Hơn nữa, bởi phép đẳng cự và định lý 2.4.5 (iii) ta có

Vì vậy bằng cách kết hợp trên ta có được

1 [0,t∧τ k ] (X) 2 dà M k 6 k 4 ta đã chứng minh xong.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng của ví dụ trên là thu được bởi tập hợp X = M.

Cho X ∈ Λ(P, M) và {τ k } là một dãy địa phương hóa đối với M và X

[0,t]1 [0,τ k ] XdM k , t ∈ R + } là một L 2 - martingale liên tục phải với mỗi k, quy ước ký hiệu sau đây bởi hệ quả 2.4.4 Ta sẽ xác định Y = {R

Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét giới hạn hầu chắc chắn của biến ngẫu nhiên Y k 0 s, tương tự như Z được định nghĩa từ Z n 0 s trong chứng minh của định lý 2.4.3 Sự khác biệt chính là việc sử dụng thời gian ngẫu nhiên τ k thay vì thời gian liên tục n, điều này cần được xác minh để đảm bảo tính thống nhất trong kết quả.

(i) với mỗi k, đối với hầu hết mọi ω

Y t m (ω) =Y t k (ω) với mọi t∈ [0, τ k ] và m > k (2.23) và cho thấy rằng

(ii) định nghĩa của Y là độc lập (lên không phân biệt được) sự chọn lựa của một dẫy địa phương hoá cho M và X

Bổ đề 2.5.1 Choτ và η là thời điểm dừng sao cho M τ = {M t∧τ −M 0 , t ∈

R + } và M η = {M t∧η −M 0 , t ∈ R + } là một L 2 - martingale liên tục Để xác định độ đo của M τ và M η trên P, chúng ta ký hiệu là à τ và à η tương ứng Khi đó, à τ và à η sẽ tạo ra một độ đo chung trên khoảng thời gian ngẫu nhiên [0, τ ∧ η], với điều kiện cho mỗi A ∈ P, có thể viết là à τ (A∩[0, τ ∧η]) = à η (A∩[0, τ ∧η]).

Chứng minh rằng từ hình chữ nhật dự đoán được sinh ra P, thỏa mãn điều kiện (2.24) khi A là một hình chữ nhật dự đoán được Rõ ràng, cả hai phía của (2.24) đều không bằng không Nếu A = {0} × F0 với F0 ∈ F0, thì trường hợp này được xác nhận Ngược lại, nếu A = (s, t] × F với s < t và F ∈ Fs, thì theo phép đẳng cự, ta có τ(A ∩ [0, τ ∧ η]) = E.

2) bằng hệ quả 2.4.6 và từ M u τ = M u −M 0 với 0 6 u 6 τ phía bên phải đẳng thức trên bằng

Từ biểu thức cuối là đối xứng trong τ và η đối với A = (s, t]×F và từ đó với mọi A trong P thì suy ra (2.24).

Bổ đề 2.5.2 Choτ và η là thời điểm dừng sao cho M τ = {M t∧τ −M 0 , t ∈

R + } và M η = {M t∧η − M 0 , t ∈ R + } là L 2 - martingale liên tục phải, và 1 [0,τ ] X ∈ Λ 2 (P, M τ ) và 1 [0,η] X ∈ Λ 2 (P, M η ) Cho Y τ và Y η tương ứng biểu thị L 2 - martingale liên tục phải {R

Chứng minh rằng quá trình {Y t∧τ∧η τ , t ∈ R + } và {Y t∧τ η ∧η , t ∈ R + } không thể phân biệt là điều cần thiết Việc này cho thấy chúng có tính liên tục, từ đó đủ để khẳng định tính tương đương của chứng minh (2.25).

Trong bài viết này, chúng ta xem xét tính chất hội tụ của hàm chỉ tiêu X trên hình chữ nhật dự đoán Theo (2.26), với mỗi t, ta có thể xác nhận rằng Y t∧τ∧η là hầu như chắc chắn Sử dụng các công thức (2.17) và (2.21), ta có thể thiết lập rằng 1 [0,t∧τ∧η] X thuộc L 2 (à τ) trong trường hợp chung Điều này dẫn đến việc tồn tại một dãy {X n} trong E, hội tụ tới 1 [0,t∧τ∧η] X trong L 2 (à τ) Hơn nữa, khi n tiến tới vô cùng, 1 [0,t∧τ∧η] (X n −X) sẽ tiến tới 0 trong L 2 (à τ) Cuối cùng, tính chất hội tụ này cũng được duy trì trong L 2 (à η), từ đó cho thấy sự tương đồng trong độ đo giữa à τ và à η.

Theo bổ đề 2.5.1, chúng ta xem xét lại rằng (2.26) là cố định khi thay thế X bằng X n Bằng cách để n tiến tới vô cùng và áp dụng (2.17) cùng với phép đẳng cự cho τ và η, (2.26) vẫn giữ nguyên giá trị đối với X.

Bằng tập hợp τ = τ m và η = τ k trong bổ đề 2.5.2 ta thu được (2.23).

Trong một không gian xác suất, tồn tại một tập hợp Ω0 sao cho với mỗi ω ∈ Ω0, giới hạn lim m→∞ Y m (t, ω) là hữu hạn cho mọi t và k, và giới hạn này bằng Y k (t, ω) cho t ∈ [0, τ k ] Chúng ta ký hiệu giới hạn này là Y(t, ω), và Y(., ω) là liên tục đối với mỗi ω ∈ Ω0, đồng thời cũng dễ dàng xác định rằng nó là liên tục đối với ω ∈ Ω\Ω0 Hơn nữa, với mỗi k, hầu như chắc chắn rằng Y t∧τ k = Y t k cho mọi t Do đó, Y là một L2-martingale địa phương liên tục đối với dãy địa phương hóa {τ k }.

Ta sẽ kí hiệu Y t bởi R

(s,t]XdM Nếu M thật sự liên tục thì cũng như Y, và Y t sẽ biểu thị bởi Rt

Rt s XdM Định lý 2.5.3 Cho M là một martingale liên tục địa phương X là một quá trình thích nghi liên tục Thì X ∈ Λ(P, M) và {Rt

0 XdM, t ∈ R + } là một martingale liên tục địa phương.

Nếu M là một L 2 - martingale liên tục phải và X ∈ Λ 2 (P, M), định nghĩa trên của R

XdM giữ vững tính chất đã xác định trước đó, vì tích phân không thay đổi khi M được thay thế bằng M − M0 Sự thay thế này cũng giúp đơn giản hóa một số chứng minh cuối cùng bằng cách rút gọn về trường hợp M0 = 0, dẫn đến Mtk = Mt∧τk Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng chỉ có hàm lấy tích phân mới có thể được thay thế trong bối cảnh này.

M −M 0 Trong trường đặc biệt nếu M là một martingale liên tục địa phương ta có: t

Một trong những kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết tích nhân ngẫu nhiên là quy tắc biến đổi của biến ngẫu nhiên, được chứng minh bởi Ito Ông là người đầu tiên chứng minh quy tắc này cho trường hợp đặc biệt liên quan đến tích phân và chuyển động Brown Dạng cốt yếu của công thức Ito được trình bày như sau.

Nếu M là một martingale địa phương liên tục và f là một hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên R, thì công thức Ito đối với f(M t ) là: f(M t )−f(M 0 ) t

So sánh với lý thuyết cơ bản của phép tính đối với biến ngẫu nhiên thực, có một số hạng bổ sung được nâng lên lũy thừa trong quá trình biến phân bậc hai Khi f(x) ≡ x², công thức (3.1) được rút gọn để định nghĩa quá trình biến phân bậc hai.

Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất 47 1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai 48 2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L 2 -Martingale 51

Định lý giới hạn

Định lý 3.1.3 sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh công thức Ito trong phần tiếp theo Cụ thể, nếu M là một martingale địa phương liên tục và Y là một quá trình tương ứng liên tục bị chặn, thì với mỗi t ∈ R +, dãy phân hoạch {π t n , n ∈ N} của [0, t] thỏa mãn điều kiện lim n→∞ δπ t n = 0 với mọi n ∈ N.

Trong đó tổng ở trên tất cả j sao cho tjn và t (j+1)n cả hai trong π t n Thì {Z n , n ∈ N} hội tụ theo xác suất tới Rt

0 Y s d[M] s Chứng minh Dãy {W n , n ∈ N}, xác định bởi

Yt jn [M]t (j+1)n −[M]t jn hội tụ hầu chắc chắn và do đó theo xác suất tới Rt

0 Y s d[M] s Để chứng minh rằng {Z n } hội tụ theo xác suất đến giới hạn như nhau cho thấy rằng R n xác định bởi:

Trong quá trình chứng minh định lý 3.1.1 (ii), chúng ta xem xét trường hợp M bị chặn, dẫn đến biểu thức Y t jn hội tụ tới không trong xác suất Cụ thể, ta có công thức: (M t (j+1)n −M t jn ) 2 −([M] t (j+1)n −[M] t jn ).

(3.11) Đẳng thức thứ hai trên theo sau bởi (3.2) Đối với n cho Y n và M n là quá trình xác định bởi.

Y n = P jY t jn 1 (t jn ,t (j+1)n ] và M n = P jM t jn 1 (t jn ,t (j+1)n ] Vậy bởi (3.10) và (3.11) ta có

Đẳng thức thứ hai phù hợp với định lý 2.4.5 (i) nhờ tính liên tục của Y và M Khi n tiến tới vô cùng, Y n (M −M n ) hội tụ theo từng điểm tới không trên R + ×Ω và cũng hội tụ trong L 2 do dãy bị chặn Do đó, bằng phép đẳng cự, Rn hội tụ tới không trong L 2 và trong xác suất.

Công thức Ito một chiều

Biến phân bị chặn địa phương là một quá trình V được định nghĩa khi nó thích ứng với hầu hết mọi ω, và hàm t→ V t (ω) là biến phân bị chặn trên mỗi khoảng thời gian bị chặn trong R+ Xét một cặp (M, V) trong bối cảnh này.

M là một martingale địa phương liên tục, trong khi V là một quá trình liên tục với biến phân bị chặn địa phương Công thức Ito cho cặp đôi này được gọi là công thức Ito một chiều khi M và V có giá trị thực Định lý 3.2.1 khẳng định rằng nếu f là hàm giá trị thực liên tục trên R² với các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục, thì hầu như chắc chắn, với mỗi t, ta có f(Mt, Vt) - f(M0, V0) = t.

(3.12) Để cho rõ ràng, ta đặt vào tham số thời gian s trong tích phân ngẫu nhiên Rt

∂x(M s , V s )dM s Mà tích phân đó được xác định ngẫu nhiên không theo quỹ đạo Một cách viết khác của (3.12) bằng cách dùng vi phân. df(Mt, Vt) = ∂f

Tất nhiên sự giải thích chặt chẽ của (3.13) là tích phân (3.12)

Ví dụ: ChoB biểu thị một chuyển động Brown trong Rvà chof(x) = x 2 với M = B và f(x, y) =f(x), (3.13) trở thành d(B t ) 2 = 2B t dB t +dt

Giả thiết (dB t ) 2 = dt và (dM t ) 2 = d[M] t được đưa ra nhằm giải thích về việc áp dụng công thức Ito trong toán học.

Để chứng minh Định lý 3.2.1, ta nhận thấy rằng cả hai vế của đẳng thức trong (3.12) đều là quá trình liên tục, điều này đảm bảo rằng (3.12) được cố định một cách chắc chắn đối với t Xét dãy phân hạch {π t n, n ∈ N} của [0, t] với điều kiện lim n→∞ δπ t n = 0 Chúng ta sử dụng ký hiệu giống nhau cho phần tử của π t n và tổng trên, do đó ta có: f(M t, V t) − f(M 0, V 0) = Σ j.

−f(M t (j+1)n , V t jn ) +f(Mt (j+1)n , Vt jn )−f(Mt jn , Vt jn )}

Bởi định lý Taylor, phía bên phải của dấu bằng nhau ở trên có thể viết như

(3.15) ở đây 1 jn = ∂f ∂y (M t (j+1)n , V τ jn )− ∂f ∂y (M t jn , V t jn ).

Và 2 jn = ∂ ∂x 2 f 2(M η jn , V t jn )− ∂ ∂x 2 f 2(M t jn , V t jn )

Với thời gian ngẫu nhiên, τ jn và η jn trong [t jn , t (j+1)n ] Đối với ω, hàm(r, s) → ∂f ∂y (M r , V s )(ω) và (r, s) → ∂ ∂x 2 f 2(M r , V s )(ω) thì liên tục đều trên

[0, t] 2 và do đó sup j | 1 jn (ω)| và sup j | 2 jn (ω)| tiến đến không khi n → ∞.

Từ tính chất này của 1 jn (ω) điều kiện của s → ∂f ∂y (M s , V s )(ω) và từ s → V s (ω) là biến phân bị chặn trên [0, t] đối với hầu hết mọi ω nó có tính chất sau đây:

∂y(Mt jn , Vt jn ) + 1 jn

∂y(Ms, Vs)dVs hầu chắc chắn khin → ∞ Từ tính chất trên của 2 jn (ω)và từP j(M t (j+1)n −

M t jn ) 2 → [M] t theo xác suất ,khi n → ∞ Theo định lý 3.1.1 (ii), nó có tính chất sau đây: P j 2 jn (M t (j+1)n − M t jn ) 2 → 0 theo xác suất ,khi n→ ∞

Chứng minh được thực hiện qua hai bước: đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng khi M − M 0 và ∂ ∂x 2 f 2 bị chặn, các hạng tử trong (3.15) dẫn đến hai đạo hàm hội tụ theo xác suất đến hạng tử xấp xỉ trong (3.12) Sau đó, chúng ta mở rộng (3.12) cho trường hợp tổng quát bằng cách xấp xỉ hàm f, sử dụng đạo hàm riêng bị chặn và áp dụng dãy địa phương hóa cho M và V.

Giả sử rằng M −M0 , ∂f ∂x , và ∂ ∂x 2 f 2 bị chặn thỡ àM là một độ đo hữu hạn trên P Đối với mỗi n, quá trình X n xác định bởi

∂x(Mt jn , Vt jn )1 [t jn ,t (j+1)n ] + ∂f

∂x(M0, V0)1 {0}×Ω là dự đoán được và dãy {X n } hội tụ theo từng điểm trên R + × Ω tới

1 [0,t] ∂f ∂x (M, V) và do đó bởi hội tụ bị chặn trong L 2 Bởi phép đẳng cự và từ đó dM = d(M −M 0 ) ta có:

Trong L 2 khi n → ∞ Cũng theo định lý 3.1.3 với Y = ∂ ∂x 2 f 2(M, V), ta có

Khi n tiến tới vô cùng, ∂x 2 (M s , V s )d[M] s hội tụ theo xác suất về phía bên phải của (3.12), dẫn đến việc (3.12) trở thành một hằng số với xác suất cao Điều này chứng minh định lý trong trường hợp M − M 0, ∂f ∂x.

∂x 2 bị chặn Để mở rộng đến trường hợp tổng quát, đối với mỗi n cho g n là một hàm giá trị thực liên tục trên R 2 sao cho g n = f trên hình vuông

Và ∂g ∂x n , ∂ ∂x 2 g 2 n , ∂g ∂y n tồn tại liên tục và bị chặn trên R 2 Cho τ n = inf{t >

0 : |M t −M 0 | ∧ |V t | > n} và M n = {M t∧τ n , t ∈ R + } Thì M n −M 0 n , ∂g ∂x n và ∂ ∂x 2 g 2 n bị chặn Do đó (3.12) được giữ nguyên với M n , gn, và t∧τn, thay vị trí của M, f, và t tương ứng Vì vậy ta có hầu chắc chắc với mọi t. g n (M t∧τ n , V t∧τ n )−g n (M 0 , V 0 ) t∧τ n

Đối với mỗi giá trị t không đổi, có tồn tại một số n đủ lớn sao cho τ n > t, điều này phụ thuộc vào ω Khi n đạt đến giá trị đó, công thức (3.16) vẫn được giữ nguyên Thay thế t bằng t∧ τ n và g n bằng f, ta có thể thay thế (3.12) trong (3.16) khi n tiến tới vô cùng.

Ứng dụng của công thức Ito