Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Các kết quả trong phần này được tham khảo từ tài liệu [1] Thang thời gian, ký hiệu là T, là một tập con đóng và khác rỗng của tập số thực R Chúng ta trang bị cho thang thời gian T một tôpô cảm sinh dựa trên tôpô thông thường của tập hợp các số thực.
Dễ dàng thấy rằng các tập hợp
R, Z, N, N 0 , [0,1]∪[2,3], [0,1] ∪N, và tập Cantor, là các thang thời gian.
Trong khi đó các tập hợp
Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa thang thời gian T và các toán tử liên quan Đầu tiên, toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) được xác định bởi ánh xạ σ : T → T với công thức σ(t) = inf{s ∈ T : s > t} Thứ hai, toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) được xác định bởi ánh xạ ρ : T → T với công thức ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t} Lưu ý rằng Q, R\Q, (0,1) không phải là thang thời gian vì chúng không phải là các tập đóng.
In the context of time scales, the notation Quy ướcinf∅ represents the supremum of a time scale T, indicating that σ(M) = M when T has a maximum element M, while sup∅ equals the infimum of T, meaning ρ(m) = m when T has a minimum element Definition 1.1.2 states that if T is a time scale, a point t ∈ T is classified as right-dense if σ(t) = t, right-scattered if σ(t) > t, left-dense if ρ(t) = t, left-scattered if ρ(t) < t, and isolated if it is both left-scattered and right-scattered.
Với mỗi a, b ∈ T, ký hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a 6 t 6 b}, tương tự, ký hiệu các tập hợp (a, b]; (a, b); [a, b) tương ứng là các tập hợp {t ∈ T : a < t 6 b}; {t ∈ T : a < t < b};{t ∈ T : a 6 t < b} Ký hiệu
I 1 = {t: t cô lập trái},I 2 = {t: t cô lập phải},I = I 1 ∪I 2 (1.1)
Tập hợp I, bao gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang thời gian T, là một tập không quá đếm được Nếu T là thang thời gian, hàm hạt tiến được xác định bởi à(t) = σ(t)−t, với ánh xạ à : T k → R +, được gọi là hàm hạt tiến trên thang thời gian T Đồng thời, hàm hạt lùi được xác định bởi ν(t) = t−ρ(t), với ánh xạ ν : T → R +, được gọi là hàm hạt lùi trên thang thời gian T.
Với h là số thực dương, thang thời gian T được xác định bởi hZ = {kh : k ∈ Z} = { , -3h, -2h, -h, 0, h, 2h, 3h, } Đối với hàm số f : T → R, hàm số f được gọi là chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải Hàm số f được gọi là rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái Tập hợp các hàm rd-liên tục được ký hiệu là C rd hoặc C rd (T,R) Cuối cùng, hàm số f được gọi là ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải, với tập hợp các hàm ld-liên tục được ký hiệu là C ld hoặc C ld (T,R).
Giả sử f : T → R là hàm số xác định trên T, ta định nghĩa hàm f ρ : T → R bằng f ρ = f ◦ ρ, với f ρ (t) = f(ρ(t)) cho mọi t ∈ k T Giới hạn trái được ký hiệu là lim σ(s)↑t f(s) hoặc f(t −) nếu tồn tại Nếu t là điểm cô lập trái, thì f(t −) = f ρ(t) Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng nếu f là hàm số liên tục, thì f cũng là hàm số rd− liên tục và ld− liên tục Hơn nữa, nếu f là hàm số rd− liên tục, thì f là hàm số chính quy Toán tử bước nhảy tiến σ và toán tử bước nhảy lùi ρ lần lượt là hàm số rd− liên tục và ld− liên tục Nếu f là hàm số ld− liên tục, thì f ρ cũng giữ tính chất ld− liên tục Định nghĩa 1.1.8 cho biết hàm số f được gọi là có ∇− đạo hàm tại t ∈ k T nếu tồn tại f ∇(t) ∈ R, sao cho với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của t.
|f(ρ(t)) −f(s)−f ∇ (t)(ρ(t)−s)| 6ε|ρ(t)−s| với mọi s ∈ U. f ∇ (t) ∈ R được gọi là∇−đạo hàm của hàm sốf tại t.
Nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại mọi điểm t∈ k T thì f được gọi là có
Nếu T = R, thì đạo hàm của hàm số f tại t, ký hiệu là f ∇ (t), tương đương với đạo hàm thông thường f 0 (t) Nếu T = Z, f ∇ (t) được định nghĩa là sai phân lùi cấp một, tức là f(t)−f(t−1) Định lý 1.1.10 chỉ ra rằng nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại t, thì f liên tục tại t Ngược lại, nếu f liên tục tại điểm cô lập trái t, thì f có ∇−đạo hàm tại t và f ∇ (t) = f(t)−f(ρ(t)) ν(t) Nếu t là điểm trù mật trái, f có ∇−đạo hàm tại t nếu giới hạn lims→t f(t)−f(s) t−s tồn tại và hữu hạn, trong trường hợp đó, f ∇ (t) = lim s→t f(t)−f(s) t−s Cuối cùng, nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại t, thì f ρ (t) = f(t)−ν(t)f ∇ (t) Định lý 1.1.11 tiếp tục xem xét các hàm số f và g xác định trên T.
∇−đạo hàm tại t ∈ k T Khi đó, i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇− đạo hàm tại t và
(f + g) ∇ (t) =f ∇ (t) +g ∇ (t). ii) Hàm tích f g : T → R có ∇−đạo hàm tại t và ta có quy tắc
(f g) ∇ (t) =f ∇ (t)g(t) +f ρ (t)g ∇ (t) =f(t)g ∇ (t) +f ∇ (t)g ρ (t). iii) Nếu g(t)g ρ (t) 6= 0, thì hàm số f g có ∇−đạo hàm tại t và ta có quy tắc f g
(t) = f ∇ (t)g(t)−f(t)g ∇ (t) g(t)g ρ (t) Định nghĩa 1.1.12 Hàm sốp xác định trên thang thời gianT được gọi là hồi quy (regressive) nÕu
R = {p: T → R: p là rd−liên tục và 1 +à(t)p(t) 6= 0}.
R + = {p: T →R :p là rd−liên tục và 1 +à(t)p(t) > 0}.
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thêi gian.
Giả sử A là một hàm tăng và liên tục, xác định trên tập T Ký hiệu M1 là tập hợp tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T, tức là M1 = {(a;b] : a, b ∈ T} Do đó, M1 tạo thành nửa vành các tập con của T Định nghĩa m1 là hàm tập xác định trên M1, với công thức m1((a, b]) = A(b) - A(a).
Hàm tập m 1 là một hàm tập cộng tính đếm được trên M 1 Ký hiệu A ∇ đại diện cho sự mở rộng Carathéodory của hàm tập m 1, liên kết với họ M 1.
∇ A −độ đo Lebesgue- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T Dễ dàng chứng minh được các kết quả sau.
Với t 0 ∈ k T, tập một điểm {t 0 } là ∇ A − đo được và à A ∇ ({t}) = A t −A t − Với a, b ∈ T và a 6 b, à A ∇ ((a, b)) = A b − −A a ;à A ∇ ([a, b)) =A b − −A a − ;à A ∇ ([a, b]) = A b −A a −
Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [2].
Lấy E ⊂ k T là một tập à A ∇ −đo được và f : T → R là một hàm số à A ∇ −đo được Ký hiệu R
Tích phân Ef τ ∇A τ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo A ∇ trên E, được gọi là tích phân Lebesgue - Stieltjes Khi A(t) = t với mọi t ∈ T, A ∇ trở thành độ đo Lebesgue trên T và R.
Ef τ ∇τ là ∇− tích phân Lesbesgue Trong Luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu Rb a f(τ)∇τ thay cho R
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của tích phân Định lý 1.1.13 chỉ ra rằng nếu a, b, c ∈ T, α ∈ R và f, g là các hàm số liên tục, thì có một số đẳng thức cơ bản: i) Tích phân của tổng hai hàm f(τ) và g(τ) trên đoạn [a, b] bằng tổng các tích phân của từng hàm; ii) Tích phân của hàm f(τ) nhân với hằng số α bằng hằng số nhân với tích phân của hàm f(τ); iii) Tích phân từ a đến b của hàm f(τ) bằng âm của tích phân từ b đến a của cùng hàm đó; iv) Tích phân từ c đến a của hàm f(τ) cộng với tích phân từ b đến c của hàm f(τ) bằng tích phân từ a đến b của hàm f(τ); v) Tích phân của f(ρ(τ))g trên đoạn [a, b] có công thức đặc biệt liên quan đến giá trị của hàm f và g tại các biên a và b; vi) Tương tự, tích phân của f(τ)g trên đoạn [a, b] cũng có một công thức liên quan đến các giá trị của f và g tại a và b.
Ví dụ 1.1.14 Giả sử a, b ∈ T, f : T → R là hàm số xác định trên T và ld−liên tục. i) NÕu T = Rth×
Z b a f(τ)∇τ Z b a f(τ)dτ. ii) Nếu T là thang thời gian gồm tất cả các điểm đều là điểm cô lập thì
Các bước xây dựng ∆− tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng
Trong trường hợp tổng quát, không tồn tại mối quan hệ giữa ∇− tích phân và ∆− tích phân Tuy nhiên, khi hàm số dưới dấu tích phân là liên tục, chúng ta có thể áp dụng một bổ đề quan trọng.
Bổ đề 1.1.15 Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ T k , a ∈ k T, a < b Khi đó đẳng thức sau đúng
Từ Bổ đề 1.1.15 và [1, Theorem 2.33, pp.59] suy ra nếu p(t) hồi quy và chính quy thì e p (t, t 0 ) là nghiệm của phương trình y(t) = 1 +
Z t a p(τ)y(τ)∆τ, cũng là nghiệm của bài toán Cauchy sau
Với hàm số hk : TìT →R; k ∈ N 0 được xác định bởi h0(t, s) = 1 và hk+1(t, s) Z t s hk(τ, s)∆τ víi k ∈ N 0 thì hk(t, s) là hàm số liên tục theo t Do đó ta có hk+1(t, s) Z t s hk(τ−, s)∇τ.
Hơn nữa, ta có được ước lượng sau
0 6hk(t, s) 6 (t−s) k k! , (1.5) với bất kỳk ∈ N và t > s.
Bổ đề 1.1.16 Giả sử u(t) là một hàm số liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểmt ∈ T a , u a , p ∈ R + Khi đó, bất đẳng thức u(t) 6 u a +p
Định lý khai triển Doob - Meyer
Định nghĩa 1.2.1 Giả sửA = {A t } t∈ T a là một quá trình liên tục phải Khi đó,
Quá trình A được gọi là quá trình tăng nếu thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, A a = 0 và A = (A t) là quá trình phù hợp với hệ thống (F t); thứ hai, quỹ đạo của A là hàm số tăng theo t trên T a với xác suất chắc chắn.
Quá trình tăngA = {A t } t∈ T a được gọi làkhả tíchnếuEAt < ∞,∀ t ∈ T a
Mệnh đề 1.2.2 Giả sử A là một quá trình tăng, khả tích vàM là martingale bị chặn Khi đó, với mọit∈ T a ta có
M τ ∇A τ Chứng minh bằng cách xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t], với a = t(n) và các giá trị 0 < t(n)1 < < t(n)k = t Điều kiện thỏa mãn là maxi(ρ(t(n)i+1) − t(n)i) ≤ 2^(-n) Trong bài viết này, để đơn giản hóa việc trình bày, chúng tôi sẽ bỏ qua chỉ số (n) trong ký hiệu t(n)i khi không quá cần thiết.
Vì martingaleM có quỹ đạo cadlag nên,
Theo định lý hội tụ bị chặn ta có
Vậy ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.3 Giả sửA = (A t ) t∈ T a là một quá trình tăng khả tích Khi đó,
A được gọi là tăng tự nhiên nếu với mọi martingale M bị chặn thì đẳng thức sau đây được thỏa mãn
Mệnh đề 1.2.4 Giả sử(A t ) t∈ T a là một quá trình tăng Khi đó, các khẳng định sau đúng.
1) Nếu A = (A t ) là quá trình liên tục và A t là F t − − đo được với mọi t ∈ I∩T a thì A t là quá trình tăng tự nhiên.
2) Nếu A = At là quá trình tăng tự nhiên thì A = (At)t∈ T a là quá trình (F t − )− đo được.
Chứng minh 1) Vì A = {A t } là quá trình liên tục, à A ∇ {t} = 0 với mọi t ∈ T a \ I 1 Hơn nữa, với mỗi martingale M = {M t }, tập các giá trị t sao cho M t − 6= M t không quá đếm được Suy ra
Ta lại có,A s là F s − - đo được với mọi giá trịs ∈ I 1 ∩(a, t] Suy ra
Sử dụng Mệnh đề 1.2.2 suy ra
M τ ∇A τ = EM t A t , nghĩa là(A t ) là quá trình tăng tự nhiên.
Giả sử A = (A t ) là quá trình tăng tự nhiên, chúng ta cần chứng minh rằng A t là F t - đo được với t ∈ T a Đối với mỗi martingale Mt xác định trên T a và a < t, áp dụng (1.8) cho thấy mối quan hệ giữa các thành phần này.
= EM t A t −EM s A s Theo tính chất của tích phân Lebesgue-Stieltjes, ta có lim σ(s)↑tE
Do đó, (M τ ) là (F τ )− martingale Thay vào (1.9) ta có
Giả sử (At) là một quá trình tăng khả tích trên thang thời gian T Khi T = N, A t là quá trình tăng tự nhiên nếu và chỉ nếu A t là dãy tăng và F t−1 đo được với mọi t = 1, 2, Nếu T = R, mọi quá trình tăng khả tích liên tục (At) đều là quá trình tăng tự nhiên Định lý 1.2.6, hay Định lý khai triển Doob-Meyer, khẳng định rằng nếu X = (Xt) t∈ T là một sub-martingale liên tục thuộc lớp (DL), thì tồn tại duy nhất một martingale M và một quá trình tăng tự nhiên A sao cho đẳng thức liên quan được thỏa mãn.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính duy nhất Giả sử tồn tại 2 martingale
M, M 0 và 2 quá trình tăng tự nhiênA, A 0 sao cho
Với mỗi phân hoạchπ (n) của đoạn [a, t] xác định bởi (1.6) và (1.7), đặt
Từ đẳng thức (1.8) và định lý hội tụ bị chặn ta có
Nh vËy, E(A t −A 0 t ) 2 = E[B t (A t −A 0 t )] = 0 suy ra A t −A 0 t = 0 h.c.c, víi mọit ∈ T a Từ đó suy ra A t = A 0 t h.c.c, với mọi t∈ T a
Tiếp theo, chúng ta chứng minh sự tồn tại M và A Từ tính duy nhất chúng ta thấy rằng chỉ cần chứng minh tồn tại quá trìnhM và A trên đoạn
Giả sử rằng \(X_a = 0\) và xét dãy phân hoạch \(\pi(n)\) với \(a = t(n)\) sao cho \(0 < t(n)_1 < \ldots < t(n)_k = b\) trong đoạn \([a, b]\) Điều kiện \( \max_i (t(n)_{i+1} - t(n)_i) \leq \frac{2}{n} \) và \(\pi(n) \subset \pi(n+1)\) được thỏa mãn Áp dụng định lý khai triển Doob-Meyer cho dãy submartingale \(X(n) = (X_{t_j})_{t_j \in \pi(n)}\), ta có thể tiếp tục phân tích sâu hơn.
E[X t i − X t i−1 |F t i−1 ] là dãy các biến ngẫu nhiên tăng, {F t j } k j=0 n − khả đoán vàM t (n) j = X t j −A (n) t j Hơn nữa,
Ta có tập hợp X thuộc lớp (DL), do đó dãy {A(n) b} n∈N là khả tích đều Áp dụng Định lý Dunford - Pettis, chúng ta suy ra rằng tồn tại một dãy con (A(n b_k)) k∈N của {A(n) b} n∈N hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Ab Từ kết quả này, chúng ta định nghĩa quá trình M và A theo công thức đã nêu.
Mt = E(Xb −Ab|F t );At = Xt −Mt;∀t∈ [a, b].
Thay thế M t và A t bằng các bản sao liên tục tương ứng, ta có weak−lim k→∞A (n b k ) = A b, từ đó suy ra weak−lim k→∞M b (n k ) = M b Đồng thời, có weak−lim k→∞E(M b (n k ) |G) = E(M b |G), trong đó G là σ−trường con của σ−trường F.
LÊyΠ = W n∈ Nπ (n) và a 6s 6 t6 b với s, t ∈ Π cố định Suy ra rằng
At −As = Xt−Xs −[E(Mb|F t )−E(Mb|F s )]
VìΠ đếm được và trù mật trong[a, b]và Aliên tục phải, suy ra A t >A s h.c.c, với mọit > s Nghĩa là A là quá trình tăng.
Tiếp theo chúng ta kiểm tra tính tự nhiên của quá trình A Lấy ξ là martingale liên tục phải bị chặn bất kỳ Đặt ξ s π (n) : k n
. Với mỗi n cố định, chúng ta có thể tìm được dãym k ↑ ∞ sao cho
Từ tính khả đoán củaA (m k ) suy ra
Z b a ξ s − ∇A s = E ξ b A b , nghĩa làA = (At) là quá trình tăng tự nhiên.
Lấy M ∈ M2, vì M2 là submartingale, nên tồn tại duy nhất một quá trình tăng tự nhiên hMi = (hMi t ) t∈ T sao cho M t 2 − hMi t là một martingale Quá trình tăng tự nhiên hMi t được gọi là đặc trưng của martingale M.
Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian
Tích phân theo martingale bình phương khả tích
Ký hiệuL là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (φ t ) t∈ T a xác định trên T a ìΩ với quỹ đạo liên tục trái trênT a và (F ρ(t) )− phù hợp.
P là σ-trường các tập con của T a ì Ω, được sinh bởi các quá trình ngẫu nhiên trên L P được hình thành từ các tập hợp {(s, t] ì F với s, t ∈ T a, s < t, F ∈ F s} Mỗi phần tử trong σ-trường P được gọi là một tập khả đoán Một quá trình ngẫu nhiên φ được coi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường P.
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quá trình khả đoán.
Chú ý 1.3.2 i) Nếu T = N thì quá trình φ t là khả đoán nếu φ t là quá trình
F t−1 −đo được. ii) Nếu T = R thì φ t là quá trình khả đoán nếu đo được đối với σ− trường sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.
Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trình ngẫu nhiên φ: T a ìΩ → R được đo và bị chặn, với hai điều kiện chính: Thứ nhất, Φ bao gồm tất cả các quá trình φ bị chặn và φ thuộc L; Thứ hai, mọi dãy đơn điệu {φ n } ⊂ Φ với giới hạn lim n→∞ φ n = φ đều là quá trình bị chặn thuộc Φ.
Khi đó,Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.
Giả sử M ∈ M 2 là một martingale bình phương khả tích Ký hiệu
L 2 (M) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả đoán φ = {φ t } t∈ T a , thỏa mãn kφk 2 T,M = E
Với mỗib > a cố định GọiL 2 ((a, b];M)là hạn chế của không gianL 2 (M)trên (a, b] Trên không gian L 2 ((a, b];M) xét chuẩn được xác định bởi kφk 2 b,M = E
Hai quá trìnhφ, φ ∈ L 2 ((a, b];M) được gọi là trùng nhaunếu kφ−φk b,M = 0.
Quá trình φ trên đoạn [a, b] được gọi là quá trình đơn giản nếu có một phân hoạch π: a = t0 < t1 < < tn = b và một dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn {f i}, trong đó mỗi fi là F t i−1 - đo được cho mọi i = 1, n.
Chúng ta ký hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản làL 0
Bổ đề 1.3.4 L 0 trù mật trong L 2 ((a, b];M) với metric xác định bởi d(φ, ϕ) 2 = kφ−ϕk 2 b,M = E
Chứng minh Rõ ràng,L 0 ⊂ L 2 ((a, b];M) Lấy φ ∈ L 2 ((a, b];M) Đặt φ K (t, ω) := φ(t, ω)1 [−K,K] (φ(t, ω)).
Khi φ K ∈ L 2 ((a, b];M) và kφ−φ K k b,M → 0 khi K → +∞, chúng ta có thể xác định một dãy φ (n) ∈ L 0 với mỗi quá trình φ ∈ L 2 ((a, b];M) bị chặn, sao cho kφ−φ (n) k b,M → 0 khi n → ∞ Đặt Υ = {φ ∈ L 2 ((a, b];M) : φ bị chặn và tồn tại φ (n) ∈ L 0 sao cho kφ−φ (n) k b,M → 0 khi n → ∞} Υ là không gian tuyến tính, và nếu φ (n) ∈ Υ với kφ (n) k < K (K > 0) và φ (n) tăng lên φ, thì φ ∈ Υ Đối với mỗi φ ∈ L, định nghĩa φ (n) (t) := φ(σ(t i )) với t ∈ (t i , t i+1 ] và {t i } là một phân hoạch của [a, b] sao cho max i (ρ(t i+1) − t i ) ≤ 2 − n, từ đó suy ra φ (n) ∈ L 0 và kφ (n) − φk b,M → 0 khi n → ∞.
Kết hợp với Mệnh đề 1.3.3, ta suy ra rằng Υ chứa tất cả các quá trình khả đoán bị chặn, dẫn đến Υ = L 2 ((a, b]; M) Định nghĩa 1.3.5 nêu rõ rằng nếu φ là một quá trình thuộc L 0 với dạng (1.11), thì các tính chất của nó sẽ được xác định trong bối cảnh này.
X i=1 f i (M t i −M t i−1 ), (1.12) được gọi là∇−tích phân ngẫu nhiên củaφ ∈ L 0 theo martingale bình phương khả tíchM trên (a, b].
Chúng ta chứng minh được rằng ∇− tích phân ngẫu nhiên Rb a φ τ ∇M τ là đại lượng ngẫu nhiênF b − đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.3.6 Giả sửφ là một quá trình thuộcL 0 và α, β là các số thực Khi đó, i) ERb a φτ∇M τ = 0, ii) E
Với mỗi φ ∈ L 2 ((a, b];M), từ Bổ đề 1.3.4 suy ra tồn tại dãy {φ (n) } ⊂ L 0 sao cho kφ −φ (n) k b,M → 0khi n → ∞ Mặt khác,
= kφ (m) −φ (n) k 2 b,M , suy ra {Rb a φ (n) (τ)∇M τ } là dãy Cauchy Do đó, {Rb a φ (n) (τ)∇M τ } hội tụ đến biến ngẫu nhiên ξ trong L 2 (Ω,F,P) Tức là ξ = L 2 − lim n→∞
Giới hạn ξ không phụ thuộc vào dãy {φ (n)} đã chọn Định nghĩa 1.3.7 cho biết rằng nếu φ thuộc L²((a, b];M), thì tích phân ngẫu nhiên của quá trình φ theo martingale bình phương khả tích M ∈ M² trên khoảng (a, b] được ký hiệu là Rb a φ τ ∇M τ.
Z b a φ (n) τ ∇M τ , (1.13) trong đó {φ (n) } là dãy các quá trình thuộcL 0 sao cho n→∞lim E
Ví dụ 1.3.8 i) Nếu T = N và φ ∈ L 2 ((a, b];M) thì (φ n ) là dãy các biến ngẫu nhiên (F n−1 )− đo được và
X i=a+1 φi(Mi−M i−1 ). ii) Nếu T = R thì L 2 ((a, b];M) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình đo được đối vớiσ− trường sinh bởi các quá trình liên tục trái) Hơn nữa,
Z b a φτ∇M τ Z b a φτdMτ, trong đóRb a φ τ dM τ là tích phân ngẫu nhiên Itô được xác định theo nghĩa thông thường như trong [6].
Sau đây là một số tính chất cơ bản của∇−tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 1.3.9 Giả sử φ, ξ ∈ L 2 ((a, b];M) và α, β là hai số thực Khi đó các khẳng định sau được thỏa mãn. i) Rb a φτ∇M τ là F b − đo được; ii) ERb a φτ∇M τ = 0; iii) E hRb a φτ∇M τ i2
= ERb a φ 2 τ ∇hMi τ ; iv) Rb a[αφτ +βξτ]∇M τ = αRb a φτ∇M τ +βRb a ξτ∇M τ h.c.c. vi) Nếuξ là biến ngẫu nhiên bị chặn và F a − đo được, thìξφ ∈ L 2 ((a, b];M) và
Các tính chất của hàm φ thuộc không gian L₀ luôn đúng Qua việc lấy giới hạn thông qua dấu tích phân, ta có thể suy ra rằng các tính chất này cũng đúng với hàm φ thuộc không gian L₂ trên khoảng (a, b] với trọng số M Định lý 1.3.10 khẳng định rằng nếu M thuộc M₂ và φ thuộc L₂ trên khoảng (a, b] với trọng số M, thì các điều kiện đã nêu sẽ được thỏa mãn.
Đẳng thức (1.15) được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa về tích phân ngẫu nhiên và tính chất của kỳ vọng có điều kiện Ngoài ra, đối với mọi A ∈ F, ta có E.
= E hZ b a φ 2 τ ∇hMi τ |F a i h.c.c, suy ra (1.16) được chứng minh. Định nghĩa 1.3.11 Giả sửφ ∈ L 2 ((a, b];M) Với mỗi t ∈ [a, b], định nghĩa
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ∇− tích phân ngẫu nhiên dạng bất định của quá trình φ theo martingale bình phương khả tích M, được ký hiệu là Rt a φ τ ∇M τ Theo Định lý 1.3.12, nếu φ là một phần tử bất kỳ thuộc L 2 ((a, b]; M), thì các tính chất của tích phân này sẽ được phân tích và áp dụng trong ngữ cảnh của các quá trình ngẫu nhiên.
∇− tích phân ngẫu nhiên dạng bất định{I(t)} t∈[a,b] là một (F t )−martingale bình phương khả tích Hơn nữa, ta có ước lượng sau
Chứng minh Rõ ràng {I(t)} t∈[a,b] là quá trìnhF t − phù hợp, bình phương khả tích Tính chất martingale củaI(t) suy ra từ
Tích phân theo martingale địa phương bình phương khả tích 24
Cho M ∈ M loc 2, tồn tại dãy (F t) với thời điểm dừng (β n) n∈N, sao cho β n tăng đến vô cùng và M(n) = (M t∧β n) là quá trình martingale bình phương khả tích với mọi n ∈ N Ký hiệu hM(n)i t là đặc trưng của M t(n) Chúng ta chứng minh rằng tồn tại duy nhất một quá trình tăng (F t) khả đoán hMi t, được gọi là đặc trưng của M, sao cho hMi t∧β n = hM(n)i t.
Ký hiệu L loc 2 (T a ;M) là không gian gồm tất cả quá trình ngẫu nhiên khả đoán, nhận giá trị thực φ = {φ t } t∈ T a thỏa mãn
Xét quá trình φ ∈ L loc 2 (T a ;M) Từ (1.18) suy ra
Như vậy, có thể định nghĩa tích phân
Với mọi n ∈ N, đặt Ω n := {β n > b} Rõ ràng Ω n ↑ Ω khi n → ∞ và
I (m) (φ) =I (n) (φ) trênΩ m , ∀n > m Suy raI (m) (φ) sẽ trùng nhau với xác suất
1 bắt đầu từ m 0 = m 0 (ω) nào đó Do đó, tồn tại duy nhất một biến ngẫu nhiên
I(φ)(ω) = I(n)(φ)(ω) ∀ n > m; ω ∈ Ωm Điều này cho thấy I(φ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {βn} Định nghĩa 1.3.13: I(φ) trong công thức (1.19) được gọi là ∇−tích phân ngẫu nhiên trên (a, b] của quá trình φ ∈ Lloc²(Ta; M) theo martingale địa phương bình phương khả tích M ∈ Mloc² Ký hiệu ∇−tích phân ngẫu nhiên là Rb a φ τ ∇Mτ.
Với φ t là quá trình cadlag, M ∈ M loc 2 và b > a Ta chứng minh được φ t − ∈ L loc 2 (T a ;M) Do đó, tồn tại ξ Z b a φ τ − ∇M τ
Với m ∈ N, lấy φ (m) t = φ t 1 {|φ t | 6 m} Đặt A m := {ω : φ t = φ (m) t ∀ t ∈ [a, b]}. Vì φ t là quá trình cadlag nên A m ↑ Ω Xét phân hoạch π (n) : a = t (n) 0 < t (n) 2 < ã ã ã < t (n) k n = b của [a, b] sao cho max i (ρ(t (n) i )−t (n) i−1 ) < 2 −n Ký hiệu ϕ (m) n (t) k n
Do φ (m) t bị chặn và lim n→∞ϕ (m) n (t) = φ (m) t
trong đó M t (m) = M t∧β m Hơn nữa, nếu m1 < m2 thì φ t (ω) = φ (m t 1 ) (ω) = φ (m t 2 ) (ω) ∀ t ∈ [a, b], ω ∈ A m 1
X i=1 φ t i−1 (M t i −M t i−1 ), với mọi ω ∈ Am 1 ∩ Ωm 1 và n ∈ N Có nghĩa là ξm = ξm 1 trên Am 1 ∩ Ωm 1
∀m > m1 Mặt khác, Am ∩Ωm ↑ Ω nên ξ Z b a φ τ − ∇M τ = P− lim n→∞ k n
Chú ý 1.3.14 Giả sử M là một semimartingale, nghĩa là M được phân tích thành tổng
M = A+N, trong đó A là quá trình phù hợp, liên tục phải, có biến phân giới nội và
Trong không gian N ∈ M loc 2, tích phân theo quá trình A có biến phân giới nội trên tập compact tương đương với ∇-tích phân Lebesgue-Stieltjes tính theo quỹ đạo Điều này cho phép chúng ta mở rộng định nghĩa tích phân theo martingale địa phương bình phương khả tích cho tích phân theo semimartingale thông qua việc thiết lập một quy tắc mới.
Z b a φ τ ∇N τ ,với φ t là quá trình (F t )−phù hợp, sao cho hai tích phân ở vế phải tồn tại.
Công thức Itô và ứng dụng
BiÕn ph©n bËc hai
Định nghĩa 2.1.1 Giả sửX và Y là hai quá trình ngẫu nhiên Khi đó,
−Y t (n) i−1), được gọi là biến phân hỗn hợp củaX và Y trên đoạn [a, t], nếu giới hạn tồn tại.
NếuX = Y thì [X, X] t $ [X] t được gọi là biến phân bậc hai của X, nghĩa là
−X t (n) i−1) 2 , trong đó {t (n) i } là dãy phân hoạch của[a, t] được xác định bởi (1.6) và (1.7).
Mệnh đề 2.1.2 Giả sử M và N là hai semimartingale thì biến phân hỗn hợp [M, N] t luôn tồn tại và hệ thức sau được thỏa mãn
Chứng minh Với phân hoạch {t (n) i } của đoạn [a, t] được xác định bởi (1.6) và (1.7) Ta cã
M τ − ∇N τ Như vậy, tồn tại giới hạn
= [M, N] t , và hệ thức sau đây đúng
Suy ra (2.1) được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.2 chỉ ra rằng, biến phân hỗn hợp của hai martingale địa phương bình phương khả tích M, N luôn tồn tại Hơn nữa, với X ∈ L 2 (T a , M) và
Chúng ta thấy rằng, nếuM là semimartingale vàX là quá trình cadlag thì
X τ − ∇M τ ∀ t∈ T a , (2.3) là semimartingale Hơn nữa, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.3 (Tính chất kết hợp) Giả sử M là semimartingale và X, H là hai quá trình cadlag Khi đó,
(H τ − X τ − )∇M τ , (2.4) trong đó, Y t được xác định bởi (2.3).
Chứng minh Nếu X, H ∈ L 0 thì (2.4) đúng Giả sử rằng (X t (n) ) thuộc L 0 hội tụ đến X t theo chuẩn k ã k b,M Khi đó, Y t (n) := Rt aXτ (n) ∇M τ hội tụ đến
Y t = Rt a X τ − ∇M τ với mỗi t∈ (a, b] Hơn nữa, vì H ∈ L 0 nên
LấyH t (n) hội tụ đến H t − thì Rb a Hτ (n) ∇X τ hội tụ đến Rb a H τ − ∇X τ
Hτ − Xτ − ∇M τ Suy ra điều phải chứng minh.
Với mỗi t ∈ T a và G : R → R là hàm số liên tục Xét phân hoạch π (n) của đoạn[a, t] được xác định bởi (1.6) và (1.7) Đặt
Bổ đề 2.1.4 Giả sửM là semimartingale vàSn(t) được xác định bởi (2.5) Khi đó,
G(M τ − )∇[M] τ Chứng minh Xét thời điểm dừng τm = inf{t: |M t | >m}.
Martingale M t∧τ m bị chặn bởi m, và quỹ đạo của M s bị chặn với xác suất 1, dẫn đến τ m tiến đến vô cùng Bổ đề 2.1.4 áp dụng cho M t∧τ m với mọi m, và khi lấy giới hạn m tiến đến vô cùng, chúng ta suy ra Bổ đề 2.1.4 cũng đúng với M Do đó, chúng ta có thể giả định rằng M bị chặn Hơn nữa, M τ 2 −[M] τ là semimartingale.
Do đó, từ (2.1) và Bổ đề 2.1.3, suy ra
Kết hợp với (1.20), hệ thức trên tương đương với
Suy ra điều phải chứng minh.
Ký hiệu L loc 1 (T a ,R) là họ các quá trình {f(t)} t∈ T a nhận giá trị thực, (F t )−phù hợp, thỏa mãn
|f(τ)|∇τ < +∞ h.c.c, với mọi T ∈ T a (2.6) Lấyf i ∈ L loc 1 (T a ,R) vàM ∈ M 2 ; g i ∈ L 2 (T a ;M) vớii = 1,2 Xét 2 quá trình
Chứng minh của bổ đề sau được suy ra trực tiếp từ các hệ thức
[t, t] t = X a 0 Vì các điểm gián đoạn của semimartingale X là không quá đếm được và
X s∈(a,t] kX(s)−X(s − )k 2 < ∞, chúng ta có thể phân tập các điểm gián đoạn củaX trên (a, t] thành hai lớp:
C 1 là tập hữu hạn và C 2 là tập các điểm gián đoạn sao cho
Xét phân hoạchπ (n) của [a, t] được xác định bởi (1.6) và (1.7), ta có
. VìC 1 hữu hạn và X là cadlag, nên n→∞lim
(2.9) Để đơn giản trong trình bày chúng ta ký hiệu P
Bằng cách phân tích thành tổng các số hạng trên các khoảng rời nhau và dùng công thức Taylor, ta có
∂x i ∂x j (tk, X(t k−1 ))(Xi(tk)−Xi(t k−1 ))(Xj(tk)−Xj(t k−1 ))
VìC 1 hữu hạn, số hạng trong hàng thứ 5 của hệ thức trên hội tụ về
, (2.10) và hàng thứ 6 hội tụ về
Chúng ta có thể ước lượng số hạng cuối cùng như sau
Cho ε ↓0, ta cã lim sup n→∞
Sử dụng Bổ đề 2.1.4, ta có n→∞lim k n
Vế phải hội tụ đến
Suy ra điều phải chứng minh.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau Kết quả này chính là công thức Itô rời rạc được xây dựng bởi D Kannan và B Zhan năm 2002 trong [7].
Hệ quả 2.2.2 LấyT = N, a = 0và X n là biến ngẫu nhiên nào đó Khi đó, với các giả thiết của Định lý 2.2.1 thì công thức (2.8) có dạng.
Trường hợp T = R, a = 0 ta có được [9, Theorem 32, pp.78].
Hệ quả 2.2.3 Giả sử X = (X1,ã ã ã , Xd) là bộ d− semimartingale được xác định bởi
Z t a g i (τ)∇M τ , (2.15) trong đó M ∈ M 2 , f i ∈ L loc 1 (T a ,R) và g i ∈ L 2 (T a ;M) với i = 1, d. Lấy V ∈ C 1,2 (T a ìR d ;R) Khi đó, hệ thức sau đây được thỏa mãn
∂x i x j (s, X(s − ))g i (s)g j (s)(∇ ∗ M s ) 2 (2.16) Chứng minh Từ (2.15), ta có
Phần chứng minh còn lại được suy ra bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Itô và Bổ đề 2.1.5.
Hệ quả 2.2.4 Giả sử X = (X1,ã ã ã , Xd) là bộ d−semimartingale được xác định bởi
Z t 0 g i (τ)dW τ , (2.18) trong đó W t là quá trình chuyển động Brown,f i ∈ L loc 1 ([0,∞),R) và g i ∈ L 2 ([0,∞);R) với i = 1, d Lấy V ∈ C 1,2 (R + ì R d ;R) Khi đó, hệ thức sau đây được thỏa mãn
Ví dụ 2.2.5 Giả sử M là semimartingale, với mọit∈ T a ta có
M τ − ∇M τ (2.20) Đẳng thức (2.20) có thể thu được từ (2.1) với M ≡ N ở đây, chúng ta chứng minh bằng cách áp dụng công thức Itô.
Thật vậy, sử dụng Định lý 2.2.1 vớiV(t, x) = x 2 và X(t) = M t , ta có
Ví dụ 2.2.6 Lấy{B t } t∈ T a là một quá trìnhF t −phù hợp thỏa mãn các tính chất sau
1) B a = 0; B t có quỹ đạo liên tục hầu chắc chắn.
2) Với a 6 s < t < ∞, hiệu số B t − B s độc lập với F s và B t −B s có phân phối chuẩn với trung bình không và phương sait−s;
Chúng ta có thể thấy rằng quá trình{B t }có được bằng cách hạn chế chuyển động Brown xác định trên [a,∞) R lênT a Khi đó, ta có
Thật vậy, áp dụng (2.20) với Mt = Bt suy ra
Bτ − ∇B τ ⇒ E[B]t = EB t 2 −EB a 2 = t−a. Hơn nữa, từ Định lý hội tụ bị chặn,
Z t a τ∇τ −2(t 2 −a 2 ). Mặt khác, với n∈ N bất kỳ ta có
Ví dụ 2.2.7 (Martingale dạng mũ trên thang thời gian) Giả sửM là martingale bình phương khả tích thỏa mãn∇ ∗ M s 6= −1với mọi s ∈ (a, b] Đặt
Khi đó,Z t = E t (M) thỏa mãn phương trình Doléans - Dade sau đây
Ta có X t là một semimartingale và Y t là quá trình cadlag, (F t )−phù hợp Đặt Λs := {|∇ ∗ Ms| 6 1
Sử dụng bất đẳng thức |ln(1 + x)−x| 6 x 2 khi |x| 6 1 2 và
(ln(1 +U s )−U s ) hội tụ tuyệt đối đến quá trình có biến phân giới nội Do đó, exp{ζ t }= Y s∈(a,t]
Biến phân giới nội của (1 + ∇ ∗ Ms)1As e −(∇ ∗ Ms)1As được xác định bởi martingale Mt có quỹ đạo cadlag, dẫn đến việc có hữu hạn các điểm s sao cho |∇ ∗ Ms(ω)| > 1/2 trên mỗi tập compact với mỗi ω cố định Điều này cho thấy Yt cũng có biến phân giới nội Khi áp dụng công thức Itô cho hàm V(t, x, y) = ye^x trong bối cảnh 2-semi-martingale (Xt, Yt), chúng ta nhận được các kết quả quan trọng.
Do Y t là quá trình thuần túy bước nhảy, nên
Zs−Zs − −Zs − ∇ ∗ Xs = 0 ∀ s ∈ T a Nh vËy,
Z τ − ∇M τ Nghĩa là, E t (M) xác định bởi (2.21) thỏa mãn phương trình (2.22).
Ví dụ 2.2.8 (1) Nếu T = R thì E t (M) chính là hàm mũ Doléans- Dade được xây dựng theo cách thông thường.
Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian
Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa và trình bày chi tiết về phương trình động lực ngẫu nhiên, trong đó nhiễu được mô tả bằng martingale bình phương khả tích trên thang thời gian Chúng tôi cũng chỉ ra điều kiện để tồn tại nghiệm duy nhất và tính chất Markov của nghiệm Kết quả này được xây dựng dựa trên tài liệu [4].
Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian
Lấy M ∈ M 2 và x a là biến ngẫu nhiên, F a đo được, nhận giá trị thực sao cho Ex 2 a < ∞ f : [a, T]ìR→ Rvà g : [a, T]ìR→ R là 2 hàm Borel.
Xét phương trình vi phân Itô dạng
Trong chương này, chúng tôi giả thiết hMi t Z t a
Nτ∇τ, (3.2) trong đó N t là quá trình bị chặn, (F t )− phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho
|N t | 6 N} = 1 (3.3) Định nghĩa 3.1.1 Một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực {X(t)} t∈[a,T ] được gọi là nghiệm của phương trình (3.1) nếu có các tính chất sau:
(i) {X(t)} là quá trình (F t )−phù hợp,
(iii) Phương trình sau được thỏa mãn
Phương trình (3.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T] nếu khi
X(t) và X(t) là 2 nghiêm của phương trình thì
Chóng ta cã Rt a g(τ, X(τ−))∇M τ là (F t )− martingale, suy ra nó có bản sao cadlag Do đó, X(t) thỏa mãn (3.4) thì X(t) có tính chất cadlag Hơn nữa, nếu
M t là rd−liên tục thì X(t) cũng rd−liên tục. Định lý 3.1.2 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử tồn tại hai hằng số dương
(i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ R và t ∈ [a, T] thì
(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi(t, x) ∈ [a, T]ìR thì f 2 (t, x)∨g 2 (t, x) 6K(1 +x 2 ) (3.6)
Khi đó, phương trình (3.1) tồn tại duy nhất nghiệm X(t) và nghiệm là semi- martingale bình phương khả tích.
Chứng minh Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng nếu điều kiện tăng tuyến tính (3.6) được thỏa mãn vàX(t) là nghiệm của phương trình (3.1) thì
6(1 + 3Ex 2 a )e 3K(T −a+4N) (T, a), (3.7) trong đó N được xác định bởi (3.3).
Thật vậy, với mọi số nguyênn > 1, xác định thời điểm dừng υ n = T ∧inf{t ∈ [a, T] :|X(t)| > n}.
Rõ ràng, υn ↑ T h.c.c, khi n → ∞ Đặt un(t) := X(t ∧ υn) với t ∈ [a, T]. Chóng ta thÊy u n (t) = x a +
Z t a g(τ, u n (τ − ))1 [a,υ n ] (τ)∇M τ , vớit ∈ [a, T]bất kỳ Sử dụng bất đẳng thức cơ bản(a+b+c) 2 63(a 2 +b 2 +c 2 ) và bất đẳng thức Hoălder suy ra u 2 n (t) 6 3x 2 a + 3(t−a)
2 áp dụng Định lý 1.3.12 và điều kiện (3.6), ta có
Từ điều này và Bổ đề 1.1.16 ta có
Cho n→ ∞ ta có bất đẳng thức (3.7) được thỏa mãn.
Tính duy nhất: Giả sửX(t) và X(t) là hai nghiệm của phương trình (3.1).
∇M τ , bất đẳng thức Hoălder, Định lý 1.3.12, điều kiện Lipschitz (3.5) và chứng minh tương tự như chứng minh bất đẳng thức (3.7) ta có
∇τ. Kết hợp điều này với Bổ đề 1.1.16 suy ra
Vậy, X(t) = X(t) h.c.c, với mọi a 6 t 6 T Suy ra tính duy nhất nghiệm được chứng minh.
Sự tồn tại: Đặt X0(t) := xa và với n = 1,2,ã ã ã xác định xấp xỉ Picard
Z t a g(τ, X n−1 (τ − ))∇M τ , (3.8) víi t ∈ [a;T] Chóng ta thÊy E sup a 6 s 6 t
X 0 2 (s) = Ex 2 a < ∞ với mọi t > a Do đó, bằng phương pháp quy nạp suy raE sup a 6 s 6 t
X n 2 (s) < ∞ với mọi n ∈ N ∗ và t> a Hơn nữa,
(1 +Ex 2 a ). Chứng minh tương tự, ta có
Vì vậy, bằng phương pháp quy nạp chúng ta chỉ ra được rằng
(Xn+2(s)−Xn+1(s)) 2 6CP n hn(t, a), (3.10) với h n (t, s) được xác định bởi (1.1).
Từ (3.10) và bất đẳng thức Chebychev suy ra rằng
Theo công thức khai triển Taylor suy ra
(4P) n hn(T, a) =e2P(T, a). áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli và định lý Weierstrass, suy ra chuỗi hàm x a +
(X n+1 (s)−X n (s)) hội tụ đều hầu chắc chắn đến một quá trình ngẫu nhiênX(t) Hơn nữa, n→∞lim E sup a 6 t 6 T
Ta có(X(t)) là quá trình cadlag,(F t )− phù hợp Ngoài ra f(ã, X(ã − )) ∈ L 1 ([a, T];R) và g(ã, X(ã − )) ∈ L 2 ([a, T];M).
Bây giờ, chúng ta chỉ ra rằngX(t) thỏa mãn phương trình (3.4) Ta có
E(X n (τ − )−X(τ − )) 2 ∇τ → 0 khi n→ ∞, cho n→ ∞ tõ (3.8), suy ra
Suy ra điều phải chứng minh.
Trong Định lý 3.1.2, chúng ta đã chứng minh rằng phương pháp lặp Picard tạo ra dãy (X n (t)) hội tụ về nghiệm duy nhất X(t) của phương trình (3.1) Định lý 3.1.3 tiếp tục ước lượng tốc độ hội tụ của dãy (X n (t)) về nghiệm X(t) của phương trình này, với giả thiết rằng các điều kiện trong Định lý 3.1.2 được thỏa mãn.
6CP n h n (T, a), (3.11) với mọi n > 1, trong đó C và P được xác định như trong chứng minh của Định lý 3.1.2, nghĩa là,
(1 +Ex 2 a );P = 2K(T −a+ 4N). Chứng minh Ta có
Bằng phương pháp truy hồi, ta có được bất đẳng thức (3.11).
Ví dụ 3.1.4 Xét phương trình tuyến tính
(3.12) trong đór, p là hai hằng số vàM là martingale bình phương khả tích thỏa mãn (3.2) và (3.3).
Rõ ràng phương trình tuyến tính (3.12) có duy nhất nghiệm Giả sử X(t) là nghiệm của phương trình (3.12) Nếu tồn tại s ∈ T a sao cho rν(s) + p∇ ∗ M s = −1, th×
∇ ∗ X(s) = rX(s − )ν(s) +pX(s − )∇ ∗ M s = −X(s − ), điều này suy ra X(s) = 0 Do tính duy nhất nghiệm của phương trình, suy ra
X(t) = 0 ∀ t> s.Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp 1 +rν(s) +p∇ ∗ M s 6= 0 víi bÊt kús ∈ T a Đặt
Chúng ta thấy rằngZ t là semimartingale vàY t là quá trình cadlag,(F t )−phù hợp. ĐặtΛ s := {|rν(s) +p∇ ∗ M s | 6 1 2 }và U s := (rν(s) +p∇ ∗ M s )1 Λ s Sử dụng bất đẳng thức|ln(1 +x)−x| 6x 2 với mọi|x| 6 1 2 và
(ln(1 +U s )−U s ), hội tụ tuyệt đối đến quá trình có biến phân giới nội.
Đoạn văn này đề cập đến một quá trình có biến phân giới nội, trong đó biểu thức (1 + (rν(s) + p∇ ∗ M s )1 Λ s )e −(rν(s)+p∇ ∗ M s )1 Λ s cho thấy sự tồn tại của các điểm hữu hạn Do rt+pMt là quá trình cadlag, nên điều kiện |rν(s) +p∇ ∗ Ms(ω)| > 1/2 được thỏa mãn trên mỗi tập compact với mỗi ω Kết luận, Y t là một quá trình có biến phân giới nội.
Chúng ta chỉ ra rằng nghiệm duy nhất của phương trình (3.12) xác định bởi
Thật vậy, áp dụng công thức ItôV(y, z) =ye z cho bộ2−semimartingale(Y t , Z t ) ta cã
Vì Yt là quá trình thuần túy bước nhảy, nên
Z t a pX(τ − )∇M τ Suy raX(t) xác định bởi (3.13) thỏa mãn phương trình (3.12).
Tính Markov của nghiệm
Trong mục này, giả định rằng martingale M_t nhận giá trị trong R, liên tục và có gia số độc lập, đồng thời các giả thiết trong Mục 3.1 vẫn được thỏa mãn Định nghĩa 3.2.1 nêu rằng nếu Y = (Y_t)_{t∈T_a} là quá trình ngẫu nhiên với giá trị thực và phù hợp với (F_t), thì Y được gọi là (F_t)-Markov nếu với mọi s, t ∈ T_a, s < t.
E(Y t |F s ) = E(Y t |Y s ).Hoàn toàn tương tự như trong [9] chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.2.2 xác định rằng quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt)t∈T là một quá trình Markov theo nghĩa (F t)-Markov nếu và chỉ nếu đối với mọi hàm Borel, đo được và bị chặn, điều kiện này phải được thỏa mãn.
Giả sử (Mt)t∈ T là một quá trình có gia số độc lập, và V(x, ω) là một hàm vô hướng đối với x, bị chặn, đo được và độc lập với F s khi Ms đã biết Đặt ζ là một biến ngẫu nhiên F s -đo được.
Chứng minh Trước hết, giả sử rằngV(x, ω) có dạng
X i=1 u i (x)v i (ω), (3.15) trong đó, u i (x) là hàm tất định đối với biến x, bị chặn và v i (ω) là biến ngẫu nhiên bị chặn, độc lập vớiF s
X i=1 u i (ζ)Ev i (ω) = V(ζ) cho thấy rằng V(x, ω) có dạng (3.15) Mỗi hàm ngẫu nhiên V(x, ω) bị chặn và đo được có thể được xấp xỉ bởi các hàm dạng (3.15), dẫn đến kết quả tổng quát của bổ đề qua việc lấy giới hạn Định lý 3.2.4 chỉ ra rằng nếu X(t) = X a,x a (t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.1) với điều kiện ban đầu X(a) = x a, thì quá trình (X(t)) là quá trình Markov (F t).
Chứng minh Từ tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.1), suy ra
Xa,x a (t) =X s,X a,xa (s) (t) ∀ s ∈ (a, t], với xác suất 1 Rõ ràng nghiệmX s,X(s) (t), t > scủa bài toán Cauchy (3.1) chỉ phụ thuộc vào gia sốM(r)−M(s) với r > s và X(s) Do đó, nó độc lập với
F s Với bất kỳ hàm Borelg đo đươc, bị chặn, ta có
. Điều này có nghĩa là (X(t)) là quá trình (F t )−Markov. kết luận và kiến nghị
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1) Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về giải tích tất định trên thang thời gian.
2) Trên cơ sở các kết quả trong tài liệu tham khảo [3] và [4] chúng tôi trình bày chi tiết và có hệ thống các vấn đề sau:
• Phát biểu và chứng minh được định lý khai triển Doob- Meyer đối với sub- martingale trên thang thời gian.
Xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo thang thời gian dựa trên martingale bình phương khả tích và martingale địa phương bình phương khả tích, đồng thời mở rộng tích phân theo semimartingale, giúp chỉ ra những tính chất quen thuộc của quá trình này.
• Phát biểu và chứng minh công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian, chỉ ra các hệ quả đối với công thức Itô, và ứng dụng.
Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích trên thang thời gian Chúng tôi định nghĩa nghiệm và chỉ ra các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho phương trình động lực ngẫu nhiên Hơn nữa, chúng tôi cũng phân tích tính chất Markov của nghiệm, cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi của hệ thống trong bối cảnh ngẫu nhiên.
Thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau:
Nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian bao gồm việc phân tích toán tử cực vi đối với quá trình Markov nghiệm và áp dụng công thức ước lượng moment Những nghiên cứu này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian, từ đó cung cấp những công cụ hữu ích cho các ứng dụng thực tiễn.
2) Nghiên cứu các điều kiện Lipchitz địa phương cho sự tồn tại nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.