Các dạng hội tụ cơ bản
Trước khi đi vào nội dung luận văn, tác giả sẽ trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến hội tụ trong xác suất, bao gồm hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình cấp, hội tụ theo phân phối và hội tụ yếu Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn được đưa ra như sau: Một dãy biến ngẫu nhiên (X n ) hội tụ hầu chắc chắn nếu xác suất tồn tại giới hạn của dãy này bằng 1 Cụ thể, nếu X là một biến ngẫu nhiên và xác suất giới hạn của dãy (X n ) bằng X cũng bằng 1, thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới X Định lý về hội tụ hầu chắc chắn nêu rõ rằng điều kiện cần và đủ để dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn là với mọi r > 0, giới hạn xác suất của sup m,k≥n phải tiến tới 0.
|X m −X k | >r)=0. Điều kiện ở trên tương đương với lim n P(sup m≥n |X m −X n | >r)=0.
Hội tụ cơ bản của dãy biến ngẫu nhiên (X n ) được xác định bởi điều kiện cần và đủ để dãy này hội tụ hầu chắc chắn tới một giá trị X Cụ thể, với mọi r > 0, giới hạn lim n P(sup m≥n |X m −X| >r) phải bằng 0 Định nghĩa này phản ánh khái niệm hội tụ theo xác suất, một yếu tố quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê.
Nếu với mọi ε > 0, lim n P(|X n − X| > ε) = 0, thì dãy (X n) hội tụ tới X theo xác suất, ký hiệu là p-lim n X n = X hoặc X n → p X Định lý 1.1.4 cho biết rằng nếu dãy (X n) hội tụ hầu chắc chắn tới X, thì dãy (X n) cũng hội tụ theo xác suất tới X, nhưng điều ngược lại không đúng.
2 Nếu dãy(X n )hội tụ theo xác suất tớiX thì có thể trích ra dãy con(X n k )hội tụ hầu chắc chắn tớiX.
3 Để cho dãy(X n )hội tụ theo xác suất điều kiện cần và đủ là với mọi số dươngr>0 lim n sup m,k ≥ n
Xác suất P(|X m −X k | >r)=0 cho thấy rằng sự khác biệt giữa các biến ngẫu nhiên X m và X k là không đáng kể Điều này tương đương với giới hạn lim n sup m ≥ n P(|X m −X n | >r)=0, cho thấy rằng khi n tăng lên, xác suất sự khác biệt lớn hơn r giảm dần về 0 Định nghĩa 1.1.5 về hội tụ theo trung bình cấp p chỉ ra rằng với số dương p>0, tập hợp các biến ngẫu nhiên X thuộc L p (Ω) sẽ thỏa mãn điều kiện E|X| p < ∞.
Dãy biến ngẫu nhiên(X n )⊂L p (Ω)được gọi là hội tụ trung bình cấpptới biến ngẫu nhiên
Khi đó ta cũng nói(X n )hội tụ tớiX trongL p (Ω)và viếtlimX n =X trongL p (Ω)hayX n → L p X.
Các dạng hội tụ cơ bản bao gồm định lý 1.1.6, trong đó dãy biến ngẫu nhiên (X_n) thuộc L_p hội tụ trung bình cấp p khi và chỉ khi giới hạn E|X_m − X_k|^p tiến tới 0 khi m, k → ∞ Theo định lý 1.1.7, nếu dãy (X_n) hội tụ trung bình cấp p, thì dãy (X_n) cũng hội tụ theo xác suất.
2 Sự hội tụ trung bình cấppkhông nhất thiết kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn.
Sự hội tụ không nhất thiết kéo theo sự hội tụ trung bình cấp Theo định nghĩa, một dãy các biến ngẫu nhiên \(X_n\) hội tụ theo phân bố tới \(X\) nếu hàm phân bố xác suất \(F_n(x)\) của \(X_n\) hội tụ tới \(F(x)\) của \(X\) tại mọi điểm liên tục của hàm \(F\) Điều này được ký hiệu là \(X_n \xrightarrow{d} X\) Ngoài ra, nếu dãy \(X_n\) hội tụ tới \(X\) theo xác suất, thì dãy này cũng sẽ hội tụ tới \(X\) theo phân bố.
Điều ngược lại không đúng trong trường hợp chung Tuy nhiên, nếu dãy (X_n) hội tụ tới hằng số c theo phân bố, thì dãy (X_n) sẽ hội tụ tới c theo xác suất Theo Định lý 1.1.10, để dãy (X_n) hội tụ theo phân bố tới X, điều kiện cần và đủ là: với mọi hàm liên tục bị chặn f(x), ta có lim n E f(X_n) = E f(X).
Ký hiệuMlà tập hợp tất cả các hàm F không giảm, liên tục bên trái và thỏa mãn điều kiện x →−∞lim F(x)=0 và lim x →+∞ F(x)=1.
Ta thấy rằngMcũng chính là tập hợp tất cả các hàm phân bố xác suất.
Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α - ổn định chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.11(Hội tụ yếu) Dãy(F n )⊂Mđược gọi là hội tụ yếu tớiF∈Mnếu với mọi x∈C(F)ta có lim n F n (x)=F(x)
Dãy biến ngẫu nhiên \( (X_n) \) hội tụ theo phân bố đến biến ngẫu nhiên \( X \) nếu và chỉ nếu dãy \( (F_n) \) hội tụ yếu đến \( F \), trong đó \( F_n \) và \( F \) lần lượt là hàm phân bố xác suất của \( X_n \) và \( X \).
1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α - ổn định chuẩn tắc
• Bất kỳ dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bốε 1,ε 2, sao choP(ε 1= ±1)= 1 2 được gọi là một dãy Bernoulli Ta xét dãy Bernoulli hữu hạnε 1, ,ε n
• Một dãy Gauss chuẩn tắc được kí hiệu là γ 1,γ 2, là một dãy của các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phốiN(0, 1), tức là:
Ta xét các dãy Gauss hữu hạn chuẩn tắcγ 1,γ 2, ,γ n
• Cho 0 0 sao cho A(t) ≤ B(t) ≤ C A(t) với mọi t ∈ I.
Nếuα0sao cho với bất kỳ t ≥t 0 ta có:
E|ξ| α I {s≤|ξ|≤t} ∼l og + t s, (1.4) và với bất kỳp>αvàt≥t 0 , ta có:
E|ξ| p I { |ξ|≤ t } ≤E|ξ| p < ∞ (1.6) Nếuα=2thì∀t 0 >0vàr>0, tồn tại một hằng sốCsao cho vớit≥t 0 , ta có
Modun trên các không gian tuyến tính
1.3 Modun trên các không gian tuyến tính
Các ký hiệu và định nghĩa mà chúng tôi sử dụng liên quan đến các mô-đun được thiết kế nhằm phục vụ cho nhu cầu của luận văn này, tuy nhiên, chúng có thể không hoàn toàn phù hợp với thuật ngữ chính thống và phong cách chuẩn mực của lĩnh vực.
Cho E là một không gian tuyến tính Một phiếm hàm Φ:E → [0,∞] được gọi là một modun nếu:
2 Với mỗix∈E, hàmg(t)=Φ(t x)là liên tục và là hàm chẵn trênRđồng thời không giảm trênR + Φđược gọi là một tăng trưởng trung bình nếu nó thỏa mãn điều kiện:
3 ChoC>0và bất kỳx,y∈E Φ(x+y)≤C(Φ(x)+Φ(y)) Φđược gọi là một tăng trưởng mũ lớn nhất nếu nó thỏa mãn điều kiện:
Ta cũng sẽ cần các tính chất dưới đây của modun.
5 [5 0 ] Tồn tại một hàm liên tục [liên tục tại điểm (0; 0)] ψ: R + ×R + → R + sao cho ψ(s, 0)=ψ(0,s)=svới mỗis∈R + thì ta cóΦ(x,y)≤ψ(Φ(x),Φ(y))với mỗix,y∈E.
Ví dụ, bất kì modun thỏa mãn điều kiện
1.3 MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH có tính chất 5 Hơn nữa, nếu một modunΦlà một tăng trưởng trung bình thì nó có tính chất[50].
Nếu Φ là một mô đun thỏa mãn điều kiện [5 0], thì Φ định nghĩa một topo trên E, trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục, tức là topo này là tuyến tính nhưng không nhất thiết phải là Hausdorff Topo này xác định rằng dãy (x_n) ⊂ E hội tụ tới 0 trên topo này khi và chỉ khi Φ(x_n) → 0, có thể được mô tả bởi một giả metric không khả ly các điểm Cụ thể, ta viết x_n → Φ x_0 nếu lim (n→∞) Φ(x_n - x_0) = 0 Với một mô đun Φ trên E và δ > 0, ta định nghĩa δ Φ,δ (x) = δ(x) := inf {n s: Φ(1/s x) ≤ δ}.
Khi δ là một mô đun mới trên E và δ thuần nhất, ta có δ(t x) = |t|δ(x) với bất kỳ t ∈ R và x ∈ E Nếu Φ thỏa mãn điều kiện 5, thì với mỗi dãy x_n → Φ x_0, ta có liminf (n→∞) δ Φ (x_n) ≥ δ Φ (x_0) Ngoài ra, nếu x_n → Φ 0, thì lim (n→∞) δ Φ(x_n) = 0 Đối với mô đun tổng quát, điều ngược lại không đúng, nhưng đúng với các mô đun Φ thỏa mãn điều kiện cụ thể.
7 Tồn tại hằng số dươngC,C 1 vàC 2 sao cho với mỗix∈E, ta có:
Thật vậy, ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu điều kiện trên thỏa mãn thì với mỗix∈E, có
Lọc và thời điểm dừng
vớiA=Cδ logC /C 1 ,r=logC/C 1 ,B=Cδ logC /C 2 vàs=logC/C 2
Bên cạnh tính chất 5, modunΦthỏa mãn tính chất sau:
8 Với bất kỳx∈E,x6=0, hàmΦ(t x)là hàm tăng trênt∈R + thìx n −→ Φ x 0 suy raδ Φ (x n )→ δ Φ (x 0 ).
1.4 Lọc và thời điểm dừng
Cho(Ω,F, P )là một không gian xác suất và choIlà một trong những tập sau:R + ,N, [0,t ∞ ] vớit ∞ >0hoặc{1, ,n}vớin∈N.
Một họF t ,t∈I củaσ- trường con củaFđược gọi là lọc nếu với mỗit,s∈I sao chott}∈
F t (và khi đó{τ≥t}∈F t cũng đúng) NếuI=Nthìτlà một thời điểm dừng khi và chỉ khi với mỗin∈N, ta có{τ=n}∈F n Hơn nữa, trong trường hợp này{τ≥n}∈F n−1.
Martingale giá trị thực
Khái niệm tương thích và dự báo được
Các σ-trường liên quan đến dãy ngẫu nhiên Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất, F ⊂ A là σ-trường con của A và X là biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X được coi là tương thích với F nếu X là F-đo được Trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu.
Kí hiệuσ(X)=X −1 (B), trong đóBlàσ- trường Borel củaR Rõ ràng,X ∈Fkhi và chỉ khi σ(X)⊂F.
Cho trước dãy ngẫu nhiên X ={X n ,n∈N} Kí hiệuσ({X n ,n∈N})làσ- trường con bé nhất
Cho dãyσ- trường con{F n ,n∈N}củaA Dãy này được gọi làkhông giảm,nếu
Trong lý thuyết xác suất, ta xem xét một họ không giảm {σ ≤ n, m∈N}, trong đó σ ≤ n đại diện cho các biến cố quan sát được tại thời điểm n Định nghĩa 1.5.1 nêu rõ rằng một quá trình ngẫu nhiên X = {X n, F n, n∈N} được gọi là dãy tương thích nếu mỗi biến ngẫu nhiên X n thuộc vào σ-algebra F n với mọi n∈N.
Ta nói rằngV ={V n ,F n−1,n∈N,F−1=F0}là dãy dự báo được, nếuV n ∈F n−1 với mỗin∈N.
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:
Không gian xác suất (Ω, A, P) được định nghĩa là đầy đủ nếu tập A chứa tất cả các tập hợp có xác suất bằng 0 Một tập O được gọi là có xác suất 0 nếu tồn tại một tập A thuộc A sao cho P(A) = 0 và O là tập con của A.
• {F n ,n∈N}là dãy cácσ- trường không giảm Kí hiệu
MARTINGALE GIÁ TRỊ THỰC là σ-trường bé nhất chứa tất cả các F_n với n thuộc N Định nghĩa 1.5.2 nêu rõ rằng, nếu τ: Ω → N ∪ {∞} là một biến ngẫu nhiên có thể nhận giá trị ∞, thì τ được coi là thời điểm Markov đối với {F_n, n ∈ N}.
Nếu thêm vào đóP(τ< ∞)=1, thìτđược gọi là thời điểm dừng.
Các định nghĩa dưới đây áp dụng khi thay tập số nguyên không âm N = {0, 1, } bằng tập hữu hạn {0, 1, , N}, với N thuộc N Định nghĩa 1.5.3: Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất, dãy X = {X_n, F_n, n ∈ N} được gọi là
• martingale trên (đối với{F n ,n∈N}), nếu:
• martingale dưới (đối với{F n ,n∈N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’) Với m ≤nvà m, n ∈N
• martingale (đối với{F n ,n∈N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và
Các bất đẳng thức cơ bản
• martingale ngược (đối với{F n ,n∈N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii”’) Vớim≥nvàm,n∈N
Từ đó suy ra{X n ,F n , 0≤n≤N}là martingale ngược khi và chỉ khi{X N −n ,F N −n , 0≤ n≤N}là martingale.
1.6 Các bất đẳng thức cơ bản Định lý 1.6.1 Nếu{X n ,F n ,n=0, 1, ,N}là martingale dưới, thì với mọiλ∈R(vớiλ>0), λP( max
0≤n≤N X n ≤ −λ)]. Định lý 1.6.2 ( Bất đẳng thức Kolmogorov ) Nếu{X n ,F n ,n=0, 1, ,N}là martingale với
0 ≤ n ≤ N |X n | >λ)≤E|X N | p Định lý 1.6.3 ( Bất đẳng thức Doob ) Nếu{X n ,F n ,n=0, 1, ,N}là martingale dưới không âm vớiE|X n | p < ∞,n=0, ,N, 1t)≤α 0 P(ξ 0>t) (1.10) thì với bất kỳ hàm không giảmϕ:R + →R + vớiϕ(0)=0
Bổ đề 1.6.5 ( Bất đẳng thức Paley-Zygmund ) Nếuξ là một biến ngẫu nhiên không âm vớiEξ 2 < ∞thì với bất kỳ0s) (2.1) Đặc biệt, nếumax 1≤i ≤n P(||S i || > 3 t )< 1 3 thì
3), được chứng minh từ phần đầu của định lý.
Trong trường hợp khimax 1 ≤ i ≤ n P(||S i || > 3 t )≥ 1 3 thì công thức trên hiển nhiên đúng. Để chứng minh ý thứ 2 của định lý, ta kí hiệu:
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC LEVY - OCTAVIANI
Vì X 1 , ,X n ở đây được giả sử là đối xứng và độc lập, hai xác suất cuối ở trên là bằng nhau Do đóP(A i )≤2P(A i ∩{||S n || >t})và một tổng vớii=1,ncho ta:
Chú ý.Ước lượng (2.1) cũng cho rằng với mỗis,t>0ta có
Ngoài việc tìm hiểu xác suất phần dư của cực đại các tổng, chúng ta cũng cần ước lượng xác suất phần dư của cực đại các dãy ||X i ||, với i = 1, , n.
Mệnh đề 2.1.2 NếuX 1 , ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có các giá trị trênF thì với mỗis,t≥0, ta có:
P(S ∗ n ≤s), và ngoài ra nếuX 1 , ,X n đối xứng thì
Chứng minh Phương pháp của chứng minh này tương tự với mệnh đề2.1.1 Vớit,s≥0 cố định vài=1,n, ta kí hiệu
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC LEVY - OCTAVIANI
Khi đó, vớii 6=j,B i ∩B j =∅,∪ n i = 1 B i ={X n ∗ >t+s}vàB i độc lập vớiX 1 , ,X i −1 Vì với mỗi i =1,n
Cực tiểu ở trên là lớn hơn hoặc bằngP(S ∗ n ≤s), do đó phần đầu tiên của mệnh đề thỏa mãn Trong trường hợp đối xứng, ta kí hiệu
Khi đó, với mỗii=1,n, ta có:
Trong trường hợp này, các biến X1, , Xn được giả định là độc lập và đối xứng, dẫn đến hai xác suất cuối cùng là bằng nhau Do đó, ta có bất đẳng thức P(Bi) ≤ 2P(Bi ∩ {||Sn|| > t}) Khi tổng hợp từ i = 1 đến n, chúng ta thu được bất đẳng thức thứ hai của mệnh đề.
Kết quả dưới đây so sánh các momen của tổngS n với các momen của cực đạiS n ∗ và
X n ∗ là một hệ quả trực tiếp của hai mệnh đề trên và mệnh đề1.6.1
Hệ quả 2.1.1 NếuX 1 , ,X n là biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F và ϕ:R + →R + là một hàm không giảm thì
Bất đẳng thức co
Bất đẳng thức co thực hiện các so sánh giữa các đuôi (và các momen) của các tổng
P n i =1 X i và các đuôi (các momen) của các phép biến đổiP n i =1 ξ i X i , trong các trường hợp dãy hệ sốξ 1, ,ξ n phải chịu một ràng buộc bị chặn nhất định.
Mệnh đề 2.2.1 Cho X 1 , ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có các giá trị trênF Khi đó, với mỗi dãyα 1, ,α n ∈Rvà bất kỳt>0, ta có
Chứng minh Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử rằng1=α 1≥α 2≥ ã ã ã ≥α n ≥0 Khi đú, ta có thể viết
Do đó, theo mệnh đề2.1.1ta thu được bất đẳng thức thỏa mãn.
Hệ quả 2.2.1 đề cập đến một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng, ký hiệu là ChoX 1, , X n, có giá trị trên F Đồng thời, có một dãy các biến ngẫu nhiên thực ξ 1, , ξ n thỏa mãn điều kiện |ξ i | ≤ 1 với i = 1, n Kết quả là dãy các biến ngẫu nhiên ξ 1 X 1, , ξ n X n cũng sẽ là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F.
2 Với bất kỳ hàm không giảmϕ:R + →R + , ta có
3 Với bất kỳ hàm không giảm và lồiϕ:R + →R + , ta có
Chứng minh rằng dãy (ε i) là một dãy Bernoulli độc lập với dãy (ξ i X i) và (X i) Theo giả thiết, dãy (ξ i X i) và dãy (ξ i X i ε i) có cùng phân phối, từ đó suy ra rằng dãy (X i) và dãy (ε i X i) cũng có cùng phân phối.
Do đó, ta có thể viết
Tiếp theo, áp dụng điều kiện của mệnh đề2.2.1, choα i :=ξ i (ω),X i :=ε i X i (ω)và sau đó kết hợp vớiP(sω)ta có:
2 Chứng minh 2) là một hệ quả trực tiếp của 1) và mệnh đề1.6.1.
3 Đưa dãy Beroulli(ε i )vào và tiến hành một cách chính xác như trong chứng minh
1), ta chỉ ra rằng(ε i )thỏa mãn 3) chỉ trong trường hợp(ξ i )là các đại lượng vô hướng không ngẫu nhiên.
Trong trường hợp cụ thể này, chứng minh này được hoàn thành bằng cách quy nạp trên n và áp dụng của bất đẳng thức dưới đây.
Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F vàα∈R,
||X+Y|| ´.Bất đẳng thức sau là một hệ quả trực tiếp, theo tính lồi của chuẩn và củaϕvà của
Bất đẳng thức Moment
tính đối xứng củaX vàY, ta có
Mặc dù ban đầu các bất đẳng thức trong phần này có vẻ khó sử dụng, nhưng qua nghiên cứu, các nhà khoa học đã chỉ ra rằng chúng rất hiệu quả, đặc biệt khi so sánh cực đại S ∗ n của các tổng với cực đại X n ∗ của các số hạng Chúng ta sẽ liên tục áp dụng những bất đẳng thức này trong các phần tiếp theo.
Mệnh đề 2.3.1 NếuX 1 , ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trênF thì với bất kỳs,t,u≥0, ta có
Ngoài ra nếuX 1 , ,X n là đối xứng thì
Chứng minh Vớii =1, ,n, ta định nghĩa A i ={||S j || ≤t , ∀j t}.
Khi đó:A 1 , ,A n là đôi một rời nhau và∪ n i=1 A i ={S ∗ n >t}.
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT và theo tính độc lập của A i và{max is}với mỗii =1,n, ta có:
Lấy tổng với i =1, ,nvà đưa vào đánh giá ở trên, ta có bất đẳng thức
Mệnh đề được chứng minh thông qua việc nhận thấy rằng số hạng cuối cùng luôn được ước lượng từ phía trên bởi xác suất P(S ∗ ∗ n > s) Đặc biệt, trong trường hợp các biến ngẫu nhiên X 1, , X n có tính đối xứng, số hạng cuối cùng này sẽ được ước lượng bởi 2P(||S n || > s) theo mệnh đề 2.1.1.
Mệnh đề 2.3.2 Cho p >0 Nếu X 1, ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với mọit≥0
3 −p −P(S ∗ ∗ n >t), trong đó vế phải luôn dương.
Chứng minh Thays=t=utrong mệnh đề2.3.1, ta thu được
Vì với biến ngẫu nhiên không âmξ,
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT ta thu được, với bất kìt≥0,
=E(X n ∗ ) p +E(S ∗ n ) p P(S ∗ ∗n >t)+t p , và mệnh đề được chứng minh xong.
Nếu các biến X1, , Xn là đối xứng và độc lập, việc áp dụng phần thứ hai của mệnh đề 2.3.1 sẽ dẫn đến kết quả sau đây cho bất kỳ t ≥ 0.
3 −p −2P(||S n || >t), trong đó vế phải luôn dương.
Mệnh đề 2.3.3 NếuX 1 , ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trênF thì với bất kìt≥0, ta có n
(2.3) và do1−e −x ≥xe −x vớix∈R, ta có
Một lần nữa, theo công thức (2.3) số hạng cuối cùng được ước lượng bằng1−P(X n ∗ >t),
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT mệnh đề được chứng minh.
Các bất đẳng thức đuôi cho các tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên Beroulli và Gaussian
Các bất đẳng thức của định lý2.3.1có thể được cải thiện một cách đáng kể trong trường hợp đặc biệt của các chuỗi Beroulli trongF.
Mệnh đề 2.3.4 Cho ε 1, ,ε n là một dãy Beroulli, chox 1 , ,x n ∈F và choS n =P n i = 1 x i ε i Khi đó, với bất kì s, t >0, ta có
Chứng minh NếuA k kí hiệu cho cùng một biến cố như trong chứng minh của mệnh đề
Lúc này, một quan sát cốt yếu là với mỗi i =1, ,n, các biến cố A i và {max 1 ≤ i < j ||S j −
S i−1 || >s}là độc lập Dễ thấy rằng, A i ∈σ(ε 1, ,ε n )và
1 < j ≤ n ||S j −S i −1 || >s}∈σ(ε i ε i+1,ε i ε i+2, ,ε i ε n ), bởi vì với mỗi i < j, ta có
Dãy Beroulli ε1, ε2, , m có tính chất rõ ràng rằng ε1, , εi, εi, εi+1, εi, εi+2, , εi, εn cũng tạo thành một dãy Beroulli khác Phần còn lại của chứng minh này dựa vào mệnh đề 2.3.1.
Trong trường hợp chuỗi ngẫu nhiên Gaussian, có thể rút ra một sự tương tự của bất đẳng thức thứ hai trong mệnh đề 2.3.4 với một hằng số tối ưu hơn.
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT thì với bất kìs,t>0
Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, trên một không gian F Không gian F được giả định là một không gian Banach khả ly hoặc đơn giản là một không gian metric tuyến tính khả ly.
Trước khi bắt đầu ta sẽ nhắc lại về mặt định nghĩa và quy ước đã đề cập phía trên:
∥X i ∥ và nếu chuỗiP n i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắn thìS sẽ được kí hiệu cho tổng của nó, đồng thời
Tất cả các bất đẳng thức cơ bản từ hai chương đầu tiên, thông qua một phép biến đổi đơn giản thành giới hạn, sẽ giữ nguyên tính chất của các chuỗi vô hạn hội tụ hầu chắc chắn Trong đó, S n được thay thế bằng S, X n ∗ được thay thế bằng X ∗ và S ∗ n được thay thế bằng S ∗.
Định lý Ito-Nisio
Giả sử có một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập trên không gian Banach khả ly F, ta nhận thấy sự xuất hiện của một số kiểu hội tụ trùng nhau Theo Định lý 3.1.1, cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, , ba điều kiện sau đây là tương đương.
(i) P ∞ i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắc;
(ii) P ∞ i = 1 X i hội tụ theo xác suất;
(iii) Các phân phốiL(S n ), n=1, 2, ,hội tụ yếu.
Ngoài ra, nếu X 1 ,X 2 , đối xứng, thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương với ba điều kiện dưới đây:
(iv) Dãy các phân phối(L(S n ))là compact tương đối.
(v) Tồn tại một biến ngẫu nhiênScó giá trị trênF, và một họD⊂F 0 các điểm khả ly củaF sao cho với mỗix 0 ∈D, chuỗi P ∞ i =1 x 0 (X i )hội tụ hầu chắc chắn tớix 0 (S);
(vi) Tồn tại một độ đo xỏc suấtàtrờnF, và một họ tuyến tớnhD⊂F 0 cỏc điểm khả ly củaF sao cho, với mỗix 0 ∈D, chuỗi P ∞ i=1 x 0 (X i )hội tụ theo phõn phối tớix 0 (à).
Chứng minh Rõ ràng,(i)⇒(i i)⇒(i i i)⇒(i v) và (i)⇒(v)⇒ (vi)là hiển nhiên Từ bất đẳng thức dạng Lévy-Octavian trong Mệnh đề2.1.1ta chứng minh được ngay(i i)⇒(i).
Dãy (S_n) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi giới hạn lim n>m→∞(S_n − S_m) = 0 theo xác suất, tương đương với việc các phân phối L(S_n − S_m) tiến tới δ_0 yếu khi n>m→∞ Đối với mỗi tập compact K⊂F, ta có P(S_n − S_m ∉ K−K) ≤ P(S_n ∉ K) + P(S_m ∉ −K) Từ đó, có thể suy ra rằng dãy {L(S_n − S_m)} n > m là compact tương đối yếu và là giới hạn của.
L(S n )và choνlà giới hạn củaL(S n k −S m k )với các dãyn k >m k → ∞ Khi đó:
L(S m k )∗L(S n k −S m k )→à∗ν yếu khik→ ∞ Mặt khác, theo tính độc lập của cácX i ,
L(S m k )∗L(S n k −S m k )=L(S n k )→à, khi k → ∞ Do đú,à∗ν=àsuy raν=δ 0và ta thu được(i i i )⇒(i i).
Chúng tôi chứng minh rằng dãy (S n) hội tụ theo xác suất Theo giả thiết, tồn tại một dãy n → ∞ sao cho các phân phối L(S n k) hội tụ yếu Do đó, từ lập luận trước đó, ta suy ra rằng dãy (S n k) cũng hội tụ theo xác suất.
Ta sẽ chứng minh rằng (v) dẫn đến (i v) Theo giả thiết của (v), ta chứng minh rằng với mỗi n = 1, 2, , các biến ngẫu nhiên S_n và S - S_n là độc lập Cụ thể, với mọi x_0 ∈ D, biến ngẫu nhiên S - S_n là vô hướng đo được đối với σ(X_n + 1, X_n + 2, ), và vì D là một tập toàn phần trong F_0, nên S - S_n cũng là đo được mạnh đối với σ-trường đó Với ε > 0 cho trước, K là một tập con lồi, compact của F với P(S ∈ K) ≥ 1 - ε.
VìL(S)=L(2S n −S)theo tính đối xứng, ta thu đượcP(S n ∉K)≤2P(S∉K)≤2ε Do đó, dãy (L(S n ))là compac tương đối yếu.
Kế tiếp ta chứng minh(i v)⇒(v) Chox 0 1 ,x 2 0 ,ã ã ã ∈D 0 là một dóy cỏc phiếm hàm khả ly cỏc điểm củaF Một dãy như vậy tồn tại theo tính chất khả ly củaF.
Theo giả thiết, với mỗi k = 1, 2, , chuỗi P ∞ i =1 x k 0 (X i ) hội tụ theo phân phối tới x k 0 (à) Điều này dẫn đến việc chuỗi P ∞ i=1 x k 0 (X i ) hội tụ hầu chắc chắn tới một biến ngẫu nhiên ξ k Đối với dãy các số dương α 1, α n, , khi lim k → ∞ α k ξ k = 0 hầu chắc chắn và lim k → ∞ α k ∥x k 0 ∥ = 0, thì Z = (α k ξ k) trở thành một biến ngẫu nhiên có giá trị trong c 0, không gian Banach của tất cả các dãy thực hội tụ tới 0 Từ đó, toán tử T : F → c 0 được xác định bởi T x α 0 α 0 0 0.
Sự hội tụ theo trung bình cấp p
Một phân phối của Z tương tự như phân phối của T(à) Để hiểu điều này, hãy lưu ý rằng nếu b 0 =(β 1,β 2, ,β m , 0, 0, )∈c 0 0 là một phiếm hàm phản ánh trên c o qua công thức b 0 (a)=P ∞ i =1 β i α i với a=(α 1,α 2, )∈c 0, thì phân phối của b 0 (Z) sẽ bằng b 0 (T(à)), vì b 0 (Z) m.
(X i ) và theo giả thiết, phân phối của chuỗi này trùng nhau với phân phối của ³X m k=1 β k α k x k 0 ´
Vỡ cỏc phiếm hàmb 0 của dóy trờn là trự mật trongc 0 0 , ta thu đượcL(Z )=T(à) Độ đo ảnh
T được xác định trên một tập con Borel của không gian c0 bởi vì nó được xác định trên một hợp đếm được các tập compact Kn ⊂ F, với n = 1, 2, , sao cho T được xác định trên ∪ ∞ n=1 T(Kn) là một tập con Borel của c0 Tất cả các T(Kn) đều là compact trong c0 Do đó, Z thuộc T(F) với xác suất cao.
Hàm S=T −1 Z được xác định trên tập hợp Ω và đồng thời là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian F Đối với mỗi k=1, 2, , biến ngẫu nhiên x k 0 (S) được biểu diễn bởi ξ k, trong khi bề rộng x 1 0, x 2 0, tạo thành một σ-trường Borel trong không gian F.
Vì vậy, với mỗik=1, 2, , dãyx 0 k (S k )→ξ k =x 0 k (S)hầu chắc chắn khik→ ∞, ta suy ra được (v) theo sự tương đương của(i)⇔(v).
3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p
Trong thực tế, việc khảo sát sự hội tụ theo trung bình cấp p thường dễ dàng hơn so với hội tụ hầu chắc chắn Sự hội tụ theo trung bình cấp p đóng vai trò quan trọng trong việc cung cấp thông tin về các moment của chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập trong không gian F, được giả định là một không gian Banach khả ly Định lý 3.2.1 chỉ ra rằng, với Chop > 0 và một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, , nếu chuỗi P ∞ i=1 Xi hội tụ hầu chắc chắn tới S, thì các điều kiện dưới đây là tương đương.
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
Ngoài ra, nếu một trong các điều kiện (i) - (iv) ở trên được thỏa mãn thì n→∞lim E||S n −S|| p =0
Chứng minh (i)⇒(i i) Từ bất đẳng thức2S ∗ ≥X ∗ ta chứng minh được điều này.
Điều suy ra này đúng vì xác suất P ∞ i=1 X i hội tụ hầu chắc chắn Với a < 1 đã cho và t đủ lớn, ta có P(S ∗ > t) < 3 − p a theo mệnh đề 2.3.1 và một chú ý mở của chương này.
(i i i)⇒(i i) Suy ra được từ bất đẳng thức hiển nhiên sau đây
(i i)⇒(i i i) Choa>0và chot sao choP(X ∗ >t)≤at,
P(||X i || >s) Theo mệnh đề1.6.1, ta có
1−aE(X ∗ ) p I {X ∗ > t} (3.3) Suy ra rằng(i i i)thỏa mãn vớit=t 0 >0. Để chứng minh rằng bất đẳng thức trên cũng suy ra(i i i)đúng với bất kìt t 0 là hiển nhiên), thấy rằng trong trường hợp đó
Ta chứng minh rằng (iii) được thỏa mãn với bất kì t > 0 bởi vì hiển nhiên rằng, theo bổ đề Borel-Cantelli
(i v)⇒(i)từ Bất đẳng thức (2.1), bởi vì vớia>0cho trước vàtđủ lớn để thỏa mãnP(S ∗ > t
Một lần nữa theo mệnh đề1.6.1ta có
Ta chứng minh được định lý từ định lý Lebesgue, ta cóE(S ∗ ) p < ∞và từ bất đẳng thức
Từ định lý3.2.1và từ bổ đề Borel-Cantelli ta có: nếu tồn tại hằng sốK,a>0sao cho với mỗii=1, 2,
Nếu chuỗi \( P(\|X_i\| > a) \) thỏa mãn điều kiện \( E\|X_i\|^p \{ \|X_i\| > a \} \leq K P(\|X_i\| > a) \), thì sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi \( \sum_{i=1}^{\infty} X_i \) sẽ dẫn đến sự hội tụ theo trung bình cấp \( p \) Điều kiện này luôn được thỏa mãn khi các \( X_i \) bị chặn đều.
Hệ quả 3.2.2 nêu rõ rằng, cho p>0 và X1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên F, chuỗi P ∞ i=1 Xi hội tụ hầu chắc chắn nếu và chỉ nếu với a>0 (hoặc tương đương với mọi a>0), hai điều kiện nhất định phải được thỏa mãn.
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
(i i) P ∞ i =1 X i I { || X i ||≤ a} hội thụ theo trung bình cấpp.
Nếu chuỗi P ∞ i =1 X i hội tụ hầu chắc chắn, theo bổ đề Borel-Cantelli, chuỗi (i) cũng hội tụ Điều này dẫn đến chuỗi (i i) hội tụ hầu chắc chắn Theo định lý 3.2.1, từ (i i i) suy ra (i v), chuỗi (i i) cũng hội tụ theo trung bình cấp p, với điều kiện ∥X i I {||X i ||≤a} ∥≤a Ngược lại, nếu (ii) được thỏa mãn, theo định lý Nito-Nisio, chuỗi (ii) cũng hội tụ hầu chắc chắn Từ đó, cùng với (i) và bổ đề Borel-Cantelli, chuỗi P ∞ i=1 X i I {||X i ||>a} cũng hội tụ hầu chắc chắn, dẫn đến P ∞ i =1 X i hội tụ hầu chắc chắn.
Trong trường hợp đặc biệt của các biến ngẫu nhiên trong không gian Hilbert, hệ quả này dẫn đến định lý ba chuỗi, một kết quả quan trọng trong lý thuyết xác suất.
Hệ quả 3.2.3 nêu rõ rằng, cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, , có giá trị trên không gian Hilbert H, chuỗi P ∞ i =1 Xi sẽ hội tụ hầu chắc chắn nếu và chỉ nếu ba chuỗi sau đây hội tụ với a > 0.
Các biểu thức trong bất đẳng thức cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng thường đơn giản hơn, điều này giúp hiểu rõ hơn về định lý ba chuỗi trong trường hợp đối xứng.
Hệ quả 3.2.4 ChoX 1 ,X 2 , là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trongF Khi đó, chuỗi
P ∞ i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi3điều sau được thỏa mãn
(ii) P ∞ i = 1 E X i I {||X i ||≤1} hội tụ trênF, và
(iii) Chuỗi P ∞ i=1 Y i , trong đóY i là một đối xứng củaX i I {|| X i ||≤1} hội tụ hầu chắc chắn.
Chuỗi \( P_{\infty} \sum_{i=1} X_i I_{\{||X_i|| \leq 1\}} \) hội tụ theo trung bình cấp 1 nếu và chỉ khi các điều kiện (ii) và (iii) được thỏa mãn Sự hội tụ theo trung bình cấp 1 dẫn đến việc thỏa mãn điều kiện (ii), và theo định lý Ito-Nisio, điều này cũng dẫn đến việc thỏa mãn điều kiện (iii).
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
Ngược lại, theo hệ quả3.2.3, chuỗiP ∞ i=1 Y i hội tụ theo trung bình cấp 1 Do đó,
X i I { || X i ||≤ 1} −E X i I { || X i ||≤ 1} ´ cũng hội tụ theo trung bình cấp 1 Vì theo (ii) ta có chuỗiP ∞ i =1 E X i I {|| X i ||≤1}hội tụ trênF, chuỗiP ∞ i = 1 X i I {||X i ||≤1} hội tụ theo trung bình cấp 1.
Một hệ quả đơn giản khác của định lý3.2.1và của chú ý sau đó là
Hệ quả 3.2.5 Chop>0 Nếuξ 1,ξ 2, là các biến ngẫu nhiên thực độc lập sao cho với các α,β,λ>0,P(|ξ i | >α)≥βvà
Đối với mọi t > α, và i = 1, 2, , ta có E|ξ_i| p I{|ξ_i| > t} ≤ λt P(|ξ_i| > t) Chuỗi P ∞ i=1 x_i ξ_i hội tụ hầu chắc chắn nếu và chỉ nếu nó hội tụ theo trung bình cấp p Hơn nữa, với mỗi p < q, tồn tại một hằng số κ > 0 sao cho
Chứng minh Nếu chuỗiP ∞ i=1 x i ξ i hội tụ hầu chắc chắn thìP ∞ i=1 P(||x i ξ i || >1)< ∞ Do đó, theo giả thiết ta có rằng ||x 1 i ||>αvớii đủ lớn Với cáci như vậy, ta có
||x i ||), như ta đã thấy trước đó, suy ra sự hội tụ củaP ∞ i = 1 x i ξ i theo trung bình cấpp Chứng minh của bất đẳng thức kết luận hệ quả3.3.3là tiêu chuẩn.
Các giả thiết của hệ quả 3.3.3 được thỏa mãn khi các biến ngẫu nhiên ξ1, ξ2, có phân phối đồng nhất với phần dư biến đổi đều có số mũ α > p Đặc biệt, phân phối α-ổn định đối xứng thỏa mãn điều kiện 3.2 với p < α Do đó, nếu p < α và ξ1, ξ2, là các biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng, thì chuỗi cú dạng P ∞ i=1 xi ξi, trong đó x1, x2, ∈ F, sẽ hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó hội tụ theo trung bình cấp p.
Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên
Các biến ngẫu nhiên Gauss có phần dư biến đổi đều với mũ α = ∞ Trong chuỗi Gauss P ∞ i =1 x i ξ i, sự hội tụ hầu chắc chắn tương đương với sự hội tụ theo trung bình cấp p cho bất kỳ p < ∞.
3.3 Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên
Mục tiêu chính của phần này là chỉ ra rằng, dưới các điều kiện đã biết trên modunΦ:F→
R + và chuỗi S = P ∞ i =1 X i, với moment tổng quát EΦ(S) là hữu hạn và lim n → ∞ EΦ(S−S n ) = 0 Chúng ta sẽ bắt đầu với các kết quả về sự tồn tại của các moment mũ, giả sử rằng F là một không gian Banach khả ly Định lý 3.3.1 chỉ ra rằng, cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 , , nếu chuỗi S = P ∞ i=1 X i hội tụ hầu chắc chắn, thì các điều kiện sau đây là tương đương: (i) E exp(S ∗ ) < ∞.
(iv) P ∞ i =1 E exp(||X i ||)I {||X i ||>t } < ∞với cáct>0(hoặc tương đương với mọit>0).
Hơn nữa, nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì n lim→∞ E exp(∥S−S n ∥)=1
Chứng minh của ta cho định lý ở trên dựa trên điều sau:
Bổ đề 3.3.2 ChoX 1 ,X 2 , ,X n là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trênF, và choϕ:R + →R + là một hàm không giảm Khi đó, với bất kìs,u≥0
Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.2), với mọis,u,r≥0,
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN
P(S ∗ n >t)≤P(S ∗ n >t,X n ∗ ≥u)+P(S ∗ ∗n >s)P(S ∗ n +u+s>t)+P(R>t). trong đóR=s hầu chắc chắn Thật vậy, nếut−s−ut)=1và vớit>s,
P(S ∗ n >t)≤P(S ∗ ∗n >s) Do đó, với mỗiu,s≥0, ta thu được theo mệnh đề1.6.1.
Eϕ(S n ∗ )≤Eϕ(S ∗ n )I {X n ∗ ≥u} +P(S ∗ ∗ n >s)Eϕ(S ∗ n +u+s)+ϕ(s) và bổ đề được chứng minh.
Chứng minh (Chứng minh của định lý3.3.1)
Ta thấy rằng bất đẳng thức (2.1) chỉ ra rằng, với bất kì s ,t≥0và mỗi n =1, 2, , ta có
Do đó, theo mệnh đề1.6.1, vớiϕnhư trong bổ đề3.3.2
Từ lúc này và trong suốt phần còn lại của chứng minh ta đặtϕ(t)=e t
P(S ∗ ∗n ≤s)Eϕ(||S n ||), (3.5) Với các lập luận tương tự, ta có
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN
Theo mệnh đề 2.0.2, với bất kìs,t≥0, ta cũng có
Bất đẳng thức P(S ∗ ≤s)Eϕ(S ∗ ) dẫn đến các suy ra quan trọng trong bài viết Đầu tiên, từ (3.6), ta có thể suy ra (i i)⇒(i), và từ (3.7) cho phép suy ra (i)⇒(i i i) Sự tương đương (i)⇒(i i) là hiển nhiên, trong khi sự tương đương (i i i)⇔(i v) được chứng minh tương tự như (i i i)⇔(i i) trong định lý 3.2.1 bằng cách thay thế hàm p bằng ϕ(t) Cuối cùng, để hoàn tất chứng minh, cần kiểm tra rằng (i v)⇒(i) theo bổ đề 3.3.2.
Eϕ(S n ∗ )≤Eϕ(S ∗ n )I {X n ∗ >u} +Eϕ(s+u+S ∗ n )P(S ∗ ∗ n >s)+ϕ(s) (3.8) Đầu tiên, ta ước lượng
Vớincố định,1≤i ≤n và cho X j 0 =X j nếu j 0, điều này sẽ dẫn đến một kết quả cụ thể về sự hội tụ của chuỗi.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một trường hợp tổng quát hơn với không gian metric tuyến tính khả ly F và một modun liên tục Φ: F → R, được giả định có tăng trưởng mũ lớn nhất Cụ thể, tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi x, y ∈ F, điều kiện Φ(x+y) ≤ K(Φ(x) ∨ 1)(Φ(y) ∨ 1) được thỏa mãn Các modun này bao gồm Φ(x) = (exp(α||x||^p) - 1) với 0 < p ≤ 1, α > 0, hoặc Φ(x) = ϕ(||x||), trong đó ϕ: R+ → R là một hàm không giảm liên tục có tăng trưởng ôn hòa, như ϕ(u) = u^p với p < ∞, và cũng thỏa mãn điều kiện (3.11).
Nếu ta định nghĩa phiếm hàm
Khi đó ta có hai tính chất sau
Chú ý rằng hai tính chất này chỉ là hai yếu tố cần thiết trong việc chứng minh sự tương đương giữa các điều kiện (i) đến (iv), ngoại trừ một phần của (iv) được đặt trong dấu ngoặc đơn của định lý 3.3.1 Từ đó, ta có thể đưa ra Định lý 3.3.4, trong đó cho X1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên F.
S=P ∞ i =1 X i hội tụ hầu tụ hầu chắn chắn và Φ:F →R là một modun liên tục thỏa mãn điều kiện (3.11), thì các điều kiện sau là tương đương:
Phép trội yếu
Hơn nữa, nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì n lim→∞ EΦ(S−S n )=0và lim n →∞ EΦ(S n )=Φ(S).
Chứng minh cho khẳng định thứ hai trong (iv) yêu cầu một chứng minh theo kiểu Borel-Cantelli, tương tự như cách chứng minh đã áp dụng trong chứng minh (ii) ⇒ (iii) của định lý 3.2.1.
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá các phương pháp so sánh tổng của các vector ngẫu nhiên độc lập, cụ thể là P n i =1 X i và P n i =1 Y i Phương pháp tiếp cận tổng quát này được gọi là
“nguyên lý làm trội”, nguyên lý này cho phép phân tích một chuỗiP n i = 1 X i phức tạp thành một chuỗi đơn giản hơn bằng cách làm trội chuỗi này theo chuỗiP n i=1 Y i
Trong không gian Banach, một chuỗi có giá trị có thể được làm trội bởi một chuỗi có giá trị thực, tạo ra một mối quan hệ thú vị giữa tổng P n i = 1 X i và P n i = 1 Y i Chúng ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ này thông qua việc làm trội đơn giản các số hạng, với điều kiện ∥X i ∥≤∥Y i ∥hầu chắc chắn, dựa trên phân phối của các số hạng riêng.
Nếu không có quy ước nào khác, ký hiệu F sẽ đại diện cho một không gian Banach thực và khả ly Định nghĩa 3.4.1 nêu rõ rằng U là một tập con của lớp tất cả các hàm Borel, với u: F → R+.
X,Y là hai biến ngẫu nhiên có giá trị trênF.
Ta nói rằngX làU- được làm trội bởi Y (kí hiệu: X ≺ U Y) nếu với mỗix∈F và mỗiϕ∈U,
Mối quan hệ làm trội ở trên được kế thừa bởi các tổng từ các số hạng độc lập, chính
3.4 PHÉP TRỘI YẾU xác hơn ta có điều sau:
Mệnh đề 3.4.1 NếuX 1 , ,X n vàY 1 , ,Y n là hai dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F sao choX i ≺ U Y i với mỗii=1, ,nthì n
Chúng ta có thể chứng minh kết quả cho trường hợp n = 2 và tiếp tục áp dụng phương pháp quy nạp Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng X1, X2 và Y1, Y2 được xác định trên Ω × Ω^3(ω1, ω2), với X1(ω1, ω2) = X1(ω1), X2(ω1, ω2) = X2(ω2) và Y1(ω1, ω2) = Y1(ω1), Y2(ω1, ω2) = Y2(ω2) Do đó, với mỗi ϕ ∈ U và x ∈ F, ta có thể tiếp tục phát triển các kết luận.
Nếu X là một biến ngẫu nhiên Gauss-con và Y là một biến Gauss ngẫu nhiên đối xứng trong không gian F, thì X ≺ U Y có nghĩa rằng X thuộc lớp các hàm có dạng exp(x 0 (.)), với x 0 ∈ F 0 Theo mệnh đề 3.4.1, tổng của các biến Gauss-con ngẫu nhiên độc lập cũng sẽ là Gauss-con Trường hợp đặc biệt khi U=C, tức là lớp tất cả các hàm lồi liên tục không âm, rất quan trọng Trong trường hợp này, biến đổi x + là không cần thiết trong định nghĩa của C-trội Do đó, nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên trong không gian Banach F, thì X ≺ C Y khi và chỉ khi với mỗi hàm lồi liên tục ϕ:F → R +, điều này được thỏa mãn.
Chúng tôi sẽ cung cấp một số ví dụ nhằm đơn giản hóa việc phân tích tổng của các biến ngẫu nhiên có giá trị trên tập F, chuyển đổi thành phân tích của các biến ngẫu nhiên có giá trị trên tập R.
Ví dụ 3.4.2 Nếuξvàηlà các biến ngẫu nhiên đối xứng trong R sao cho
Dễ thấy rằng bởi vì tính đối xứng củaξvàηkéo theoξ≺ C κληkhi và chỉ khi với mỗi hàm lồi tăngϕ:R + →R + vớiϕ(0)=0ta có
Mặt khác, theo mệnh đề1.6.1, điều kiện (3.12) suy ra
Eϕ(|ξ|)≤κEϕ(λ|η|)≤Eϕ(κλ|η|) trong đó bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ tính lồi củaϕ.
Mệnh đề 3.4.2 Nếuξ 1, ,ξ n vàη 1, ,η n là hai dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho ξ i ≺ C η i với i =1, ,n thìX ≺ C Y, trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên có giá trị trong
R 2 n − 1 được định nghĩa như sau:
Chứng minh Nếuϕ:R 2 n − 1 →R + là một hàm lồi thìψ:R n →R + được cho bởi ψ(s 1 ,s 2 , ,s n )=ϕ³
{s i 1 ã .ãs i k : 1≤i 1 < . t) ≤ P(||Y|| > t) với mọi t > 0 Tuy nhiên, có một ví dụ cho thấy tính chất này không được kế thừa bởi tổng của các số hạng độc lập Cụ thể, với các biến ngẫu nhiên thực X1 = ε1, X2 = 0, Y1 = ε1, Y2 = ε2, ta thấy X1 trội theo Y1 và X2 trội theo Y2, nhưng không đúng rằng X1 + X2 trội theo Y1 + Y2 Bất đẳng thức tốt nhất ta có thể thu được là P(|X1 + X2| > t) ≤ 2P(|Y1 + Y2| > t) Từ ví dụ này, ta sẽ làm quen với khái niệm sau: Định nghĩa 3.5.1 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên trong hai không gian Banach có thể khác nhau, ta nói rằng X được (κ, λ)-trội mạnh theo Y (ký hiệu: X ≺ (κ, λ)).
Mối quan hệ giữa các tổng từ các số hạng độc lập chỉ được kế thừa trong một số trường hợp đặc biệt, ngay cả khi các hằng số khác nhau được thừa nhận Hai ví dụ sẽ được đưa ra để minh họa hiện tượng này Ví dụ đầu tiên, được trình bày trong định lý 3.5.2, cho thấy rằng với mỗi i = 1, 2, , các giá trị của X i và Y i được ràng buộc trong một không gian con một chiều của F Ví dụ thứ hai, theo định lý 3.5.6, cho thấy các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Hilbert có thể được làm trội bởi biến ngẫu nhiên thực Định lý 3.5.2 khẳng định rằng nếu ξ 1, ξ 2, , ξ n và ζ 1, ζ 2, , ζ n là hai dãy biến ngẫu nhiên thực đối xứng độc lập, với x 1, x 2, , x n ∈ F và κ, λ > 0, thì nếu với mỗi i = 1, , n, biến ngẫu nhiên ξ i được làm trội bởi (κ, λ)ζ i.
X i =1 x i ζ i , trong đódκekí hiệu cho số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằngκ.
Chính xác hơn, nếu với mỗii=1, ,nvà bất kỳt>0
. Chứng minh của định lý trên sẽ yêu cầu
Bổ đề 3.5.3 nêu rằng nếu ξ và η là hai biến ngẫu nhiên thực đối xứng và thỏa mãn điều kiện P(|ξ| > t) ≤ P(|η| > t) với mọi t > 0, thì tồn tại các biến ngẫu nhiên φ0 và η0 được xác định trên một không gian xác suất.
(Ω 0 ,F 0 , P 0 ) và sao cho|φ 0 ≤1|,η 0 vàηlà cùng phân phối vàφ 0 η 0 vàξlà cùng phân phối.
Biến ngẫu nhiên φ₀ và η₀ được xác định trên không gian mẫu Ω₀ = [0, 1] với độ đo Lebesgue P’ thông qua các công thức η₀(t) = inf{s: P(η < s) > t} và φ₀(t) = inf{s: P(ξ < s) > t}/η₀(t), với t thuộc Ω₀.
Giả sử λ=1 và xét dãy (λη i) thay cho (η i), với κ=1, theo bổ đề 3.5, tồn tại các biến ngẫu nhiên độc lập (φ 0 i ,η 0 i) trên R², với i = 1, , n Đối với mỗi i, ta có |φ 0 i | ≤ 1, L(η 0 i) = L(η i) và L(φ 0 i η 0 i) = L(ξ i).
Do đó, theo nguyên lý co của định lý2.2.1
X i=1 x i η i || >t´ điều trên chứng minh định lý3.5.2vớiκ=1.
Trường hợp tổng quát có thể được rút gọn với trường hợpκ=1như sau Định nghĩa trên
Ω 0 =[0, 1] n các biến ngẫu nhiên δ i k (t 1 , ,t n )=I ((k −1)/dκe,k/dκe)(t i ), vớik=1, ,dκe,i=1, ,n Khi đó với mỗikcố định, các biến ngẫu nhiênδ i k độc lập với i =1, ,nvà với mỗii =1, ,ncố định, ta có dκeX k=1 δ i k =1
Do đó, với mỗi k =1, ,dκe, do tính đối xứng và độc lập của ξ i δ i k ,i =1, ,n, suy ra từ trường hợp đã xét trước đây vớiκ=1, ta có
(3.15) Điều này chứng minh xong định lý3.5 Định lý ở trên ngay lập tức cho ta2hệ quả.
Hệ quả 3.5.4 đề cập đến hai dãy biến ngẫu nhiên thực đối xứng và độc lập, ξ 1, , ξ n và η 1, , η n, cùng với các biến x 1, , x n thuộc tập hợp F Nếu với mỗi i = 1, , n, biến ngẫu nhiên ξ i có phân phối nhỏ hơn (κ, λ) so với η i, thì đối với bất kỳ hàm không giảm ϕ: R + → R +, điều này cũng sẽ được áp dụng.
≤2dκeEϕ³ dκeλ||X n i =1 x i η i || ´ , trong đódκekí hiệu số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằngκ.
Hệ quả 3.5.5 chỉ ra rằng, cho hai dãy biến ngẫu nhiên thực đối xứng và độc lập ξ 1, , ξ n và η 1, , η n, với điều kiện rằng mỗi biến ngẫu nhiên ξ i có phân phối nhỏ hơn (κ, λ) so với η i và các giá trị x 1, x 2, thuộc tập hợp F Nếu chuỗi P x i η i hội tụ hầu chắc chắn, thì chuỗi P x i ξ i cũng sẽ hội tụ hầu chắc chắn.
Một ví dụ khác của một trường hợp đặc biệt khi quan hệ phép trội mạnh là sự kế thừa
Phép trội mạnh được trình bày trong Định lý 3.5.6, liên quan đến các biến ngẫu nhiên đối xứng độc lập X₁, , Xn và ξ₁, , ξn trong không gian Hilbert H Nếu các biến ngẫu nhiên Xᵢ có phân phối trội hơn ξᵢ với i = 1, , n, thì điều này dẫn đến một số kết quả quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê.
Chứng minh Choε 1, ,ε n là một dãy Bernoulli độc lập với dãyX 1 , ,X n vàξ 1, ,ξ n Vì
X i ≺(1,1) ε i ||X i ||vàε i ||X i || ≺( κ , λ ) ξ i dựa vào định lý3.5.2và định lý Fubini, nó là đủ để chứng minh rằng với mỗi dãyx 1 , ,x n ∈H và với mọit>0
Theo bất đẳng thức Chebyshev, với bất kỳ t > s > 0
(t−s) 4 , trong đóS n =P n i=1 x i ε i Vì hàm ϕ(t)=(|t| −s) 4 I {|t|>s} thỏa mãn các giả thiết của định lý3.4.5,
E(||S n || −s) 4 I {||S n ||>s} ≤E(|S n ◦ | −s) 4 I { | S ◦ n |> s} , vớiS ◦ n =P n i = 1||x i ||ε i Do đó, theo mệnh đề2.3.4và mệnh đề1.6.1
Kết hợp với các bất đẳng thức trên, ta có
3.5 PHÉP TRỘI MẠNH Đặc biệt, sao cho nếu ta đặtt=s+(E|S ◦ n | 2 ) 1/2 , ta có
Thậy vậy, nếu2s>(E S ◦ n 2 ) 1/2 , thì (3.17) suy ra từ (3.16) Nếu2ss)≥1và (3.17) thoả mãn.
Martingale và các nguyên lí trội cho
Trong chương đầu tiên của luận văn, chúng ta đã tìm hiểu về Martingale giá trị thực và các đặc điểm của nó Chương tiếp theo sẽ tập trung vào Martingale có giá trị trong không gian BanachF, đồng thời khám phá những tính chất tương tự mà Martingale giá trị thực sở hữu cũng áp dụng cho Martingale trong không gian Banach.
Các bất đẳng thức Doob
Cho (Ω,F, P )là một khụng gian xỏc suất với lọc{;,Ω}=F0⊂F1⊂F2⊂ ã ã ã ⊂F Một dóy
Các biến ngẫu nhiên M0, M1, M2, trong không gian Banach F được gọi là một (Fi)-martingale nếu M0 = 0 và E(Mi | Fi−1) = Mi−1 hầu chắc chắn với i = 1, 2, Điều này có nghĩa là với mỗi A ∈ Fi−1, ta có R.
M i −1 d P, trong đó các tích phân được hiểu theo nghĩa Bochner.
Các điều kiện được nêu rõ ràng xác định một martingale có trung bình 0, và trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào việc nghiên cứu các martingale có trung bình 0.
M 0 ,M 1 ,M 2 , (viết gọn là " (F i )"- martingale để chỉ "martingale" nếu lọc là rõ ràng) Dãy
∆M n :=M n −M n − 1 ,n=1, 2, là dãy khác của nó (hoặc số gia) vàM n ∗ =max 0 ≤ i ≤ n ∥M i ∥là
4.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DOOB
Theo tính lồi chuẩn, dãy các biến ngẫu nhiên không âm tạo thành một martingale con, tức là giá trị kỳ vọng có điều kiện của mô-đun biến ngẫu nhiên tại thời điểm i lớn hơn hoặc bằng mô-đun biến ngẫu nhiên tại thời điểm trước đó Điều này cho phép áp dụng bất đẳng thức Doob cực đại cổ điển cho các martingale con thực trong ngữ cảnh hiện tại.
Mệnh đề 4.1.1 ChoM 0 ,M 1 , ,M n là một martingale trongF Khi đó:
Chứng minh Vớiε>0cho trước, định nghĩa thời điểm dừngτ=min{i : 1≤i ≤n,∥M i ∥≥ ε}nếu∥M i ∥≥εvới1≤i ≤nvàτ=nnếu∥M i ∥1và ta thấy rằng theo (i) và định lý Fubini
= p p−1E∥M n ∥(M n ∗ ) p − 1 , vì bất đẳng thức Holder cho ta, với 1 p + 1 q =1mà
Do đó (ii) suy ra trực tiếp trong trường hợpE(M n ∗ ) p < ∞ NếuE(M n ∗ ) p = ∞thì làm việc với (M n ∗ ∧C)thay vì M n ∗ và tiến hành như trước, ta có
4.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DOOB Để chứng minh (iii), thấy rằng theo (i), ta có
Vì với bất kìt,s>0,tlogs≤tlog + t+se − 1 , ta có
E M n ∗ −1≤E∥M n ∥logM n ∗ ≤E∥M n ∥log + ∥M n ∥ +e −1 E M n ∗ , cho ta (iii) nếuE M n ∗ < ∞ NếuE M n ∗ = ∞, ta tiến hành bằng cách bỏ hết các số hạng của
M n ∗ như trong chứng minh của (ii).
Bất đẳng thức "cắt ngang" dưới đây chỉ ra rằng các dao động của martingale con ∥M n ∥ được giới hạn giữa hai mức α và β, tức là bị ràng buộc bởi kỳ vọng của nó Kết quả này đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh định lý hội tụ martingale, sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
Để định nghĩa các thời điểm giao nhau với các mức α < β, với α, β thuộc R+, ta xem xét một dãy các biến ngẫu nhiên (X n ) tương thích với (F n ) Đặt τ 0 = 0, ta có τ 1 = min{n > 0 : X n ≤ α}, tiếp theo là τ 2m−1 = min{n > τ 2m−2 : X n ≤ α} và τ 2m = min{n > τ 2m−1 : X n ≥ β}.
Bất đẳng thức Doob với quy ước thông thường rằng min; = ∞ cho thấy số dao động về sự cắt ngang của dải [α,β] được đo bằng đại lượng θ n [α,β].
Mệnh đề 4.1.2 NếuX 0, ,X n là một martingale con trên R thì
Chứng minh Do(|X n |−α) + là một martingale con không âm với số lần cắt ngang của dải
[0,β−α]bằng vớiθ n (α,β), nó đủ để chứng minh rằng với bất kỳ martingale con không âmX n nào
Eθ n [0,β]≤ 1 βE X n (4.1) Định nghĩaX 0 =0,F0={;,Ω}và vớii=1, 2, ,n, cho φ i
Sự hội tụ của martingale
4.2 Sự hội tụ của martingale
Định lý 4.2.1 về sự hội tụ của martingale Doob cổ điển khẳng định rằng nếu dãy X1, X2, là một martingale có giá trị thực và sup n E|Xn| < ∞, thì dãy này sẽ hội tụ hầu chắc chắn tới một giới hạn hữu hạn.
Chứng minh Choθ[α,β]=limθ n [α,β], theo mệnh đề4.1.2,Eθ[α,β]< ∞với mọiαvàβ, sao choθ[α,β]< ∞hầu chắc chắn Do đó, với bất kỳ cặp hữu tỷα>β, tập hợp
X n } có xác suất0 Do đó,
Ta thu đượclim n X n tồn tại hầu chắc chắn Nó là hữu hạn hầu chắc chắn theo bổ đề Fatou
4.2 SỰ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE và theo giả thiếtsup n E|X n | < ∞. Định lý 4.2.2 Nếu X là một biến ngẫu nhiên có giá trị trên F sao cho E ∥X ∥< ∞và nếu
F1⊆ ã ã ã ⊆F∞⊆F, trong đúF∞=σ(F1,F2, )thỡ n lim→∞ E(X|F n )=E(X|F∞) hầu chắc chắn.
Chứng minh Không mất tổng quát, ta có thể giả sử rằngX làF∞- đo được NếuX làF m - đo được vớim∈N thì định lý là tầm thường bởi vìE(X|F n )=X vớin≥m.
Mỗi biến ngẫu nhiên X thuộc L 1 (Ω,F∞,P) có thể được xấp xỉ trong không gian L 1 bằng các biến ngẫu nhiên đo được F n Cụ thể, với mỗi ε > 0, tồn tại một m ∈ N và một biến ngẫu nhiên tương ứng.
Y ∈L 1 (Ω,F m ,P)và sao choE∥X−Y ∥ 0 và ε > 0 đã cho, có thể tìm thấy m ∈ N sao cho điều kiện này được thỏa mãn.
0, tồn tại một tập compactK ⊂F sao cho
P(M n ∈K)≥1−εvới mỗin=1, 2, Do đó, đặt
A={ω: M n (ω)∈K thường vô hạn} ta có
Nếuω∈AthìM n (ω)có một điểm ngưng tụ.
Với mỗi ω ∈ Ω, ta chọn M(ω) là điểm ngưng tụ của dãy M1(ω), M2(ω), Theo định lý về sự hội tụ Mactigan, với mọi x0 ∈ F0, ta có n lim→∞ x0(Mn) = x0(M hầu chắc chắn Điều này chứng minh rằng x0(M) là F-đo được sau khi điều chỉnh trên một tập có xác suất 0 Do đó, M có thể được điều chỉnh trên một tập có xác suất 0 sao cho x0(M).
Sự hội tụ của Martingale là F-đo được với mỗi x₀ ∈ D, trong đó D ⊂ F₀ là các điểm khả ly và đếm được Do đó, M cũng là F-đo được, điều này chứng minh được kết quả (iv).
(vi)⇒(v)được chứng minh một cách chính xác như sự kéo theo(vi)⇒(v)trong định lý Ito - Nisio3.1.1.
(v)⇒(i)Đầu tiên giả sử rằngEsup n∈N ∥M n ∥< ∞và định nghĩa, với mỗi A∈ ∪ ∞ n = 1 F n , hàm tập
VậyF mở rộng tới một độ đo véctơσ- cộng tính trênσ- trườngF∞=σ(∪ ∞ n=1 F n )theo cùng một cách như vậy.
Với mỗi A∈F∞, trong đó ∥F ∥=supP
∥F(A i )∥ và cận trên đúng được lấy với mọi phân hoạch(A i )củaΩ.
Chú ý rằng với mỗix 0 ∈Dvà A∈F∞, ta có x 0 ¡
Cho A n ={ω:∥M(ω)∥≤n} Do M I A n là Bochner khả tích, ta có với mỗi x 0 ∈Dvà mỗi A ∈F∞ x 0 ³
VìDkhả ly các điểm củaF, ta thu được
Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc
Do M là đo được,P(A n )↑1vàR
∥M n ∥d P < ∞ với mỗi A∈F∞ Suy raM là Bochner khả tích và M n =E(M|F n )với mỗin =1, 2, Do đó, theo định lý 4.2.2,M n hội tụ hầu chắc chắn khin→ ∞.
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khisup n ∈ N E∥M n ∥< ∞ Với mỗit>0, định nghĩa thời điểm dừng σ=σ t :=min{n:∥M n ∥≥t}.
Khi đó N n :=M n∧σ là một mactigan thỏa mãn điều kiện Esup n ∈ N ∥N n ∥< ∞ Hơn nữa, lim n →∞ x 0 (N n )=x 0 (M σ )hầu chắc chắn, với mỗix∈D, trong đó
Theo phần đầu tiên của chứng minh này, mactigan N 1,N 2, hội tụ hầu chắc chắn tới
M σ và để kết thúc chứng minh chú ý rằng theo bất đẳng thức Doob cực đại của mệnh đề 4.1.1,lim t →∞ P(σ t < ∞)=0.
Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc được định nghĩa là hai dãy (F i)-tương thích X 1, X 2, và Y 1, Y 2, của các biến ngẫu nhiên có giá trị trong F là tiếp xúc nếu với mỗi i = 1, 2,
Với các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, sự tiếp xúc đơn giản có nghĩa là với mỗic∈R,
4.3 CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC hầu chắc chắn.
Theo quan điểm về sự tiếp xúc của các dãy trong luận văn này, các dãy X1, X2, và Y1, Y2, được coi là tiếp xúc khi và chỉ khi với mỗi dãy bị chặn (Fi) - dự đoán được (tức là (Fi - 1) - tương thích) v1, v2, của các biến ngẫu nhiên thực, và với mỗi dãy f1, f2, các hàm Borel bị chặn đo được, đều thỏa mãn điều kiện cho mọi i = 1, 2,
E v i f i (X i )=E v i f i (Y i ). Đặc biệt, do đó với bất kỳ thời điểm dừng bị chặnτ, và bất kỳ các dãy tiếp xúcX 1 ,X 2 , vàY 1 ,Y 2 ,
Bởi vì I(τ≥i) là dự đoán được từ (F i), nếu các dãy X 1, X 2, và Y 1, Y 2, là tiếp xúc, thì với bất kỳ dãy (F i − 1)-tương thích v 1, v 2, của các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, các dãy v 1 X 1, v 2 X 2, và v 1 Y 1, v 2 Y 2 cũng sẽ tiếp xúc.
Ví dụ 4.3.2 Cho X 1 ,X 2 , là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong F,
X 1 0 ,X 2 0 , là các bản sao độc lập của nó và cho v 1,v 2, là một dãy các biến ngẫu nhiên
(F i )- dự đoán được, trong đó F i =σ(X 1 , X i ,X 1 0 , ,X i 0 ) với i =0, 1, 2, Khi đó các dãy v 1 X 1,v 2 X 2, vàv 1 X 1 0 ,v 2 X 2 0 là tiếp xúc
Ví dụ 4.3.3 Cho X 1 ,X 2 , là một dãy(F i )- tương thích và choY i :=X i ◦T i vớii =1, 2, , trong đó T i : (Ω,F i ,P)→(Ω,F i ,P) là các phép ánh xạ đo được bảo toàn độ đo sao cho
Định nghĩa 4.3.4 nêu rõ rằng một dãy các biến ngẫu nhiên F i - tương thích X 1, X 2, được coi là thỏa mãn điều kiện độc lập có điều kiện (C I) nếu tồn tại một σ-trường G thuộc Fs sao cho L(X i |F i − 1) = L(X i |G) hầu chắc chắn với mọi i = 1, 2, và đồng thời các biến ngẫu nhiên X 1, X 2, là độc lập G- có điều kiện.
Chú ý rằng nếu X 1 ,X 2 , thỏa mãn điều kiện(C I)thì σ- trường G có thể luôn luôn
4.3 CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC
Các dãy tiếp xúc thỏa mãn điều kiện (C I) là G - có điều kiện độc lập, với ý tưởng chính là xây dựng một dãy tiếp xúc cho trước X1, X2, có tính chất (C I) hoặc tương tự cho các quá trình Qua các bất đẳng thức đã được đưa ra, ta có thể suy ra kết quả về X1, X2, từ các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 4.3.5 nêu rõ rằng cho X1, X2, là một dãy (Fi)-tương thích trên không gian xác suất có lọc (Ω, F, P; (Fi)) Với bất kỳ không gian có lọc (Ω0, F0; (Fi0)) và hàm xác suất chuyển P0: Ω × F → R+, dãy X̂1, X̂2, của biến ngẫu nhiên xác định trên Ω̂ = Ω × Ω0 và tương thích với lọc (F̂i) = Fi ⊗ Fi0 được gọi là dãy tiếp xúc rời nhau tới X1, X2, nếu.
(a) Với mỗi ω ∈Ω, dãy X ˆ 1 (ω, ), ˆX 2 (ω, ), là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên
(b) Các dãy X ˆ 1 , ˆX 2 , và X 1 0 ,X 2 0 , , trong đó X i 0 (ω,ω 0 ) :=X i (ω), với(ω,ω 0 )∈Ω×Ω 0 , với i 1, 2, là tiếp xúc trên không gian xác suất có lọc ( ˆΩ, ˆF, ˆ P ; ( ˆF i )) Ở đâyP ˆ được định nghĩa bằng công thức
P 0 (ω,B)P(dω), trong đó A∈FvàB∈F 0 Khi đó, sự mở rộng tầm thườngX i 0 ở trên củaX i đơn giản là đồng nhất vớiX i mà không gây nên sự hiểu nhầm nào.
Rõ ràng, một dãy tiếp xúc rời nhau thỏa mãn điều kiện(C I)đối vớiσ- trườngG=F( hoặc chính xác hơn đối vớiG=F⊗{Ω,;}).
Với dãy cho trước X1, X2, , có thể áp dụng một phương pháp chính quy để xây dựng một dãy tiếp xúc tách rời Đặt Ω0 = R^N, và F0 là một σ-trường được sinh bởi các tọa độ đầu tiên trong R^N.
Khi đó dãyX ˆ i (ω, (x j ))=x i ,i=1, 2, là một dãy tiếp xúc tách rời tớiX 1 ,X 2 ,
Ví dụ 4.3.6 Cho (Ω,F, P )=N ∞ i = 1(Ω i ,F i ,P i ) là một không gian tích xác suất vô hạn với ω=(ω 1,ω 2, ) và choF i làσ- trường chỉ phụ thuộc vào các tọa độ i đầu tiên ω 1, ,ω i