GiÊi kẳ dà cho kẳ dà ữớng cong ph¯ng
Giải kìa đa mở một cổng cửa quan trọng trong lĩnh vực hình học ô số, cho phép chuyển thông tin hình học của điểm kìa đa thành các thông tin tập hợp những trường hợp đặc biệt của sự sắp xếp siêu phức Điều này cho phép nghiên cứu một phương trình thực thông qua nghiên cứu nhiều phương trình thực khác Sự tồn tại của giải kìa đa trên trường số 0 được chứng minh bởi Hironaka Trong luận văn này, ta sẽ xem xét các dạng giải kìa đa của các đường cong phức.
Gồi O là gốc tọa độ trong không gian C² Chúng ta sẽ khám phá bề mặt C{x, y} và các chuỗi lũy thừa biến hằng số phức trong một lân cận của O trong C² Xét một phần tử f(x, y) của C{x, y} Đường cong C được định nghĩa bởi C = {(x, y) ∈ C² | f(x, y) = 0} Điểm O được gọi là điểm kì dị của C (hoặc của f) nếu f(O) = ∂f.
∂y(O) = 0. ành nghắa 1.1 Cho f(x, y)l mởt chuội lụy thứa hởi thử trản mởt lƠn cên
Trong không gian C, O là một điểm mở và V là một tập con của O sao cho V ⊆ W Một ánh xạ π: Y → W được gọi là một phép giải tốt của C tại O nếu tồn tại một lân cận lớn của O sao cho các điều kiện nhất định được thỏa mãn.
(a) Y l mởt a tÔp trỡn, tực l Y ữủc phừ bði cĂc bÊn ỗ àa phữỡng, mội bÊn ỗ vi phổi vợi (C 2 ;x, y), cĂc bÊn ỗ ữủc dĂn vợi nhau bơng cĂc Ănh x¤ trìn.
Để giải thích về ánh xạ, chúng ta cần hiểu rằng ánh xạ xô xác là một loại ánh xạ mà các chuỗi lũy thừa có thể được xác định từ nó Trong trường hợp này, ánh xạ rõ ràng có thể được xem như một tệp hợp nhất, trong đó ánh xạ π từ V đến O cho phép chúng ta tìm ra các yếu tố khác nhau trong không gian Cuối cùng, ánh xạ ngược π⁻¹ từ V \ {O} đến π⁻¹(V) \ π⁻¹(O) cung cấp một cách tiếp cận để hiểu rõ hơn về cấu trúc của các đối tượng trong không gian này.
(c) ìợc div(π ∗ f) := π −1 (C ∩V) ch¿ cõ kẳ dà l cĂc iºm giao ho nh cừa cĂc th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa nâ, c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy n y l trìn trong π −1 (V).
Trong luận văn này, chúng ta sẽ mở rộng phép giới thiệu của một phép giới thiệu kề dọc Mỗi thành phần bất khả quy của π −1 (O) được gọi là một thành phần căn bản của phép giới thiệu kề dọc π Mỗi thành phần bất khả quy bao gồm π −1 (C \ {O}) trong Y của π −1 (C \ {O}) được gọi là một thành phần thực sự của phép giới thiệu kề dọc π.
Tứ ành nghắa cừa ph²p giÊi kẳ dà ta thĐy mội th nh phƯn cĂ biằt cừa π ¯ng cĐu vợi khổng gian xÔ Ênh phực mởt chiãu P 1 Mỗi th nh phƯn thỹc sỹ ¯ng cĐu vợi ữớng th¯ng phực C GiÊ sỷ (U;u, v) l mởt bÊn ỗ àa phữỡng trong Y sao cho trản õ π ∗ f cõ dÔng π ∗ f(u, v) = λ(u, v)u m v n, trong õ λ(u, v) khĂc 0 vợi mồi (u, v) ∈ U Khi õ u = 0 l phữỡng trẳnh xĂc ành mởt th nh phƯn cĂ biằt E n o õ cừa π trong bÊn ỗ (U;u, v) Tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt bÊn ỗ khĂc chựa mởt phƯn cừa E v xĂc ành E trản bÊn ỗ õ bơng mởt phữỡng trẳnh àa phữỡng theo cĂch tữỡng tỹ Số m l mởt bĐt bián trản mồi bÊn ỗ giao vợiE, nõ ữủc gồi l số bởi cừa π ∗ f trản E, ta s³ kẵ hiằu số n y bði N(E) Náu Ce j l mởt th nh phƯn thỹc sỹ v náu f l rút gồn (cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa f ãu cõ lụy thứa bơng 1) thẳ số bởi trản th nh phƯn cĂ biằt luổn l N(Cej) = 1 Náu kẵ hiằu Ei, vợi i thuởc mởt têp hỳu hÔn.
S, l tĐt cÊ cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa π −1 (C), v kẵ hiằu Ni thay cho
Chú ỵ rơng, Ei cõ thº l mởt th nh phƯn cĂ biằt, cụng cõ thº l mởt th nh ph¦n thüc sü.
Cụng trong một bên ỗ (U; u, v) được mô tả bởi hàm det Jac π cõ dÔng det Jac π (u, v) = δ(u, v)u^p v^q, trong đó δ(u, v) khác 0 với mọi (u, v) ∈ U Nếu E là một thể hình phân cách biệt trong bên ỗ này, sẽ xác định được bội phương trình u=0, từ đó có thể xác định trản p là một biến biến đổi phụ thuộc vào E, không phụ thuộc vào các bên ỗ khác.
Ta kẵ hiằu ν(E) := p+ 1 Tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ
(νi−1)Ei, trong õ νi :=ν(Ei) vợi mồi i∈ S. ành nghắa 1.2 °t
X (x 1 , x 2 ;y 1 : y 2 )∈ C 2 ×P 1 | x 1 y 2 = x 2 y 1 Khi â ph²p nê t¥m O cõa C 2 l ¡nh x¤ ρ: X →C 2 x¡c ành bði ρ(x 1 , x 2 ;y 1 :y 2 ) = (x 1 , x 2 ). a t¤p ρ −1 (O) (x1, x2;y1 : y2)∈C 2 ×P 1 | (x1, x2) = O, x1y2 =x2y1 ∼=P 1 ữủc gồi l th nh phƯn cĂ biằt cừa ph²p nờ ρ.
Trong ành nghắa vã ph²p nờ ρ ð trản, a tÔp X ữủc dĂn tứ hai bÊn ỗ àa ph÷ìng
U2 được định nghĩa là tập hợp các điểm (x1, x1y2; 1:y2) với x1, y2 thuộc C, theo phương trình dĂny1y2 = 1 Đối với không gian U1, nó chứa các điểm (x2, y1) với x2, y1 thuộc C, và không gian U2 chứa các điểm (x1, y2) với x1, y2 thuộc C Biểu thức tương ứng cho phép xác định hàm ρ của U1 là ρ(x2, y1) = (x2y1, x2), trong khi đối với U2, hàm ρ được biểu diễn là ρ(x1, y2) = (x1, x1y2) Hironaka đã phát triển các phương pháp giải quyết cho các dạng cong phức, cho rằng mỗi phương pháp giải quyết của C tại điểm O là một phương pháp hợp thành từ một số hàm số, với ρ|ρ−1(V): ρ−1(V) → V, trong đó V là một tập con chứa O của C2 và ρ xác định các biến.
CĂc ph²p bián ời xuyán
Nước gồi là nguồn dưỡng chất quan trọng trong nông nghiệp Mỗi phần tỷ lệ của nước gồi liên quan đến các yếu tố trồng nguyên liệu Một phép phân chia nước gồi trong hình Σ ∗ có thể được xem như một dãy (T1, , Tm) của các yếu tố trồng nguyên liệu, trong đó hai thành phần của yếu tố nguyên liệu phải tương đồng Điều kiện det(Ti, Ti+1) ≥ 1 được áp dụng cho mọi 0 ≤ i ≤ m, với quy ước T0 = (1,0) và Tm+1 = (0,1) Phép phân chia Σ ∗ được gọi là chính quy khi det(Ti, Ti+1) = 1 cho mọi 0 ≤ i ≤ m.
Theo ành nghắa, N R + ữủc phừ bði m+ 1 nõn C(T i , T i+1 ) = {xT i +yT i+1 | x, y ≥ 0}cừa Σ ∗ º ỡn giÊn, trong luên vôn n y, ta s³ ỗng nhĐt C(T i , T i+1 ) vợi ma trên vuổng cĐp hai σi = (Ti, Ti+1) Mội ma trên σ = a b c d
! câ ành thực bơng 1 ho°c −1 xĂc ành mởt Ănh xÔ Φσ :C 2 →C 2 cho bði Φσ(x, y) = (x a y b , x c y d ).
Với mởt phép phân chia nhõm ở hình dạng chính quy, ta xác định các đoạn σ_i = (T_i, T_{i+1}), với 0 ≤ i ≤ m, và các bên ổn định tương ứng {(C^2 σ_i; x_i, y_i)} cho 0 ≤ i ≤ m Xác định các ảnh xô πσ_i: C^2 σ_i → C^2 cho bði πσ_i = Φσ_i Xác định hợp rời m = 0.
, trản õ xƠy dỹng quan hằ ∼ nhữ sau: (xi, yi) ∼ (xj, yj) khi v ch¿ khi Φ σ −1 j σ i x¡c ành t¤i (xi, yi) v Φ σ −1 j σ i(xi, yi) = (xj, yj).
Theo [9], quan hằ ∼ l mởt quan hằ tữỡng ữỡng °t
Khi xây dựng một không gian tổ chức cho X, cần xác định rõ các bên liên quan để tạo ra một cấu trúc phù hợp Điều này giúp X trở thành một tổ chức hiệu quả và có tổ chức hơn Hơn nữa, việc viết một kế hoạch chi tiết sẽ hỗ trợ trong quá trình triển khai và quản lý tổ chức.
, vợi C 2 σ i l cĂc têp mð cừa X, trong õ hai bÊn ỗ (C 2 σ i;xi, yi) v (C 2 σ j;xj, yj) náu chúng giao nhau khĂc rộng thẳ chúng ữủc dĂn theo cĂch sau Ơy:
Ró r ng ph²p dĂn l trỡn v cĂc Ănh xÔπσ i tữỡng thẵch vợi cĂc ph²p dĂn Khi â ta °t π(x i , y i ) =π σ i (x i , y i ), 0≤ i≤ m Ành nghắa 1.4 nh xÔπ: X →C 2 xĂc ành nhữ trản ữủc gồi l ph²p bián ời xuyán liản kát vợi ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗.
Nhên x²t rơng, theo [5], mởt ph²p bián ời xuyán bơng hủp th nh cừa mởt số hỳu hÔn cĂc ph²p nờ trong ành nghắa 1.2 ìợc π −1 (0) l hủp cừam th nh phƯn cĂ biằt E(T i ), vợi 1 ≤ i ≤ m Mỗi th nh phƯn cĂ biằt E(T i ) tữỡng ựng vợi duy nhĐt ¿nh T i cừa ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗ Mỗi th nh phƯn cĂ biằt E(Ti) ữủc phừ bði hai bÊn ỗ C 2 σ i−1 v C 2 σ i, phữỡng trẳnh cừa nõ trong cĂc bÊn ỗ õ lƯn lữủt l yi−1 = 0 v xi = 0.
E(Ti) v E(Ti+1) giao nhau v õ l giao ho nh tÔi gốc cừa bÊn ỗ C 2 σ i CĂc th nh phƯn khổng compưc E(T0) = {x0 = 0} v E(Tm+1) = {ym = 0} ¯ng cĐu vợi cĂc trửc toÔ ở x = 0 v y = 0 tữỡng ựng.
GiÊi kẳ dà khổng suy bián bơng bián ời xuyán
Nhưc lÔi rơng C{x, y} l v nh cĂc chuỗi luÿ thứa hai bián hằn số trản C hởi tử trong mởt lƠn cên cừa O trong C 2 Theo [2], v nh n y ¯ng cĐu vợi v nh cĂc h m giÊi tẵch hai bián trản C 2, do õ ta cõ thº xem hai v nh l mởt Trong mửc n y ta x²t mởt h m f(x, y) = P.
(a,b)∈ N 2 cαβx α y β trong C{x, y} sao cho f(O) = 0 a diằn Newton Γ = Γ(f;x, y) cừa f(x, y) l bao lỗi cừa têp hủp
Trong không gian R² ≥0, biên của Γ chứa một số hữu hạn các cạnh, mỗi cạnh tương ứng với một vector (α, β) Mỗi vector này xác định một điểm P(a, b) thuộc N+, với (a, b) là một vector pháp tuyến chỉ hướng của cạnh Để hiểu rõ hơn về biên ∂Γ, với mỗi điểm P = (a, b) được chọn, ta có thể tính khoảng cách d(P, f) bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức aα + bβ, với (α, β) thuộc Γ.
GiÊ sỷ Γ cõm cÔnh compưc vợi cĂc trồng tữỡng ựng ữủc Ănh số theo thự tỹ
P i ựng trữợc P i+1 , tực det(P i , P i+1 )≥ 1 CĂc h m f P i (x, y) tữỡng ựng vợi P i ữủc ành nghắa nhữ sau fP i(x, y) = P
(α,β)∈∆(P i ,f)cαβx α y β Chóng l c¡c a thực hằ số phực hai bián tỹa thuƯn nhĐt nản luổn ữủc viát dữợi dÔng fP i (x, y) = ˜cix r i y s i k i
(y a i +ξi,jx b i ) A i,j , (1.3) trong õ ˜c i , ξ i,j ∈ C ∗ vợi mồi i, j, v ξ i,j 6=ξ i,j 0 náu j 6= j 0 PhƯn chẵnh Newton (ho°c gồi ỡn giÊn phƯn chẵnh) cừa f(x, y) l h m xĂc ành bði
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các khái niệm liên quan đến hàm f(x, y) và sự biến thiên của nó Định nghĩa 1.5 chỉ ra rằng hàm f(x, y) được gọi là không suy biến nếu mọi chỉ số Ai,j = 1 với mọi i, j Ngược lại, hàm f(x, y) được gọi là suy biến nếu tồn tại chỉ số Ai,j lớn hơn 2 Định nghĩa 1.6 đề cập đến một phương pháp phân chia mặt phẳng với các điểm T1, , Tm, và bổ sung các điểm T0 = (1,0) và Tm+1 = (0,1) Các điểm P1, , Pk được xác định là các vectơ trồng nguyên sỡ dữỡng tứung rựng với các công cửa a diằn Newton Γ của hàm f Khi Σ* được gọi là chập nhén, nó sẽ liên kết với hàm f nếu {P1, , Pk} thuộc tập {T0, T1, , Tm+1}.
Cho π : X → C 2 l ph²p bián ời xuyán liản kát vợi ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗ Khi õ π ữủc gồi l chĐp nhên ữủc ối vợi f náu Σ ∗ chĐp nhên ữủc ối vợi f.
Tài liệu này đề cập đến các tính chất của cửa phép biến đổi xung quanh một hàm số f Các phần tử E(Tj) giao nhau với các phần tử thực sự Ce khi tồn tại 1 ≤ i ≤ k sao cho Tj = Pi Sử dụng công thức trong (1.3), ta có thể xác định E(Pi) (Pi = Tj) giao với các phần tử thực sự Ce tại điểm (0,−ξi,s) ∈ C 2 σ j, với 1 ≤ s ≤ ki Hơn nữa, số bởi cửa π ∗ f phản ánh E(Tj) được tính như sau.
N(T j ) := N(E(T j )) =d(T j , f), vợi d(Tj, f) ữủc ành nghắa trong (1.2) Do õ ta cõ div(π ∗ f) m
Ce i,s , trong â Cei,s l c¡c th nh ph¦n thüc sü i qua c¡c iºm (0,−ξi,s) ∈ C 2 σ i nâi trản Náu f(x, y) bĐt khÊ quy, thẳ k = 1, k1 = 1, v f(x, y) cõ thº viát ữủc dữợi dÔng f(x, y) = (y a 1 +ξ1x b 1 ) A 2 +(c¡c sè h¤ng cao hìn).
Náu f khổng suy bián, thẳ Ce i,j l trỡn và Ce i,j giao ho nh vợi E(P i ) Trong trường hợp này, phép biến đổi xuyán π chấp nhận được với f là một phép giải thích có thể được áp dụng cho f.
H m zeta tổpổ cừa kẳ dà ữớng cong ph¯ng
Cho hàm f(x, y) là một phần tử của tập hợp C{x, y} với O là một điểm nằm trên đường cong Tập hợp C được định nghĩa là C = {(x, y) ∈ C² | f(x, y) = 0} Để giải quyết vấn đề, ta sử dụng phương pháp giải kì diệu π: Y → C² với O và các dữ liệu tương ứng, trong đó div(π * f) = π⁻¹(C) = X i∈S.
NiEi v div(π ∗ dx∧dy) := div(det Jacπ) = X i∈S
(νi−1)Ei, vợi Ei, i ∈ S, l cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa π −1 (C); trong số n y, náu
Ei là một thể nhấn phân biệt của π −1 (O), trong khi đó, Ei là một thể nhấn phân biệt của π khi nó là một thể nhấn phân biệt của π −1 (C \ {O}) Các số Ni và νi là các số nguyên dương Với mỗi i ∈ S, °t.
Ej. ành nghắa 1.7 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà f (ho°c C) tÔi O l h m hỳu t sau ¥y
Nhưc lÔi rơng, Denef-Loeser  chựng minh h m zeta tổpổ Z f,O top (s) khổng phử thuởc v o ph²p giÊi kẳ dà cừa f tÔi O.
Vẵ dử: Kẳ dà f (x, y) = y 2 − x 3 tÔi O
Dạ thầy f(x, y) khổng suy biến ối vợi a diàn Newton Γ cừa nõ A diàn Γ có một công cụ duy nhất nối hai điểm (0,2) và (3,0), và vecto dữ dỡng nguyản sỡ là pháp tuyến của đường thẳng nối hai điểm này.
(2,3) °t P1 = (2,3) t Do õ, mởt ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy chĐp nhên ữủc ối vợi f l Σ ∗ vợi cĂc ¿nh (tẵnh cÊ cĂc ¿nh bờ sung T 0 ,
(Vêy trong trữớng hủp n y m= 3 v k = 1.) Ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh Σ ∗ cho 4 ma trên sau Ơy lêp tứ cĂc ¿nh ká tiáp nhau: σ 0 = 1 1
Khổng gian nguỗn cừa ph²p bián ời xuyán π chĐp nhên ữủc ối vợi f l a t¤p trìn
, trong õ cĂc bÊn ỗ C 2 σ i;xi, yi ữủc dĂn trỡn vợi nhau theo luêt dĂn (1.1). Trản bÊn ỗ C 2 σ 0;x0, y0
, biºu thùc t÷íng minh cõa π l π(x0, y0) = Φσ 0(x0, y0) = (x0y0, y0).
Kẵ hiằu dx∧dy l dÔng vi phƠn chẵnh tưc trản C 2 Khi õ π ∗ f(x0, y0) =y 2 0 −(x0y0) 3 =y 0 2 (1−x 3 0 y0), π ∗ (dx∧dy)(x 0 , y 0 ) =d(x 0 y 0 )∧dy 0 = (y 0 dx 0 +x 0 dy 0 )∧dy 0
Khi â π ∗ f(x1, y1) = (x1y1^3)^2 − (x1y1^2)^3 = x1^2y1^6(1−x1), thì π ∗ (dx∧dy)(x1, y1) = d(x1y1^2)∧d(x1y1^3) = x1y1^4 dx1∧dy1 Hai bề mặt C^2 σ0;x0, y0 và C^2 σ1;x1, y1 phát sinh phần cắt biệt E(T1); trong bề mặt thực, E(T1) xác định biên phương trình y0 = 0, và trong bề mặt thực thứ hai, E(T1) xác định biên phương trình x1 = 0 Theo các tính toán (1.4) và (1.5), các dữ liệu thuộc N(T1) và ν(T1) được xác định như sau:
Khi â π ∗ f(x2, y2) = (x 3 2 y 2 2 ) 2 −(x 2 2 y2) 3 = x 6 2 y 2 3 (y2−1), π ∗ (dx∧dy)(x 2 , y 2 ) = d(x 2 2 y 2 )∧d(x 3 2 y 2 2 ) = x 4 2 y 2 2 dx 2 ∧dy 2 Hai bề mặt C 2 σ 1;x1, y1 và C 2 σ 2;x2, y2 có phần cắt biệt E(T2) = E(P1); trong bề mặt thực, E(T2) xác định bề phương trình y1 = 0, và trong bề mặt thực hai, E(T2) xác định bề phương trình x2 = 0 Theo các tính toán (1.5) và (1.6), các dữ liệu thuộc N(T2) = N(P1) và ν(T2) = ν(P1) được xác định như sau:
Về P1, tường ứng với công cụ duy nhất của Γ nản E(T2) = E(P1), là thành phần chính trong phân tích duy nhất giao với thành phần thực sự (khi hiểu E 0) của pháp giải kẽ dàn; điểm giao duy nhất có tọa độ (1,0) trong bên ỗ C 2 σ 1; x 1, y 1.
(ró r ng rơng (x1 = 1, y1 = 0)≡ (x2 0, y2 = 1)theo luêt dĂn (1.1)) Tứ cĂc biºu thực n y ta cụng cõ N(E0) = 1 v ν(E0) = 0 + 1 = 1.
Khi â π ∗ f(x 3 , y 3 ) = (x 2 3 y 3 ) 2 −x 3 3 =x 3 3 (x 3 y 3 2 −1), π ∗ (dx∧dy)(x3, y3) =dx3∧d(x 2 3 y3) =x 2 3 dx3∧dy3 (1.7)
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu hai bên ỗ C 2 σ 2;x2, y2 và C 2 σ 3;x3, y3 để phân tích E(T3) Tại bên ỗ thực hiện, E(T3) xác định bồi phương trình y2 = 0, trong khi tại bên ỗ thực hai, E(T3) xác định bồi phương trình x3 = 0 Theo các tính toán (1.6) và (1.7), dữ liệu từ N(T3) và ν(T3) được xác định như sau:
Sau khi phƠn tẵch vã hẳnh hồc v tờ hủp cừa ph²p giÊi kẳ dà π cừa kẳ dà cừa
C := {(x, y) ∈ C² | y² − x³ = 0} là một tập hợp các điểm trong không gian hai chiều, thể hiện mối quan hệ giữa x và y Để minh họa việc sắp xếp các thành phần khác nhau như E(T1), E(T2) và E(P1), E(T3), chúng ta cần xem xét các thành phần thực sự (kí hiệu là E0) trong lữc ỗ sau Ơy Mỗi công thức trong lữc ỗ đều liên quan đến các thống số E(N, ν).
Sau Ơy ta s³ tẵnh h m zeta tổpổ Z f,O top (s) cừa f(x, y) = y 2 −x 3 tÔi O Ta cõ cĂc ỗng phổi sau Ơy cừa cĂc khổng gian tổpổ:
Ph²p tam giĂc phƠn ỡn giÊn nhĐt cừa R 2 cho 1 m°t (chẵnh l R 2 ), 0 cÔnh,
0 ¿nh; cho nản °c trững Euler cừa nõ bơng 1 Mởt ph²p tam giĂc phƠn cừa R 2 \ (2 iºm) cho 2 m°t, 3 cÔnh, 0 ¿nh; cho nản °c trững Euler cừa
R 2 \ (2 iºm) bơng 2 − 3 + 0 = −1 Cuối cũng, mởt ph²p tam giĂc phƠn cừa R 2 \ (1 iºm) cho 2 m°t, 2 cÔnh, 0 ¿nh; cho nản °c trững Euler cừa
R 2 \(1 iºm) bơng 2−2 + 0 = 0 Quan sĂt lữủc ỗ trản ta cõ
H m zeta tổpổ cừa kẳ dà ỡn
Trong chữỡng n y, ta tẵnh h m zeta tổpổ cho kẳ dà ỡn Ak (phữỡng trẳnh àa phữỡng y 2 −x k+1 = 0), tứ õ ta cõ thº xĂc ành ữủc cỹc cừa nõ.
Kẳ dà ỡn A 2n−1 ( n ≥ 2 )
Kát quÊ chẵnh cừa mửc n y l ành lỵ sau Ơy. ành lỵ 2.1 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà f(x, y) =y 2 −x 2n tÔi O ∈C 2 bơng
Chứng minh rằng hàm f(x, y) = y² - x² có một cực đại tại điểm O Thực ra, hàm này chỉ có một cực điểm duy nhất với vector pháp tuyến (1, n) Ta có thể giải hàm này bằng một phương pháp biến đổi liên tục đối với f Xét phương pháp phân chia miền hình chữ nhật với các định nghĩa sau:
Ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh Σ ∗ cho n+ 1 ma trên sau Ơy lêp tứ cĂc ¿nh ká tiáp nhau: σ0 = 1 1
X²t ph²p bián ời xuyán liản kát vợi Σ ∗ nhữ sau: π : X : n
, vợi X l mởt a tÔp phực trỡn, dĂn tứ cĂc bÊn ỗ àa phữỡng C 2 σ i ;xi, yi
0≤ i≤ n, theo luêt dĂn (1.1) Ta tẵnh div(π ∗ f) v div(π ∗ (dx∧dy)) trản mội bÊn ỗ àa phữỡng Vợi 0 ≤ i ≤ n− 1, biºu thực tồa ở cừa π trản bÊn ỗ
Khi õ, trản bÊn ỗ n y, π ∗ f(xi, yi) = (x i i y i i+1 ) 2 −(xiyi) 2n
=x 2i i y i 2i+2 (1 +x n−i i y i n−i−1 )(1−x n−i i y n−i−1 i ), π ∗ (dx∧dy)(xi, yi) =d(xiyi)∧d(x i i y i i+1 )
=x i i y i i+1 dxi∧dyi. Biºu thực tồa ở cừa π trản bÊn ỗ C 2 σ n;xn, yn l π(xn, yn) = Φσ n(xn, yn) = (xn, x n n yn).
, ta câ π ∗ f(xn, yn) = (x n n yn) 2 −x 2n n
= x 2n n (y n + 1)(y n −1), π ∗ (dx∧dy)(xn, yn) = dxn∧d(x n n yn)
Với mỗi i từ 1 đến n, hai bên ỗ (C2σi−1; xi−1, yi−1) và (C2σi; xi, yi) tạo thành phần cách biệt E(Ti) Trong bên ỗ thực nhất, E(Ti) xác định bề phức tạp y i−1 = 0, và trong bên ỗ thực hai, E(Ti) xác định bề phức tạp x i = 0 Theo các tính toán trừu tượng, với mỗi i từ 1 đến n, các dữ liệu thuộc N(Ti) và ν(Ti) được xác định như sau:
C¡c th nh ph¦n thüc sü cõa π l c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy cõa ÷íng cong trong X m trản cĂc bÊn ỗ C 2 σ i ;xi, yi
, vợi 0≤ i≤ n−1, ữủc xĂc ành bði
(1 +x n−i i y i n−i−1 )(1−x n−i i y n−i−1 i ) = 0, v trản bÊn ỗ C 2 σ n;xn, yn ữủc xĂc ành bði (yn+ 1)(yn −1) = 0.
Do õ ch¿ cõ hai th nh phƯn thỹc sỹ cừa π, ta s³ kẵ hiằu lƯn lữủt l E01 v
E 02 Phữỡng trẳnh cừa E 01 v E 02 ữủc cho trong bÊng sau Ơy:
BÊn ỗ Pt cừa E01 Pt cừa E02
Rã r ng N(E01) = 1, N(E02) = 1, ν(E01) = 1 và ν(E02) = 1 Hình núa cho thấy E01 và E02 có giao với thành phần khác biệt E(T n) = E(P 1) tại hai điểm giao khác nhau, chứng minh rằng trục bên C2 σ n;x n, y n có hai điểm giao tọa độ ở lần lượt (0,−1) và (0,1).
Ta có thể minh họa việc sắp xếp các thành phần khác biệt E(Ti), với 1 ≤ i ≤ n, và hai thành phần thực sự E01 và E02 trong lực ỗ sau đây Trả mọi công cửa lực ỗ là các tổng số E (N, ν).
Nhữ trong Mửc 1.5, ta dạ d ng tẵnh ữủc °c trững Euler cừa giao cừa cĂc th nh phƯn cĂ biằt v th nh phƯn thỹc sỹ Sau Ơy l bÊng tẵnh toĂn:
Giao °c trững Euler iãu kiằn
Do õ h m zeta tổpổ cừa f(x, y) =y 2 −x 2n tÔi O l
= (n−1)s+n+ 1(s+ 1)(2ns+n+ 1).ành lỵ ữủc chựng minh.
Kẳ dà ỡn A 2n ( n ≥ 1 )
Kát quÊ chẵnh cừa mửc n y l ành lỵ sau Ơy. ành lỵ 2.2 H m zeta tổpổ cừa kẳ dà f(x, y) =y 2 −x 2n+1 tÔi O∈ C 2 bơng
Chựng minh Kà dà ỡn f(x, y) = y 2 −x 2n+1 tÔi O khổng suy bián vẳ a diằn Newton Γ cừa nõ ch¿ cõ mởt cÔnh compưc V²ctỡ phĂp tuyán cừa cÔnh n y l
(2,2n+ 1), ta °t P1 = (2,2n+ 1) t X²t ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗ chĐp nhên ữủc ối vợi f cõ cĂc ¿nh nhữ sau
X²t ph²p giÊi kẳ dà xuyán liản kát vợi Σ ∗ sau Ơy π : X → C 2 ;x, y
, vợi X l mởt a tÔp phực trỡn dĂn tứ cĂc bÊn ỗ C 2 σ i ;xi, yi
, 0 ≤ i≤ n+ 2, theo luêt dĂn (1.1) Biºu thực cừa π trản C 2 σ i ;xi, yi
Do õ, trản bÊn ỗ n y, π ∗ f(xi, yi) = (x i i y i i+1 ) 2 −(xiyi) 2n+1
= x 2i i y 2i+2 i (1−x 2n−2i+1 i y i 2n−2i−1 ), π ∗ (dx∧dy)(xi, yi) = d(xiyi)∧d(x i i y i+1 i )
= x i i y i i+1 dxi∧dyi. Biºu thực cừa π trản bÊn ỗ C 2 σ n;xn, yn l π(x n , y n ) = (x n y n 2 , x n n y 2n+1 n ).
, ta câ π ∗ f(xn, yn) = (x n n y n 2n+1 ) 2 −(xny 2 n ) 2n+1
=x 2n n y n 4n+2 (1−x n ), π ∗ (dx∧dy)(xn, yn) =d(xny n 2 )∧d(x n n y 2n+1 n )
Với mỗi i từ 1 đến n, hai bên ỗ (C²σi−1; xi−1, yi−1) và (C²σi; xi, yi) thuộc E(Ti); trong bên ỗ thực nhất, E(Ti) xác định biên phương trình yi−1 = 0, và trong bên ỗ thực hai, E(Ti) xác định biên xi = 0 Theo các tính toán trần, với mỗi
1≤ i≤ n, cĂc dỳ liằu tờ hủp N(T i ) v ν(T i ) ữủc xĂc ành nhữ sau:
Biºu thực cừa π trản bÊn ỗ (C 2 σ n+1;xn+1, yn+1) l π(xn+1, yn+1) = (x 2 n+1 yn+1, x 2n+1 n+1 y n+1 n+1 ).
Do õ, trản bÊn ỗ (C 2 σ n+1;x n+1 , y n+1 ), ta cõ π ∗ f(xn+1, yn+1) = (x 2n+1 n+1 y n+1 n+1 ) 2 −(x 2 n+1 yn+1) 2n+1
=x 4n+2 n+1 y n+1 2n+1 (y n+1 −1), π ∗ (dx∧dy)(xn+1, yn+1) =d(x 2 n+1 yn+1)∧d(x 2n+1 n+1 y n+1 n+1 )
Th nh phƯn cĂ biằtE(Tn+1) =E(P1)ữủc phừ bði hai bÊn ỗ C 2 σ n;xn, yn v
; trong bÊn ỗ thự nhĐt, phữỡng trẳnh xĂc ành E(Tn+1) l y n = 0, v trong bÊn ỗ thự hai, phữỡng trẳnh xĂc ành E(T n+1 ) l x n+1 = 0. CĂc dỳ liằu tờ hủp N(T n+1 ) v ν(T n+1 ) ữủc xĂc ành nhữ sau:
Vẳ P1 lựng vợi công cụ duy nhật của Γ nản E(Tn+1) = E(P1) là thành phần chính của phân phối duy nhật giao với thành phần thực sự Điều này cho thấy rằng chỉ có duy nhất một thành phần thực (khi hiểu E 0) của π.
Cuối cũng, biºu thực cừa π trản bÊn ỗ C 2 σ n+2;xn+2, yn+2 l π(xn+2, yn+2) = (xn+2, x n+1 n+2 yn+2).
Do õ, trản bÊn ỗ C 2 σ n+2;xn+2, yn+2
, ta câ π ∗ f(xn+2, yn+2) = (x n+1 n+2 yn+2) 2 −x 2n+1 n+2
=x 2n+1 n+2 (x n+2 y 2 n+2 −1), π ∗ (dx∧dy)(xn+2, yn+2) =dxn+2∧d(x n+1 n+2 yn+2)
Th nh phƯn cĂ biằt E(Tn+2) ữủc phừ bði hai bÊn ỗ àa phữỡng
(C 2 σ n+1; xn+1, yn+1) v (C 2 σ n+2; xn+2, yn+2); trong bên ỗ thực nhất, phương trình xác định E(Tn+2) l yn+1 = 0, và trong bên ỗ thực hai, phương trình xác định E(Tn+2) l xn+2 = 0 Các dữ liệu tờ hợp N(Tn+2) và ν(Tn+2) được xác định như sau:
Ta minh họa việc sắp xếp các thành phần cụ thể E(Ti), với 1 ≤ i ≤ n + 2, và thành phần thức sỹ E 0 trong lực lượng ô sau Ơy Trả mọi công cửa lực ô là các thống số E (N, ν).
Sau Ơy l bÊng tẵnh °c trững Euler cừa giao cừa cĂc th nh phƯn cĂ biằt v th nh phƯn thỹc sỹ, tữỡng tỹ nhữ trong Mửc 1.5.
Giao °c trững Euler iãu kiằn
Do õ h m zeta tổpổ Z f,O top (s) cừa f(x, y) = y 2 −x 2n+1 tÔi O l tờng cừa cĂc ph¥n thùc
Bơng tẵnh toĂn trỹc tiáp ta cõ n
(s+ 1)((4n+ 2)s+ 2n+ 3). Nhớ cĂc tẵnh toĂn trản, Z f,O top (s) bơng
(4n+ 2)ns+ (2n+ 3)n+ 1 (2ns+n+ 1)((4n+ 2)s+ 2n+ 3). GiÊn ữợc tờng trản ta cõ
(s+ 1)((4n+ 2)s+ 2n+ 3). ành lỵ ữủc chựng minh.
Hằ quÊ 2.3 Vợi kẳ dà ỡn Ak (k ≥ 1 l mởt số nguyản), h m zeta tổpổ Z A top k ch¿ câ hai cüc l −1 v − 2k+2 k+3
Chựng minh ối vợi trữớng hủp k = 2n− 1 ta Ăp dửng ành lỵ 2.1 Khi õ cỹc cừa h m zeta tổpổ cừa kẳ dà Ak l −1 v
2k + 2. ối vợi trữớng hủp k = 2n ta Ăp dửng ành lỵ 2.2 Cỹc cừa h m zeta tổpổ cừa kẳ dà Ak trữớng hủp n y l −1 v
2k+ 2.Hằ quÊ ữủc chựng minh.
H m zeta tổpổ cừa kẳ dà khổng suy bián cõ phƯn chẵnh tỹa thuƯn nhĐt
Kẳ dà y a − x b vợi (a, b) = 1
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh một định lý quan trọng liên quan đến hàm số f(x, y) = y^a - x^b, với a và b là các số nguyên dương Đặc biệt, chúng ta sẽ khám phá mối liên hệ giữa hàm zeta và các đặc tính của định lý này trong bối cảnh toán học hiện đại.
Chứng minh rằng hàm số f(x, y) = y^a - x^b có điểm O, với a, b là hai số nguyên dương, là một hàm không suy biến Hàm này có đạo hàm riêng theo a và b tại điểm (a, b) Để chứng minh tính liên tục của hàm, ta cần xác định các điều kiện cần thiết cho f và áp dụng phương pháp phân chia.
! vợi 0≤ i≤ m+ 1, trong õ (c0, d0) = (1,0), (cm+1, dm+1) = (0,1), v cĂc ¿nh ữủc sưp thự tỹ sao cho det(Ti, Ti+1) = 1 vợi mồi 0 ≤ i ≤ m GiÊ sỷ Ti 0 = P1 vợi i0 thuởc {1, , m} Ta °t σ i = (T i , T i+1 ) = ci ci+1 di di+1
X²t ph²p giÊi kẳ dà xuyán liản kát vợi ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh Σ ∗ sau Ơy π : X : m
, vợiX l mởt a tÔp phực trỡn, ữủc dĂn tứ cĂc bÊn ỗ àa phữỡng (C 2 σ i;xi, yi),
0 ≤ i ≤ m, theo luêt dĂn (1.1) Biºu thực cừa π trản bÊn ỗ àa phữỡng (C 2 σ i;xi, yi) l π(xi, yi) = Φσ i(xi, yi) = (x c i i y i c i+1 , x d i i y i d i+1 ).
Khi õ trản bÊn ỗ (C 2 σ i;xi, yi)ta cõ π ∗ f(xi, yi) = (x d i i y i d i+1 ) a −(x c i i y c i i+1 ) b = x ad i i y i ad i+1 −x bc i i y i bc i+1
Nhưc lÔi rơng Ti 0 = P1 = (a, b) t Náu det(Ti, Ti 0) > 0, thẳ det(Ti+1, Ti 0) ≥ 0; do â bci > adi, bci+1 ≥ adi+1, v ta câ π ∗ f(xi, yi) = x ad i i y i ad i+1 (1−x bc i i −ad i y bc i i+1 −ad i+1 ).
Hai bên ỗ (C 2 σ i−1;xi−1, yi−1) và (C 2 σ i;xi, yi) tạo ra các phần riêng biệt E(Ti) Trong bên ỗ thứ nhất, phương trình xác định E(Ti) là y i−1 = 0, trong khi bên ỗ thứ hai, phương trình xác định E(Ti) là xi = 0 Do đó, chúng ta tính được giá trị của π ∗ f phản ánh E(Ti).
Náu det(Ti 0 , Ti) ≥ 0, thẳ det(Ti 0 , Ti+1) > 0; do õ adi ≥ bci, adi+1 > bci+1, v ta câ π ∗ f(x i , y i ) =x bc i i y i bc i+1 (x ad i i −bc i y i ad i+1 −bc i+1 −1).
N(Ti) i. M°t khĂc, vợi mồi 0≤ i≤ m, trản bÊn ỗ àa phữỡng C 2 σ i;x i , y i
, ta câ π ∗ (dx∧dy)(x i , y i ) =d(x c i i y i c i+1 )∧d(x d i i y i d i+1 ) bơng
(cix c i i −1 y c i i+1 dxi+ci+1x c i y c i i+1 −1 dyi)∧(dix d i i −1 y d i i+1 dxi+di+1x d i i y i d i+1 −1 dyi), do â π ∗ (dx∧dy)(x i , y i ) = x c i i +d i −1 y c i i+1 +d i+1 −1 dx i ∧dy i , bði vẳ det(Ti, Ti+1) = cidi+1−ci+1di = 1.
Với công thức duy nhất của E(T i 0) = E(P 1), chúng ta có thể xác định các thành phần riêng biệt trong phân tích Phương trình của các thành phần này được biểu diễn qua các biến C 2 σ i; xi 0, yi 0 với điều kiện yi 0 = 1 Điều này cho thấy sự tồn tại của một thành phần duy nhất trong phân tích của π, và chúng ta có thể hiểu rằng thành phần này có giá trị E0 khi đạt được các tiêu chí nhất định.
Ta minh họa việc sắp xếp các thành phần cụ thể E(Ti), với 1 ≤ i ≤ m, và thành phần thực sự E 0 trong lưỡng lực ổ sau Ơy Trạng mọi công cửa lưỡng lực ổ là các thống số E (N, ν) hoặc ẩn giấu chỉ là thành phần cụ thể.
Sau Ơy l bÊng tẵnh °c trững Euler (tữỡng tỹ nhữ trong Mửc 1.5):
Giao °c trững Euler iãu kiằn
Theo ành nghắa, h m zeta tổpổ Z f,O top (s) bơng tờng cừa cĂc phƠn thực
X i=1 χ(E(Ti)∩E(Ti+1)) (N(Ti)s+ν(Ti))(N(Ti+1)s+ν(Ti+1)).
Do õ, theo tẵnh toĂn trản, h m zeta tổpổ Z f,O top (s) cừa f(x, y) = y a −x b tÔi
O (vợi a, b l hai số nguyản dữỡng nguyản tố cũng nhau) bơng tờng cừa cĂc ph¥n thùc sau ¥y (chó þ d 1 =c m = 1):
1 (adis+ci+di)(adi+1s+ci+1+di+1), m−1
1 (bcis+ci+di)(bci+1s+ci+1+di+1).
1 (adis+ci+di)(adi+1s+ci+1+di+1) = di+1 adi+1s+ci+1+di+1
1 (bc i s+c i +d i )(bc i+1 s+c i+1 +d i+1 ) = ci bc i s+c i +d i − ci+1 bc i+1 s+c i+1 +d i+1 , nản ta cõ (chú ỵ d1 = cm = 1): i 0 −1
1 (bcis+ci+di)(bci+1s+ci+1+di+1) = ci 0 bci 0s+ci 0+di 0
(s+ 1)(abs+a+b). ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 3.2 Vợi a= 2 v b = 3 ta trð lÔi vợi kẳ dà f(x, y) =y 2 −x 3 tÔi O p dửng ành lỵ 3.1 ta cõ
(s+ 1)(6s+ 5).Kát quÊ n y phũ hủp vợi Mửc 1.5.
Biản Newton ch¿ cõ mởt cÔnh compưc
Cho hàm f(x, y) thuộc C{x, y} với một kẻ dày tại O, không suy biến tại điểm a Đường cong Newton Γ được xác định sao cho Γ cắt duy nhất một cạnh P1 Điểm (a, b) là tọa độ nguyển dữ liệu, là tọa độ pháp tuyến của cạnh tương ứng với đường cong.
Khi f(x, y) có dạng như sau: f(x, y) = f1(x, y) + fr(x, y), trong đó f(x, y) không suy biến theo nghĩa đã nêu, f'(x, y) có dạng f'(x, y) = y^a + ξ'x^b + (các số hạng cao hơn) Với 1 ≤ ` ≤ r, ξ` ∈ C* và ξ` ≠ ξ`0 nếu ` ≠ `0 Đối với kẻ đa thức f(x, y) tôi O không suy biến đối với a, điều kiện Newton của nó được cho trong (3.1) và (3.2), hàm zeta tổ hợp được sử dụng để bồi dưỡng thực.
Chựng minh X²t ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗ chĐp nhên ữủc ối vợi h m f(x, y) vợi cĂc ¿nh sau Ơy
! vợi 0≤ i≤ m+ 1, trong õ (c0, d0) = (1,0), (cm+1, dm+1) = (0,1), v cĂc ¿nh ữủc sưp thự tỹ sao cho det(T i , T i+1 ) = 1 vợi mồi 0 ≤i≤ m GiÊ sỷ Ti 0 = P1 vợi mởt i0 ∈ {1, , m} °t σi = (Ti, Ti+1) = ci ci+1 d i d i+1
X²t ph²p bián ời xuyán liản kát vợi ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quy Σ ∗ sau ¥y π : X → C 2 ;x, y
, trong õ X l mởt a tÔp phực trỡn, ữủc dĂn tứ cĂc bÊn ỗ àa phữỡng
, 0≤ i≤ m, theo luêt dĂn (1.1) Khi õ, vẳ f(x, y)khổng suy bián ối vợi Γ, π l mởt ph²p giÊi kẳ dà cừa f(x, y)tÔi O Biºu thực cừa π trản bÊn ỗ C 2 σ i;xi, yi l π(xi, yi) = Φσ i (xi, yi) = (x c i i y i c i+1 , x d i i y i d i+1 ).
Theo [1, Mửc 4.3], trản bÊn ỗ C 2 σ i;xi, yi
Hàm π ∗ f`(xi, yi) được xác định bởi công thức π ∗ f`(xi, yi) = x ad i i y i ad i+1 + ξ ` x bc i i y bc i i+1 + x i R`(xi, yi), trong đó R`(xi, yi) thuộc tập C{xi, yi} Công thức này mô tả cách phân tích các hàm cao cấp để chia sẻ thông tin một cách hiệu quả giữa các biến x ad i i y ad i i+1 và x bc i i y bc i i+1.
Tữỡng tỹ Mửc 3.1, ta x²t thự tỹ tữỡng ối cừa cừa cĂc v²ctỡ trồng nguyản sỡ Ti v Ti 0 Náu det(Ti, Ti 0 )>0, thẳ π ∗ f(xi, yi) = x rad i i y i rad i+1 r
(1 +ξ`x bc i i −ad i y bc i i+1 −ad i+1 ) +xiR(xi, yi)
! , trong õR(x i , y i )∈ C{x i , y i } Trong trữớng hủp n y, số bởi cừaπ ∗ f trản th nh phƯn cĂ biằt E(Ti) l
N(Ti) = radi. Náu det(T i 0 , T i )≥ 0, thẳ π ∗ f(xi, yi) =x rbc i i y i rbc i+1 r
(x ad i i −bc i y ad i i+1 −bc i+1 +ξ`) +xiR(xi, yi)
! , vợi R(xi, yi)∈ C{xi, yi} Trong trữớng hủp n y,
N(Ti) = rbci. Tữỡng tỹ Mửc 3.1, vợi mồi 0≤ i≤ m, ta cõ ν(T i ) =c i +d i
Vẳ P1 tữỡng ựng vợi cÔnh compưc duy nhĐt cừa Γ nản E(Ti 0) = E(P1) l th nh phƯn cĂ biằt duy nhĐt giao vợi cĂc th nh phƯn thỹc sỹ cừa π Phữỡng trẳnh cừa cĂc th nh phƯn thỹc sỹ trong bÊn ỗ àa phữỡng C 2 σ i ;x i 0 , y i 0 l r.
Các số phức ξ₁, , ξᵣ là các số khác nhau và khác 0, nản phương trình (3.3) chứa các hàm đặc trưng của các phân thức số khác nhau không giao nhau Các hàm đặc trưng này được ký hiệu là E₀₁, , E₀ᵣ Hàm đặc trưng E(T₀) = E(P₁) giao với tất cả các hàm đặc trưng E₀ᵣ mà tôi đã phân biệt trong khoảng (0, -ξ`).
Tứ phữỡng trẳnh cừa cĂc th nh phƯn thüc sü ta câ
Ta minh họa việc sắp xếp các thành phần cụ thể E(T_i), với 1 ≤ i ≤ m, và các thành phần thuộc sự sỹ E01, , E0r trong lưỡng cực ở trên Trạng mọi công cụ lưỡng cực là các thống số E(N, ν) hoặc ẩn giấu chỉ là tản thành phần cụ thể.
Sau Ơy l bÊng tẵnh °c trững Euler (tữỡng tỹ nhữ trong Mửc 1.5):
Giao °c trững Euler iãu kiằn
Theo tẵnh toĂn trản, h m zeta tổpổ Z f,O top (s) cừa h m f(x, y)ành nghắa trong (3.1) v (3.2) tÔi O bơng tờng cừa cĂc phƠn thực sau Ơy (chú ỵd1 = cm = 1):
1 (radis+ci+di)(radi+1s+ci+1+di+1), m−1
1 (rbcis+ci+di)(rbci+1s+ci+1+di+1).
1 (radis+ci+di)(radi+1s+ci+1+di+1) bơng di+1 radi+1s+ci+1+di+1
(rbcis+ci+di)(rbci+1s+ci+1+di+1) bơng c i rbc i s+c i +d i − c i+1 rbc i+1 s+c i+1 +d i+1 , nản ta cõ (chú ỵ d1 = cm = 1, ci 0 = a, di 0 =b): i 0 −1
1 (adis+ci+di)(adi+1s+ci+1+di+1) = b rabs+a+b − 1 ras+c1+ 1, m−1
1 (bcis+ci+di)(bci+1s+ci+1+di+1) = a rabs+a+b − 1 rbs+ 1 +dm
(s+ 1)(rabs+a+b). ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 3.4 X²t kẳ dà f(x, y) = y 4 −x 6 + 2x 7 tÔi O p dửng ành lỵ 3.3 cho a= 2, b = 3 v r = 2 ta câ
(s+ 1)(12s+ 5). ành lỵ 3.3 cho hằ quÊ hiºn nhiản sau Ơy.
Hằ quÊ 3.5 Cho kẳ dà f(x, y) tÔi O nhữ trong ành lỵ 3.3 Khi tĐt cÊ cĂc cỹc cừa h m zeta tổpổ Z f,O top (s) l −1 v − a+b rab
Kẳ dà ữớng cong ph¯ng phực khổng suy bián
Ph²p giÊi xuyán cho kẳ dà khổng suy bián
X²t kẳ dà f(x, y)∈C{x, y} tÔi O khổng suy bián ối vợi a diằn Newton Γ cõa nâ Khi â f(x, y) câ d¤ng sau ¥y f(x, y) k
(4.1) trong õ vợi mội 1≤ i≤ k ta cõ ξi` 6= 0, v ξi` 6= ξi` 0 náu ` 6= ` 0 (4.2) °t
Vêy Γ là một đường cong Newton không có công cụ, mỗi công có một vector pháp tuyến nằm trong các vector (a1, b1), , (ak, bk) Giả sử P1, , Pk là các vector nguyên dương sao cho ai ≥ 2 với mỗi 1 ≤ i ≤ k và det(Pi, Pi+1) ≥ 1 với mỗi 1 ≤ i ≤ k - 1 Nếu f(x, y) không suy biến đối với Γ, ta có thể giải kìa tại O của f(x, y) bằng một phép biến đổi xuyết chập ngẫu nhiên đối với f(x, y), nó là một phép giải xuyết của f(x, y) tại O.
X²t ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh chẵnh quyΣ ∗ chĐp nhên ữủc ối vợi h m f(x, y) vợi cĂc ¿nh sau Ơy
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cho một chuỗi các điểm trong khoảng từ 0 đến m+1, với các điểm đầu và cuối được xác định là (c0, d0) = (1,0) và (cm+1, dm+1) = (0,1) Mỗi cặp điểm (Tj, Tj+1) phải thỏa mãn điều kiện sắp xếp sao cho khoảng cách giữa chúng là 1, với j nằm trong khoảng từ 0 đến m Đặc biệt, tổng các giá trị ai phải lớn hơn hoặc bằng 2 đối với mỗi i từ 1 đến k, tạo thành tập hợp {P1, , Pk} nằm trong {T1, , Tm} Cuối cùng, chúng ta xác định σj = (Tj, Tj+1) bằng cách sử dụng các tham số cj, cj+1, dj và dj+1.
X²t ph²p bián ời xuyán liản kát vợi ph²p phƠn chia nõn ỡn hẳnh Σ ∗ sau Ơy π : X → C 2 ;x, y
, trong õ X l mởt a tÔp phực trỡn, ữủc dĂn tứ cĂc bÊn ỗ àa phữỡng (C 2 σ j ;x j , y j ), 0 ≤ j ≤ m, theo luêt dĂn (1.1) Biºu thực cừa π trản bÊn ỗ (C 2 σ j;x j , y j ) l π(xj, yj) = Φσ j(xj, yj) = (x c j j y c j j+1 , x d j j y j d j+1 ).
Việc tính số bởi ν(Tj)−1 của π ∗ dx∧dy trong các thành phần khác nhau của E(Tj) là rất quan trọng, với dạ d ng được xác định trong Mục 3.1 Ta có ν(Tj) = cj + dj, với 0 ≤ j ≤ m Hiện tại, ta tính số bởi π ∗ fi trong E(Tj) Có ba trường hợp cần xem xét, với điều kiện x²t Như đã nêu trong Mục 3.2, ta sẽ áp dụng vào các trường hợp cụ thể Trong trường hợp 1: Nếu Pi 0 ≤ Tj < Pi 0 + 1, thì điều kiện det(Pi 0, Tj)≥ 0 và det(Tj, Pi 0 + 1)> 0 được thỏa mãn, với 1≤ i 0 ≤k−1 Ngoài ra, P i 0 ≤ T j và P i ≤ T j với 1 ≤ i ≤ i 0 Từ Mục 3.2, ta có π ∗ fi(xj, yj) = x r j i b i c j y j r i b i c j+1 r i.
! , vợi Ri(xj, yj) ∈ C{xj, yj} Vẳ Tj < Pi 0 +1 nản Tj < Pi vợi mồi i0 + 1 ≤ i ≤ k. p dửng Mửc 3.2 ta cõ, vợi mồi i0+ 1 ≤ i≤k, π ∗ fi(xj, yj) =x r j i a i d j y j r i a i d j+1 r i
!, trong õRi(xj, yj)∈ C{xj, yj} Tứ cĂc biºu thực trản ta cõ thº thu ữủc biºu thực cừa π ∗ f trản bÊn ỗ (C 2 σ j ;xj, yj)nhữ sau π ∗ f(x j , y j ) i 0
Y i=i 0 +1 π ∗ f i (x j , y j ) = x N(T j j ) y N j (T j+1 ) u(x j , y j ), trong õ u(xj, yj) l mởt phƯn tỷ khÊ nghàch trong C{xj, yj}, v
Nhưc lÔi rơng, N(Tj) chẵnh l số bởi cừa π ∗ f trản th nh phƯn cĂ biằt E(Tj). Trữớng hủp 2: T0 ≤ Tj < P1 iãu kiằn n y cõ nghắa l Tj < Pi vợi mồi
1≤ i≤ k p dửng Mửc 3.2 ta cõ, vợi mồi 1≤ i≤ k, π ∗ fi(xj, yj) =x r j i a i d j y j r i a i d j+1 r i
! , trong õ Ri(xj, yj)∈ C{xj, yj} Tữỡng tỹ nhữ trản, dạ d ng tẵnh ữủc số bởi cừa π ∗ f trản th nh phƯn cĂ biằt E(Tj) l
Trữớng hủp 3: Pk ≤ Tj ≤ Tm+1 Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 2 ta cõ
Quan sĂt cĂc cổng thực (4.4), (4.5) v (4.6) ta thĐy, náu °t
P0 :=T0 = (1,0) t , Pk+1 :=Tm+1 = (0,1) t , cÊ ba trữớng hủp trản cổng thực cừa N(T j ) cõ thº ữủc viát chung nhữ sau
GiÊ sỷ Tj =Pi Khi õ, trản bÊn ỗ (C 2 σ j;xj, yj), biºu thực cừa π ∗ fi(xj, yj) ữủc cho bði π ∗ fi(xj, yj) = x r j i a i b i y j r i b i c i+1 r i
!, vợi Ri(xj, yj)∈ C{xj, yj} Vẳ vêy r i
(yj +ξi`) +xjRi(xj, yj) = 0 chẵnh l phữỡng trẳnh cừa cĂc th nh phƯn thỹc sỹ trong bÊn ỗ (C 2 σ j ;xj, yj).
Để phân tích các thành phần thức số giao với thành phần cá biệt E(P_i), chúng ta xác định các điểm giao (0,−ξ_i) với 1≤i≤r_i trong miền ỗ (C_2σ_j; x_j, y_j) Chúng ta hiểu rằng các thành phần thức số này là E_0i với 1 ≤ i ≤ r_i Từ phương trình, ta có thể xác định tổng số tờ hợp (N, ν) của các thành phần thức số này.
Trong trường hợp 2 ≤ j ≤ m−1, nếu Tj không bằng Pi với 1 ≤ i ≤ k, thì E(Tj) không giao với hai phần tử khác biệt và không giao với phần tử thực sự nào Nếu T1 khác P1, thì E(T1) sẽ giao với một phần tử khác biệt, và nếu Tm khác Pk, thì E(Tm) cũng giao với một phần tử khác biệt.
Sau khi phân tích các thành phần khác biệt và thành phần thực sự của pháp giải, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số f(x, y).
H m zeta tổpổ cừa kẳ dà khổng suy bián
Trong mục này, chúng ta sẽ sử dụng các dữ liệu giải kỳ để mổ tả hàm f(x, y) trong Mục 4.1 Hàm f(x, y) được định nghĩa là một hàm liên tục tại điểm O và có sự biến đổi theo quy luật Newton Biểu thức của f(x, y) được trình bày trong các công thức (4.1) và (4.2), cùng với các giá trị cụ thể sẽ được phân tích.
X t=1 rtbt 6= 0 vợi mồi 0≤ i≤ k Khi õ h m zeta tổpổ cừa f(x, y) tÔi O bơng
−ri(N(Pi)ν(Pi) +D i−1 Di)s−riN(Pi)ν(Pi)
D i−1 Di(s+ 1)(N(Pi)s+ν(Pi)) , trong õ, vợi mồi 1 ≤i≤ k, ν(Pi) =ai+bi,
Chứng minh rằng hàm \( f(x, y) \) là khả vi liên tục trong miền chứa \( (4.1) \) Hơn nữa, hàm \( f(x, y) \) có đạo hàm riêng theo biến \( x \) và \( y \) nhờ vào định lý Newton, điều này chứng tỏ rằng hàm \( f(x, y) \) là khả vi trong miền này.
Các dữ liệu N(Tj) và ν(Tj) cần được sắp xếp theo các thành phần khác biệt và thành phần thực sự của phép giải được xác định trong Mục 4.1 Do đó, chúng ta cần tính độ trễ Euler của E(Tj) và E(Tj)∩E(Tj0).
Tữỡng tỹ nhữ trong Mửc 1.5, ta cõ bÊng tẵnh °c trững Euler sau Ơy:
Giao tr Euler iãu kiằn
E(Tj)∩E0i` =∅ 0 1≤i≤k, 1≤`≤ri, Tj6=Pi (∀ i) E(Pi)∩E0i`= (1iºm) 1 1 ≤i≤ k, 1≤ `≤ ri
Theo ành nghắa, h m zeta tổpổ Z f,O top (s) bơng tờng cừa cĂc phƠn thực
Vợi mồi 0≤ i≤k+ 1, ta kẵ hiằuji l ch¿ số sao cho 0≤ ji ≤ m+ 1v Tj i =Pi. Nhưc lÔi vã cĂc quy ữợc ta cõ j0 = 0, jk+1 =m+ 1 Khi õ m−1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) (4.8) bơng j 1 −1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) cởng m−1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) cởng k−1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) dữợi dÔng sau Ơy
N(T j+1 )s+ν(T j+1 ). Quy ỗng mău số cừa vá phÊi v ỗng nhĐt hằ số cừa tỷ số cÊ hai vá ta cõ
N(Tj+1)A+N(Tj)B = 0 ν(Tj+1)A+ν(Tj)B = 1 (4.9) X²t ành thực cừa ma trên cừa hằ (4.9) nhữ sau
Chựng minh Vợi j i ≤ j ≤ j i+1 −2ta cõ P i ≤T j < T j+1 < P i+1 p dửng (4.7) v (4.3), ta thu ữủc
X t=0 rtbt. ối vợi j =j i+1 −1, Ăp dửng (4.7) v (4.3), ta cõ
Theo tẵnh toĂn trản, ró r ng vợi mồi0 ≤i≤ k v ji ≤ j ≤ ji+1−1, Di,j khổng phử thuởc v o j v bơng D i Bờ ã ữủc chựng minh.
Theo giÊ thiát Di 6= 0, do õ hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (4.9), ối vợi j i ≤ j ≤ j i+1 −1, l mởt hằ Cramer v nõ cõ nghiằm duy nhĐt l
Tứ õ, v tứ ỗng nhĐt thực N(T1) = d1Pk t=1rtat =Pk t=1rtat = D0, ta câ j 1 −1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) (4.11) bơng N(P 1 )/D 0
N(T 1 )s+ν(T 1 ). Tữỡng tỹ, vợi 1≤ i≤ k−1, biºu thực j i+1 −1
1(N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) (4.12) bơng N(Pi+1)/Di
N(Pi)s+ν(Pi). Vợi i= k, bði vẳ N(Tm) = cmPm t=1rtbt = Pm t=1rtbt =−Dk, ta câ m−1
N(Pk)s+ν(Pk). Thay c¡c biºu thùc cõa (4.11), (4.12) v (4.13) v o (4.8) ta câ m−1
1 (N(Tj)s+ν(Tj))(N(Tj+1)s+ν(Tj+1)) bơng
N(Pi)s+ν(Pi). Vêy h m zeta tổpổ Z f,O top (s) cừa f tÔi O bơng k
Ta cõ thº rút gồn hỡn nỳa º thu ữủc
−ri(N(Pi)ν(Pi) +D i−1 Di)s−riN(Pi)ν(Pi)
D i−1 Di(s+ 1)(N(Pi)s+ν(Pi)) ành lỵ ữủc chựng minh.
Hằ quÊ 4.3 Với hàm f(x, y) như trong phần 4.1, mọi cực trị của Z f,O top (s) đều có dạng −1 hoặc −N(P ν(P i ) i ), với i thỏa mãn 1≤ i≤ k Như vậy, thực ra hằ quÊ tràn có thể được xác định như sau: Với hàm f(x, y) trong phần 4.1, tất cả các cực trị của Z f,O top (s) đều là −1 hoặc −N(P ν(P i ) i ), với mỗi i thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi chứng minh rằng 1 ≤ i ≤ k, mặc dù có những khó khăn trong việc chứng minh tính chất của các biến x²t và y Hơn nữa, việc tính toán giá trị Z f,O top (s) cho phép chúng tôi chứng minh các giả thuyết liên quan đến k và các biến hai chiều Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [6].