(LUẬN văn THẠC sĩ) mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính egodic

Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên

Trong không gian xác suất (Ω, F, P), một ánh xạ X: T × Ω → R được gọi là hàm ngẫu nhiên trên tập T nếu với mỗi t thuộc T, ánh xạ ω 7→ X(t, ω) là đo được Ta ký hiệu hàm ngẫu nhiên này là X = {X(t), t ∈ T}.

Như vậy, một hàm ngẫu nhiên trên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên

X = {X(t), t ∈ T } được chỉ số hóa bởi tập tham số T.

•Nếu T =N là tập các số tự nhiên thì ta gọi X = {X(n), n ∈N } là dãy các biến ngẫu nhiên.

• Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian

• Nếu T là một tập con của R d thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một trường ngẫu nhiên.

Nếu quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị trong R n thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n− chiều.

Giả sử X = {X(t), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu

Quá trình thích nghi với một bộ lọc

Một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường là một họ các σ-trường con {F t} t≥0 của F, trong đó F t ⊂ F Bộ lọc này cần đáp ứng hai điều kiện chính: thứ nhất, nó phải là một họ tăng, tức là F s ⊂ F t khi s < t; thứ hai, nó phải là một họ liên tục, nghĩa là F t = T ε>0.

F t+ε iii) Mọi tập P- bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F 0 , tức là

Nếu A thuộc F và xác suất P(A) bằng 0, thì A thuộc F0 Xét một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0}, ta có họ các σ-trường {F t X} t≥0 được sinh ra từ tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức là F t X = σ(X s , 0 ≤ s ≤ t) σ-trường này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t, và được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình.

X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X. c) Một không gian xác suất (Ω, F ,P ) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc {F t } t≥0 , được gọi là một không gian xác suất lọc và ký hiệu là (Ω, F , (F t ),P ) c) Cho một bộ lọc bất kì,{F t } t≥0 Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} được gọi là thích nghi với bộ lọc {F t } t≥0 , nếu với mỗi t ≥ 0 thì X t là F t - đo được.

Quá trình Wiener

Quá trình ngẫu nhiên W = {W(t), t ≥ 0} được gọi là quá trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ² nếu thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, W(0) = 0 hầu chắc chắn; thứ hai, W có gia số độc lập, nghĩa là với 0 < t₁ < t₂ < < tₙ, các biến ngẫu nhiên tương ứng là độc lập với nhau.

W (t 1 ), W (t 2 ) − W (t 1 ), , W (t n ) − W (t n−1 ), là độc lập. iii) Với 0 ≤ s < t thì W (t) − W (s) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Trong trường hợpσ 2 = 1 thì quá trình được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn.

Một số tính chất của quá trình Wiener

Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}. a)W (t) là martingale đối với bộ lọc tự nhiên {F t W } t≥0 của quá trình WienerW, tức là

E (W t |F s W ) = W s , ∀s < t. b) P {ω : quĩ đạo t 7→ W (t, ω) là khả vi} = 0. c)P {ω : quĩ đạo t 7→ W (t, ω)có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ } =

0. d) W tuân theo luật lôgarit- lặp như sau:

Tích phân ngẫu nhiên Itô

Tích phân Itô của hàm bậc thang

Cho {F_t} t≥0 là họ lọc tự nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W(t), t ≥ 0} Định nghĩa 1.6 cho biết rằng quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) ∈ N²(0, T) được gọi là hàm bậc thang nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [0, T].

P k=0 c k (ω)1 A k , ở đây A k = [t k , t k+1 ) và c k (ω) là F (t k )− đo được.

Với hàm ngẫu nhiên bậc thang f (t, ω) ở trên, ta định nghĩa tích phân Itô của hàm f(t, ω) trên đoạn [0, T ] bằng công thức

X k=0 c k (ω)(W (t k+1 ) − W (t k )) + c m+1 (ω)(W (t) − W (t m+1 )), với t m+1 < t là số gần t nhất.

Một số tính chất của tích phân Itô của hàm bậc thang

Giả sử f, g ∈ N 2 (0, T ) là các hàm bậc thang, khi đó ta có a)

0 f (u, ω)dW (u)là martingale đối với σ−đại số

Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn

Bổ đề 1.1 Giả sử f ∈ N 2 (0, T ) Khi đó tồn tại một dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φ n ∈ N 2 (0, T ) sao cho n→∞ lim E

Bước 1 Tồn tại dãy h n ∈ N 2 (0, T ) sao cho h n bị chặn với mỗi n và n→∞ lim E

Bước 2 Giả sử h ∈ N 2 (0, T ) bị chặn, khi đó tồn tại dãy ngẫu nhiên liên tục bị chặnu n ∈ N 2 (0, T ) sao cho n→∞ lim E

Bước 3 Nếu u ∈ N 2 (0, T ) là hàm ngẫu nhiên liên tục bị chặn Khi đó tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φ n ∈ N 2 (0, T ) sao cho n→∞ lim E

Nhờ các kết quả trên ta suy ra với mỗi hàm f ∈ N 2 (0, T ), tồn tại một dãy hàm ngẫu nhiên bậc thang bị chặn φ n ∈ N 2 (0, T ) sao cho n→∞ lim E

Ta có {φ n } là dãy Cauchy trong N 2 (0, T ), từ đó suy ra {I (φ n )} là dãy Cauchy trong L 2 (Ω), do đó tồn tại giới hạn l.i.m n→∞ I(φ n ). vì L 2 (Ω) là không gian Hilbert.

Ta định nghĩa tích phân Itô của hàm f trên [0, T ] là

Tích phân Itô có những tính chất cơ bản quan trọng được thể hiện qua Định lý 1.1 Theo đó, với mọi quá trình ngẫu nhiên f, g thuộc N²(0, T), ánh xạ I từ N²(0, T) đến L²(Ω) là tuyến tính, tức là I(f + g) = I(f) + I(g).

0 f (u, ω)dW (u) là martingale đối với σ− trường

E (M (t)|F s ) = M(s) , với mọi 0 ≤ s < t ≤ T. e) Với 0 ≤ s < t ≤ T ta có

Vi phân ngẫu nhiên Công thức Itô

Vi phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.7 Giả sửX = {X(t), t ≥ 0}là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: a) Hầu hết quỹ đạo t 7→ X(t, ω) là liên tục. b) Hầu chắc chắn X(t) có biểu diễn

Khi đó ta nói X có vi phân ngẫu nhiên Itô và viết dX(t) = h(t, ω)dt + g(t, ω)dW (t), hay viết gọn là dX = hdt + gdW.

Quy tắc vi phân Itô Định lý 1.2 Cho quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} có vi phân ngẫu nhiên dX(t) = h(t)dt + g(t)dW (t).

Giả sử u :R + × R → R (t, x) 7→ u(t, x), là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x.

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t, X (t)), 0 ≤ t ≤ T có vi phân ngẫu nhiên được tính bởi công thức dY (t) = h ∂u

Công thức Itô tổng quát

Giả sử X1(t), X2(t), , Xn(t) là các quá trình ngẫu nhiên với vi phân ngẫu nhiên dXk(t) = hk(t, ω)dt + gk(t, ω)dW(t) cho k = 1, 2, , n, trong đó hk thuộc N1(0, T) và gk thuộc N2(0, T) Định lý 1.3 cho rằng hàm u: R+ × Rn → R, với (t, x1, x2, , xn) ↦ u(t, x1, x2, , xn), là hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t và hai lần khả vi liên tục theo các biến x1, x2, , xn Đặt X(t) = (X1(t), X2(t), , Xn(t)), quá trình ngẫu nhiên Y(t) = u(t, X(t)) có vi phân ngẫu nhiên được tính theo công thức dY(t) = h ∂u.

Công thức trên được viết gọn dưới dạng dY (t) = ∂u

Ví dụ Xét hàm u(t, x, y) = xy Nếu dX 1 (t) = f 1 (t, ω)dt + g 1 (t, ω)dW (t), dX 2 (t) = f 2 (t, ω)dt + g 2 (t, ω)dW (t), thì từ công thức Itô suy rộng cho ta d[X 1 X 2 (t)] = X 1 (t)dX 2 (t) + X 2 (t)dX 1 (t) + g 1 (t)g 2 (t)dt

Tích phân Itô nhiều chiều

Quá trình Wiener n - chiều

Định nghĩa 1.8 Véc tơ ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên Wiener n- chiều, ký hiệu là W(t) = (W1(t), W2(t), , Wn(t)), được xác định bởi hai điều kiện chính: Thứ nhất, mỗi thành phần W r(t) với r = 1, 2, , n đều là một quá trình Wiener Thứ hai, các thành phần W r(t) là những quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau.

Nếu mỗi thành phần W r (t); r = 1, 2, , n là quá trình Wiener tiêu chuẩn thì ta

Tích phân Itô nhiều chiều

Giả sử f = [f ij (t, ω)] là ma trận cỡ m × n sao cho mỗi f ij (t, ω) thuộc N 2 (0, T ). Khi đó ta định nghĩa

0 f dW (s), là ma trận cỡ m × 1 mà thành phần thứ j của nó là

Công thức Itô nhiều chiều

Cho quá trình ngẫu nhiênm- chiềuX(t) = (X 1 (t), X 2 (t), , X m (t))và quá trình Wiener n- chiều W (t) = (W 1 (t), W 2 (t), , W n (t)) Giả sử X j (t) có vi phân ngẫu nhiên dX j = h j (t, ω)dt + n

X r=1 f jr (t, ω)W r (t), ở đây h j ∈ N 1 (0, T ), f jr ∈ N 2 (0, T ) ∀r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m, thì ta nói quá trình ngẫu nhiên X(t) có vi phân ngẫu nhiên m- chiều, ký hiệu là dX(t) = h(t, ω)dt + f(t)dW (t, ω) hay dX(t) = h(t, ω)dt + n

, Định lý 1.4 Cho vi phân ngẫu nhiên m- chiều dX = h(t)dt + n

Giả sử g(t, x) là ánh xạ từ R + × R m → R, trong đó các đạo hàm riêng

Khi đó g(t, X(t)) có vi phân ngẫu nhiên là dg(t, X(t)) =h∂g(t, X(t))

∂x i dW r (t), ở đây a ij là các phần tử của ma trận vuông cấp m, A = f.f ∗ , với f ∗ là ma trận liên hợp của f.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên

Cho W (t) = (W 1 (t), W 2 (t), , W n (t)), t ∈ [0, T ] là quá trình Wiener tiêu chuẩn n- chiều với các thành phần độc lập xác định trên không gian xác suất (Ω, F ,P )

Ký hiệu (F t ) t∈[0,T ] là một bộ lọc tự nhiên của W (t). Định nghĩa 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều là phương trình có dạng dX (t) = h(t, X(t))dt + f (t, X(t))dW (t), (2.1) trong đó h(t, x) : [0, T ] ×R m → R m ; f (t, x) : [0, T ] ×R m → R m×n

Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên m- chiều, độc lập với quá trình W (t)sao cho E |ξ| 2 <

Quá trình X(t), với t thuộc đoạn [0, T], là nghiệm của phương trình (2.1) dưới điều kiện ban đầu ξ, nếu mỗi thành phần của X(t) thích nghi với bộ lọc (F t) từ t thuộc [0,T], và có thể đo được đối với σ-trường tích B[0,T] × F t.

< ∞ ∀i = 1, 2, , m. ii) với xác suất 1 ta có

< ∞.iii) P (X(0) = ξ) = 1 iv) với xác suất 1 ta có

Giả sử X = (X(t), t ∈ [0, T ]) là lời giải của phương trình (2.1) Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:

Giả sửY = (Y (t), t ∈ [0, T ])cũng là một lời giải của phương trình trên thì khi đó

Chú ý.Phương trình (2.1) còn được viết dưới dạng dX(t) = h(t, X (t))dt + n

Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m-chiều, theo Định lý 2.1 (xem Định lý 3.4 [18]), cho các véc tơ h(s, x), f1(s, x), , fn(s, x) với s thuộc [t0, T] và x thuộc Rm là các hàm liên tục của (s, x) Các hàm này thỏa mãn các điều kiện với một hằng số B trong toàn bộ miền xác định.

(2.3) a) Với mỗi biến ngẫu nhiên ξ độc lập với quá trình W r (t) − W r (t 0 ) sao cho

Nếu E |ξ|^2 < ∞, thì tồn tại duy nhất quá trình X(t) liên tục hầu chắc chắn là nghiệm của phương trình (2.2) với giá trị ban đầu ξ Hơn nữa, nghiệm của phương trình (2.2) là quá trình Markov, trong đó hàm chuyển xác suất được xác định bởi

P (s, x, t, A) =P {X s,x (t) ∈ A}, ở đây X s,x (t) là nghiệm của phương trình

Phương trình Z s f r (u, X s,x (u))dW r (u) với điều kiện ban đầu X(s) = x tại thời điểm s < t Nếu hệ số của phương trình không phụ thuộc vào s, thì hàm chuyển xác suất của quá trình Markov tương ứng sẽ là hàm thuần nhất theo thời gian.

Từ nay, trong luận văn, ký hiệu P {X s,x (t, ω) ∈ A} sẽ được thay thế bằng P s,x {X(t, ω) ∈ A} Nếu các hàm b(s, x) và f 1 (s, x), f 2 (s, x), , f n (s, x) không phụ thuộc vào s, chúng ta chỉ cần xem xét quá trình X 0,x (t), ký hiệu là X x (t) Do đó, chỉ số x cho các biến ngẫu nhiên trong quá trình X x (t) sẽ được thêm vào ký hiệu E và P, dẫn đến việc chúng ta sẽ sử dụng E x và P x.

Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 19 2.4 Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 21

Quá trình hồi quy đối với một miền

Một quá trình ngẫu nhiên m-chiều X(t) được định nghĩa là hồi quy đối với miền U1 nếu nó là chính quy và với mọi x thuộc U và s trong khoảng [0, ∞), thỏa mãn điều kiện liên quan đến phần bù U1 c của U trong Rm.

Hồi quy là khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính chất quỹ đạo theo thời gian lớn Định lý 2.3 cung cấp điều kiện đơn giản cho tính hồi quy Quá trình X(t) được coi là hồi quy đối với miền U1 nếu nó là chính quy và tồn tại hàm không âm V(t, x) trong U, với V liên tục khả vi cấp 2 đối với biến x và liên tục khả vi đối với biến t.

LV (t, x) ≤ −α(t), ở đây α(t) là hàm không âm và β(t) = t

Khi t tiến đến vô cùng, tích phân 0 α(s)ds sẽ tiến đến vô cùng Theo định lý 2.4 (tham khảo định lý 3.10 [18]), nếu U1 là miền bị chặn với biên Γ chính quy, và các hệ số h, f r không phụ thuộc vào t, đồng thời thỏa mãn điều kiện (2.3) cho mỗi tập compact, thì một số điều kiện nhất định cần được xem xét.

X i=1 λ 2 i , được thỏa mãn với mọi bộ số thực λ 1 , , λ n và m(s, x)là hàm dương, liên tục trên

R m Khi đó quá trình Markov xác định bởi phương trình (2.1) là chính quy.

Và quá trình X(t) là hồi quy đối với miền U 1 nếu và chỉ nếu bài toán Dirichlet

= 0, u| Γ = f (s), có nghiệm bị chặn duy nhất trong U.

Hồi quy và không hồi quy

Trong phần trước, chúng ta đã xem xét các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính quy của nghiệm các phương trình ngẫu nhiên trong miền U Tiếp theo, chúng ta nhận thấy rằng đối với quá trình Markov thuần nhất theo thời gian với ma trận khuếch tán không suy biến, tính chất hồi quy không bị ảnh hưởng bởi sự lựa chọn của miền mở bị chặn U trong R m.

Xét X(t)là quá trình Markov thuần nhất, chính quy trong R m được xác định bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên dX(t) = b(X)dt + m

X r=1 f r (X)dW r (t) (2.5) Ở đây ma trận khuếch tán A của quá trình X(t) là không suy biến

Bổ đề 2.1 (tham khảo Bổ đề 4.1 [18]) chỉ ra rằng nếu quá trình X(t) được mô tả bởi phương trình (2.5) là hồi quy trong một miền U mở và bị chặn, thì nó cũng sẽ hồi quy trong bất kỳ miền mở nào khác không rỗng trong R m.

Theo bổ đề này, một quá trình chính quy X(t) được gọi là hồi quy nếu nó được mô tả bởi phương trình (2.5) với ma trận khuếch tán không suy biến, và tồn tại miền bị chặn U sao cho với mọi x ∈ U c, xác suất P x {τ U c < ∞} = 1.

Nếu tồn tại miền mở khác rỗng U và một điểm x ∈ U c sao cho P x {τ U c < ∞} < 1,quá trình được gọi là không hồi quy.

Hồi quy dương và hồi quy không

Nếu các điều kiện ban đầu trong phần 2.4.2 được thỏa mãn, thì quá trình hồi quy X(t) được xác định bởi phương trình (2.5) Trong trường hợp có vô số trạng thái đếm được, dáng điệu tiệm cận của hàm chuyển xác suất phụ thuộc vào thời gian hồi quy trung bình, cho dù miền bị chặn là hữu hạn hay vô hạn Theo định nghĩa 2.4, quá trình X(t) được gọi là hồi quy dương đối với miền mở, bị chặn U nếu nó hồi quy và E x τ U c < ∞ với x ∈ U c; ngược lại, nó được gọi là hồi quy không.

Bổ đề 2.2 khẳng định rằng nếu E x 0 τ U c < ∞ cho miền mở bị chặn U nào đó và x 0 ∈ U c, thì E x τ U 0 c < ∞ với mọi miền mở U 0 khác rỗng và mọi x ∈ U 0 c Định nghĩa 2.5 chỉ ra rằng quá trình Markov thuần nhất X(t) được coi là có tín hiệu ergodic nếu nó hồi quy dương, và trong trường hợp này, tồn tại một độ đo hữu hạn bất biến duy nhất cho quá trình X(t).

Sự tồn tại phân phối dừng

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu tính chất ergodic của quá trình Markov hồi quy dương, tập trung vào việc xác định sự tồn tại của phân phối dừng Việc này cho phép áp dụng các định lý ergodic vào các quá trình dừng, từ đó nghiên cứu luật mạnh các số lớn đối với các hàm của quá trình khuếch tán dạng Markov.

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên m- chiều (2.5).

Giả sử tồn tại miền mở U ⊂ R^m với biên chính quy, trong đó giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận khuếch tán A(x) trong miền U và lân cận của nó bị chặn và khác 0 Đối với mọi x ∈ R^m \ U, điều này tạo ra những đặc điểm quan trọng cho nghiên cứu.

Nếu E x [τ U c ] < ∞ và sup x∈KE x τ K < ∞ với mỗi tập compact K ⊂ R m, thì theo Định lý 2.5, nếu giả thiết H 1 được thỏa mãn, quá trình Markov X(t) sẽ có phân phối dừng Ngoài ra, theo Định lý 2.6, nếu giả thiết H 1 được thỏa mãn và a là phân phối dừng của quá trình X(t) như được nêu trong Định lý 2.5, thì với f (x) là hàm khả tích đối với độ đo a, các điều kiện sẽ được đảm bảo.

Hệ quả 2.1 Nếu f(x) là hàm bị chặn, khi đó lim

Nếu giả thiết H1 được thỏa mãn, phân phối dừng của quá trình ngẫu nhiên X(t) sẽ là duy nhất Theo Định lý 2.7, nếu X(t) là quá trình ngẫu nhiên m chiều, thì quá trình này sẽ có hồi quy và tồn tại một độ đo hữu hạn bất biến nếu tồn tại z ∈ R^m sao cho sup y∈∂B(z:r1) E_y(τ_B(z:r0)c) < ∞, với r0, r1 thỏa mãn điều kiện 0 < r0 < r1 Ngược lại, nếu tồn tại z ∈ R^m và các số dương r0, r1 (với r0 < r1) sao cho sup y E_y(τ_B(z:r0)c) = ∞ đối với mọi y ∈ ∂B(z:r1), thì không tồn tại độ đo hữu hạn bất biến.

Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic

Xét cặp phương trình vi phân thường dx t = x t (à − λy t + γx t )dt, dy t = y t (−α + βx t + δy t )dt,

Mô hình động lực học quần thể cổ điển này mô tả sự tương tác giữa hai loài thông qua các hằng số dương λ, α và β, cùng với các hằng số thực δ, γ Cặp (x_t, y_t) biểu thị kích thước quần thể của hai loài tại thời điểm t ≥ 0 Dưới những điều kiện nhất định của các tham số, nghiệm của hệ có thể nằm trên một đường đồng mức Tốc độ tăng trưởng quần thể được xác định bởi r_1(x, y) = à - λy + γx và r_2(x, y) = -α + βx + δy, phản ánh sự thay đổi kích thước quần thể hiện tại (x, y).

Khi γ = 0 và δ = 0, mô hình trở thành quá trình thú mồi Nếu γ < 0 và δ < 0, hai loài tự hạn chế, dẫn đến tốc độ tăng trưởng âm của loài này khi kích thước quần thể của loài kia lớn, tạo thành mô hình cạnh tranh loài nổi tiếng Các trường hợp khác như γ > 0, δ < 0 và γ > 0, δ > 0 không được xem xét trong các mô hình động lực học quần thể.

Giả sử rằng r1(x∗, y∗) = -λy∗ + γx∗ = 0 và r2(x∗, y∗) = -α + βx∗ + δy∗ = 0 có nghiệm đồng thời (x∗, y∗) ∈ R2+ Khi đó, cả hai mô hình thú mồi và mô hình cạnh tranh loài từ (1), với điều kiện ban đầu (x0, y0) = (x, y) ∈ R2+, đều có nghiệm rất đẹp, thể hiện qua tính chu kỳ và tuần hoàn về điểm bất động (x∗, y∗) của các phương trình xác định r1(x, y) = 0 và r2(x, y) = 0.

Trong phần này, chúng ta xem xét trường hợp tốc độ tăng trưởng quần thể bị ảnh hưởng bởi các biến động ngẫu nhiên Cụ thể, chúng ta thay thế r 1 (x t , y t )dt bằng r 1 (x t , y t )dt + σ 1 x t dW 1 (t), cho thấy rằng tốc độ tăng trưởng bị nhiễu bởi tiếng ồn trắng Gauss Tương tự, tốc độ tăng trưởng r 2 (x t , y t )dt cũng chịu ảnh hưởng từ tiếng ồn trắng độc lập Do đó, mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên được thiết lập như sau: dx t = x t (à − λy t + γx t )dt + σ 1 x t dW 1 (t) và dy t = y t (−α + βx t + δy t )dt + σ 2 y t dW 2 (t).

Chuyển động Brown tiêu chuẩn 2 chiều được biểu diễn bằng {W 1 (t), W 2 (t) : t ≥ 0} Trong đó, các tham số tăng trưởng như λ, α, và β là các hằng số dương, trong khi γ và δ là các hằng số âm Ngoài ra, các tham số tiếng ồn được xác định bởi σ 1 và σ 2.

Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm của phương trình (3) Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu nghiệm của phương trình (2) thuộc

Khi R2+ và các tham số tiếng ồn σ1, σ2 đủ nhỏ, nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên có tính ergodic Phương pháp chứng minh làm nổi bật mối liên hệ giữa hệ số tiếng ồn và các tham số tốc độ tăng trưởng cần thiết để đảm bảo tính ergodic Chứng minh dựa trên cách thức của tài liệu [6], trong đó các điều kiện được trình bày dưới dạng khoảng cách Euclide.

Hàm F (x, y) = p x^2 + y^2 không phải là khoảng cách tự nhiên mà chúng ta thường sử dụng, vì nghiệm của phương trình này chỉ nằm trong góc phần tư thứ nhất, tức là thuộc miền dương.

R 2 + Mao và các tác giả khác [17] đã sử dụng khoảng cách

Hàm F (x, y) = √ x − ln x + √ y − ln y đã được chứng minh không dẫn đến quá trình bùng nổ và không phù hợp để chỉ ra tính ergodic trong mô hình cạnh tranh loài Do đó, trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng một hàm khác.

F (x, y ) = A 1 x − A 2 ln x + A 3 y − A 4 ln y + c, (4) với các hằng số A 1 , A 2 , A 3 , A 4 và c được lựa chọn hợp lý.

Cạnh tranh loài, tính ergodic và các elip

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày kết quả chính, cụ thể là Định lý 3.2, liên quan đến xột mụ hỡnh cạnh tranh loài với các hằng số dương λ, α và β Bổ đề 3.1 sẽ được sử dụng để viết phương trình (3) dưới dạng hợp lý, và sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu trong Định lý 3.1 Phương pháp chứng minh định lý này dựa vào việc tìm hàm không âm thích hợp, tiến tới vô cùng trên biên của R²+, đồng thời sử dụng hợp lý cận trên kỳ vọng của một thời điểm dừng nào đó Kết quả này dẫn đến một điều kiện đủ hình học rất đẹp cho tính chất ergodic.

Bổ đề 3.1 giả định rằng γδ > 0, với ε 0 1 = γ β và ε 0 2 = δ λ Ta có thể viết lại hệ phương trình (3) như sau: dx t = x t [à 0 − λy t + ε 0 1 (βx t − α 0 )] dt + σ 1 x t dW 1 (t) và dy t = y t [−α 0 + βx t + ε 0 2 (λy t − à 0 )] dt + σ 2 y t dW 2 (t), trong đó các hằng số thích hợp là à 0 và α 0 Nếu một trong hai điều kiện được thỏa mãn, hệ phương trình sẽ có những đặc điểm nhất định.

Chứng minh So sánh cặp phương trình vi phân ngẫu nhiên trong bổ đề này với (3) cho ta ε 0 1 = γ β , ε 0 2 = δ λ , à 0 − ε 0 1 α 0 = à, α 0 + ε 0 2 à 0 = α.

Do ε 0 1 ε 0 2 > 0 nờn à 0 > 0 và α 0 > 0 khi và chỉ khi

⇔ àβ + γα > 0 αλ − δà > 0 Lại cú γδ > 0 nờn à 0 > 0, α 0 > 0 khi và chỉ khi γ > 0 và 0 < δ < aλ à hoặc δ < 0 và − àβ α < γ < 0.

Bổ đề 3.2 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên 2 chiều dx t = h 1 (x t , y t )dt + f 11 (x t , y t )dW 1 (t) + f 12 (x t , y t )dW 2 (t), dy t = h 2 (x t , y t )dt + f 21 (x t , y t )dW 1 (t) + f 22 (x t , y t )dW 2 (t), với giá trị ban đầu (x 0 , y 0 ) ∈R 2 +.

Giả sử tồn tại hàm dương F : R²⁺ → R⁺ với F(x, y) → ∞ khi (x, y) tiến đến biên của R²⁺ Đồng thời, giả sử dF(xₜ, yₜ) = f(xₜ, yₜ)dt + σ(xₜ, yₜ)dW(t), trong đó σ(., ) là hàm liên tục và f(x, y) ≤ c với c là một hằng số nhất định Đặt τ = inf{t ≥ 0 : (xₜ, yₜ) ∈ ∂R²⁺} là thời điểm chạm vào biên ∂R²⁺ Khi đó, xác suất P[τ = ∞] = 1, nghĩa là phương trình vi phân ngẫu nhiên hai chiều luôn có nghiệm trong R²⁺ với xác suất bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại m > 0 là số nguyên thỏa mãn điều kiện trên.

, và định nghĩa τ m = inf {t ≥ 0 : (x t , y t ) ∈ / K m }. Khi đó do (x τ , y τ ) ∈ / K m nên τ ≥ τ m Từ dF (x t , y t ) = f (x t , y t )dt + σ(x t , y t )dW (t), hay

Thay t bởi τ m ∧ t sau đó lấy kỳ vọng hai vế ta được

Theo kết quả từ Bổ đề 3.2, ta có P[τ < t] ≤ P[τ m < t] với mọi m > 0 đủ lớn, điều này dẫn đến P[τ < t] = 0 với mọi t hữu hạn hay P{τ = ∞} = 1 Định lý 3.1 xem xét phương trình vi phân ngẫu nhiên 2 chiều, được mô tả bởi các phương trình: dx t = x t [à − λy t + ε 1 (βx t − α)] dt + σ 1 x t dW 1 (t) và dy t = y t [−α + βx t + ε 2 (λy t − à)] dt + σ 2 y t dW 2 (t).

(5) ở đõy à, λ, α và β là cỏc hằng số dương, với điều kiện ban đầu (x 0 , y 0 ) = (x, y) ∈

2à 2 < −ε 2 , khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) có tính ergodic.

Chứng minh Trên tập R 2 +, xét hàm

Thật vậy, xét các hàm h(x) = βx − α ln x + α ln α β

. Áp dụng bổ đề Itô tới F t = F (x t , y t ) ta được dF t =h ε 1 (βx t − α) 2 + ε 2 (λy t − à) 2 + 1

Từ hai điều kiện ε 1 < 0 và ε 2 < 0, ta có thể kết luận rằng hàm f(x, y) bị chặn trên miền R2+ Hơn nữa, hàm F(x, y) tiến đến vô cùng khi (x, y) tiến gần đến biên của miền R2+ Do đó, theo bổ đề 3.2, nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) nằm trong miền R2+ với xác suất bằng 1.

) , có biên là hình elip Chú ý rằng

Suy ra D ⊂R 2 + Thật vậy, nếu một trong hai thành phần tọa độ x, y nhỏ hơn 0, giả sử x < 0 thì x − α β < − α β < 0 nên x − α β

2 (σ 2 1 α + σ 2 2 à) Khi đú tồn tại hằng số d > 0 sao cho α β − r k

Cụ thể, chúng ta có thể lấy d = 1 2 α β − r k

Từ d > 0, chúng ta cũng có D ⊂ D ∗ ⊂R 2 +.

Xét tập D ∗c được xác định như sau

Xét (x, y) ∈R 2 + − D ∗ và gọi (x t , y t ) là nghiệm của (5) với giá trị ban đầu (x, y).

Gọi τ : Ω → R ; ω 7→ τ (ω) = inf {t ≥ 0 : (x t (ω), y t (ω)) ∈ D ∗ } và m là số nguyên dương đủ lớn mà

Gọi E(x,y) ,P(x,y) tương ứng là kì vọng và độ đo xác suất cho quá trình khuếch tán với điều kiện ban đầu (x 0 , y 0 ) = (x, y) Từ (7), chúng ta có

Nếu xét trên miền R 2 + − D ∗ thì ε 1 (βx − α) 2 + ε 2 (λy − à) 2 + 1

Lấy kì vọng hai vế ta được :

F (u, v).P(x,y) [τ ≥ τ m ], ở đây 1(.) là hàm chỉ tiêu Rõ ràng

F (u, v) → 0, khi m → ∞ Từ τ m → ∞, chúng ta có P(x,y) [τ = ∞] = 0, do đó, (x t , y t ) là quá trình hồi quy.

Từ (7), chúng ta cũng có

F (x, y). Áp dụng định lí hội tụ đơn điệu và hội tụτ m → ∞, ta được

Hơn nữa, chúng ta có thể chọn a 1 > 0 và b 1 > 0 sao cho elip

) , nằm giữa biên của D ∗ và D m

Từ D ∗∗ ⊂ D ∗c , chúng ta có sup

Chú ý rằng một elip có tâm tại α β , à λ có thể được xem như là khoảng cách từ

Trong xây dựng ở trên, chúng ta đã có 3 miền elip lồng nhau

Tập mở D ∗ chứa các điểm α, β và λ trong phần trong của nó, và theo định lý 2.8, nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) có tính ergodic Định lý 3.2 xem xét quá trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên (3) với giả thiết γ < 0 và δ < 0, trong đó ε 0 1 được xác định là γ β và ε 0 2 là δ λ.

1 + ε 0 1 ε 0 2 Khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic.

Chứng minh Định lí 3.2 là hệ quả của định lí 3.1, từ việc áp dụng bổ đề 3.1 chỳng ta cú à 0 > 0 và α 0 > 0.

Định lý 3.2 chỉ ra rằng, khi các hệ số tiếng ồn σ 1 và σ 2 nhỏ và γ < 0, − àβ α < γ < 0, nghiệm của quá trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên (3) sẽ có tính ergodic Đặc biệt, nghiệm của (2) với tốc độ triệt tiêu là x ∗ y ∗.

Vậy x∗ > 0, y∗ > 0 nếu và chỉ nếu δ < 0 và −αβ < γ < 0 Điều này cho thấy điều kiện bổ sung để nghiệm của phương trình (3) có tính ergodic là yêu cầu hệ cạnh tranh loài tất định phải có điểm bất động trong R²+ Định lý 3.3 khẳng định rằng một trong các điều kiện sau đây là đúng.

Khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) là không hồi quy. Chứng minh.Ta sẽ chứng minh kết luận đúng với phần i).

F (x, y ) = A 1 x − A 2 ln x + A 3 y − A 4 ln y + c, trong đó A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , c là các hằng số Chọn 2 hằng số dươngA 2 và A 4 sao cho

Xét A 1 = A 3 = 0 và c = 0 Viết F t = F (x t , y t ), và áp dụng công thức Itô, ta được

−F (x t , y t ) = ln(x A t 2 ) ln(y t A 4 ) = ln(x A t 2 y t A 4 ), với các hằng số A 2 và A 4 dương, chúng ta thu được x A t 2 y t A 4 → 0 Do đó, (x t , y t ) là không hồi quy. ii) Trong trường hợp này ta vẫn chọn A 1 = A 3 = 0 và

Sau đó lập luận tương tự như phần i) ta cũng có quá trình (x t , y t ) là không hồi quy. iii) Lấy ` > 0 sao cho 1

Ta có H(x) là hàm tăng và lim x→∞ H(x) < ∞ Xét hàm

F (x, y) = βx − α ln x + λy − à ln y + c, với c = −α + α ln α β − à + à ln à λ Khi đó hàm ngẫu nhiên F t = F (x t , y t )có vi phân ngẫu nhiên (7), áp dụng công thức Itô, ta được dH(F t ) = H 0 (F t ) h ε 1 (βx t − α) 2 + ε 2 (λy t − à) 2 + 1

+e −`F t σ 1 (βx t − α)dW 1 (t) + e −`F t σ 2 (λx t − à)dW 2 (t). Đặt D(r) = {(x, y) : F (x, y) ≤ r} Cố định r 0 > 0 và xét miền D(r 0 ) Giả sử rằng

(x, y) ∈ / D(r 0 ) và τ là thời điểm chạm của tập hợp D(r 0 ) của quá trình (5) với giá trị ban đầu (x, y), tức là τ = inf{t ≥ 0 : (x t , y t ) ∈ D(r 0 )}.

Ta sẽ chứng tỏ rằng P(x,y) (τ < ∞) < 1 hoặc tương đương P(x,y) (τ = ∞) > 0.

Tồn tại một r > r0 sao cho (x, y) thuộc phần trong của D(r) Đặt τr = inf {t ≥ 0 : (xt, yt) ∈ D(r)} là thời điểm chạm của D(r) Theo bổ đề 3.2 và tính chất của F, ta có τr → ∞ khi r → ∞ Lấy kỳ vọng, ta nhận được kết quả mong muốn.

Suy ra E(x,y) H(F τ ∧τ r ) ≥ H(F (x, y)), từ tính không âm của hàm dưới dấu tích phân.

Chú ý rằng H(F τ ) = H(r 0 ) và H(F τ r ) = H(r), nên ta có

Vậy ta chứng minh xong Định lí 3.3.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng đối với một tập hợp compact bất kỳ, nếu quá trình bắt đầu từ phần trong của nó, thì quá trình này sẽ tiếp cận biên của tập hợp trong một khoảng thời gian hữu hạn.

Bổ đề 3.3 đề cập đến một tập con đóng D của R²⁺ và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả sự phát triển của hai biến x và y theo thời gian Hệ phương trình được định nghĩa như sau: dx_t = x_t [à - λy_t + ε₁(βx_t - α)] dt + σ₁x_t dW₁(t) và dy_t = y_t [-α + βx_t + ε₂(λy_t - à)] dt + σ₂y_t dW₂(t), trong đó à, λ, α và β là các hằng số dương và điều kiện ban đầu (x₀, y₀) thuộc phần trong của D Đặt τ là thời điểm chạm biên của tập D, được định nghĩa là τ = inf {t ≥ 0 : (x_t, y_t) ∈ ∂D} Kết quả cho thấy rằng kỳ vọng E(x₀, y₀) τ là hữu hạn, tức là E(x₀, y₀) τ < ∞.

Chứng minh hàm F(x, y) = βx − α ln x + λy − à ln y + c, với H = e cu (c là hằng số dương) cho thấy H luôn không âm và đơn điệu tăng Đặt F t = F(xt, yt) và a = 1 để tiếp tục phân tích.

2 (σ 1 2 α + σ 2 2 à) Khi đú dH(F t ) = L(x t , y t ) + dM t ở đây M là martingale trung bình không và số hạng chuyển dịch được cho bởi hàm

(λx − à) 2 i Chọn hằng số c sao cho c > max

Khi đó do D là tập bị chặn và L liên tục nên tồn tạiη = inf (x,y)∈D L(x, y) > 0 Ta có

H(F (x, y)) ≥E(x 0 ,y 0 ) H(F τ ) ≥ H(F 0 ) + ηE(x 0 ,y 0 ) τ, ở đây D là bao đóng của D và

Ta chứng minh xong Bổ đề 3.3.

So sánh với các kết quả khác

Trong phần này, chúng tôi sẽ tiến hành so sánh chi tiết kết quả của nghiên cứu với các kết quả được trình bày trong tài liệu [20] Để thuận lợi cho việc so sánh, chúng tôi sẽ áp dụng các ký hiệu được sử dụng trong [20] Bảng 1 cung cấp sự tương ứng giữa các tham số để người đọc dễ dàng theo dõi.

Rudnicki đã nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên 2 chiều liên quan đến phương trình của chúng ta với tiếng ồn Brown W 1 = W 2, đồng thời đưa ra một số khẳng định cho trường hợp W 1 và W 2 là các chuyển động Brown độc lập Kết quả của ông liên quan đến một hệ có ma trận khuếch tán suy biến Chúng tôi nghiên cứu trường hợp mà W 1 và W 2 là các chuyển động Brown độc lập, dựa trên ý tưởng từ tài liệu [6], yêu cầu ma trận khuếch tán của hệ không suy biến.

Do đó, chúng ta chỉ so sánh với các phần có liên quan đến [20].

Rudunick đã phát triển nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông qua một toán tử, như được thể hiện trong các phương trình (19)-(21) Điều này tương đương với việc tìm ra nghiệm mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên (3), trong đó nghiệm được xác định là hàm riêng của chuyển động Brown.

Ý tưởng W1 và W2 rất thú vị và có tiềm năng khai thác sâu hơn Rudnicki đã trình bày phương pháp chứng minh cho Định lý 1 của ông, dựa trên hàm Khasminskii.

Trong Định lý 3.3, chúng ta thấy một sự tương đồng với [20, Định lý 1 (III)], trong khi [20, Định lý 1 (I)] đưa ra một điều kiện đủ có sự khác biệt nhẹ so với Định lý 3.2 của chúng ta.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong Bổ đề 3.4, nếu δc 1 − àc 2 = 0, thì nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic dưới những điều kiện đã nêu về σ và ρ Do đó, δc 1 − àc 2 > 0 chỉ là điều kiện đủ, không phải là điều kiện cần.

Phương pháp chứng minh dựa trên hàm bùng nổ có dạng

Khi A i > 0 ∀i = 1, 2, 3, 4 ta có thể lấy c = A 2 ln A 2

BẢNG 1 : Hệ số tương ứng giữa kí kiệu của chúng ta và của Rudninki[20]

Khi đó phương trình (3) viết thành dx t = x t (α − βy t − àx t )dt + σx t dW 1 (t), dy t = y t (−γ + δx t − νy t )dt + ρy t dW 2 (t).

Vì F (x, y) > 0 ngoại trừ tại điểm (x, y) =

F(x, y) → ∞ khi (x, y) tiến đến biên của R²⁺ Áp dụng bổ đề Itô cho hệ thống này, chúng ta có dF_t = H(x_t, y_t)dt + dM_t, với M_t là martingale trung bình 0 và H(x, y) là hàm bậc hai của x và y Định lý 3.4 nêu rằng nếu tồn tại các hằng số dương A₁, A₂, A₃ và A₄ của hàm (4) sao cho H(x, y) = 0 là tập con elip của R²⁺, thì điều kiện tương đương trên H là cần thiết.

(i) H(x, y) > 0 ở phần trong của elip, và

(ii) H(x, y) < 0 ở phần ngoài của elip, và nó được bảo đảm nếu

Khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic.

Chúng ta có thể áp dụng phương pháp chứng minh theo Định lý 3.1 để xây dựng giới hạn trên các thời điểm dừng của sự trở lại về miền trung tâm, từ đó thu được tính ergodic bằng cách sử dụng phương pháp đã được nêu trong tài liệu [6] Điều này dẫn đến việc chúng ta cần chứng minh một kết quả cụ thể.

Rudnicki [20, Định lí 1 (I) ], thu được kết quả của sự ổn định tiệm cận dưới điều kiện đủ c 1 > 0 và δc 1 − àc 2 > 0, ở đõy δc 1 − àc 2 > 0 và c 2 = γ + 1

2 ρ 2 Chọn hằng số A 1 = 1, A 2 = k 1 , A 3 = A và A 4 = Ak 2, từ chỗ

2 (σ 2 k 1 +Aρ 2 k 2 ) (8) Sau một vài bước biến đổi đại số chúng ta có được kết quả

2 ρ 2 ) = −k 1 c 1 + Ak 2 c 2 Hàm H(x, y) còn viết được dưới dạng

H(x, y) = −àx 2 + (Aδ − β)xy − Aνy 2 + c 1 x + c 2 y + d. Đường đồng mức H(x, y) = 0 là một elip nếu và chỉ nếu

Điều kiện (Aδ − β) 2 − 4Aν < 0 cho thấy elip là tập con của R 2 + nếu H(x, 0) < 0 và H(0, y) < 0 Hàm H(x, 0) là hàm bậc hai của x, và H(x, 0) < 0 với mọi x chỉ khi H(x, 0) = 0 không có nghiệm thực, do hệ số âm Tương tự, H(0, y) < 0 chỉ khi H(0, y) = 0 không có nghiệm thực Các điều kiện này tương đương với điều kiện (ii) trong Định lý 3.4.

Cuối cùng, chúng ta có các điều kiện k1 = bδ và Ak2 = bà, với b là hằng số dương Do đó, H(0, 0) = −b(δc1 − àc2) và điều kiện của Định lý 3.4 được thỏa mãn nếu δc1 − àc2 > 0, b > 0, α2 < 4àb(δc1 − àc2).

Do A và b là tùy ý, chúng ta có thể lấy

Để giữ nguyên bất đẳng thức A = b (àν + βδ) γ, chúng ta thu được kết quả tương tự như trong [20, Định lý 1(I)], đó là tính ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) Điều kiện (δc 1 − àc 2 ) > 0 có thể được thay thế bằng điều kiện (δc 1 − àc 2 ) ≥ 0 Hơn nữa, chúng ta có thể giả định rằng phương trình vi phân cạnh tranh loài xác định có nghiệm cố định trong R 2 +.

Bổ đề 3.4 trình bày rằng nếu (δc 1 − àc 2 ) = 0 và hệ phương trình α − àk 1 − βk 2 = 0, γ − δk 1 + νk 2 = 0 có nghiệm dương (k 1 , k 2 ), với A = β δ Nếu σ > 0 và ρ > 0 thỏa mãn bất đẳng thức nhất định, thì nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) sẽ có tính ergodic.

Chứng minh rằng 2 (σ 2 k 1 + ρ 2 Ak 2 ) < Aνk 2 dựa trên phương pháp chứng minh tương tự như trong Định lý 3.1 Chúng ta chọn các hằng số dương k 1, k 2 và A trong (8) để đảm bảo elip H(x, y) = 0 là tập con của R 2 + Từ đó, các thời điểm dừng được xây dựng từ elip sẽ được sử dụng cùng với kết quả của Battacharya như đã thực hiện trong Định 3.1 Để thỏa mãn điều kiện trong (8), chúng ta có k 1 và k 2 thỏa mãn các phương trình α − àk 1 − βk 2 = 0 và γ − δk 1 + νk 2 = 0, với k 1 = βγ + αν βδ + àν và k 2 = αδ − γà βδ + àν.

Rừ ràng k 1 > 0 và k 2 > 0 nếu và chỉ nếu αδ − γà > 0 Chỳ ý rằng αδ − γà = δ α − 1

2 δσ 2 + àρ 2 là dương, từ δc 1 − àc 2 = 0 Bõy giờ H đơn giản húa thành

Từ A = β δ, chúng ta có thể thấy rằng H còn có dạng đơng giản hơn nữa

Chú ý rằng các hằng số k 1 , k 2 và A tất cả đều dương và không phụ thuộc vào hệ số tiếng ồn σ và ρ.

Tiếp theo chúng ta quan tâm đến elip H(x, y) = 0, đó là tập các điểm (x, y) thỏa mãn à(x − k 1 ) 2 + Aν(y − k 2 ) 2 = 1

`/Aν = 1. Đây sẽ là tập con củaR 2 + nếu điều kiện

2 (σ 2 k 1 + ρ 2 Ak 2 ) < Aνk 2 ,được thỏa mãn Vậy ta chứng minh xong Bổ đề 3.4.

Thảo luận

Chúng tôi đã chứng minh rằng, trong những điều kiện nhất định và dưới giới hạn cường độ tiếng ồn, nghiệm của phương trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên (3) có tính ergodic Phương pháp chứng minh sử dụng hình học tự nhiên, cụ thể là elip Miền D, được nêu trong chứng minh, đóng vai trò quan trọng; nếu miền này nằm trong phần trong của R 2 +, thì nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) sẽ có tính ergodic.

Giờ ta đi xét trường hợp γ = δ = 0, khi đó ta có hệ hệ thú mồi dx t = x t (à − λy t )dt + σ 1 x t dW 1 (t), dy t = y t (−α + βx t )dt + σ 2 y t dW 2 (t). Trong trường hợp này, (7) trở thành dF t = 1

Hệ phương trình bao gồm các thành phần như 2(σ₁²α + σ₂²à)dt và các yếu tố tiếng ồn σ₁(βxₜ − α)dW₁(t) cùng σ₂(λyₜ − à)dW₂(t) cho thấy rằng có một hằng số dịch chuyển dương khi hệ số tiếng ồn là dương Điều này dẫn đến việc không thể kiểm soát sự dịch chuyển trong hệ thống Hơn nữa, nghiệm của hệ thú mồi ngẫu nhiên không có tính ergodic nếu có bất kỳ tiếng ồn hiện tại nào, điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của tiếng ồn trong việc xác định tính chất của hệ thống.

Khi t tiến tới vô cùng, cặp (x t, y t) tiến tới biên của R 2 + với xác suất cao Tuy nhiên, kết quả này không chỉ rõ điểm cụ thể trên biên mà (x t, y t) sẽ tới, có thể là (0, 0) hoặc x t tiến tới vô cùng.

Quá trình thú mồi ngẫu nhiên có những đặc điểm khác biệt so với quá trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên Đối với bất kỳ tham số tiếng ồn σ1 > 0 và σ2 > 0, nghiệm của phương trình thú mồi không bao giờ đạt tính ergodic Ngược lại, nghiệm của phương trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên chỉ có tính ergodic khi cường độ tiếng ồn đủ nhỏ nhưng vẫn khác 0.

Chúng ta có thể giải thích một phiên bản ngẫu nhiên của (3) khi tích phân

Stratonovichvich thay vì tích phân Itô Khi đó chúng ta có dx t = x t (à − λy t + γx t )dt ± σ 1 x t ◦ dW 1 (t) dy t = y t (−α + βx t + δy t )dt ± σ 2 y t ◦ dW 2 (t)

Tích phân Stratonovich, ký hiệu là b(x t) ◦ dW t, cho thấy sự khác biệt khi thêm vào hoặc loại bỏ tích phân này, dẫn đến các kết quả khác nhau Mối quan hệ giữa tích phân Stratonovich và tích phân Itô được thể hiện qua công thức b(x t) ◦ dW(t) = 1.

2 db(x t ) dx b(x t )dW (t). Nếu hàm hệ số khuếch tán là b(x) = σx thì b(x t ) ◦ dW (t) = 1

Do đó, (9) được cho bởi quá trình Itô tương đương là dx t = x t h (à ± 1

2 σ 2 2 ) + βy t + δy t i dt + σ 2 y t dW 2 (t). Đây là phương trình dạng (3) với hạn chế thêm à ± 1

Định lý 3.1 khẳng định rằng điều kiện σ 2 > 0 là cần thiết để đạt được kết quả từ Định lý 3.2, với phiên bản yếu nhất yêu cầu σ 1 > 0 và σ 2 < 0 Khi các hệ số tiếng ồn σ 1 và σ 2 đủ nhỏ, quá trình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tích phân Stratonovich sẽ có tính ergodic Ngược lại, nếu một trong hai tham số tiếng ồn quá lớn, điều kiện ergodic sẽ không được thỏa mãn Karlin và Taylor đã chỉ ra sự khác biệt giữa việc sử dụng tích phân Itô và Stratonovich trong các ứng dụng tích phân ngẫu nhiên Bổ đề 3.4 cho thấy chúng ta có thể làm yếu điều kiện của Rudnicki về tính ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên, với điều kiện δc 1 - àc 2 ≥ 0 Trong khi Rudnicki kết luận rằng quá trình là tiệm cận ổn định, chúng ta kết luận rằng nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên có tính ergodic.

Khóa luận nghiên cứu về Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính chất ergodic đã trình bày một số vấn đề cơ bản sau

Hàm ngẫu nhiên là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, liên quan đến các biến ngẫu nhiên theo thời gian Quá trình đo được là một thành phần thiết yếu trong việc phân tích các quá trình ngẫu nhiên, giúp đảm bảo tính khả thi của việc đo lường Quá trình ngẫu nhiên Wiener, hay còn gọi là quá trình Brown, có các tính chất cơ bản như liên tục, không có bước nhảy và có phân phối chuẩn Tích phân Itô là một công cụ mạnh mẽ trong việc xử lý các hàm ngẫu nhiên, cho phép tính toán các giá trị trung bình và biến thiên của các quá trình ngẫu nhiên Vi phân ngẫu nhiên Itô, dựa trên tích phân Itô, giúp mô hình hóa các hệ thống có yếu tố ngẫu nhiên, mở ra nhiều ứng dụng trong tài chính và khoa học dữ liệu.

- Khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình.

- Tính chính quy của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Khái niệm hồi quy, hồi quy dương đối với quá trình ngẫu nhiên.

Nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên là một lĩnh vực quan trọng, đặc biệt trong mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên Mô hình này được làm nhiễu bởi tiếng ồn trắng, ảnh hưởng đến sự ổn định và sự phát triển của các quần thể Việc phân tích tính chất ergodic giúp hiểu rõ hơn về hành vi lâu dài của hệ thống trong điều kiện không chắc chắn, từ đó cung cấp những hiểu biết quý giá cho các nghiên cứu sinh thái và sinh học.

[1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.

[2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.

[3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

[4] Nguyễn Duy Tiến (2005),Các mô hình xác suất và ứng dụng, phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

[5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

[6] Bhattacharya, R.N (1978), "Criteria for recurrence and existence of invari- ant measure for multidimensional diffusions", Ann.Prob, 6, pp.541-553.

[7] Chen, Z., Kulperger, R (2003), "A stochastic prey predator process and damping" In preparation.

[8] Chessa, S., Fujita Y.H (2002), "The stochastic equation of predator-prey population dynamics", Boll Unione Mat Ital Sez B.Artic Ric Mat, 5, pp.789-804 (in Italian).

[9] Friedman, A (1973), "Wandering out to infinity of diffusion processes", Trans Am Math Soc., 184, pp.185-203.

In the conference proceedings of the Nonlinear Differential Equations held in Coral Gables, FL, in 1999, T.C Gard discusses the transient effects observed in stochastic multi-population models This work, published in the Electronic Journal of Differential Equations, highlights the complexities and dynamics of such models, contributing valuable insights to the field of differential equations.