Thang thíi gian
ành nghắa 1.1 Thang thới gian (time scale) l têp con õng tũy ỵ khĂc rộng trong têp số thỹc R Thang thới gian thữớng ữủc kỵ hiằu l T.
1) CĂc têp R,Z,N,[0; 1]∪[2; 3] l cĂc thang thới gian vẳ chúng l nhỳng têp õng trong R.
2) CĂc têp Q,R\Q; [0,1) khổng phÊi l thang thới gian vẳ chúng khổng phÊi l têp õng trong R.
Têp cĂc số hỳu t¿ Q, têp cĂc số vổ t¿ R\Q khổng phÊi l thang thới gian vẳ chúng tuy nơm trong R những khổng õng trong R.
Thêt vêy, trản Q x²t dÂy số {xn}: 1; 1,4; 1,41; 1,414; Ta thĐy xn∈Q, nh÷ng lim n→∞x n = √
2 ∈/ Q nản Q khổng phÊi l têp con õng trản R Vẳ vêy Q khổng phÊi l thang thới gian.
Ta th§y xn ∈ R\Q nh÷ng lim x→∞xn = 0 ∈/ R\Q nản R\Q khổng phÊi l têp con õng trong R Suy ra R\Q khổng phÊi l thang thới gian.
Têp [0;1) l khoÊng mð trong R nản khổng phÊi l thang thới gian.
3) M°t ph¯ng phực C khổng phÊi l thang thới gian vẳ C khổng nơm trong R, m°c dũ nõ l têp õng.
Tổ pổ trản thang thới gian
Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt v i kián thực cừa tổpổ GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian tổpổ, M ⊂ X l mởt têp con n o õ Tổpổ cÊm sinh τM trản
M tứ τ ữủc ành nghắa nhữ sau.
Têp mð trong τ M l tĐt cÊ cĂc têp cõ dÔng σ M = M ∩U trong õ σ ∈ τ. Khi Đy τM ={UM : UM = M ∩U, U ∈τ} l mởt tổpổ trản M.
1) Vẳ ∅ v X ãu thuởc τ nản dạ thĐy ∅ = ∅∩M, M = M ∩M suy ra
2) GiÊ sỷ V 1 , V 2 ∈ τ M l hai têp hủp bĐt kẳ, tực l tỗn tÔi U 1 , U 2 ∈ τ sao cho V1 = M∩U1 v V2 = M∩U2 Ta câ V1∩V2 = (M ∩U1)∩(M ∩U2) M ∩(U1∩U2) Vẳ U1 ∩U2 ∈ τ nản suy ra V1 ∩V2 ∈ τM (theo ành nghắa têp τ M ).
3) GiÊ sỷ{Vα} α∈I l mởt hồ bĐt kẳ cĂc têp thuởc τM Khi õ ta cõ S α∈I
Tứ 1), 2), 3) suy raτM l mởt tổpổ v gồi l tổpổ cÊm sinh tứ τ trản M. C°p (M, τ M ) ữủc gồi l khổng gian tổpổ cÊm sinh cừa khổng gian tổpổ (X, τ).
Trong lĩnh vực vốn, chúng ta thường nhắc đến khái niệm "thời gian" và "tổn thất" trong các tổn thất sinh từ tổng thể của tập số thực Tổn thất tổng thể của tập số thực R liên quan đến các khoảng cách cũng như sự giao thoa giữa chúng Điều này có nghĩa là các tập mờ của T là giao của các tập mờ trong R với T Các khái niệm liên quan như lớn hơn, nhỏ hơn, và tương đương được hiểu rõ hơn trong tổn thất sinh.
CĂc ành nghắa cỡ bÊn
ành nghắa 1.2 Cho T l thang thới gian.
ToĂn tỷ nhÊy tián (forward jump) l toĂn tỷ σ : T →T ữủc xĂc ành bði cổng thực σ(t) := inf{s∈ T :s > t}.
To¡n tû nh£y lòi (backward jump) l to¡n tû ρ :T → T ữủc xĂc ành bði cổng thực ρ(t) := sup{s∈ T :s < t}.
Quy ữợc inf∅ = supT,sup∅ = infT.
Suy ra σ(M) =M náu M l phƯn tỷ lợn nhĐt (náu cõ) cừa T; ρ(m) = m náu m l phƯn tỷ nhọ nhĐt (náu cõ) cừa T.
1) Vợi thang thới gian T = Z (thang thới gian rới rÔc) thẳ σ(t) =t+ 1 v ρ(t) =t−1 vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.1(b).
2) Vợi thang thới gian T =R (thang thới gian liản tửc) thẳ σ(t) =ρ(t) = t vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.1(a).
In the context of time intervals T, a point t within T is classified as right-scattered if σ(t) > t, and as left-scattered if ρ(t) < t A point t is considered insolated when ρ(t) < t < σ(t) Furthermore, a point t is defined as right-dense if σ(t) = t, left-dense if ρ(t) = t, and dense if both ρ(t) = t and σ(t) = t These definitions help in understanding the behavior of time intervals and their respective properties.
B£ng 1.1BÊng 1.2 dữợi Ơy mổ tÊ hẳnh Ênh hẳnh hồc cừa cĂc iºm
B£ng 1.2 định nghĩa 1.5 cho T là thang thời gian Hàm nóng (grainiess) được xác định bởi công thức thực a(t) := σ(t) - t Định nghĩa 1.6 cho T là thang thời gian và hàm f := T → R Ta hiểu hàm f σ : T → R được xác định theo công thức f σ (t) = f(σ(t)) Định nghĩa 1.7 tiếp T được xác định như sau.
Náu T cõ phƯn tỷ lợn nhĐt M l iºm cổ lêp trĂi thẳ °t T k := T\{M} v T k := T trong trữớng hủp cỏn lÔi.
1) Vợi thang thới gian T = R thẳ σ(t) = ρ(t) = t, à(t) = 0 vợi mồi t ∈ T. Mồi iºm t ∈T ãu l iºm trũ mêt.
2) Vợi thang thới gian T = Z thẳ σ(t) = t+ 1, à(t) = 1 v ρ(t) = t−1 vợi mồi t ∈ T Mồi iºm t ∈ T ãu l iºm cổ lêp.
2 :n ∈ N0 vợi N0 l têp cĂc số tỹ nhiản v sè 0.
Ta cõ σ(t) =t+ 1 2 , ρ(t) = t− 1 2 v à(t) = 1 2 vợi mồi t > 0, t∈ T. iºm t = 0 l iºm cổ lêp phÊi v mồi t ∈T, t 6= 0 ãu l iºm cổ lêp.
4) Cho h > 0 l mởt số cố ành XĂc ành thang thới gian h nhữ sau
T = hZ = {hn : n ∈ Z} = { ,−3h,−2h,−h,0, h,2h,3h, } Ta câ σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h, à(t) = h vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.2(c) Vẳ h >0 nản mồi iºm t ∈ T ãu l iºm cổ lêp Chú ỵ rơng h >0 cõ thº l số vổ t¿, vẵ dử h = √
+) Náu t ∈ (k(a+b);k(a+b) +a) thẳ σ(t) =t, ρ(t) =t v à(t) = 0. Mồi t ∈(k(a+b);k(a+b) +a) ãu l iºm trũ mêt.
Dăn án σ(t) = t, ρ(t) < t nản t = k(a +b) l iºm trũ mêt phÊi, ỗng thới l iºm cổ lêp trĂi.
Dăn án σ(t) > t, ρ(t) =t nản t = k(a+b) +a l iºm trũ mêt trĂi, ỗng thới l iºm cổ lêp phÊi.
6) Cho q > 1 l mởt số thỹc cố ành, xĂc ành thang thới gian q Z nh÷ sau q Z ={q n : n ∈Z} ∪ {0} , q −3 , q −2 , q −1 ,0,1, q, q 2 , q 3 , Ta câ σ(t) =qt, ρ(t) = q t v à(t) = (q −1)t Xem Hẳnh 1.3(a)
7) Cho thang thíi gian T = N 2 0 n 2 : n ∈ N0 Vợi t ∈ T thẳ tỗn tÔi số n ∈ N0 sao cho t = n 2 hay √ t = n.
8) Cho thang thíi gian T= {√ n : n ∈N0}. Náu t ∈T thẳ tỗn tÔi số n ∈ N0 sao cho t =√ n hay n =t 2 ,
Ta câ σ(t) =√ t 2 + 1, ρ(t) =√ t 2 −1, v à(t) =√ t 2 + 1−t vợi mồi t 6= 0, t ∈ T. iºm t = 0 l iºm cổ lêp phÊi Mồi iºm t ∈ T, t 6= 0 ãu l iºm cổ lêp.
Ta câ b£ng tâm t t c¡c thang thíi gian th÷íng g°p
Ph²p tẵnh vi phƠn trản thang thới gian
Tẵnh chĐt cừa Ôo h m Hilger
ành lỵ 1.1 Cho h m f : T→ R l h m xĂc ành vợi mồi t ∈ T k Khi Đy
1) Náu f khÊ vi tÔi t thẳ f liản tửc tÔi t.
2) Náu f liản tửc tÔi t v t l iºm cổ lêp phÊi thẳ f khÊ vi tÔi t v f ∆ (t) = f(σ(t))−f(t) à(t)
3) Náu t l iºm trũ mêt phÊi thẳ f khÊ vi tÔi t khi v ch¿ khi giợi hÔn s→t,s∈limT f (t)−f (s) t−s tỗn tÔi v hỳu hÔn Khi õ ta cõ f ∆ (t) = lim s→t f (σ(t))−f (s) σ(t)−s
4) Náu f khÊ vi tÔi t thẳ f(σ(t)) = f(t) +à(t)f ∆ (t).
Chựng minh 1) GiÊ sỷ f khÊ vi tÔi t LĐy ε ∈ (0; 1) bĐt kẳ v kẵ hiằu ε ∗ = ε
Theo ành nghắa ta cõ
Vợi mồi ε ∗ >0, cõ mởt lƠn cên U(t, δ) cừa t sao cho
Do â lim s→t[f(t)−f(s)] = 0 ⇔ lim s→tf(s) =f(t) vợi mồi s ∈ U ∗ Vêy f liản tửc tÔi t.
2) GiÊ f liản tửc tÔi t ∈ T k v t l iºm cổ lêp phÊi Tứ tẵnh liản tửc cõa h m f t¤i t ∈ T k Ta câ lims→t f(σ(t))−f(s) σ(t)−s = f(σ(t))−f(t) σ(t)−t = f(σ(t))−f(t) à(t) Vợi ε > 0, trong lên cên U cừa s ta cõ f(σ(t))−f(s) σ(t)−s − f(σ(t))−f(t) σ(t)−t
3) GiÊ sỷ f khÊ vi tÔi t ∈ T k v t l iºm trũ mêt phÊi.
Cho ε > 0 Vẳ f khÊ vi tÔi t ∈ T k nản trong lƠn cên cừa t ta cõ
4) GiÊ thiát ta cõ f khÊ vi tÔi t.
Trữớng hủp 2 Náuσ(t) > t Dof khÊ vi tÔit f ∆ (t) = lim s→t f(σ(t))−f(s) σ(t)−s f(σ(t))−f(t) σ(t)−t
Vẵ dử 1.6 Náu f : T → R v f(t) = t 2 Khi Đy f ∆ (t) = t+σ(t) vợi mồi t ∈ T k
Thêt vêy, vợi mồi ε > 0, s ∈ U thẳ |s−t|< ε Do õ ta cõ
Vêy vợi mồi t ∈ T k ta cõ f ∆ (t) = t+σ(t).
Vợi thang thới gian T= R thẳ σ(t) ≡ t Do õ f ∆ (t) = 2t = f 0 (t).
Vợi thang thới gian T = Z thẳ σ(t) ≡ t + 1 Do õ f ∆ (t) = 2t + 1 ∆f(t) =f(t+ 1)−f(t).
Vẵ dử 1.7 X²t f(t) =√ t thẳ ta cõ f ∆ (t) = 1 pσ(t) +√ t. Vợi thang thới gian T= R thẳ σ(t) =t nản f ∆ (t) = 1
Vợi thang thới gian T= N thẳ σ(t) =t+ 1 nản f ∆ (t) = 1
Với các hàm f: T → R và g: T → R, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa chúng trong không gian thời gian T Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích sự tương tác của các hàm này thông qua các thuộc tính của chúng tại một điểm t ∈ T.
3) Náu f(t)f(σ(t)) 6= 0 thẳ f 1 l ∆ - khÊ vi tÔi t ∈T k v
4) Náu g(t)g(σ(t))6= 0 thẳ f g l ∆ - khÊ vi tÔi t ∈ T k v f g
Chựng minh GiÊ sỷ f, g liản tửc tÔi t ∈ T k
1) Cho ε > 0, U1, U2 l lƠn cên cừa t ta cõ: f(σ(t))−f(s)−f ∆ (t)(σ(t)−s)
LĐy U = U1 ∩U2 thẳ vợi mồi s ∈ U ta cõ
Vẳ vêy f +g khÊ vi tÔi t v (f +g) ∆ =f ∆ +g ∆ tÔi t ∈ T k
. Khi Đy ε ∗ ∈ (0,1), vẳ vêy trong lƠn cên U 1 , U 2 , U 3 cừa t thọa mÂn: f(σ(t))−f(s)−f ∆ (t)(σ(t)−s)
Theo ành lỵ 1.1 phƯn 1) ta cõ |f(t)−f(s)| ≤ε ∗ vợi s∈ U 3 °t U = U1 ∩U2 ∩U3 thẳ vợi s ∈U ta cõ:
Tẵnh chĐt 2) ữủc chựng minh.
Tứ Tẵnh chĐt 2) ta suy ra Tẵnh chĐt 3) v Tẵnh chĐt 4).
Nhên x²t cĂc tẵnh chĐt trản tữỡng tỹ nhữ cĂc tẵnh chĐt cừa Ôo h m thổng thữớng, những  thảm yáu tố h m nhÊy tián σ(t) tham gia trong cĂc cổng thùc.
Ta câ b£ng so s¡nh
= ∆f.g−f.∆g g.g(t+1) Ôo h m cừa vectỡ h m v ma trên h m
Giá sỉ f: T → R n là hàm vector n chiều, trong đó A: T → R là hàm xác định trên tập n, thể hiện mối quan hệ giữa các hàm vector và các hàm khác Hàm này giúp mô tả các biến đổi và đặc tính của các hàm trong không gian n chiều.
Ph²p tẵnh tẵch phƠn trản thang thới gian
H m tiãn khÊ vi
Hàm số f: T → R được gọi là hàm chính quy (regulated) nếu nó có giới hạn tại mọi điểm trong T và giới hạn trái của nó tồn tại tại mọi điểm trong T Hàm f: T → R được gọi là hàm liên tục phải (right-dense continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong T và giới hạn trái của nó tồn tại tại mọi điểm trong T Một minh họa trên có thể xác định tràn thang thời gian.
T ữủc gồi l rd-liản tửc náu mội phƯn tỷ cừa Ặ) l rd-liản tửc. ành nghắa 1.13 ChoX l mởt khổng gian Banach, Ănh xÔ:f :TìX →
X; (t, x) 7→ f(t, x) ữủc gồi l rd-liản tửc náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau a) H m f liản tửc tÔi mội iºm (t, x) vợi t l trũ mêt phÊi ho°c t max T b) CĂc giợi hÔn lim
(s,y)→(t,x),s≤tf (s, y) v lim y→xf (t, y) tỗn tÔi tÔi mội iºm (t, x) vợi t l iºm trũ mêt trĂi. ành lþ 1.3 [5, Theorem 1.60] X²t h m f : T →R , ta câ
1) Náu f liản tửc thẳ f l rd-liản tửc;
2) Náu f l rd-liản tửc thẳ f l chẵnh quy;
3) Náu f l chẵnh quy (rd-liản tửc) thẳ f σ := f ◦ σ cụng l chẵnh quy (rd-liản tửc);
4) Cho f liản tửc Náu g : T → R l chẵnh quy (rd-liản tửc) thẳ f ◦ g cụng l chẵnh quy (rd-liản tửc). ành nghắa 1.14 Mởt h m liản tửc f : T → R ữủc gồi l tiãn khÊ vi (pre-differentiable) vợi miãn khÊ vi D náu cĂc iãu kiằn sau Ơy ỗng thới ữủc thọa mÂn
2) T k \D l khổng quĂ ám ữủc v khổng chựa iºm cổ lêp phÊi n o cõa T;
3) f kh£ vi t¤i méi iºm t ∈D. ành lỵ 1.4 (ành lỵ giĂ trà trung bẳnh) [6, Theorem 1.9] Cho f v g l cĂc h m nhên giĂ trà thỹc, xĂc ành trản T v l tiãn khÊ vi vợi miãn khÊ vi D Khi õ, náu
|f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t) vợi mồi t ∈D thẳ |f(s)−f(r)| ≤ g(s)−g(r) vợi mồi r, s ∈T v r ≤ s. ành lỵ 1.5 [6, Theorem 1.25] Cho f l mởt h m chẵnh quy Khi õ tỗn tÔi mởt h m tiãn khÊ vi F vợi miãn khÊ vi D sao cho F ∆ (t) = f(t) vợi mồi t ∈ D.
Ph²p tẵnh tẵch phƠn
1) H m F trong ành lỵ 1.5 ữủc gồi l mởt tiãn nguyản h m (pre- antiderivative) cừa h m chẵnh quy f.
2) Tẵch phƠn bĐt ành cừa mởt h m chẵnh quy f l R f(t).∆t :F(t) +C trong õ C l mởt hơng số tũy ỵ v F l mởt tiãn nguyản h m cõa h m f.
3) Tẵch phƠn xĂc ành cừa mởt h m chẵnh quy f l
Z s r f(t)∆t :=F(s)−F(r) vợi r, s ∈ T, vợi F l mởt tiãn nguyản h m cừa h m f
4) Mởt h m F :T → R ữủc gồi l mởt nguyản h m (antiderivative) cừa f :T → R náu F ∆ (t) =f(t) vợi mồi t ∈T k ành lỵ 1.6 [6, Theorem 1.27] Mồi h m f l h m rd-liản tửc ãu cõ nguyản h m Nguyản h m F cừa h m f ữủc ành nghắa bði
Tứ nay vã sau ta sỷ dửng kẵ hiằu
C rd ho°c C rd (T) ho°c C rd (T,R) l têp hủp cĂc h m rd-liản tửc. ành lỵ 1.7 [6, Theorem 1.29] Náuf ∈ C rd v t ∈T k thẳRσ(t) t f(τ)∆(τ) à(t)f(t).
Chựng minh Vẳ f l rd-liản tửc nản tỗn tÔi mởt nguyản h m F cừa f.
Theo ành lỵ 1.1 ta cõ F(σ(t))−F(t) = à(t)F ∆ (t) =à(t)f(t).
Vêy Z σ(t) t f(s)∆s = à(t)f(t). ành lỵ 1.8 [6, Theorem 1.28] Náu a, b, c ∈ T, α ∈ R v f, g ∈ Crd thẳ
1) Vợi thang thới gian T =R thẳ Rb a f(t)∆t = Rb a f(t)dt, ð ¥y f l h m liản tửc.
2)Vợi thang thới gian T = Z thẳ ta cõ à(t) = σ(t)−t = t+ 1−t = 1. Kẵ hiằu [a;b] = {a;a+ 1;a+ 2; ;b−1;b} Ta cõ
P t=b f(t) náu a > b vợi f :Z → R l mởt h m tũy ỵ. ành nghắa 1.16 Náu a ∈ T, supT = ∞ v f l rd-liản tửc trản [a,∞) thẳ ta ành nghắa tẵch phƠn suy rởng
Náu giợi hÔn l tỗn tÔi ta nõi tẵch phƠn hởi tử, đồng thời cũng ta nõi tẵch ph¥n ph¥n ký Điều này được thể hiện qua hình ảnh 1.9, minh họa sự biến đổi dữ liệu tẵch phƠn.
T → R l mởt h m tông ch°t v Te = v(T) cụng l mởt thang thới gian. Náu f : T →R l h m rd - liản tửc v v l h m khÊ vi vợi v ∆ l rd - liản tửc thẳ vợi a, b∈ T, ta cõ
Tẵnh hỗi quy trản thang thới gian
Nhưc lÔi ành nghắa nhõm v nhõm Abel nhữ sau
Têp hủpA cũng ph²p toĂn∗ ữủc gồi l nhõm náu thọa mÂn iãu kiằn sau
3) Cõ phƯn tỷ ỡn và, nghắa l mồi x thuởc A, tỗn tÔi e thuởc A sao cho x∗e =e∗ x= x;
4) Mồi phân tỷ trong A ãu cõ phƯn tỷ khÊ nghich, nghắa l mồi x thuởc
A, luổn tỗn tÔi −x thuởc A sao cho x∗(−x) =e.
Tập hợp A được gọi là nhóm Abel nếu thỏa mãn tính chất giao hoán, tức là với mọi x, y thuộc A, ta có x * y = y * x Cho K là trường số thực hay phức Hình ảnh H của phép ánh xạ T → K được gọi là hồi quy (regressive) nếu thỏa mãn điều kiện nhất định.
1 +à(t)p(t)6= 0 vợi mồi t ∈ T k ành lỵ 1.10 Têp hủp < =