Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian
Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng
1 Không gian định chuẩn và không gian Banach
Tập hợp L đươc gọi là không gian định chuẩn thực (phức) nếu
1 L là không gian tuyến tính (vector) trên trường số thực (phức).
2 mỗi phần tử (vector) x ∈ L xác định một số không âm kxk - chuẩn của phần tử x- có các tính chất sau:
(a) kαxk = |α| kxk mọi x ∈ L và với mọi số thực (phức) α.
(b) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác).
(c) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Hàm số ρ (x, y) = kx − ykxác định trong không gian định chuẩn một metric, bởi vậy L là một không gian metric.
Dãy {x n } ⊂ L được gọi là dãy cơ sở khi lim n,m→∞ kx n − x m k = 0 Không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ sở trong không gian đó đều có giới hạn, tức là tồn tại phần tử x ∈ L sao cho lim n→∞ kx n − xk = 0 Nói cách khác, không gian Banach L (=B) là không gian đầy đủ trong metric ρ (x, y) = kx − yk.
Giả sử B 1 và B 2 là các không gian Banach. Ánh xạ A : B 1 → B 2 được gọi là toán tử tuyến tính nếu:
A (αx + βy) = αAx+βAy với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B 1.
Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0.
Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữu hạn của đại lượng kAk def = sup kAxk 2 kxk 1 |x ∈ B 1 , x 6= 0
Tập các toán tử tuyến tính giới nội A : B 1 → B 2, ký hiệu là [B 1 ; B 2 ], là một không gian Banach Không gian này được định nghĩa với chuẩn cụ thể và bao gồm phép cộng cùng phép nhân toán tử với một số.
Toán tử B : B 2 → B 1 được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B 1 → B 2 và kí hiệu B = A −1 , nếu AB = I 2 ; BA = I 1, trong đó I k là toán tử đồng nhất trong
Định lý 1.1.1 khẳng định rằng nếu một toán tử A thuộc khoảng [B1, B2] là ánh xạ một-một từ không gian Banach B1 sang không gian Banach B2, thì toán tử nghịch đảo A−1 cũng là một toán tử tuyến tính bị chặn và thuộc khoảng [B1, B2].
Tập các toán tử giới nội trong không gian B vào chính nó được kí hiệu ngắn gọn là [B].
3 Tổng trực tiếp các không gian con và các phép chiếu
Một tập con tuyến tính đóng của không gian Banach B được gọi là không gian con Không gian Banach B được phân rã thành tổng trực tiếp của các không gian con B1 và B2.
+ ã B 2 (1.1) nếu mỗi phần tử x ∈ B được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = x 1 + x 2 , (1.2) trong đó x 1 ∈ B 1 , x 2 ∈ B 2 Mỗi không gian con B 1và B 2 là phần bù trực tiếp của không gian con kia.
Phép khai triển (1.2) tạo ra hai toán tử P k : B → B k (với k = 1, 2), được xác định bởi các đẳng thức P k x = x k Trong đó, x 1 và x 2 là các thành phần của x trong khai triển (1.1) Các toán tử P 1 và P 2 sở hữu những tính chất đặc biệt.
P k 2 = P k ; P 1 + P 2 = I ; P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0 (1.3)Toán tử P ∈ [B] được gọi là phép chiếu nếu P 2 = P.
Hàm các toán tử tuyến tính giới nội
Giả sử B là một không gian Banach phức, điểm λ trên mặt phẳng phức được gọi là điểm chính qui của toán tử A thuộc B nếu tồn tại một toán tử trong [B], cụ thể là giải thức của toán tử A, được ký hiệu là R λ = (A − λI) −1.
Tập hợp σ(A) chứa tất cả các điểm chính qui của toán tử A và được gọi là phổ của toán tử Phổ σ(A) luôn khác rỗng, đóng và nằm trong hình tròn với điều kiện |λ| ≤ kAk Cụ thể, phổ σ(A) nằm trong hình tròn có bán kính rA, được xác định bởi rA = lim n→∞ pn kAn k.
(Sự tồn tại giới hạn dễ dàng suy ra từ hệ thức
Thật vậy, với mọiλvới |λ| > r A chuỗi P ∞ k=0 λ −(k+1) A k hội tụ tuyệt đối trong metric
[B] , vì chuỗi tương ứng từ các chuẩn được làm trội bởi cấp số nhân với công bội r A +ε
|λ| với mọi ε > 0, bắt đầu từ chỗ nào đó Khi nhân chuỗi đó với λI − A ta có
Vậy, khi |λ| > r A luôn tồn tại giải thức, và hơn thế nữa
Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = r A luôn có một điểm của phổσ (A).
Vì vậy giới hạn lim n→∞ pn kA n k được gọi là bán kính phổ của toán tử A.
Toán tử e-mũ
1 Định nghĩa e-mũ toán tử
Trong lý thuyết phương trình vi phân, toán tử hàm e^A đóng vai trò quan trọng, có thể được xác định thông qua hai hệ thức khác nhau Đặc biệt, ma trận e^A được định nghĩa bởi giới hạn e^A = lim n→∞.
Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức de At dt = Ae At (1.7)
Thật vậy, de At dt = − 1
Ví dụ
Ví dụ 1.1.1 Tìm e tA , biết: (a)A =
Lời giải: a,Ta tính được
= I Tương tự A 5 = A, A 6 = A 2 , Từ đó ta được: e tA =
− sin t cos t Ở đây ta đã sử dụng công thức khai triển Taylor cos t =
2 Một số định lí Định lý 1.1.2 Với toán tử A ∈ [B] bất kì thì hàm e At có số mũ Lyapunov chặt κ đồng thời thỏa mãn κ = lim t→∞ ln e At t = max {Reλ |λ ∈ σ (A)} (1.8)
Bổ đề 1.1.1 Nếu e At ≤ c với mọi t ∈ (−∞, +∞) thì phổ σ (A) phân bố trên trục ảo.
Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở nửa mặt phẳng trái
Trong không gian Hilbert, tích vô hướng giữa hai phần tử x và y, ký hiệu là (x, y), đóng vai trò quan trọng Để một toán tử tuyến tính A : B → B được gọi là giới nội (A ∈ [B]), cần và đủ là tồn tại một toán tử tuyến tính A ∗ : B → B thỏa mãn điều kiện (Ax, y) = (x, A ∗ y) với mọi x, y ∈ B.
Toán tử liên hợp A ∗ có mối quan hệ với toán tử A khi A ∈ [B], dẫn đến A ∗ ∈ [B] và (A ∗ ) ∗ = A Một số tính chất đơn giản của toán tử liên hợp này cũng được xác định.
5 Các phổ σ (A) và σ (A ∗ ) phân bố đối xứng với trục thực.
Toán tử H ∈ [B] được gọi là Hermit nếu H = H∗, với đặc trưng là dạng Hermit (Hx, x) chỉ nhận giá trị thực cho mọi x ∈ [B] Phổ của toán tử σ(H) là một tập đóng giới nội trên trục thực, và đoạn nhỏ nhất chứa phổ này được kí hiệu là [λm(H), λà(H)], trong đó λm(H) = inf {(Hx, x) | kxk = 1} và λà(H) = sup {(Hx, x) | kxk = 1} Độ lớn của toán tử được xác định bằng kHk = max {λà(H), −λm(H)} Toán tử H được gọi là dương (hoặc không âm) nếu dạng (Hx, x) là dương (hoặc không âm) với mọi x ≠ 0, và đối với H không âm, luôn có kHk = λm(H).
Toán tử H được gọi là dương đều và viết H ≫ 0 nếu dạng (Hx, x) dương đều trên hình cầu đơn vị S = {x |kxk = 1 } trong B, tức là nếu λ m (H) > 0.
Tương tự ta định nghĩa các toán tử âm, không dương và âm đều (và ý nghĩa của cách viết H ≪ 0).
Điều kiện để một toán tử không âm là khả nghịch là nó phải dương đều, theo Định lý 1.1.3, Định lý tổng quát Lyapunov Cụ thể, để phổ của toán tử A nằm trong nửa mặt phẳng trái, cần tồn tại một toán tử dương đều W.
Hơn thế nữa, nếu σ (A) nằm bên trong nửa mặt phẳng trái thì với mọi H ≫ 0 tồn tại toán tử W ≫ 0 sao cho Re(W A) = −H.
Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng
Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất
1 Phương trình vi phân dạng vector
Trong không gian Banach B, chúng ta nghiên cứu các phương trình vi phân dạng đơn giản nhất, cụ thể là phương trình dx/dt = Ax + f(t) Trong đó, A thuộc không gian B, được gọi là không gian pha của phương trình Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân thuần nhất dx/dt = Ax.
Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này với điều kiện x (t 0 ) = x 0 (1.11) được cho bởi công thức x (t) = e A(t−t 0 ) x 0 (1.12)
Nghiệm này có đạo hàm liên tục theo t và là một nghiệm của bài toán (1.10)- (1.11).
Nghiệm này có thể dễ dàng chứng minh là duy nhất trong lớp hàm khả vi Để thực hiện điều này, chỉ cần chứng minh rằng nếu một hàm liên tục x(t) thỏa mãn phương trình (1.10).
0 tại t = t 0, thì nó cũng bằng 0 trong lân cận nào đó của điểm này.
Thực vậy, hàm này phải thỏa mãn x (t) = t
, từ đó với ∀t, |t − t 0 | ≤ δ ta có đánh giá kx (t)k ≤ δ kAk sup
|t−t 0 |≤δ kx (s)k dẫn tới mâu thuẫn sup
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình không thuần nhất dưới dạng x (t) = e A(t−t 0 ) y (t) ,
Sau khi thay, phương trình (1.9) ta được e A(t−t 0 ) y ′ (t) = f (t) ,
Từ đó ta suy ra y (t) = x 0 + t
Z t 0 e −A(s−t 0 ) f (s)ds, và cuối cùng có x (t) = e A(t−t 0 ) x 0 + t
Biểu thức (1.13) rõ ràng là một hàm khả vi.
Tính duy nhất nghiệm của (1.13) của bài toán Cauchy (1.9)-(1.11) suy ra từ tính duy nhất nghiệm của phương trình thuần nhất.
Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng vô hạn 13 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 18
Dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân của bài toán (1.10)-(1.11) trên tại vô hạn phụ thuộc đáng kể vào sự phân bố phổ của toán tử A
Giả sử rằng phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái Khi đó từ (1.12), trên cơ sở định lí (1.2) có đánh giá: kx(t)k ≤ N e −ν(t−t 0 ) kx (t 0 )k (1.14)
Ngược lại, cũng đúng nếu (1.14) đúng với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.10) thì phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái.
Dáng điệu nghiệm của phương trình (1.10) trong điều kiện σ(A) nằm trong nửa mặt phẳng trái có thể được mô tả chi tiết hơn bằng cách áp dụng một chuẩn mới tương đương với chuẩn ban đầu kxk A.
Rõ ràng trong chuẩn mới này thì nghiệm của (1.10) tiến tới 0 khi t → ∞
A(s) x 0 ds và do đó dt d kx (t)k A = − e At x 0
Xét trường hợp σ(A) = σ + (A) ∪ σ − (A) khi phổ của A được phân tách thành hai tập phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải và trái, đồng thời yêu cầu rằng tập phổ σ + (A) phải không rỗng.
Giả sử P + và P − là các phép chiếu phổ, với B = B + + B − tương ứng với sự phân tách này Các không gian B + và B − được khai triển thành tổng trực tiếp và bất biến dưới toán tử e At (0 ≤ t < ∞) Do đó, nghiệm x (t) = e At x 0, bắt nguồn từ một điểm trong không gian này, sẽ không ra khỏi không gian con tương ứng.
Chúng ta đưa vào B chuẩn bất định: kx (t)k A =
Tính toán tương tự như trên ta được kx (t)k A =
< 0 (1.17) và do đó chuẩn bất định của nghiệm bất kỳ nào của phương trình (1.10) không tăng.
Chúng ta xét 2 trường hợp đặc biệt. a, Giả sử P + x 0 = 0, x 0 ∈ B − (P − B) Trong không gian con này kxk A ≥ 0 và kxk và kxk A là tương đương Từ (1.17) suy ra kx (t)k A tiến tới 0.
Nghiệm kx(t)k = e^At x0 của phương trình (1.10) với vector gốc x0 sẽ dần tiến tới 0 Nếu P - x0 = 0 và x0 thuộc B+ (= P + B), trong không gian con này, đại lượng kxkA ≥ 0 là một dạng vi phân tương đương với kxk Ta có d/dt kx(t)kA = kx(t)k ≥ -1.
Lấy tích phân bất đẳng thức trên ta thấy − kx(t)k A ≥ − kx 0 k A e (1/M )(t−t 0 ) , Nghiệm với giá trị ban đầu trong B + tăng vô cùng khi t → ∞.
Sự phân tích x(t) = e^(At)x0 cho thấy rằng nghiệm bất kỳ với P + x0 ≠ 0 sẽ tăng vô hạn Đặc biệt, khi phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải σ(A) = σ+(A), nghiệm khác không sẽ không tiến tới vô hạn khi t → +∞, và chuẩn ||x(t)||A đơn điệu tăng Hơn nữa, trường hợp này sẽ dần tiến tới trường hợp ban đầu nếu ta thay A bằng -A và đổi chiều thời gian t.
Toán tử A có phổ phân đôi thành hai tập phổ tương ứng nằm trong nửa mặt phẳng trái và nửa mặt phẳng phải, được ký hiệu là σ(A) = σ+(A) ∪ σ−(A), và được gọi là nhị phân Trong bối cảnh này, chúng ta cũng đề cập đến phương trình vi phân.
Từ những lập luận trên suy ra ra rằng không gian pha B cuả phương trình nhị phân tách được thành tổng trực tiếp B = B +
2 Ý nghĩa hình học của chuẩn thay đổi
Nếu không gian pha B là không gian Hilbert, thì tất cả các lập luận được tiến hành một cách tự nhiên với chuẩn kxk A,2 thay cho kxk A
Trong trường hợp này, việc thay đổi chuẩn có ý nghĩa hình học đơn giản Giả sử A ≪ 0, nghiệm của phương trình dx/dt = Ax sẽ thỏa mãn bất đẳng thức x ′ (t) < x (t).
Góc α giữa vector x(t) và x ′ (t) tại điểm tiếp xúc với đường cong tích phân của phương trình (1.10) được xác định bởi công thức cosα = − (x ′ (t), x(t)) / (kx ′ (t)k * kx(t)k), với điều kiện kx(t)k ≤ − ckx(t)k² / (kAk * kx(t)k²) = − c / kAk Do đó, ta có α ≥ π/2 + arcsin(c / kAk), cho thấy trường vector của tiếp tuyến của đường cong tích phân hướng vào trong mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ tại mỗi điểm.
Trong trường hợp tổng quát khi phổ σ(A) nằm trong nửa mặt phẳng trái, theo Định lý 1.1.3, tồn tại toán tử dương đều W giới nội với Re(W) ≪ 0 Các suy luận trước đó vẫn giữ nguyên tính đúng đắn khi áp dụng với chuẩn metric mới (x, y)W = (Wx, y) tương đương với chuẩn cũ.
Thật vậy tính bị chặn và tính dương đều của toán tử W đảm bảo tính tương đương topo của các chuẩn k.k và k.k W Mặt khác, nếu
Re (W A) ≤ −cI (c > 0)thì đối với một nghiệm x(t) của phương trình (1.10) ta sẽ có:
Ta nhớ lại, toán tử W có thể là một nghiệm của phương trình
A ∗ W + W A = −H, ở đó H là một toán tử dương đều tùy ý.
Ví dụ, đặt H = I, ta có:
Trong trường hợp này, hệ các mặt cầu được thay thế bởi hệ các mặt ellipxoit (W x, x) = const, với tâm là gốc và các đường cong tích phân đi vào bên trong Việc phân tích trong không gian pha Banach chuẩn (1.15) tương tự như trong (1.18), nhằm thể hiện ý tưởng về hình học tổng quát liên quan đến phương pháp thứ 2 Lyapunov Tại đây, các ellipxoit đóng vai trò là các vật thể đối xứng tâm lồi, được giới hạn bởi các mặt kxk A = const.
Bức tranh hình học trở nên phức tạp nhưng rõ ràng khi phổ của toán tử A có phần tử nằm trong nửa mặt phẳng phải, dẫn đến việc phương trình (1.10) được gọi là nhị phân Để hiểu rõ hơn, chúng ta xem xét trường hợp không gian Hilbert H là kh pha B Theo định lý 1.2.1, phương trình (1.10) sẽ là nhị phân nếu và chỉ nếu toán tử A thỏa mãn các điều kiện nhất định.
W tán xạ đều đối với một toán tử Hermit khả nghịch bất định W ∈ H] là toán tử Hermit có ngược thỏa mãn:
Với toán tử W bất kỳ thỏa mãn điều kiện này thì không gian con bất biến
H + (H − ) đối với toán tử A ứng với phần của phổ σ + (A) (σ − (A)) nằm trong nửa mặt phẳng phải(trái) là toán tử W âm đều(W-dương đều).
Dạng vô định (W x, x) sinh ra trong H hai hệ hyperboloid bởi phương trình (W x, x) = c: hyperboloid cộng khi c > 0 và hyperbilic trừ khi c < 0.
Không khó để thử lại, từ toán tử W tán xạ đều của A, ta suy ra rằng d(W x(t), x(t)) dt = 2Re(W Ax(t), x(t)) < 0 (với x(t) ≠ 0) Mối quan hệ này chỉ ra rằng dạng vô định (W x, x) giảm với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.10).
Nếu điểm x 0 nằm trên hyperboloid trừ, việc giảm của (W x, x) khi t tăng cho thấy quỹ đạo x(t) cắt các hyperboloid với giá trị âm có độ lớn ngày càng lớn, dẫn đến quỹ đạo tiến ra vô cùng.
1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất
1 Phương trình vi phân cấp 1
Để xác định điều kiện cho nghiệm của phương trình thuần nhất dx/dt = Ax bị chặn trên toàn bộ trục thực, ta xem xét tập nghiệm được xác định bởi công thức x(t) = e^(At) x₀ (với x₀ = x(0)) Từ điều kiện giới hạn của nghiệm, ta suy ra bất đẳng thức e^(At) x₀.
≤ C x 0 (−∞ < t < ∞) , trong đó hằng số C x 0 chỉ phụ thuộc vào x 0.
Vậy tập toán tử e At (−∞ < t < ∞) bị chặn tại mỗi phần tử x 0 ∈ B theo định lí Banach-Stainhauss tập toán tử này bị chặn đều: e At
Từ đánh giá này, và từ hệ quả I.4.1 trong [1] suy ra rằng phổ của toán tửA nằm trên trục ảo.
Kết quả của chúng ta sẽ chính xác hơn nếu không gian pha B là không gian Hilbert Điều này đúng khi và chỉ khi toán tử A đồng dạng với toán tử Hermit được nhân với đơn vị ảo, tức là toán tử phản Hermit A.
Vậy ta có kết quả sau: Định lý 1.2.2 Nếu mỗi nghiệm của phương trình dx/dt = Ax bị chặn trên trục thực thì phổ σ (A) nằm trên trục ảo.
Nếu không gian pha B là không gian Hilbert thì tất cả các nghiệm bị chặn khi và chỉ khi toán tử A đồng dạng với một toán tử phản Hermit.
2 Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Banach
Chúng ta xét phương trình cấp 2: d 2 y dt 2 + T y = 0, (1.20) trong đó T ∈ [B].
Việc nghiên cứu phương trình này dẫn tới việc nghiên cứu phương trình cấp
Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm của các phương trình vi phân
của các phương trình vi phân
Giả sử B = R^n là không gian Euclid n chiều, chúng ta xem xét phương trình vi phân dx/dt = f(t, x) trong đó t thuộc R dương, x thuộc R^n, và f: R^+ × G → R^n với điều kiện f(t, 0) = 0 Ở đây, G được định nghĩa là một miền mở chứa gốc tọa độ, cụ thể là G = {x ∈ R^n : ||x|| < R, R > 0}, hoặc G có thể được coi là toàn bộ không gian R^n.
Giả sử f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình vi phân (2.1) là duy nhất và kéo dài được ra vô hạn.
Ký hiệux (t) = x (t, t 0 , x 0 )là nghiệm của phương trình vi phân (2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x (t 0 ) = x 0 , t 0 ∈R + , x 0 ∈ G Ta thấy rằng nghiệm của bài toán
Cauchy: dx dt = f (t, x) x (t 0 ) = x 0 luôn thỏa mãn phương trình tích phân: x (t) = x 0 + t
Nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản về ổn định.
Xét hệ rút gọn (2.1) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 ∈R + , thỏa mãn các điều kiện về tính tồn tại và duy nhất nghiệm Kí hiệu nghiệm x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) là nghiệm của (2.1).
Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.1) được coi là ổn định theo Lyapunov khi giới hạn t tiến đến dương vô cùng.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các khái niệm về ổn định của nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân Định nghĩa 2.1.2 chỉ ra rằng nghiệm này được gọi là ổn định đều nếu số δ không phụ thuộc vào t 0 Định nghĩa 2.1.3 mô tả nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu nó ổn định và tồn tại ∆ > 0 sao cho mọi x 0 trong G với kx 0 k < ∆ dẫn đến lim t→+∞ kx (t, t 0 , x 0 )k = 0 Cuối cùng, định nghĩa 2.1.4 khẳng định rằng nghiệm x(t) ≡ 0 được coi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại ∆ > 0 không phụ thuộc vào t 0.
Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu mọi nghiệm x(t) = x(t, t₀, x₀) đều thỏa mãn bất đẳng thức kx(t)k ≤ M.e^(-λ(t−t₀)) kx₀k với M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x₀ Ngược lại, nếu tồn tại ε₀ > 0 và mọi δ > 0, có nghiệm x(t) tại thời điểm t* > t₀ sao cho kx(t₀)k < δ nhưng kx(t*)k ≥ ε₀, thì nghiệm x(t) ≡ 0 được gọi là không ổn định.
Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên( không ôtônôm)
Tính ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên
Xét phương trình vi phân dx dt = A (t) x (2.2) trong đó t ∈R + , x (.) ∈ R n , A (.) ∈ M n ( R n ) , A(t) liên tục trên (0, +∞).
Nghiệm x (t) = x (t, t 0 , x 0 ) của (2.2) với điều kiện ban đầu x (t 0 ) = x 0 là tồn tại duy nhất và xác định trên (0, +∞).
Giả sử X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của (2.2) xác định trên [0, T ] ,
T > 0, X (t 0 ) = I, I là ma trận đơn vị.
Ta kí hiệu N (t, s) := X (t) X −1 (s), với t ≥ s ≥ 0 và t ∈ [0, T ].
Họ toán tử thỏa mãn tính chất:
2 N (t, s 1 ) N (s 1 , s) = N (t, s) , t ≥ s 1 ≥ s > 0 Định lý 2.2.1 Giả sử X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của (2.2) khi đó:
1 Hệ phương trình (2.2) là ổn định nếu và chỉ nếu ma trận nghiệm cơ bản giới nội, tức là tồn tại hằng số dương K sao cho: kX (t)k ≤ K, ∀t ≥ t 0.
2 Hệ phương trình (2.2) là ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại hẳng số dương
3 Hệ phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu kX (t)k → 0 khi t → +∞.
4 Hệ phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận đều nếu và chỉ nếu tồn tại các hẳng số dương K, α sao cho kN (t, s)k ≤ Ke −α(t−s) , t ≥ s ≥ t 0.
Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33
Chúng ta nghiên cứu sự ổn định của phương trình tuyến tính có nhiễu phi tuyến, được biểu diễn bằng phương trình dx/dt = A(t)x + f(t, x), trong đó t thuộc R+, x thuộc R^n, A(.) là ma trận liên tục và f là ánh xạ liên tục trên khoảng (t0, +∞) với f(t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện Lipchitz với kxk < c Giả sử A(t) là liên tục trên (t0, +∞), điều này đảm bảo tính tồn tại và duy nhất của nghiệm.
Kí hiệu Y (t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình tuyến tính thuần nhất:
Với Y (t 0 ) = I và N (t, t 0 ) = Y (t) Y −1 (t 0 )là ứng ma trận Cauchy ứng với phương trình trên, t ≥ s ≥ 0.
Bài viết này trình bày một số định lý liên quan đến ổn định và ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân (PTVP) (2.3), được trích dẫn từ tài liệu [7] Định lý 2.2.2 nêu rõ rằng nếu tồn tại một hằng số K > 0 thỏa mãn điều kiện kN(t, s)k ≤ K cho mọi t ≥ s ≥ t0, và hàm f đáp ứng bất đẳng thức kf(t, x)k ≤ γ(t) kxk với γ(t) là hàm liên tục không âm, thì các điều kiện này sẽ đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
1 ∃L > 0 sao cho nếu t 1 ≥ t 0 và x(t) là nghiệm nào đó của (2.3) thỏa mãn kx (t 1 )k < C L thì kx (t)k ≤ L kx (t 1 )k , ∀t ≥ t 1.
2 Nếu thêm điều kiện Y (t) → 0 khi t → +∞ thì x(t) → 0 khi t → +∞.
Hệ quả 2.2.1 1 Nếu phương trình (2.2) ổn định đều (ổn định tiệm cận) và nếu (2.4)-(2.5) đúng thì nghiệm x(t) ≡ 0 của (2.3) là ổn định đều (ổn định tiệm cận).
2 Nếu phương trình (2.2) ổn định đều (ổn định tiệm cận), B (t)là liên tục với t ≥ t 0 và R ∞ t 1 kB (t)kdt < +∞, thỡ phương trỡnh tuyến tớnh x = [A (t) + àB (t)] x cũng là ổn định đều (và ổn định tiệm cận).
Các hàm xác định dấu
Hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác định là hai khái niệm cơ bản trong toán học Hàm vô hướng thực liên tục V(t, x) được gọi là không đổi dấu trong Z0 nếu V(t, x) ≥ 0 hoặc V(t, x) ≤ 0 với mọi (t, x) ∈ Z0 Ngoài ra, hàm V được xem là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại một hàm W(x) ∈ C(||x|| < h) thỏa mãn điều kiện nhất định.
V (t, 0) = W (0) = 0. Định nghĩa 2.3.3 Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z 0 nếu tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho:
Ví dụ 2.3.1 Trong không gian thực R 2 = Oxy , hàm số
Nếu |α| < 1, hàm V xác định dương vì
Nếu |α| = 1, hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương Hàm V = V(t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, V(t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên [t0, ∞) khi ||x|| → 0 Cụ thể, với bất kỳ ε > 0, tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho
Nhờ bất đẳng thức (2.7) ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó t 0 ≤ t < ∞, ||x|| < h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và
V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0.
Ví dụ 2.3.2 Hàm trong ví dụ 2.3.1với |α| < 1 có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi r =p x 2 + y 2 → 0.
V = sin 2 [t(x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n )] không có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi ||x|| =p x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n → 0 mặc dù hàm đó bị chặn và V → 0 khi ||x|| → 0.
Các định lí cơ bản của Lyapunov
Giả sử f(t, x) ∈ C tx (0,1) (Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H } và hệ vi phân dx dt = f (t, x) (2.8) là hệ rút gọn, tức là f (t, 0) = 0 Rõ ràng hệ (2.8) có nghiệm tầm thường x = 0.
∂t + (gradV, f) (2.9) được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (2.8).
Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (2.8) thì V ˙ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là
V ˙ (t, x) = d dt V (t, x(t)). Đúng hơn, giả sử(t, x) ∈ Z 0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (2.8) xác định bởi điều kiện ban đầu x(t, t, x) = x Khi đó
Chú ý Khái niệm đạo hàm V ˙ (t, x) theo hệ (2.8) có thể mở rộng được Cụ thể, khi đó ta đặt
Nếu V(t, x) ∈ C tx (1,1) (Z 0 ), thì có công thức (2.9) Định lý thứ nhất của Lyapunov khẳng định rằng nếu tồn tại hàm Lyapunov V(t, x) ∈ C(t,x) (1,1) (Z 0 ) cho hệ rút gọn (2.8), với Z 0 ⊂ Z, là hàm dương và có đạo hàm theo thời gian V ˙ (t, x) luôn âm, thì nghiệm tầm thường x = 0 (với a < t < ∞) của hệ này ổn định theo Lyapunov khi t tiến tới vô cực.
Chứng minh Theo giả thiết của định lý, tồn tại hàm W (x) liên tục, xác định dương sao cho
Trong không gian B, xét mặt cầu S ε = {x ∈ B : ||x|| = ε} nằm hoàn toàn trong
Z 0 , trong đó 0 < ε ≤ h < H Vì S ε là tập compact và hàm W (x) liên tục, xác định dương, do đó theo định lý Weierstrass, tồn tại x ∗ ∈ S ε mà cận dưới của
Giả sử t 0 ∈ (a, ∞) tùy ý HàmV (t 0 , x) liên tục theo x, và do V (t 0 , 0) = 0 nên tồn tại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho
Xét nghiệm khác0 tùy ýx = x(t)với điều kiện ban đầu||x(t 0 )|| < δ Ta sẽ chứng minh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn bên trong mặt cầu S ε , tức là
Giả sử (2.13) không thỏa mãn với mọi t ∈ [t 0 , ∞) và t 1 > t 0 là điểm đầu tiên nghiệm x(t) chạm biên S ε , tức là ||x(t)|| < ε với t 0 ≤ t < t 1 và ||x(t 1 )|| = ε.
Ký hiệu v(t) = V(t, x(t)) cho thấy v(t) là hàm không tăng dọc theo nghiệm x(t) do điều kiện v(t) = ˙ ˙ V(t, x(t)) ≤ 0 Điều này dẫn đến α > V(t₀, x(t₀)) ≥ V(t₁, x(t₁)) ≥ W(x(t₁)) ≥ α, tạo ra một mâu thuẫn Do đó, nghiệm x(t) với t ∈ [t₀, ∞) luôn nằm trong mặt cầu Sε khi ε < H, xác định cho t₀ ≤ t < ∞, cho thấy sự phát triển vô hạn bên phải.
Nghiệm tầm thường của hệ được coi là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞ nếu ||x(t)|| < ε trong khoảng thời gian 0 ≤ t < ∞, với điều kiện ||x(t₀)|| < δ Theo định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận, nếu tồn tại một hàm xác định dương cho hệ rút gọn, thì tính ổn định của hệ sẽ được đảm bảo.
V(t, x) ∈ C tx (1,1) (Z 0 ) có giới hạn nhỏ bậc cao khi x tiến tới 0 và đạo hàm theo thời gian V ˙ (t, x) là âm Do đó, nghiệm tầm thường x = 0 của hệ sẽ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t tiến tới +∞.
Chứng minh rằng nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (2.8) là ổn định tiệm cận Dựa vào giả thiết của định lý (2.4), ta thấy nó thỏa mãn các điều kiện của định lý (2.3) Để chứng minh x = 0 là ổn định tiệm cận, cần chỉ ra rằng với bất kỳ nghiệm khác 0 x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu ||x(t₀)|| ≤ h < H, với h đủ nhỏ, thì giới hạn khi t tiến tới dương vô cùng của x(t) luôn bằng 0 (2.14).
Vì theo giả thiết: ˙ v(t) = dV dt < 0, nên hàm số v (t) đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nó có giới hạn hữu hạn: t→+∞ lim v(t) = inf t v(t) = α ≥ 0 (2.15)
Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó ta có:
||x(t)|| ≥ β > 0 khi t 0 ≤ t < ∞, (2.16) trong đó β là số dương Giả sử ngược lại (2.16) không đúng thì ta tìm được dãy t 1 , t 2 , , t k , → +∞ sao cho: k→∞ lim x(t k ) = 0.
Khi x → 0, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao, dẫn đến k→+∞ lim v(t k ) = lim k→+∞ V (t k , x(t k )) = 0, mâu thuẫn với giả thiết α > 0 Điều này chứng tỏ rằng (2.16) đúng, vì nếu α là giới hạn của hàm số v(t) khi t → ∞, thì với dãy bất kỳ t k → +∞, ta phải có v(t k ) → α Tóm lại, trong trường hợp α > 0, ta có bất đẳng thức (2.16) và có thể giả thiết rằng ||x(t)|| ≤ h < H nhờ tính ổn định của nghiệm tầm thường x = 0.
Giả sử W 1 (x) là hàm xác định dương, liên tục thỏa mãn bất đẳng thức Φ(t) = ˙ V (t, x) ≤ −W 1 (x) (2.17)
Hàm đó tồn tại vì theo giả thiết của định lý, V ˙ (t, x) là hàm xác định âm.
Khi đó lấy tích phân bất đẳng thức (2.17) với cận từ t 0 đến t và nhớ rằng β ≤ ||x|| ≤ h với t 0 ≤ x ≤ t, ta có: v(t) = v(t 0 ) + t
Từ bất đẳng thức (2.19) ta thấy rằng với t đủ lớn v(t) = V (t, x(t)) < 0, điều đó trái với tính xác đinh dương của hàm V (t, x) Tóm lại α = lim t→+∞ V (t, x(t)) = 0 (2.20)
Bây giờ ta chứng minh rằng x(t) → 0 khi t → ∞
Thật vậy, giả sử ε > 0 bé tùy ý và l = inf W (x) > 0 với ε ≤ ||x|| ≤ h (2.21)
Từ công thức (2.20) ta suy ra rằng tồn tại thời điểm T > t 0 sao cho:
Do đó, nhờ tính đơn điệu giảm của hàm V (t, x(t)), ta có
||x|| < ǫ với t > T (2.23) Thậy vậy, nếu với thời điểm t 1 > T nào đó, thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại
||x(t 1 )|| ≥ ε, thì nhờ vào công thức (2.21) và (2.20), ta có: l > V (t 1 , x(t 1 )) ≥ W (x(t 1 )) ≥ l, điều này là vô lý.
Tóm lại, từ công thức (2.23), ta có giới hạn lim x(t) khi t tiến tới vô cùng bằng 0, điều này đã được chứng minh Định lý thứ ba của Lyapunov về tính không ổn định khẳng định rằng, đối với hệ rút gọn (2.8), tồn tại một hàm nhất định.
V (t, x) ∈ C tx (1,1) (Z 0 ) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm
Hàm V ˙ (t, x) phụ thuộc vào t theo hệ phương trình xác định dấu Nếu tồn tại t 0 > a trong vùng lân cận ||x|| < ∆ (với ∆ ≤ h < H), có thể tìm điểm (t 0 , x 0 ) tại đó dấu của hàm V và đạo hàm V ˙ cùng dấu.
V (t 0 , x 0 ) ˙ V (t 0 , x 0 ) > 0 (2.24) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (2.8) không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Chứng minh Để xác định ta giả sử V ˙ (t, x) là hàm xác định dương, tức là
V(t, x) ≥ W1(x) > 0 với 0 ≤ t < ∞ và 0 < ||x|| < h, trong đó W1(x) là hàm liên tục và dương Theo giả thiết của định lý, hàm V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x tiến tới 0, dẫn đến V(t, x) bị chặn trong một hình trụ đủ hẹp.
|V (t, x)| ≤ M (2.26) với t 0 ≤ t < ∞, ||x|| < ∆ 0 < h, trong đó M và ∆ 0 là các hằng số dương nào đó. Giả sửδ > 0 (δ < ∆ 0 )nhỏ tùy ý Nhờ giả thiết của định lý, tồn tạo điểm(t 0 , x 0 ), trong đó 0 < ||x|| < δ, sao cho:
Ta đặt v(t) = V (t, x(t)) trong đó x(t) 6≡ 0 là nghiệm xác định bởi điều kiện đầu x(t 0 ) = x 0 , hơn nữa
Nhờ bất đẳng thức (2.25), hàm v (t) đơn điệu tăng cùng với t, do đó khi t ≥ t 0 ta có
Ta chứng minh rằng với giá trị t = t 1 (t 1 > t 0) nào đó sẽ thỏa mãn bất đẳng thức
Khi ||x|| ≤ ∆ 0 với t ≥ t 0, nghiệm x(t) sẽ phát triển vô hạn bên phải Do hàm V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, từ bất đẳng thức (2.28) và lý luận trong định lý thứ hai Lyapunov, ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆ 0 với t 0 ≤ t < ∞, trong đó β là số dương nào đó Giả sử γ = inf β≤||x||≤∆ 0
W 1 (x) > 0, Khi đó, nhờ bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ ∆ 0, ta có
Do đó với t 0 ≤ t < ∞, ta có
V ˙ (τ, x(τ))dτ ≥ V (t 0 , x 0 ) + γ(t − t 0 ), (2.30) điều này trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t 0 ≤ t < ∞
||x|| < ∆ 0 Vì δ > 0 tùy ý và ∆ > 0 cố định, nên theo bất đẳng thức (2.27) và (2.29) ta kết luận rằng nghiệm tầm thườngx = 0 không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞ Định lý được chứng minh.
Từ năm 1892, A M Lyapunov đã công bố các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của chuyển động thông qua nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm phương pháp xấp xỉ thứ nhất và phương pháp phiếm hàm Lyapunov Ông cũng đã phát triển các định lý về tính ổn định tiệm cận và không ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu nhỏ, giúp nghiên cứu tính ổn định chuyển động của nhiều mô hình thực tiễn trong khoa học kỹ thuật Cuối thế kỷ XX, nhiều công trình nghiên cứu mở rộng các phương pháp của Lyapunov đã được công bố, đặc biệt tại các tạp chí toán học ở Nga và các quốc gia khác Trong số những nhà khoa học nổi bật trong lĩnh vực này, có thể kể đến các nhà toán học Xô Viết như N G Chetaev, I G Malkyn, N N Krasovski, E A Barbashin và V I Zubov.
K Persidsky, B P Demidovich, và các nhà toán học khác trên thế giới như:
La-Call J P(Mỹ), Levison N, Codoling E.A (Mỹ), Maccer H L, Yoshizawa T , Hale J K, Bell Man R , Rouche N
Chúng tôi xin được trích dẫn sau đây một vài kết quả tiêu biểu Ổn định bộ phận (V V Rumianxev 1957)
Giả sử f : I × Ω ×R m → R n và g : I × Ω ×R m → R m trong đó I = [τ, ∞) ⊂ R, Ω là miền mở của R n có chứa gốc tọa độ, giả sử f (t, 0, 0) = 0 và g(t, 0, 0) = 0 t ∈ I. Xét hệ phương trình vi phân:
Hàm a : R + → R + với a(0) = 0 được gọi là thuộc lớp κ -hàm nếu nó liên tục và tăng ngặt, ký hiệu a ∈ κ Ký hiệu z(t) = (x(t), y(t)) là nghiệm của hệ (2.31) và nghiệm z(t) ≡ 0 được coi là ổn định nếu với mọi ε > 0, mọi t0 ∈ I, mọi z0 ∈ Bδ, thì ∀t ∈ J +, điều kiện kx(t, t0, z0)k < ε được thỏa mãn Định lý 2.4.4 chỉ ra rằng nếu tồn tại hàm V : I × Ω × Rm → R sao cho với một hàm a ∈ κ nào đó và với mọi (t, x, y) ∈ I × Ω × Rm, các điều kiện liên quan được thỏa mãn.
Thì nghiệm tầm thường là ổn định theo quan hệ đối với x.
Ngoài ra nếu đối với hàm b ∈ κ nào đó và đối với (t, x, y) ∈ I × Ω ×R m thỏa mãn điều kiện
3 V (t, x, y) ≤ b (kxk + kyk) thì nghiệm tầm thường z (t) ≡ 0 là ổn định theo x
Sự ổn định với nhiễu hằng:
Giả sử I × Ω →R n , f (t, 0) = 0, (∀t ∈ I ) ta xét phương trình vi phân: x = f (t, x) , (2.32)
Xem xét phương trình y' = f(t, y) + g(t, y) (2.33) cùng với phương trình (2.32), trong đó g: I × Ω → R^n và g(t, 0) = 0, cho thấy rằng y(t) = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2.12) Định nghĩa 2.4.2 nêu rõ rằng nghiệm x = 0 được coi là ổn định dưới tác động của nhiễu hằng nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ1, δ2 > 0 sao cho với mọi t0 ∈ I, mọi y0 ∈ Bδ1 và bất kỳ g nào thỏa mãn các điều kiện ∀t ≥ t0, ∀x ∈ Bε, k(g(t, x))k < δ2, thì điều kiện ổn định sẽ được đảm bảo.
∀t ≥ t 0 , y (t, t 0 , y 0 ) ∈ B ε Định lý 2.4.5 Nếu tồn tại C 1 hàm V : I × Ω → R, tồn tại các hàm a, b, c ∈ κ và tồn tại hằng số M sao cho đối với bất kỳ (t, x) ∈ I × Ω; thỏa mãn các điều kiện sau đây:
2 V (t, x) ≤ −c (kxk) (V là đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) của phương trình (2.11)
≤ M Khi đó nghiệm x = 0 ổn định với nhiễu hằng.
Một số mô hình ứng dụng
Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn
Xét chuyển động của một vật thể trong một hệ tọa độ Oxyz nào đó với điểm bất động là gốc tọa độ O (không có ngoại lực tác động).
Momen quán tính chính của vật thể đối với gốc tọa độ O được ký hiệu là A, B và C, trong khi vector vận tốc góc của nó trong hệ tọa độ được ký hiệu là ω Nếu p, q, r là các hình chiếu của vector ω lên các trục chính, phương trình chuyển động Ơle sẽ có dạng tương ứng.
Phương trình xác định sự quay quanh trục thứ nhất tại điểm p = p0, q = 0, r = 0 Bằng cách sử dụng phép đổi biến x = p - p0, y = q, z = r, chúng ta xác định điểm tới hạn tại gốc tọa độ và thu được hệ phương trình rút gọn.
+NếuA < B ≤ C, thì quá trình quay được thực hiện quanh trục lớn của ellipxoit quán tính
Có thể lấy hàm Lyapunov là V :R 3 → R + :
Hàm V = 0 đã được kiểm tra và thỏa mãn các điều kiện của định lý thứ nhất của Lyapunov, cụ thể là V(x, y, z) > 0 và V.(x, y, z) = 0 Do đó, có thể kết luận rằng nghiệm tầm thường ổn định và đồng đều.
+ Nếu A > B ≥ C thì cũng nhận được kết quả tương tự nếu ta chọn hàm Lyapunov là: V = B (A − B) y 2 + C (A − C) z 2 +
Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động
Khi quan sát một phi cơ hoặc một con chim đang bay, ta giả định mặt đối xứng của nó trùng với mặt thẳng đứng của hệ trục tọa độ tại mọi thời điểm trong quá trình chuyển động Tốc độ của trọng tâm vật thể được ký hiệu là v, trong khi θ là góc giữa vector chuyển động và trục hoành (trục nằm ngang) Đồng thời, trục chuyển động, tức là trục theo chiều dài của phi cơ, luôn tạo ra một góc không đổi α với vector v.
Kí hiệuC D (α)vàC L (α)là hệ số phản lực tùy ý và lực đẳng Khi đó ta có phương trình biến thiên của v và θ có dạng: m v = −mg sin θ − C D (α) v 2 , mv θ = −mg cos θ + C L (α) v 2
Bằng cách đặt v 2 0 = mg C L , τ = v gt
0 và α = C C D L ta đưa phương trình đang xét về dạng:
Trong trường hợp đầy đủ và hoàn chỉnh hơn chúng ta có thể tham khảo tài liệu của (N G Chetaev[1955]) Ở đây chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản khia = 0.
Hệ phương trình này có các điểm suy biến tại y = 0 và θ = 2kπ (với k ∈ N), tương ứng với trường hợp phi cơ bay ngang với vận tốc hằng số.
Ta chỉ cần xét một trường hợp khi y 0 = 1, θ 0 = 0 Dễ dàng kiểm tra được rằng
V (y, θ) = y 3 − y cos θ + 2 3 là tích phân đầu của hệ phương trình đang xét khi a = 0. Ngoài ra ta nhận thấy trong một lân cận nào đó của điểm (1, 0) thì ta có:
V (1, 0) = 0Hơn nữa ta còn có thể chứng minh V (t, x) ≤ 0, do đó chuyển động của máy bay tại thời điểm này là ổn định.
Mô hình quần thể
Mô hình tương tác giữa hai quần thể sinh học được mô tả bởi hệ phương trình Lotka-Volterra với các phương trình dx/dt = (a - by)x và dy/dt = (cx - e)y, trong đó a, b, c, e là các hằng số dương Các vị trí cân bằng của hệ thống này bao gồm x₀ = 0, y₀ = 0 và x₀ = e/c, y₀ = a/b Đối với nghiệm x = 0, y = 0, phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho thấy hệ phương trình không ổn định do λ₁ = a > 0 và λ₂ = e < 0 Để phân tích tính ổn định của nghiệm x* = e/c và y* = a/b, chúng ta thực hiện phép biến đổi x = u + e/c, y = v + a/b, dẫn đến phương trình rút gọn du/dt = -be/c - buv và dv/dt = (ac/b)u + cuv Từ đó, chúng ta sẽ xem xét hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm này.
V (u, v) = cu + bv − e ln (e + cu) − a ln (a + bv)
Trong lân cận đủ bé của gốc tọa độ hàm V (u, v)liên tục, xác định dương Ngoài ra ta có
Ta có thể kiểm tra được rằng V (u, v) là xác định dương và
V (u, v) ≤ 0, do đó nghiệm tầm thườngu = 0, v = 0 là ổn định theo Lyapunov.
Về cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert
tuyến tính trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert H ta xét phương trình x = A(t)x (3.1)
Trong phần này, chúng ta giả thiết rằng A(t) thuộc tập H cho mọi t trong R dương, đồng thời thỏa mãn các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán Cauchy Định nghĩa 3.1.1 nêu rõ rằng phương trình (3.1) có sự cân bằng tiệm cận nếu mọi nghiệm của nó có giới hạn hữu hạn khi t tiến tới vô cùng, và với mỗi u0 thuộc H, tồn tại một nghiệm x(t) của (3.1) sao cho x(t) tiến tới u0 khi t tiến tới vô cùng Định nghĩa 3.1.2 chỉ ra rằng với A(t) = A*(t) và t ≥ t0 ≥ 0, x(t được xem là nghiệm mở rộng của phương trình ẋ = A(t)x nếu nó thỏa mãn phương trình d/dt ⟨x(t), y⟩ = ⟨x(t), A(t)y⟩ cho mọi y thuộc D(A) và t ≥ t0 ≥ 0.
Chúng tôi xin nhắc lại rằng A (t) h ∈ L 1 [0, ∞) đều đối với
∀h ∈ S (0, 1) nếu tồn tại số T > 0 và số q ∈ (0, 1) sao cho ∀h ∈ S (0, 1) sao cho
Theo Định lý 3.1.1, với mỗi h ∈ H, nếu kA(t)hk ∈ L 1 [0, +∞) và toán tử A(t) là tự liên hợp, thì mọi nghiệm giới nội của phương trình (3.1) sẽ có giới hạn (yếu) hữu hạn Hơn nữa, nếu kA(t)hk ∈ L 1 [0, +∞) là đều đối với h ∈ S (0,1), thì mọi nghiệm bị chặn của (3.1) cũng sẽ có giới hạn hữu hạn tại vô hạn.
Chứng minh Cho x(t) là nghiệm bị chặn của (3.1), nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho kx(t)k ≤ M, ∀t ≥ 0 Khi đó với mọi h ∈ H ta có hx(t), hi = hx 0 , hi + t
Z t 0 hx (τ) , A (τ ) hi dτ (3.2) Ở đó x 0 = x (t 0 ) Do đó
< ε nếu t 1 , t 2 > T, với T đủ lớn Điều này có nghĩa là tồn tại lim t→+∞ hx(t), hi với mọi h ∈ H Do đó phần thứ nhất của định lí được chứng minh.
Do H là đầy đủ nên tồn tại h 0 ∈ H sao cho lim t→+∞ hx (t) , hi = hh 0 , hi , h ∈ H
Từ biểu thức (3.2), ta có hh 0 , hi = hx 0 , hi −
Từ (3.2), (3.3) ta có hx(t), hi = hh 0 , hi −
Với t đủ lớn, ta có bất đẳng thức Z t kA (τ) hk dτ < |hh 0 , hi| + ε (3.5) Từ (3.5) và tính đầy đủ của H, suy ra kx(t)k ≤ kh 0 k + ε (3.6) Đồng thời, từ sự hội tụ yếu đã chứng minh, ta có kh 0 k ≤ kx(t)k + ε (3.7) Kết hợp (3.6) và (3.7), ta có lim t→+∞ kx(t)k = kh 0 k Do x(t) tiến yếu tới h 0, ta suy ra lim t→+∞ x(t) = h 0 Định lý đã được chứng minh.
Giả sử với mỗi h ∈ H, kA(t)hk ∈ L 1 [0, +∞) cho mọi h ∈ S (0, 1) và A(t) là toán tử phản tự liên hợp, thì mọi nghiệm của phương trình vi phân (3.1) đều có giới hạn hữu hạn khi tiến đến vô cực.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh mọi nghiệm của (3.1) là giới nội Thật vậy:
Ta xét đạo hàm dọc theo nghiệm:
Từ đó suy ra kx (t)k 2 = C, C là hằng số hay kx (t)k = x(t 0 )=hngs
Theo định lý 3.1.2, nếu kA(t)hk thuộc L 1 [0, +∞) với h thuộc S (0, 1) và A(t) = A ∗ (t), thì với mỗi h 0 thuộc H, tồn tại một nghiệm suy rộng x(t) của phương trình (3.5) sao cho giới hạn khi t tiến tới vô cực của x(t) bằng h 0.
Chứng minh Xét phiếm hàm ζ 1 (t, h) = hh 0 , hi −
Z t hA (τ ) x 0 (τ ) , hi dτ , trong đó t ≥ t 0 ; h ∈ H; x 0 (t) ≡ h 0 kζ 1 (t, h)k ≤ kh 0 k khk +
Z t kx 0 (τ)k kA(τ )hk dτ ≤ kh 0 k (khk + q), (3.9) trong đó q =
Để đảm bảo 0 < q < 1, ta chọn t0 đủ lớn, từ đó suy ra ζ1(t, h) là một hàm tuyến tính xác định trong không gian H Theo định lý Riesz, tồn tại một phần tử x1(t) trong H sao cho ζ1(t, h) = hx1(t), hi.
Rõ ràng kx 1 (t)k ≤ (1 + q) kh 0 k Bây giờ ta xét hàm ζ 2 (t, h) := hh 0 , hi −
Chứng minh rằng hàm ζ 2 (t, h) là hàm tuyến tính liên tục, xác định trong không gian H Đối với hàm ζ 2 (t, h) = hx 2 (t), hi, điều kiện kx 2 (t)k ≤ 1 + q + q 2 kh 0 k được thỏa mãn Tiếp tục với quá trình này, ta định nghĩa hàm tuyến tính liên tục ζ n (t, h) := hh 0 , hi −.
Z t hx n−1 (τ ) , A (τ ) hi dτ , (3.10) xác định trong H Mở rộng tính liên tục của hàm này có một dạng ζ n (t, h) = hx n (t), hi (3.11) kx n (t)k ≤ (1 + q + + q n ) kh 0 k ≤ kh 0 k
Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy {x n (t)} hội tụ đều trên đoạn [t 0 , +∞) bằng cách chứng minh bất đẳng thức sau đây bằng quy nạp: |x n (t) − x n−1 (t)| ≤ |h 0| q n.
Với n = 1 ta có kx 1 (t) − x 0 (t)k = sup khk≤1
Công thức (3.13) là đúng với n = 1 Giả sử (3.13) là đúng với mọi n Khi đó kx n+1 (t) − x n (t)k = sup khk≤1
Công thức (3.4) áp dụng cho n + 1, và với điều kiện 0 < q < 1, bất đẳng thức (3.13) cho thấy rằng dãy x n (t) hội tụ đều trên khoảng [t 0 , +∞) Đặt x (t) = lim n→+∞ x n (t), khi cho n tiến tới vô cùng trong (3.10) và (3.11), ta thu được hx (t), hi = hh 0, hi −.
Công thức (3.14) chỉ ra rằng x(t) là một nghiệm suy rộng của phương trình (3.1) và x(t) có giới hạn yếu là h₀ khi t tiến tới +∞ Để chứng minh rằng x(t) hội tụ mạnh tới h₀ khi t tiến tới +∞, chúng ta cần kiểm tra tính hội tụ đều của dãy {xₙ(t)} Từ đó, có thể suy ra rằng xₙ(t) sẽ tiến tới h₀ khi t tiến tới +∞.
Do +∞ R t kA (τ ) hk dτ → 0đều theohkhit → +∞nên định lý được chứng minh.
Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert
trình vi phân trong không gian Hilbert
Trong phần này, chúng ta xem xét hai phương trình y = A (t) y và x = A (t) x + f (t, x) Các phương trình này được gọi là tương đương tiệm cận nếu với mỗi nghiệm x(t) của phương trình thứ hai, tồn tại một nghiệm y(t) của phương trình thứ nhất sao cho khi t tiến đến vô cực, giới hạn của kx(t) − y(t)k bằng 0 Ngược lại, với mỗi nghiệm y(t) của phương trình thứ nhất, cũng tồn tại một nghiệm x(t) của phương trình thứ hai thỏa mãn điều kiện tương tự.
Chúng ta giả sử rằng A (t) ∈ L [H] với t ≥ 0 và A(t) là toán tử liên tục mạnh trên [0, +∞) ; f : [0, +∞) × H → H là toán tử liên tục Trong (3.15) ta kí hiệu
U(t) là toán tử Cauchy với điều kiện U(0) = I Xét phương trình z = U −1(t) f[t, U(t) z] Theo Định lý 3.2.1, nếu phương trình (3.15) ổn định và kU(t)k ≤ M, đồng thời giả sử phương trình (3.18) có sự cân bằng tiệm cận, thì phương trình (3.15) và (3.16) sẽ tương đương tiệm cận.
Chứng minh rằng z(t) = U^{-1}(t)x(t) là nghiệm của phương trình (3.18) với giả thiết z +∞ = lim t→+∞ z(t) Đặt y(t) = U(t)z +∞, ta có y(t) là nghiệm của (3.15) thỏa mãn (3.17) Ngược lại, nếu y(t) là nghiệm tùy ý của (3.15) với điều kiện y(0) = y0, thì y(t) = U(t)y0 Theo giả thiết, tồn tại nghiệm z(t) của (3.18) sao cho lim t→+∞ z(t) = y0 Đặt x(t) = U(t)z(t), ta chứng minh rằng x(t) là nghiệm của (3.16) và lim t→+∞ kx(t) − y(t)k ≤ M lim t→+∞ kz(t) − y0k = 0, từ đó định lý được chứng minh.
Ví dụ: Xét phương trình sau: x = Ax + B (t) x y = Ay Trong đóA =
Theo định lý Levison về sự tương đương tiệm cận, các phương trình trên được coi là tương đương tiệm cận Tuy nhiên, phương trình z = U −1 (t)B (t) U (t) z lại không có một cân bằng tiệm cận Thực tế, phương trình này có thể được viết dưới dạng khác.
Giả sử rằng hệ này có một cân bằng tiệm cận Cho h 0 = (1, 1) khi đó tồn tại một nghiệm(z 1 (t) , z 2 (t))sao choz 1 (t) → I; z 2 (t) → I khit → +∞ Do đóz 2 (t) → I khi t → +∞ Ta có
Suy ra z 2 (t) > z 2 (T ) + (1 − ε) (t − T ) Cho t → +∞ ta suy ra điều phải chứng minh.
Bản luận văn này đã trình bày các kết quả quan trọng về tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gian Banach, bao gồm tính ổn định theo Lyapunov, tính giới nội trên nửa trục, tính cân bằng và tính tương đương tiệm cận Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến ứng dụng của phương pháp Lyapunov trong các mô hình cụ thể trong khoa học kỹ thuật.