Một số kiến thức cơ bản
Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Định lý 1.1.1 Cho tam thức bậc hai f(x) =ax 2 +bx+c,(a6= 0). Đặt ∆ =b 2 −4ac.
- Nếu ∆0thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , giả sử x 1 < x 2 Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (−∞, x1)∪(x2,+∞) và trái dấu với hệ số a với mọi x∈(x 1 , x 2 ).
Cách giải của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai có dạng ax 2 +bx+c= 0,(a6= 0). Đặt ∆ =b 2 −4ac.
- Nếu ∆0thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = −b±√
Một số công thức lượng giác và các cung liên quan đặc biệt
Để chứng minh hiệu quả các bất đẳng thức trong tam giác, việc nắm vững công thức lượng giác là rất quan trọng Những công thức này giúp chúng ta biến đổi các biểu thức lượng giác thành dạng cần thiết.
1 Công thức lượng giác cơ bản
2 Công thức giữa các góc liên quan đặc biệt
∗ Hai góc đối nhau: (xvà −x).
∗ Hai góc bù nhau: (x vàπ−x).
∗ Hai góc phụ nhau: (x và π
∗ Hai góc hơn, kém nhau π: (x và π+x).
• cos 2x= cos 2 x−sin 2 x= 2cos 2 x−1 = 1−sin 2 x.
6 Công thức biến tổng thành tích
7 Công thức biến tích thành tổng
Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác
Một số bất đẳng thức trong tam giác có thể được chứng minh hiệu quả bằng cách áp dụng tính chất của tam thức bậc hai Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán một cách ngắn gọn mà còn mang lại sự chặt chẽ hơn so với các phương pháp truyền thống.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức trong tam giácABC có dạng sau.
Trong đó M(A, B, C) và N(A, B, C) là các biểu thức có liên quan đến các đại lượng góc,k là hằng số.
Phương pháp chứng minh có thể chia làm hai cách sau đây.
M(A, B, C)−P = 0 (∗) Điều kiện cần và đủ để P là một giá trị của M(A, B, C)là phương trình (∗) có nghiệm.
- Biến đổi phương trình (∗) về dạng một phương trình bậc hai theo biến nào đó và xét biệt thức∆.
- Giải điều kiện cần để phương trình (∗) có nghiệm là (∆ ≥0)ta sẽ có được điều phải chứng minh.
Để chứng minh bất đẳng thức, một cách hiệu quả là biến đổi nó thành dạng bất phương trình bậc hai theo một biến cụ thể Qua đó, ta có thể xác định rằng bất phương trình này có vô số nghiệm khi điều kiện ∆ ≤ 0 được thỏa mãn.
Sau đây, tác giả sẽ minh họa các phương pháp này bằng những ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1.2.1.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
Phân tích Bất đẳng thức trên có dạng đối xứng thành phần cos 2 B và cos 2 C Áp dụng biến đổi lượng giác cơ bản ta có cos 2 B+ cos 2 C = 1 + cos 2B
Biểu thức trên là tam thức bậc hai theo biến cosA Ta có lời giải như sau.
√2cos 2 A+ cos 2 B + cos 2 C Khi đó ta có
2cos 2 A−cosAcos (B−C) + 1−P = 0 (1.2.1) Đây là phương trình bậc hai theo biến cosA Ta có
2P. Để phương trình (1.2.1) có nghiệm, điều kiện cần là
Từ cos 2 (B−C)≤1 ta suy ra
4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
B =C hay tam giác ABC cân tại A và A= π
Ví dụ 1.2.2.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
2 + 1−P = 0 (1.2.2) Đây là phương trình bậc hai theo biến sinA
2P. Để phương trình (1.2.2) có nghiệm thì điều kiện cần là
4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
B =C hay tam giác ABC vuông cân tai A.
Ví dụ 1.2.3.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinA+ sinB−√
6 Phân tích Ta có sinA+ sinB = 2 sinA+B
3. Đây là tam thức bậc hai theo biến sốcosC
2. Lời giải Đặt P = sinA+ sinB−√
3 cosC Khi đó ta có sinA+ sinB−√
3−P = 0 (1.2.3) Đây là phương trình bậc hai theo biến cosC
3P. Để phương trình (1.2.3) có nghiệm thì điều kiện cần là
6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2√3 hay tam giác ABC cân tại C và cosC
Ví dụ 1.2.4.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinAsinBcosC ≥ −1
8. Lời giải Đặt P = sinAsinBcosC Khi đó ta có sinAsinBcosC−P = 0
Xét phương trình cos 2 C+ cosCcos (A−B)−2P = 0 (1.2.4) Đây là phương trình bậc hai theo biến cosC Ta có
∆ = cos 2 (A−B) + 8P. Để phương trình (1.2.4) có nghiệm thì điều kiện cần là
Từ cos 2 (A−B) + 8P ≤1ta suy ra
8. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 hay tam giác ABC cân tại C và C = 2π
Ví dụ 1.2.5.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có cosA
2 Khi đó ta có cosA
2 −2P = 0 (1.2.5) Đây là phương trình bậc hai theo biến sinC
Ta có ∆ = cos 2 (A−B) + 8P. Để phương trình (1.2.5) có nghiệm thì điều kiện cần là
Từ cos 2 (A−B)≤1ta suy ra
8. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
C = 2π 3 hay tam giác ABC cân tại C và C = 2π
Ví dụ 1.2.6.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có cos (A−B) + cos 2B−cosC ≤ 3
2. Phân tích Bất đẳng thức trên có dạng không đối xứng Trong đó cos (A−B) + cos 2B = 2 cosA+B
2 Vậy cos (A−B) + cos 2B−cosC =−2sin 2 C
2 + 1. Đây là tam thức bậc hai theo biến sinC
2. Lời giải Đặt P = cos (A−B) + cos 2B−cosC Khi đó ta có cos (A−B) + cos 2B−cosC−P = 0
2 + 1−P = 0 (1.2.6) Đây là phương trình bậc hai theo biến sinC
2 + 2−2P. Để phương trình (1.2.6) có nghiệm thì điều kiện cần là
2. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
C= π 3 hay tam giác ABC vuông tại A và cóB = π
3.Bằng phương pháp chứng minh như trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây.
Ví dụ 1.2.7.(Lượng giác - cực trị và các bài toán trong tam giác).
Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C ≤2 + cos 2 (A−B) + cos 2 (B −C) + cos 2 (C−A)
Lời giải Đặt P = sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C Khi đó ta có sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C−P = 0
−cos 2 A+ cosAcos (B−C) + 2−P = 0 (1.2.7) Đây là phương trình bậc hai theo cosA Ta có
∆ = cos 2 (B −C) + 8−4P. Để phương trình (1.2.7) có nghiệm thì điều kiện cần là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mặt khác ta cũng có sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C−P = 0
Xét phương trình bậc hai theocosB.
∆ = cos 2 (B −C) + 8−4P. Để phương trình (1.2.8) có nghiệm thì điều kiện cần là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chứng minh tương tự ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 hay tam giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 1.2.8.(Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng).
Cho các số thực dương x, y, z và n ∈ N ∗ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có x 2 +y 2 +z 2 ≥2(−1) n+1 (yzcosnA+xzcosnB+xycosnC).
Bất đẳng thức được phân tích là không đối xứng, khiến việc sử dụng các biến đổi lượng giác để tạo ra tam thức bậc hai theo một biến góc bất kỳ trở nên khó khăn Thay vào đó, chúng ta có thể xem xét tam thức bậc hai theo các biến x, y hoặc z.
Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với x 2 +y 2 +z 2 + 2(−1) n (yzcosnA+xzcosnB+xycosnC)≥0
Bất phương trình bậc hai theo ẩn x được mô tả bởi công thức (1.2.9): ⇔x² + 2x(−1)n(zcosnB + ycosnC) + y² + z² + 2(−1)n yzcosnA ≥ 0 Việc chứng minh bất đẳng thức này tương đương với việc xác nhận rằng bất phương trình (1.2.9) có nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
⇔y 2 +z 2 + 2(−1) n yzcosnA−z 2 cos 2 nB−y 2 cos 2 nC−2yzcosnBcosnC ≥0
⇔y 2 sin 2 nC+z 2 sin 2 nB+ 2yz[(−1) n cosnA−cosnBcosnC]≥0 (∗)
• Nếun = 2k với k ∈N ∗ thì nA+nB+nC =k2π Vì vậy cosnA= cos (nB+nC) = cosnBcosnC−sinnBsinnC.
Khi đó bất đẳng thức (∗) trở thành y 2 sin 2 nC+z 2 sin 2 nB−2yzsinnBsinnC ≥0
⇔(ysinnC −zsinnB)≥0 (điều này luôn đúng).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y sinnB = z sinnC.
• Nếun = 2k+ 1 với k ∈N thì nA+nB+nC = (2k+ 1)π Vì vậy cosnA=−cos (nB+nC) = −cosnBcosnC + sinnBsinnC.
Khi đó bất đẳng thức (∗) trở thành y 2 sin 2 nC+z 2 sin 2 nB−2yzsinnBsinnC ≥0
⇔(ysinnC −zsinnB)≥0 (điều này luôn đúng).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y sinnB = z sinnC.
Bất đẳng thức đã được chứng minh, và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x sinnA = y sinnB = z sinnC Nhận xét 1.2.1 cho thấy rằng bất đẳng thức này có dạng tổng quát, từ đó cho phép chúng ta chứng minh một số bất đẳng thức tương đương khác.
Bài viết đã trình bày nhiều ví dụ điển hình về việc áp dụng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác Các ví dụ được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và tiếp thu Mặc dù các bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng, nhưng chúng được giải quyết bằng một phương pháp chung là sử dụng tính chất của tam thức bậc hai Phương pháp này được đánh giá là hiệu quả, ngắn gọn và chặt chẽ.
Áp dụng tính lồi lõm của hàm số chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác
Một số kiến thức cơ bản về hàm số lồi, lõm
Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa hàm số lồi, lõm).
Cho hàm số f(x) xác định trên tập I(a, b).
- Hàm f(x)được gọi là hàm lồi trên tập I(a, b) nếu với mọix 1 , x 2 ∈I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α+β = 1, ta luôn có f(αx 1 +βx 2 )≤αf(x 1 ) +βf(x 2 ).
Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 =x 2 thì ta nói hàm số f(x) lồi thực sự (lồi chặt) trên I(a, b).
- Hàm f(x) được gọi là hàm lõm trên tập I(a, b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α+β = 1, ta luôn có f(αx 1 +βx 2 )≥αf(x 1 ) +βf(x 2 ).
Nếu dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi x1 = x2, thì hàm số f(x) được coi là lõm thực sự (lõm chặt) trên khoảng I(a, b) Đây là dấu hiệu nhận biết hàm lồi và lõm theo Định lý 2.1.1.
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng I(a, b) Khi đó
(i) Hàm số f(x) lồi (lồi thực sự) trên khoảng I(a, b) khi và chỉ khi f 00 (x) ≥ 0 (f 00 (x)>0) với mọi x∈I(a, b).
(ii) Hàm số f(x) lõm (lõm thực sự) trên khoảng I(a, b) khi và chỉ khi f 00 (x) ≤ 0 (f 00 (x)0 với mọix∈I(a, b)nên f 0 là hàm đồng biến Do đó ta có f 0 (u k )≥f 0 (u k+1 ) với mọiu k ∈I(a, b), k = 1,2, , n
Hơn nữa ta lại có
Từ đó ta suy ra được điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức khi và chỉ khi x1 =y1, x2 =y2, , xn=yn.
(ii) Tương tự như cách chứng minh trên. Định lý 2.1.4 (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử f(x) là hàm số xác định trên tập I(a, b).
Nếu hàm số f(x) lồi trên khoảng I(a, b), thì với mọi x 1, x 2, , x n thuộc I(a, b) và các số dương a 1, a 2, , a n có tổng bằng 1, ta có bất đẳng thức a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + + a n f(x n ) ≥ f(a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n ) Ngược lại, nếu hàm f(x) lõm trên I(a, b), thì với cùng các điều kiện trên, ta có a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + + a n f(x n ) ≤ f(a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n ).
Chứng minh Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp. (i) Trường hợpf(x)là hàm lồi trên khoảng I(a, b).
- Với n= 2, với mọi x 1 , x 2 ∈I(a, b) và mọi a 1 , a 2 ∈[0,1]sao cho a 1 +a 2 = 1 Ta có a 1 f(x 1 ) +a 2 f(x 2 )≥f(a 1 x 1 +a 2 x 2 ) (điều này luôn đúng theo định nghĩa hàm lồi).
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n, (n ≥ 2.) Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n+ 1.
Với mọi x 1 , x 2 , , x n , x n + 1 ∈ I(a, b), với mọi a 1 , a 2 , , a n , a n + 1 ∈ [0,1] sao cho a 1 +a 2 + +a n +a n + 1 = 1,ta có a 1 f(x 1 ) + +a n f(x n ) +a n+1 f(x n+1 )
Vậy bất đẳng thức đúng vớin+ 1.
Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix 1 =x 2 = =x n (ii) Tương tự cách chứng minh trên.
Tính lồi và lõm của các hàm lượng giác cơ bản có thể được chứng minh bằng định lý nhận biết Bằng cách áp dụng các tiêu chí này, chúng ta sẽ phân tích và chứng minh tính chất lồi, lõm của một số hàm lượng giác quan trọng.
1) Hàm sốf(x) = sinxlà hàm lõm thực sự trên khoảng (0, π).
Thật vậy ta có f 0 (x) = cosx, f 00 (x) =−sinx 0 với ∀x∈
Phương pháp áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm
2.2.1 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm là định lý rất quan trọng trong Giải tích, có vai trò giống như công cụ để chứng minh các định lý khác có liên quan Đối với học sinh phổ thông, việc tìm hiểu và ứng dụng định lý này để giải các bài toán bất đẳng thức không phải quá khó Tuy nhiên, điều đặc biệt quan trọng chính là việc phát hiện và khảo sát tính lồi, lõm của các hàm số tương ứng, cụ thể là các hàm số lượng giác.
Ví dụ 2.2.1.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC không tù ta luôn có
6. Lời giải Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = cosxlõm trên khoảng
Tam giácABC không tù nên A, B, C ∈
0,π 2 i Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm với mọi A∈
Từ (∗), (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta được cosA+2 cosB
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC có A= π
Ví dụ 2.2.2.Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có
Lời giải Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = sinx lõm trên khoảng
Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm với mọi A∈
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC có A= π
Trong quá trình áp dụng Định lý biểu diễn hàm số lồi, lõm để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, việc đánh giá "điểm rơi" là rất quan trọng Cần xác định các góc A, B, C khi dấu đẳng thức xảy ra Nếu "điểm rơi" là các góc đặc biệt, việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản Ngược lại, nếu "điểm rơi" là các góc không đặc biệt, việc xác định sẽ phức tạp và chứng minh sẽ gặp nhiều khó khăn.
2.2.2 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác
Dựa trên việc phân tích các ví dụ đã nêu, tác giả đã phát triển ý tưởng về việc xây dựng các bất đẳng thức tổng quát trong tam giác Mỗi "điểm rơi" khác nhau sẽ dẫn đến việc hình thành các bất đẳng thức khác nhau.
Kết quả 2.2.1 Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = sinx lõm trên khoảng (0, π). Suy ra hàm f(x) = sinx lõm trên khoảng
Cho trước tam giác nhọnA 0 B 0 C 0 Với mọi tam giác nhọn ABC; Áp dụng định lý biểu diễn hàm lõm với A, A 0 ∈
0,π 2 ta có sinA ≤sinA 0 + cosA 0 (A−A 0 )
0,π 2 ta cũng có sinB cosB 0 ≤tanB 0 +B−B 0 (∗∗) sinC cosC 0 ≤tanC0+C−C0 (∗ ∗ ∗)
Từ (∗), (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta được sinA cosA 0 + sinB cosB 0 + sinC cosC 0 ≤tanA 0 + tanB 0 + tanC 0 Mà tanA 0 + tanB 0 + tanC 0 = tanA 0 tanB 0 tanC 0
Suy ra sinA cosA 0 + sinB cosB 0 + sinC cosC 0 ≤tanA0tanB0tanC0. Như vậy, ta xây dựng được bất đẳng thức mới như sau
Bài toán 2.2.1.Cho tam giác nhọnABC.Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có sinA cosA0
Với phương pháp xây dựng đã nêu, chúng ta có thể áp dụng cho các hàm số lượng giác cơ bản khác như f(x) = cosx, f(x) = tanx, và f(x) = cotx, từ đó dẫn đến các bất đẳng thức quan trọng sau đây.
Trong tam giác nhọn ABC, ta có thể chứng minh rằng luôn tồn tại các bất đẳng thức sau: cosA sinA + cosB sinB + cosC sinC ≤ cotA + cotB + cotC Ngoài ra, cũng có thể chứng minh rằng tanA + tanB + tanC > 0 trong mọi tam giác nhọn ABC.
1 + tan 2 C 0 ≥2 sinA 0 sinB 0 sinC 0 Bài toán 2.2.4.Cho tam giác nhọnABC.Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có cotA
Bất đẳng thức 1 + cot 2 C 0 ≥ 2 sinA 0 sinB 0 sinC 0 được xây dựng dựa trên Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm cho một hàm số lượng giác nhất định Điều này đặt ra câu hỏi liệu có thể áp dụng định lý này cho hai hoặc nhiều hàm lượng giác khác nhau để tạo ra một bất đẳng thức mới hay không Kết quả sẽ được trình bày ngay sau đây.
Kết quả 2.2.2 Hàm số f(x) = sinx và f(x) = cosx đều là hàm lõm trên khoảng
Cho tam giác nhọn A0B0C0. Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm đối với hàm sốf(x) = sinx.
0,π 2 ta có sinA ≤sinA 0 + cosA 0 (A−A 0 )
Tương tự như vậy với B, B 0 ∈
0,π 2 ta cũng có sinB cosB 0 ≤tanB 0 +B−B 0 (∗∗) Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm đối với hàm sốf(x) = cosx.
0,π 2 ta có cosC ≤cosC 0 −sinC 0 (C−C 0 )
Từ (∗), (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta được sinA cosA0
Như vậy ta xây dựng được bất đẳng thức sau.
Trong tam giác nhọn ABC, có hai bất đẳng thức quan trọng cần chứng minh Đầu tiên, ta có sinA cosA + sinB cosB + cosC sinC ≤ tanA + tanB + cotC Thứ hai, bất đẳng thức thứ hai cũng tương tự, đó là sinA cosA + cosB sinB + cosC sinC ≤ tanA + cotB + cotC Những bất đẳng thức này khẳng định mối liên hệ giữa các hàm lượng giác trong tam giác nhọn, góp phần làm rõ các tính chất hình học của nó.
Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Karamata
2.3.1 Áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác
Áp dụng bất đẳng thức Karamata để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác là một khái niệm còn mới mẻ đối với học sinh phổ thông Tuy nhiên, phương pháp này có khả năng giải quyết những bài toán đặc biệt mà các phương pháp khác không thể thực hiện, do đó, việc trình bày nó là rất cần thiết.
Ví dụ 2.3.1.(Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng).
Chứng minh rằng trong tam giác không nhọnABC ta luôn có sinA+ sinB+ sinC ≤√
Phân tích Trong tam giác ABC, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A ≥
Do tam giácABC không nhọn nênA≥ π
4 Ta có hai dãy số giảm như sau
8. Điều này giúp ta liên tưởng đến bất đẳng thức Karamata.
Lời giải.Theo chứng minh trên, hàm số f(x) = sinxlà hàm lõm thực sự trên khoảng
Tam giácABC không nhọn nên ta có
4. Áp dụng định lý Karamata ta có sinA+ sinB+ sinC≤sinπ
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4 hay tam giác ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 2.3.2.Chứng minh rằng trong tam giác không nhọn ABC ta luôn có cosA
Lời giải.Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = cosx
2 là hàm lõm thực sự trên khoảng
Tam giácABC không nhọn nên ta có
8. Áp dụng định lý Karamata ta có cosA
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4 hay tam giác ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 2.3.3.Chứng minh rằng trong tam giác không nhọn ABC ta luôn có tanA
Lời giải.Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = tanx
2 là hàm lồi thực sự trên khoảng
Tam giácABC không nhọn nên ta có
8. Áp dụng định lý Karamata ta có tanA
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4 hay tam giác ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 2.3.4.Chứng minh rằng trong tam giác không nhọn ABC ta luôn có cotA
Lời giải.Theo chứng minh trên, hàm sốf(x) = cotx
2 là hàm lồi thực sự trên khoảng
Tam giácABC không nhọn nên ta có
8. Áp dụng định lý Karamata ta có cotA
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4 hay tam giác ABC vuông cân tại A.
Nhận xét 2.3.1 Xét trong trường hợp tam giác ABC bất kì Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A≥B ≥C.
6. Trong mọi tam giácABC, ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau.
2.3.2 Áp dụng bất đẳng thức Karamata xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác Để xây dựng các bất đẳng thức mới, chúng ta sẽ bắt đầu từ việc xây dựng các hàm số có tính lồi, lõm trên một khoảng nhất định Ngoài những hàm số lượng giác đã xét ở trên, ta sẽ khảo sát một số hàm lương giác sau đây :
• Hàm số f(x) = 1 sinx lồi thực sự trên khoảng (0, π).
Thật vậy, ta có f 00 (x) = 1 + cos 2 x sin 3 x >0 với ∀x∈(0, π).
• Hàm số f(x) = ln sinxlõm thực sự trên khoảng (0, π).
Thật vậy, ta có f 00 (x) =− 1 sin 2 x 0 với A x,B y,C z ∈
Áp dụng Hệ quả 2.3.1 ta có xtan n A x +ytan n B y +ztan n C z ≥(x+y+z)
Từ (∗) và (∗∗) ta được xtan n A x +ytan n B y +ztan n C z ≥(x+y+z) tan n π x+y+z. Vây, ta xây dựng được bất đẳng thức như sau.
Bài toán 2.4.1 Với mọi số nguyên x, y, z ≥ 2, chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có xtan n A x +ytan n B y +ztan n C z ≥(x+y+z) tan n π x+y+z.
Từ bất đẳng thức trên, ta cũng suy ra bất đẳng thức cơ bản sau. tan 2 A
Tương tự như vậy ta cũng xây dựng được các bất đẳng thức có dạng
Bài toán 2.4.2 Với mọi số nguyên x, y, z ≥ 2, chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có xcot n A x +ycot n B y +zcot n C z ≥(x+y+z) cot n π x+y+z.
Từ bất đẳng thức trên, ta cũng suy ra bất đẳng thức cơ bản sau. cot 2 A
Kết quả 2.4.2 Hàm số f(x) = sinx là hàm lõm trên khoảng(0, π).
Trong tam giácABC, với mọi số nguyên dương x, y, z ta có A x,B y,C z ∈(0, π). Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có xsinA x +ysinB y +zsinC z ≤(x+y+z) sin π x+y+z (∗)
Mặt khác, ta lại có sinA x,sinB y,sinC z >0 với A x,B y,C z ∈(0, π). Áp dụng Hệ quả 2.3.2 ta có x n r sinA x +y n r sinB y +z n r sinC z ≤(x+y+z) n v u u u t xsinA x +ysinB y +zsinC z x+y+z (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) ta được x n r sinA x +y n s sinB y +z n r sinC z ≤(x+y+z) n r sin π x+y+z.
Vây, ta xây dựng được bất đẳng thức như sau.
Bài toán 2.4.3 yêu cầu chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y, z, trong bất kỳ tam giác ABC nào, luôn có bất đẳng thức x^n * r * sinA * x + y^n * s * sinB * y + z^n * r * sinC * z ≤ (x + y + z)^n * r * sin(π * (x + y + z)) Từ đó, chúng ta có thể phát triển các bất đẳng thức tương tự.
Bài toán 2.4.4 Với mọi số nguyên x, y, z ≥ 2, chứng minh rằng trong mọi tam giác
ABC ta luôn có x n r cosA x +y n s cosB y +z n r cosC z ≤(x+y+z) n r cos π x+y+z.
Chương 3 Áp dụng các bất đẳng thức đại số cổ điển chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác
Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quan trọng giữa trung bình cộng và trung bình nhân, thường được áp dụng trong Đại số Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức này, nhưng phương pháp quy nạp do nhà toán học Cauchy đề xuất được coi là hay nhất Do đó, bất đẳng thức này thường được đặt theo tên của ông.
Với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n ta luôn có a 1 +a 2 + +a n n ≥ √ n a1a2 an.
- Với n= 1 bất đẳng thức hiển nhiên là đúng.
- Với n= 2 bất đẳng thức trở thành a 1 +a 2
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k,(k ∈N ∗ ) tức là a 1 +a 2 + +a k k ≥ √ k a 1 a 2 a k
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n= 2k,(k ∈N ∗ ).
≥ q k√ k a 1 a 2 a k k√ k a k+1 a k+2 a 2k k = 2k √ a1a2 a2k. Suy ra bất đẳng thức cũng đúng với n = 2 k ,(k ∈N ∗ ).
Nếu bất đẳng thức đúng với n=k,(k ∈N ∗ ) thì cũng đúng vớin=k−1.
⇔a 1 +a 2 + +a k−1 ≥(k−1) k−1 √ a 1 a 2 a k−1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 =a 2 = =a n
3.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác
Bất đẳng thức Cauchy là một công cụ quan trọng trong việc chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải quyết nhiều dạng bất đẳng thức trong tam giác Để sử dụng hiệu quả bất đẳng thức này, việc nắm vững các bất đẳng thức cơ bản là điều cần thiết.
Trước tiên, ta sẽ nhắc lại một số bất đẳng thức cơ bản sau đây.
9) tan 2 A+ tan 2 B + tan 2 C ≥9 (4ABC không vuông).
10) cot 2 A+ cot 2 B+ cot 2 C ≥1 (4ABC không vuông).
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản trên đây, ta sẽ giải quyết một số bài toán sau.
Ví dụ 3.1.1.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy kết hợp với các bất đẳng thức cơ bản đã nêu ở phần trước.
17) Trong mọi tam giác ABC ta luôn có A, B, C ∈(0, π).
Do đósinA,sinB,sinC ∈(0,1). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với sinA,sinB,sinC ta có sinAsinBsinC ≤ sinA+ sinB+ sinC
. ÁP dụng bất đẳng thức sinAsinBsinC ≤ 3√
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA= sinB = sinC ⇔A=B =C hay tam giác ABC đều.
18) Trong tam giácABC nhọn ta luôn cóA, B, C ∈
Do đócosA,cosB,cosC ∈(0,1). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với cosA,cosB,cosC ta có cosAcosBcosC ≤ cosA+ cosB + cosC
. Áp dụng bất đẳng thức cosA+ cosB + cosC ≤ 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosA= cosB = cosC ⇔A=B =C hay tam giác ABC đều.
19) Trước tiên ta chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có tanA+ tanB+ tanC = tanAtanBtanC.
Thật vậy, đẳng thức trên tương đương với tanA+ tanB = tanC(tanAtanB−1)
⇔tan (π−C) =−tanC. Áp dụng đẳng thức tanA+ tanB + tanC≥3√
3, ta được tanAtanBtanC = tanA+ tanB + tanC≥3√
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA =B =C hay tam giác ABC đều.
20) Trong tam giácABC nhọn, áp dụng bất đẳng thức tanAtanBtanC ≥3√
3. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA =B =C hay tam giác ABC đều 21) Trong mọi tam giác ABC ta luôn có A
2 ∈(0,1). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có sinA
8. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA
2 ⇔A =B =C hay tam giác ABC đều.
22) Trong mọi tam giác ABC ta luôn có A
2 ∈(0,1). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có cosA
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosA
2 ⇔A =B =C hay tam giác ABC đều.
23) Trước tiên ta chứng minh đẳng thức sau cotA
Thật vậy, đẳng thức trên tương đương với
Kết hợp đẳng thức (∗)với bất đẳng thức cot A
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cotA
2 ⇔A=B =C hay tam giác ABC đều.
2 cotC 2 Áp dụng bât đẳng thức cotA
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 3.1.2.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
4. Phân tích.Bất đẳng thức có dạng đối xứng, các số hạng đều dương Điều này làm ta liên tưởng ngay đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên, điều quan trọng nhất khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy là lựa chọn đúng "điểm rơi".
Thông thường, với các bất đẳng thức đối xứng thì "điểm rơi" chính là tâm.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được
4. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA
3 hay tam giác ABC đều
Ví dụ 3.1.3.Chứng minh rằng trong mỗi tam giác nhọn ABC ta luôn có
2cosCcosA. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được
4. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosA= cosB = cosC = 1
3 hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 3.1.4.Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có
2 cosA. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA=B =C = π
3 hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 3.1.5.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
Phân tích Bất đẳng thức dạng đối xứng, "điểm rơi" là A=B =C = π
3. Khi đó ta có cosA
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 3.1.6.Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có sinA r cosB+1
4. Lời giải Đặt P = sinA r cosB +1
4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có sinA r cosB +1
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được
4. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3 hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 3.1.7 Cho n ∈N, n ≥ 2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có cosA
2n+ 1 (2n+ 2)√ n n+ 1 Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2 = n n+ 1 hay tam giác ABC cân tại C và có sinC
Ví dụ 3.1.8 Cho n ∈N, n ≥ 2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinA
(2n+ 2)√ n n+ 1. Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2 = 1 n+ 1. hay tam giác ABC cân tại C và có sinC
2 = 1 n+ 1. Nhận xét 3.1.1 Tương tư như trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức sau đây Cho n∈N, n ≥2 Trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinA 2 n r sinB
3.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác
Việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác cần đến các bất đẳng thức cơ bản làm công cụ hỗ trợ Từ đó, tác giả đã phát triển ý tưởng sáng tạo các bất đẳng thức mới dựa trên việc chứng minh các bất đẳng thức đại số, là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy Sự kết hợp giữa các bất đẳng thức đại số và các bất đẳng thức cơ bản sẽ mang lại nhiều kết quả đẹp.
Trước tiên, ta sẽ chứng minh một số hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.1.1 Với mọi số thực dương a, b, c ta đều có
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
≥ 9 a+b+c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Hệ quả 3.1.2 Với mọi số thực không âm a, b, c ta đều có
. Chứng minh Bất đẳng thức trên tương đương với
(1 +a) (1 +b) (1 +c). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Vậy hệ quả đã được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Kết quả 3.1.1 (Kết hợp Hệ quả 3.1.1 với các bất đẳng thức cơ bản).
Bài toán 3.1.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
1 sinA + 1 sinB + 1 sinC ≥ 9 sinA+ sinB + sinC (theo hệ quả 3.1.1) và sinA+ sinB+ sinC ≤ 3√
2 Bài toán 3.1.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
1 cosA + 1 cosB + 1 cosC ≥ 9 cosA+ cosB+ cosC. và cosA+ cosB+ cosC ≤ 3
2. Bài toán 3.1.3 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
2 ≤ 3 2 Bài toán 3.1.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bât đẳng thức:
2 Bài toán 3.1.5 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C ≥ 9 sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C và sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C ≤ 9
4. Bài toán 3.1.6 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
4.Nhận xét 3.1.2 Có thể kết hợp Hệ quả 3.1.1 với các bất đẳng thức đã được chứng minh ở Ví dụ 3.1.2 đến Ví dụ 3.1.7 Từ đó, ta có được các bất đẳng thức sau.
Bài toán 3.1.7 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
4. Bài toán 3.1.8 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
4. Bài toán 3.1.9 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
4. Bài toán 3.1.10 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Bài toán 3.1.11 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Kết quả 3.1.2 (Kết hợp Hệ quả 3.1.2 với các bất đẳng thức cơ bản). Bài toán 3.1.12 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức này được xây dựng dựa trên sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Bài toán 3.1.13 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức này được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Nhận xét 3.1.3 Từ Hệ quả 3.2.2, với mọi số thực dương a, b, c ta có
Thay các số a, b, c trong bất đẳng thức trên bởi các số thực dương 1 a,1 b,1 c Khi đó ta có
Kết hợp bất đẳng thức (∗) với bất đẳng thức cơ bản, ta có các bất đẳng thức mới như sau.
Bài toán 3.1.14 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
8 Bài toán 3.1.15 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
8. Bài toán 3.1.16 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
3. Bài toán 3.1.17 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Bài toán 3.1.18 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
8 Bài toán 3.1.19 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức:
Tác giả đã trình bày những ý tưởng cơ bản về việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác Các bất đẳng thức này có dạng đối xứng tương đối phức tạp, cho thấy phương pháp này rất hiệu quả Điều này khẳng định vai trò quan trọng của bất đẳng thức Cauchy trong việc chứng minh các bất đẳng thức đại số và các bất đẳng thức trong tam giác.
3.2 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức
Bất đẳng thức Bunhiacopxki đóng vai trò quan trọng trong Toán học và thường được học sinh phổ thông áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số thông thường Tuy nhiên, việc sử dụng Bunhiacopxki để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác vẫn còn ít được đề cập trong tài liệu Do đó, tác giả đã nghiên cứu và trình bày nội dung này trong luận văn nhằm mang đến cho độc giả cái nhìn mới mẻ hơn về ứng dụng của định lý Định lý 3.2.1 chỉ ra rằng với hai bộ số (a1, a2, , an) và (b1, b2, , bn), ta luôn có những mối quan hệ đáng chú ý giữa chúng.
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 2 1 a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n + b 2 1 b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ≥ 2|a 1 b 1 | p(a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ); a 2 2 a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n + b 2 2 b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ≥ 2|a 2 b 2 | p(a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ); a 2 n a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n + b 2 n b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ≥ 2|a n b n | p(a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ). Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n + b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ≥ 2 [|a1b1|+|a2b2|+ +|anbn|] p(a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n (quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
Bất đẳng thức trên cũng tương đương với a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ≤ q(a 2 1 +a 2 1 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ).
3.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 3.2.1.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có s sinA sinB
Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải quyết bài toán này do các đại lượng đều dương Tuy nhiên, việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki sẽ mang lại một phương pháp giải ngắn gọn và hiệu quả hơn.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA sinB
2 + 1 Áp dụng các bất đẳng thức sinA+ sinB+ sinC ≤ 3√
Từ đó ta suy ra
2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA =B =C hay ABC là tam giác đều.
Ví dụ 3.2.2.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinA√ sinBsinC+ sinB√ sinCsinA+ sinC√ sinAsinB ≤ 3
P = sinA√ sinBsinC+ sinB√ sinCsinA+ sinC√ sinAsinB. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA
√sinAsinB. Mặt khác ta lại có sinAsinB+ sinBsinC+ sinCsinA ≤q
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA sinB = sinB sinC = sinC sinA.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA =B =C hay ABC là tam giác đều.
Ví dụ 3.2.3.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sinA r cosB
2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA r cosB
Mặt khác ta lại có cosA
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosA 2 cosB 2 cosB 2 cosC 2 cosC 2 cosA 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức ra khi và chỉ khiA=B =C hay ABC là tam giác đều.
Ví dụ 3.2.4.Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có cosA 2
√cosA+ 1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cosA
Mặt khác ta lại có cos 2 A
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA =B =C hay ABC là tam giác đều.
3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác
Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác được thực hiện thông qua phương pháp chứng minh và kết hợp khéo léo với các bất đẳng thức cơ bản Có rất nhiều bất đẳng thức đại số liên quan đến Bunhiacopxki, nhưng tác giả chỉ tập trung vào những bất đẳng thức so sánh với các đại lượng a+b+c hoặc abc nhằm kết hợp chúng với các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác Dưới đây, chúng ta sẽ chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng.
Hệ quả 3.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz)
Với hai bộ số thực (a 1 , a 2 , a 3 ) và (b 1 , b 2 , b 3 ) trong đó b i >0,∀i= 1,2,3 ta luôn có a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 +a 2 3 b 3 ≥ (a 1 +a 2 +a 3 ) 2 b 1 +b 2 +b 3 Chứng minh Ta có
√b3 và √ b 1 ,√ b 2 ,√ b 3 , Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta có a 1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n (quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
Hệ quả 3.2.2 Với hai bộ số thực (a 1 , a 1 , a 3 ) và (b 1 , b 1 , b 3 ) ta luôn có q a 2 1 +b 2 1 + q a 2 2 +b 2 2 + q a 2 3 +b 2 3 ≥ q (a 1 +a 2 +a 3 ) 2 + (b 1 +b 2 +b 3 ) 2
Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau đây. q a 2 1 +b 2 1 + q a 2 2 +b 2 2 ≥ q (a 1 +a 2 ) 2 + (b 1 +b 2 ) 2 với a 1 , a 2 , b 1 , b 2 là các số thực.
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với a 2 1 +b 2 1 +a 2 2 +b 2 2 + 2p
⇔(a 2 1 +b 2 1 ) (a 2 2 +b 2 2 )≥(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) 2 Điều này luôn đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Bổ đề đã được chứng minh, với dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a₁b₁ = a₂b₂, trong đó quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng phải bằng 0 Dựa trên bất đẳng thức này, chúng ta tiến hành chứng minh Hệ quả 3.2.2.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3 (quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
Các bất đẳng thức đai số trong các hệ quả đã đề cập đều liên quan đến việc so sánh các đại lượng a, b, c và abc Điều này cho phép chúng ta kết hợp các hệ quả này với những bất đẳng thức cơ bản, tạo ra sự liên kết chặt chẽ trong việc áp dụng và mở rộng các khái niệm toán học.
Kết quả 3.2.1 (Kết hợp Hệ quả 3.2.1 với các bất đẳng thức cơ bản).
Bài toán 3.2.1 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có tan 2 A tanB + tanC + tan 2 B tanC+ tanA + tan 2 C tanA+ tanB ≥ 3√
2 Bất đẳng thức trên được xây dựng từ hai bất đẳng thức tan 2 A tanB + tanC + tan 2 B tanC+ tanA + tan 2 C tanA+ tanB
2 (tanA+ tanB+ tanC) = tanA+ tanB+ tanC
Bài toán 3.2.2 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, với n ∈N ta luôn có cot 2 A cotB +ncotC + cot 2 B cotC+ cotnA + cot 2 C cotA+ncotB ≥
√3 n+ 1. Bất đẳng thức trên được xây dựng từ hai bất đẳng thức cot 2 A cotB + cotC + cot 2 B cotC+ cotA + cot 2 C cotA+ cotB
≥ (cotA+ cotB+ cotC) 2 (n+ 1) (cotA+ cotB+ cotC) = cotA+ cotB+ cotC
Bài toán 3.2.3 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC, với n∈N ta luôn có tan 2 A 2 tanB
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức tan 2 A 2 tanB
Bài toán 3.2.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC, với n∈N ta luôn có cot 2 A 2 cotB
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức cot 2 A 2 cotB
Kết quả 3.2.2 (Kết hợp Hệ quả 3.2.2 với các bất đẳng thức cơ bản). Bài toán 3.2.5 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có p1 + tan 2 A+p
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức p1 + tan 2 A+p
9 + (tanA+ tanB+ tanC) 2 và tanA+ tanB + tanC≥3√
Bài toán 3.2.6 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có r
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức r
Bài toán 3.2.7 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC ta luôn có r
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của hai bất đẳng thức r
Bài toán 3.2.8 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có p1 + tan 2 A+ tan 2 B+p
Bất đẳng thức trên được xây dựng từ sự kết hợp của ba bất đẳng thức
1 + tan 2 C≥6 và tanA+ tanB + tanC≥3√
Bất đẳng thức trong tam giác là một chủ đề trừu tượng, thường gây khó khăn cho học sinh Tác giả chọn đề tài này nhằm cung cấp kiến thức cơ bản và phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán liên quan Luận văn đã đạt được những kết quả đáng ghi nhận trong việc giúp học sinh hiểu rõ hơn về nội dung này.
1 Phân loại một cách rõ ràng và có hệ thống các dạng bất đẳng thức trong tam giác, cụ thể là các bất đẳng thức có liên quan đến các đại lượng góc trong tam giác Đồng thời trình bày các phương pháp chứng minh tương ứng cho từng dạng bài Mỗi ví dụ đưa ra đều là những ví dụ tiêu biểu giúp học sinh có thể nắm bắt nhanh chóng dạng bài và cách giải.
2 Các phương pháp chứng minh rất phù hợp Nó vừa đem lại cách giải ngắn gọn, lại vừa thể hiện được mối quan hệ sâu sắc giữa Đại số, Giải tích và Hình học.