Mởt số khĂi niằm
ành nghắa 1.1.1 Cho X l khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng K vợi iºm gốc θ H m k.k: X → R ữủc gồi l chuân trản X náu
(ii) kλxk = |λ|kxk vợi mồi x∈ X v λ ∈ K.
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk vợi mồi x, y ∈ X.
Khi õ c°p (X,k.k) ữủc gồi l khổng gian ành chuân.
Không gian x²t là một không gian metric với khoảng cách d(x, y) = ||x - y|| Khoảng cách này xác định những trật tự trong không gian, được gọi là không gian sinh bởi chuẩn Nếu không gian X có chuẩn và khoảng cách sinh bởi chuẩn đó, thì nó được gọi là không gian Banach Đối với không gian X là không gian tuyến tính và được trang bị số thực, nó mang lại nhiều ứng dụng trong toán học và lý thuyết không gian.
R Mởt tẵch vổ hữợng trong X l mởt Ănh xÔ h., i: XìX → R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(i) hx, yi = hy, xi, vợi mồi x, y ∈ X;
(ii) hx+y, zi = hx, zi+hy, zi, vợi mồi x, y, z ∈ X;
(iii) hλx, yi = λhx, yi, vợi mồi x, y ∈ X; λ ∈ R;
(iv) hx, xi > 0, vợi mồi x 6= 0; hx, xi = 0 ↔x = 0.
Khổng gian tuyán tẵnh X cũng vợi tẵch vổ hữợng h., i ữủc gồi l khổng gian tiãn Hilbert.
Chuân cừa phƯn tỷ x ∈ X, kẵ hiằu |x| v ữủc xĂc ành:
Khổng gian tiãn Hilbert Ưy ừ vợi metric sinh bði chuân xĂc ành bði(1.1) ữủc gồi l khổng gian Hilbert.
CĂc khổng gian h m
ành nghắa 1.2.1 L p (Ω),1 ≤ p < ∞, Ω ∈ R N l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m khÊ tẵch Lebesgue bêc p trản Ω vợi chuân ữủc ành nghắa nhữ sau: kuk L p (Ω) := (
L p (Ω) l khổng gian Banach phÊn xÔ khi 1< p < +∞. ành nghắa 1.2.2 L ∞ (Ω) l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m o ữủc v bà ch°n hƯu khưp trản Ω vợi chuân kuk L ∞ (Ω) := esssup x∈Ω
|u(x)|. ành nghắa 1.2.3 GiÊ sỷ σ : Ω → R l h m o ữủc Lebesgue, khổng Ơm v thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: khi miãn Ω bà ch°n,
(H α ) σ ∈ L 1 loc (Ω) v vợi α ∈ (0,2),liminf x→z |x−z| −α σ(x) > 0vợi mồi z ∈ Ω, v khi miãn Ω khổng bà ch°n.
(H α,β ∞ ) σ thọa mÂn iãu kiằn (H α ) v liminf |x|→∞ |x| −β σ(x) > 0vợi β > 2.
Khi õ ta ành nghắa khổng gian D 0 1 (Ω, σ) l bờ sung ừ cừa khổng gian
D 1 0 (Ω, σ) l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng
Kẵ hiằu D − 1(Ω, σ) l khổng gian ối ngău cừa D 1 0 (Ω, σ) GiÊ sỷ N ≥
Số mụ 2 ∗ α l số mụ giợi hÔn trong ph²p nhúng Sobolev liản quan án khổng gian D 0 1 (Ω, σ).
Trong luên vôn n y ta sỷ dửng cĂc khổng gian h m phử thuởc thới gian sau: ành nghắa 1.2.4 GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach.
C([a, b];X) l khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m u : [a, b]→
X liản tửc tứ [a, b] v o X vợi chuân
L p (a, b;X) khổng gian Banach bao gỗm tĐt cÊ cĂc h m u : (a, b) → X sao cho
Bờ ã 1.2.5 GiÊ sỷ rơng Ω l miãn bà ch°n trản R N , N ≥ 2, v σ thọa mÂn iãu kiằn (H α ) Khi õ:
(ii) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) ,→L p (Ω) l compact náu p ∈ [1,2 ∗ α ).
Bờ ã 1.2.6 GiÊ sỷ rơng Ω l miãn khổng bà ch°n trản R N , N ≥ 2, v σ thọa mÂn iãu kiằn (H α,β ∞ ) Khi õ:
(i) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) ,→L p (Ω) l liản tửc vợi mồi p ∈ [2 ∗ β ,2 ∗ α ];
(ii) Ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) ,→L p (Ω) l compact náu p ∈ (2 ∗ β ,2 ∗ α ).
Ta ành nghắa khổng gian Sobolev cõ trồng D 0 2 (Ω, σ) l bao õng cừa khổng gian C 0 ∞ (Ω) vợi chuân kuk D 2
2. õ l mởt khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng tữỡng ựng l
Ω div(σ(x)Ou)div(σ(x)Ov)dx.
Kát quÊ sau suy ra trỹc tiáp tứ ành nghắa cừa khổng gianD 0 1 (Ω, σ), D 2 0 (Ω, σ) v ph²p nhúng D 1 0 (Ω, σ) ,→ L 2 (Ω) khi σ thọa mÂn (H α ).
Mằnh ã 1.2.7 GiÊ sỷ Ω l mởt miãn bà ch°n trong R N (N ≥ 2), v σ thọa mÂn (H α ) Khi õ ph²p nhúng D 0 2 (Ω, σ) ,→ D 0 1 (Ω, σ) l liản tửc.
Chựng minh Vợi bĐt kẳ h m u ∈ C 0 ∞ (Ω), ta cõ
0 (Ω,σ) , ð õ C ởc lêp vợi u, vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Têp hút to n cửc
Mởt số khĂi niằm
GiÊ sỷ X l mởt khổng gian Banach, ta cõ cĂc ành nghắa sau: ành nghắa 1.3.1 Mởt nỷa nhõm ( liản tửc) trản X l mởt hồ cĂc Ănh xÔ S(t) : X → X, t ≥0, thọa mÂn
(iii) S(t)u 0 liản tửc ối vợi (t, u 0 ) ∈ [0; +∞)ìX. ành nghắa 1.3.2 Quÿ Ôo cừaS(t)trảnI ⊂ Rl mởt Ănh xÔu : I → X thọa mÂn: u(t+ s) =S(t).u(s), vợi mồi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t+s ∈ I.
Náu I = R v u o = z ∈ X, thẳ u gồi l quÿ Ôo Ưy ừ xuyản qua z v kẵ hiằu l γ(z).
Quÿ Ôo Ưy ừ γ = {u(t) sao cho t ∈ R} gồi l quÿ Ôo tuƯn ho n náu τ > 0 sao cho: u(t+τ) = u(t), vợi mồi t ∈ R
PhƯn tỷ u 0 ∈ X gồi l iºm cố ành( iºm dứng, iºm cƠn bơng) cừa hằ ởng lỹc (X, S(t)) náu:
S(t)u 0 =u 0 , vợi mồi t ≥0. ành nghắa 1.3.3 CĂc khĂi niằm bĐt bián:
(i) Têp Y ⊂X ữủc gồi l bĐt bián dữỡng náu S(t)Y ⊂ Y,∀t ≥ 0. (ii) Têp Y ⊂ X ữủc gồi l bĐt bián Ơm náu S(t)Y ⊃Y,∀t ≥0.
(iii) Têp Y ⊂ X ữủc gồi l bĐt bián náu S(t)Y = Y,∀t≥ 0.
Ta giới thiệu các khái niệm và tánh tiêu hao của nỷa nhõm Hằng lượng (X, S(t)) gọi là tiêu hao iºm (tưởng tượng tiêu hao bà chọn) nếu tồn tại một tập bà chọn B 0 ⊂ X hút các iºm (tưởng tượng hút các tập bà chọn) của X.
Náu hằ ởng lỹc (X, S(t)) l tiảu hao bà ch°n thẳ tỗn tÔi mởt têp
B 0 là một tập con của X, sao cho với mọi têp bà ch°n B ⊂ X, tồn tại T = T(B) ≥ 0, để S(t)B ⊂ B 0 với mọi t ≥ T Tập B 0 như vậy gọi là tập hĐp thử ối với hệ thống lực (X, S(t)) Định nghĩa 1.3.5 cho biết nhóm S(t) gọi là tiêu hao iºm (t.ữ., tiêu hao bà ch°n) nếu tồn tại một tập bà ch°n B 0 ⊂ X hút các iºm (t.ữ., hút các têp bà ch°n) của X.
NáuS(t) tiểu hao bà chọn tồn tại một tập B₀ ⊂ X sao cho với mọi tập B ⊂ X, tồn tại T = T(B) ≥ 0 để S(t)B ⊂ B₀ với mọi t ≥ T Tập B₀ như vậy gọi là một tập hợp hấp dẫn đối với nhóm S(t).
Dạ dày mở ra nhiều nhóm tiêu hao và chọn thẳng tiêu hao im Các ngữ ngữc lôi nổi chung không ứng, những nhóm nổi bật trong không gian hữu hôn chia sẻ.
Bối cảnh của bài viết đề cập đến khái niệm không gian compact trong toán học, cụ thể là không gian Banach Đặc biệt, nhóm S(t) được coi là compact trong không gian Banach khi tồn tại một mối quan hệ với các giá trị t > 0, cho phép S(t) được biểu diễn dưới dạng dữ liệu cụ thể.
S(t) =S (1) (t) +S (2) (t), (1.2) ð õ S (1) (t) v S (2) (t) thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B ⊂ X r B (t) = sup y∈B
(ii) vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B trong X tỗn tÔi t 0 sao cho têp hủp
S (2) (t)B] (1.3) l compact trong X,ð Ơy [γ] l bao õng cừa têp γ.
Mởt hằ ng lỹc gồi l compact có thể được xác định thông qua biểu diễn S (1) (t) ≡ 0 Điều này cho thấy rằng hằng số lỹc tiảu hao hỳu hÔn chiãu n o cụng l compact.
Dạ d ng thĐy rơng iãu kiằn (1.3) ữủc thọa mÂn náu tỗn tÔi mởt têp compact K trong X sao cho vợi bĐt kẳ têp bà ch°n B ⊂ X, tỗn tÔi t 0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂K,∀t ≥t 0 (B) Nõi riảng, mởt hằ tiảu hao l compact náu nõ cõ mởt têp hĐp thử compact.
Bờ ã sau Ơy rĐt hỳu ẵch khi chựng minh tẵnh compact tiằm cên.
Bờ ã 1.3.7 Nỷa nhõm S(t) l compact tiằm cên náu tỗn tÔi mởt têp compact K sao cho t→+∞lim dist(S(t)B, K) = 0, vợi mồi têp B bà ch°n trong X.
Chựng minh Vẳ K l têp compact nản vợi mồi t > 0 v u ∈ X, tỗn tÔi ph¦n tû v := S (2) (t)u ∈ K sao cho dist(S(t)u, K) = ||S(t)u−S (2) (t)u||.
Do õ náu °t S (1) (t)u = S(t)u−S (2) (t)u, dạ thĐy sỹ phƠn tẵch (1.2) thọa mÂn tĐt cÊ cĂc yảu cƯu trong ành nghắa cừa tẵnh compact tiằm cên.
Náu X l mởt khổng gian Banach lỗi ãu v nỷa nhõm S(t) cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n B, thẳ ba iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng:
(i) Nỷa nhõm S(t) l compact tiằm cên;
(ii) Nỷa nhõm S(t) thuởc lợp AK, tực l vợi mồi dÂy bà ch°n {x k } trong X v mồi dÂy t k → ∞,{S(t k )x k } ∞ k=1 l compact tữỡng ối trong
(iii) Tỗn tÔi mởt têp compact K ⊂ X sao cho dist(S(t)B, K) → 0khi t→ ∞.
Têp hút to n cửc
Têp hút to n cửc là một công cụ quan trọng trong việc tối ưu hóa hiệu suất của hệ thống, giúp giảm thiểu hao tổn và nâng cao hiệu quả hoạt động Để mở rộng khả năng của têp hút, cần tạo ra một têp con khác rộng A, kết hợp với têp hút lớn hơn để tối ưu hóa quy trình Việc này không chỉ cải thiện hiệu suất mà còn góp phần vào việc duy trì sự ổn định của hệ thống.
(i) A l mởt têp õng v bà ch°n;
(ii) A l bĐt bián, tực l S(t)A= A vợi mồi t >0;
(iii) A hút mồi têp con bà ch°n B cừa X, tực l t→∞lim dist(S(t)B, A) = 0, ð â dist(E, F) = sup a∈E inf b∈F d(a, b) l nûa kho£ng c¡ch Hausdorff giỳa hai têp con E v F cừa X.
CĂc tẵnh chĐt sau Ơy cừa têp hút to n cửc l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành nghắa.
Mằnh ã 1.3.9 GiÊ sỷ S(t) cõ têp hút to n cửc A Khi õ:
(i) Náu B l mởt têp con bà ch°n bĐt bián cừa X thẳ B ⊂ A (tẵnh cỹc ¤i) ;
(ii) Náu B l mởt têp con õng hút cĂc têp bà ch°n cừa X thẳ A ⊂ B (tẵnh cỹc tiºu) ;
Kát quÊ sau Ơy nõi vã cĐu trúc cừa têp hút to n cửc. ành lþ 1.3.10 [13]
Giá sỉ nhóm S(t) có thể thu hút tối đa cử động A Khi ẩm mồi quỳ Ôo Ưy và chọn (nơi riêng lẻ các điểm dừng và các quỳ Ôo tuần hoàn, nếu có) đã nâng trản A Hơn nữa, nếu S(t) lớn ảnh trản A thì A là hợp của tất cả các quỳ ¤o ấy và chọn.
Các kát quÊ dữợi Ơy chỉ ra rằng các hằng lực "trản têp hút to n cửc" sẽ quyết định các dạng hình thành cơn bão Ôo riảng l´, nghĩa là sau một khoảng thời gian dài, bắt đầu xuất hiện một cơn bão Ôo n có cường độ tương tự như một cơn bão Ôo n đã trản têp hút trong một khoảng thời gian dài Giới thiệu hằng lực (X, S(t)) có têp hút to n cửc.
A Cho trữợc mởt quÿ Ôo u(t) = S(t)u 0 , mởt sai số > 0 v mởt khoÊng thới gian T > 0 Khi õ tỗn tÔi mởt thới iºm τ = τ(, T) v mởt iºm v 0 ∈ A sao cho
Đối với mọi t trong khoảng thời gian từ 0 đến T, ta có bất đẳng thức ||u(τ + t) - S(t)v₀|| ≤ v₀ Để đảm bảo rằng u(t) tồn tại trong khoảng thời gian d i hỡn, cần phải sử dụng mồi quÿ Ôo trản têp hút toàn cục A Mối quan hệ này thể hiện sự liên kết trực tiếp giữa các biến trong hệ thống, như đã nêu trong tài liệu 1.3.11.
Cho trữợc mởt quÿ Ôo u(t), tỗn tÔi mởt dÂy cĂc sai số { n } ∞ n=1 vợi n → 0, mởt dÂy tông cĂc thới iºm {t n } ∞ n=1 vợi t n+1 −t n → ∞ khi n → ∞, v mởt dÂy cĂc iºm {v n } ∞ n=1 vợi v n ∈ A sao cho
||u(t)−S(t−t n )v n || ≤ n vợi mồi t n ≤ t≤ t n+1 Hỡn nỳa, bữợc nhÊy ||v n+1 −S(t n+1 −t n )v n || dƯn tợi 0 khi n→ ∞.
Sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc
Kát quÊ sau Ơy l ành lẵ cỡ bÊn vã sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc. ành lþ 1.3.13 [14].
GiÊ sỷ S(t) l nỷa nhõm liản tửc trản khổng gian Banach X GiÊ sỷ
Tập hợp S(t) là một tập compact trong không gian X Nếu B là một tập hợp thử nghiệm và A = ω(B) là một tập hợp compact khác, thì A sẽ chứa S(t) và là tập hút tối cục bộ đối với S(t) Hơn nữa, tập hút tối cục bộ A là liên thông trong không gian X.
Hằ quÊ sau Ơy thữớng ữủc dũng º chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic trong miãn bà ch°n ð chữỡng sau.
Náu nỷa nhõm S(t) l tiảu hao v B l mởt têp hĐp thử compact thẳ
S(t) cõ mởt têp hút to n cửc compact liản thổng A= ω(B).
Bầu trời là một yếu tố quan trọng trong việc tạo ra sự hấp dẫn cho môi trường sống, ảnh hưởng đến tâm trạng và cảm xúc của con người Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng ánh sáng tự nhiên và sự hiện diện của bầu trời có thể cải thiện chất lượng cuộc sống, mang lại cảm giác thư giãn và hạnh phúc Việc hiểu rõ vai trò của bầu trời trong không gian sống giúp chúng ta tối ưu hóa thiết kế và quy hoạch đô thị, tạo ra những môi trường sống tích cực và thân thiện hơn.
Giá trị sỹ {S(t)} t≥0 là một nhánh nhóm trong L r (Ω) và giá trị sỹ rỗng {S(t)} t≥0 có một tập hợp thử và chọn trong L r (Ω) Khi có một kỷ số lớn hơn 0 và một kỷ số tập con và chọn B ⊂ L r (Ω), tồn tại hai hướng số dữ dương T = T(B) và
M = M() sao cho mes(Ω(|S(t)u 0 | ≥M)) ≤ , vợi mồi u 0 ∈ B v t≥ T, trong õ mes(e) kẵ hiằu ở o Lebesgue cừa e ⊂ Ω v Ω(|S(t)u 0 | ≥ M) := {x ∈ Ω||(S(t)u 0 )(x)| ≥ M}. ành nghắa 1.3.16 [15].
GiÊ sỷX l mởt khổng gian Banach Nỷa nhõm{S(t)} t≥0 trản X ữủc gồi l liản tửc mÔnh - yáu trản X náu: vợi bĐt kẳ {x n } ∞ n=1 ⊂X, x n →x, t n ≥0, t n →t ta câ
Kát quÊ sau dũng º chựng minh mởt nỷa nhõm l liản tửc mÔnh - yáu.
Giới sỉ X, Y là hai không gian Banach và X∗, Y∗ là các không gian đối ngẫu tương ứng Chúng ta cũng giới thiệu rằng X là một không gian con của Y, với phép chiếu i: X → Y là là phép chiếu và phép chiếu ngẫu nhiên i∗: Y∗ → X∗ là phép chiếu trừu tượng Giới sỉ {S(t)} t≥0 là một nhánh nhóm trên X và Y tương ứng, và giới thiệu S(t) là phép chiếu hoặc phép chiếu yếu trên Y Khi {S(t)} t≥0 là phép chiếu mạnh yếu trên X, nếu {S(t)} t≥0 biến thành tập con compact của X trong R+, thì nó sẽ là một tập con bão hòa của X.
Nỷa nhõm {S(t)} t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) trong không gian X nếu tồn tại một hàm số đo lường t B và một không gian con hầu hết chứa X, sao cho tập {P S(t)x|x ∈ B, t ≥ t B} là chọn v.
|(I −P)S(t)x| ≤ vợi bĐt kẳ t≥ t B v x ∈ B, trong õ P : X → X 1 l ph²p chiáu chẵnh tưc.
Các ảnh lẵ sau thể hiện sự dũng cảm và chứng minh tính chân thực của tiếp hút to n cực, thực sự chứng minh sức mạnh tồn tại của tiếp hút to n cực trong các không gian "trở nên" không gian chứa đựng kiền ban Ưu.
Giá sỉ {S(t)} t≥0 là một nhánh nhỏ trong không gian L q (Ω), với các không gian liên tục hoặc liên tục yếu trong L r (Ω) với r ≤ q Khi {S(t)} t≥0 có tập hút lớn trong L q (Ω), thì nó cũng sẽ có tập hút lớn trong L r (Ω).
(i) {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n trong L q (Ω);
(ii) vợi bĐt kẳ >0 v bĐt kẳ mởt têp con bà ch°n B cừa L q (Ω), tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng M = M(, B) v T = T(, B) sao cho
|S(t)u 0 | q < , (1.4) vợi bĐt kẳ u 0 ∈ B v t ≥ T. ành lþ 1.3.20 [15].
GiÊ sỷ X l khổng gian Banach v {S(t)} t≥0 l mởt nỷa nhõm liản tửc mÔnh - yáu trản X Khi õ {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hút to n cửc trong
X náu cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn:
(i) {S(t)} t≥0 cõ mởt têp hĐp thử bà ch°n trong X,
(ii) {S(t)} t≥0 thọa mÂn iãu kiằn (C) trong X.
Têp hút ãu
Têp hút ãu cừa quĂ trẳnh ỡn trà
ành nghắa 1.4.1 GiÊ sỷ ε l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ.
(i) Mởt h m ϕ∈ L 2 loc (R;ε) ữủc gồi l bà ch°n tành tián náu
(ii) Mởt h m ϕ ∈ L 2 loc (R;ε) ữủc gồi l compact tành tián náu bao âng cõa {ϕ(.+h)|h ∈ R} l compact trong L 2 loc (R;ε).
(iii) Mởt h m ϕ ∈ L 2 loc (R;ε) ữủc gồi l chuân tưc tành tián náu vợi bĐt kẳ > 0, tỗn tÔi η > 0 sao cho sup t∈ R
Kẵ hiằu L 2 b (R;ε), L 2 c (R;ε), L 2 n (R;ε) tữỡng ựng l têp tĐt cÊ cĂc h m bà ch°n tành tián, compact tành tián v chuân tưc tành tián trong L 2 loc (R;ε).
Gồi H ω (g) l bao õng cừa têp {g( + h)|h ∈ R} trong L 2 b (R;L 2 (Ω)) vợi tổpổ yáu Kát quÊ sau ữủc chựng minh trong [8].
≤ ||g|| 2 L 2 b ; (ii) Nhõm chuyºn dàch {T(h)} l liản tửc yáu trản H ω (g) ;
Tài liệu này trình bày về việc nghiên cứu sự tương tác giữa tấm hút ẩm trong không gian kép và quá trình liến kết, đồng thời áp dụng các phương pháp hiện đại để phân tích tính chất của tấm hút ẩm trong môi trường cụ thể.
Giới thiệu về hai không gian Banach X và Y, trong đó Y nhúng liên tục vào X Hồ {U σ (t, τ)|t ≥ τ, τ ∈ R}, với σ ∈ Σ, được gọi là hồ các quá trình trong X Nếu mỗi σ ∈ Σ, thì {U σ (t, τ)|t ≥ τ, τ ∈ R} là một quá trình, nghĩa là nó là một hồ các ảnh xô thuộc hai tham số từ X vào Y.
Trong không gian biểu trưng, U σ (τ, τ) = Id thể hiện mối quan hệ giữa các tập con của X Định nghĩa B(X) là tập hợp tất cả các tập con của X Một tập B₀ ∈ B(Y) được gọi là tập (X, Y) - hút nếu tồn tại t₀ = t₀(τ, B) ≥ τ sao cho ∪ σ∈Σ U σ (t, τ)B ⊂ B₀ với mọi t ≥ t₀ Tập P ⊂ Y được gọi là tập (X, Y) - hút nếu với mọi τ ∈ R và B ∈ B(X), lim t→+∞ sup σ∈Σ dist Y (U σ (t, τ)B, P) = 0 Tập A Σ ⊂ Y được định nghĩa là tập (X, Y) - hút nếu nó là tập con của M, trong đó M cũng là tập (X, Y) - hút của các quỹ trình {U σ (t, τ)} σ ∈ Σ.
GiÊ sỷ {Uσ(t, τ)} σ∈Σ l hồ cĂc quĂ trẳnh trản X thoÊ mÂn:
(i) U σ (t+h, τ+h) = U T (h)σ (t, τ), trong õ {T(h)|h ≥ 0} l mởt hồ cĂc toĂn tỷ trản Σ v thọa mÂn T(h)Σ = Σ vợi mồi h ∈ R + ;
(ii) Σ l têp compact yáu v {U σ (t, τ)} σ∈Σ l (XìΣ, Y) - liản tửc yáu, nghắa l , vợi mồi t ≥ τ cho trữợc, τ ∈ R, Ănh xÔ (u, τ) 7→ U σ (t, τ)u l liản tửc yáu tứ X ìΣ v o Y ;
(iii) {U σ (t, τ)} σ∈Σ l (X, Y) - compact tiằm cên ãu, nghắa l , nõ cõ mởt têp cõ tẵnh chĐt (X, Y) - hút ãu v compact.
Khi õ hồ {U σ (t, τ)} σ ∈ Σ cõ mởt têp (X, Y) - hút ãu A Σ compact trong Y v hút mồi têp bà ch°n trong X theo tổpổ trong Y Hỡn nỳa
A Σ = ω τ,Σ (B 0 ) = ∩ t≥τ ∪ σ∈Σ ∪ s≥t U σ (s, τ)B 0 ,trong õ B 0 l têp (X, Y) - hĐp thử bà ch°n cừa {U σ (t, τ)} σ∈Σ
Têp hút ãu cừa nỷa quĂ trẳnh a trà
Kẵ hiằu R d = {(t, τ) : τ ≤ t} GiÊ sỷ X l khổng gian metric Ưy, P(X) l têp tĐt cÊ cĂc têp con khổng rộng cừa khổng gian X, v gồi Σ l khổng gian metric compact Ành nghắa 1.4.6 Nh xÔ U : R d ìX → P(X) ữủc gồi l nỷa quĂ trẳnh a trà (MSP) náu.
(i) U(τ, τ, ) = Id (Ănh xÔ ỗng nhĐt) ;
Nõ ữủc gồi l nỷa quĂ trẳnh a trà ng°t náuU(t, τ, x) = U(t, s, U(s, τ, x)).
Ta x²t hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ v ành nghắa Ănh xÔ
UΣ :R d×X →P(X) được định nghĩa bởi UΣ(t, τ, x) = ∪ σ∈Σ Uσ(t, τ, x) Đối với B ⊂ X, ta có γ T,σ τ (B) = ∪ t≥T U σ (t, τ, B) Tập hợp {U σ } σ∈Σ được gọi là nửa compact trong không gian X với mọi B ∈ B(X) và τ ∈ R, sao cho với mỗi T = T(B) > τ, γ T,Σ τ (B) = ∪ σ∈Σ γ T,σ τ (B) ∈ B(X) Ngoài ra, {ξ n }, ξ n ∈ U σ n (t n , τ, B), σ n ∈ Σ, t n → +∞ là một chuỗi compact trong X Tập hợp {U σ } σ∈Σ được gọi là tiêu hao nếu tồn tại B 0 ∈ B(X) sao cho với mỗi x ∈ X, dist(U Σ (t,0, x), B 0 ) → 0 khi t → ∞ Cuối cùng, X và Y là hai không gian metric.
F : X → Y ữủc gồi l ω - nỷa liản tửc trản (ω −u.s.c.) tÔi x 0 náu vợi bĐt kẳ > 0 tỗn tÔi δ > 0 sao cho
F l ω −u.s.c náu nõ l ω −u.s.c vợi x ∈ D(F) ={y ∈ X : F(x) 6= ∅}. ành nghắa 1.4.10 Mởt têp A ữủc gồi l têp hút to n cửc ãu ối vợi hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ náu:
(i) A l nỷa bĐt bián Ơm, tực l , A⊂ U Σ (t,0, A) ;
(ii).Acõ tẵnh chĐt hút ãu, tực l ,dist(U Σ (t, τ, B), A) → 0, khit → ∞, vợi mồi B ∈ B(X) v τ ∈ R ;
(iii) Vợi bĐt kẳ têp õng cõ tẵnh chĐt hút ãu Y, ta cõ A ⊂ Y (tẵnh tèi thiºu). ành lỵ 1.4.11 GiÊ sỷ F(R, Z) l khổng gian cĂc h m vợi giĂ trà trong
Z, trong õ Z l mởt khổng gian tổpổ, v Σ ⊂F(R, Z) l mởt khổng gian metric compact GiÊ sỷ rơng hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(i) Cõ mởt toĂn tỷ dàch chuyºn liản tửc T(s)σ(t) = σ(t + s), s ∈ R trản Σ sao cho T(h)Σ ⊂ Σ, v vợi bĐt kẳ (t, τ) ∈ R d , σ ∈ Σ, s ∈ R, x ∈ X, ta câ
(ii) {U σ } σ∈Σ l nỷa compact trản tiằm cên ãu ;
(iv) nh xÔ (x, σ) 7→ Uσ(t,0, x) cõ giĂ trà õng v l ω - nỷa liản tửc.
Khi õ hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ cõ têp hút to n cửc ãu compact A Hỡn nỳa, náu Σ l mởt khổng gian liản thổng, Ănh xÔ
(x, σ) 7→U σ (t,0, x) l nỷa liản tửc trản vợi giĂ trà liản thổng, v têp hút to n cửc ãu A ữủc chựa trong mởt têp con bà ch°n liản thổng cừa X, thẳ A l têp liản thổng.
Mởt số bĐt ¯ng thực thữớng dũng
Chúng ta nhưc lÔi mởt số bĐt ¯ng thực thữớng dũng:
Bờ ã 1.5.1 (BĐt ¯ng thực Holder)
GiÊ sỷ Ω l mởt miãn trong R N Náu p v p 0 l hai số liản hủp, tực l p, p 0 > 1 v 1 p + 1 p 0 = 1, thẳ f g ∈ L 1 (Ω) vợi mồi f ∈ L p (Ω), g ∈ L p 0 (Ω) v
Bờ ã 1.5.2 ( BĐt ¯ng thực Young)
Cho a, b > 0 , p v p 0 l hai số liản hủp Khi õ: ab ≤ a p p + b p 0 p 0 °c biằt, náu p= p 0 = 2 thẳ ta cõ bĐt ¯ng thực Cauchy.
Bờ ã 1.5.3 [13] ( BĐt ¯ng thực Gronwall)
GiÊ sỷ x(t) l mởt h m liản tửc tuyằt ối trản [0;T] v thọa mÂn dx dt ≤g(t)x+h(t), vợi hƯu khưpt, trong õ g(t) v h(t) l cĂc h m khÊ tẵch trản [0;T] Khi õ x(t) ≤ x(0)e G(t) +
Nõi riảng, náu a v b l cĂc hơng số v dx dt ≤ ax+b, thẳ x(t) ≤ (x(0) + b a)e at − b a.
Bờ ã 1.5.4 [14] ( BĐt ¯ng thực Gronwall ãu)
Náu x, a, b l ba h m dữỡng thọa mÂn: dx dt ≤ ax+b, trong â Z t+r t x(s)ds ≤X,
Mởt số bờ ã quan trồng
Các bờ ã sau õng vai trỏ quan trọng khi chứng minh sự tồn tại của toán phi tuyến trong chữỡng sau Bờ ã ưu tiên là một trường hợp đặc biệt của Bờ ã compact Aubin - Lions.
GiÊ sỷ X ,→ H ,→ Y, trong õ X, Y, H l ba khổng gian Banach vợi
X l ph£n x¤ v ph²p nhóng X trong H l compact Gi£ sû {u n } l d¢y bà ch°n trong L 2 (0, T;X) v {du n dt } bà ch°n trong L p (0, T;Y), p > 1 Khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con cừa {u n } hởi tử mÔnh trong L 2 (0, T;H).
GiÊ sỷ O l têp mð bà ch°n trong R n v g j l dÂy trong L p (O) thọa m¢n:
Têp hút ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm
Trong chương 2, chúng tôi trình bày một lớp bài toán parabolic suy biến tĩnh trong trường hợp khổng ổn định, với sự tác động của lực g phụ thuộc vào biến thời gian và không gian Nội dung này sẽ được phân tích và chọn lọc một cách chi tiết.
Ω ⊂ R^N, với N ≥ 2 Chỉ số tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán, tồn tại nghiệm tiếp hút vào không gian L^2 (Ω) Ngoài ra, trong trường hợp tuyến tính và duy nhất, chỉ số tồn tại nghiệm của bài toán được xác định Nội dung của Chương 2 được trình bày trong các tài liệu [2].
Ta nghiên cứu bài toán parabolic suy biến tại miền ổn định trong không gian Ω ⊂ R^N, với N ≥ 2 Chúng ta sẽ phân tích sự tồn tại của nghiệm cho bài toán này, đồng thời xem xét sự tồn tại nghiệm trong không gian L^2(Ω).
GiÊ sỷ Ω l miãn bà ch°n, Ω ⊂ R N vợi N ≥ 2, x²t b i toĂn
(2.1) trong õ p ≥ 2 v u τ ∈ L 2 (Ω) cho trữợc v hằ số ρ, số hÔng phi tuyán f v ngoÔi lỹc g thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(H1) H m ρ : Ω →R o ữủc, khổng Ơm thọa mÂn ρ ∈ L 1 loc (Ω) v vợi mồi α ∈ (0,2),lim x→z inf|x−z| −α ρ(x) > 0 vợi mội z ∈ Ω ;
(H2) f : R →R l mởt h m liản tửc thọa mÂn
|f(u)| ≤C 1 |u| q−1 + C 2 , (2.2) uf(u) ≥C 3 |u| q −C 4 , (2.3) vợi q ≥ 2 n o õ, trong õ Ci l cĂc hơng số dữỡng;
(H3) g ∈ L 2 b (R;L 2 (Ω)), trong õ L 2 b (R;L 2 (Ω)) l têp tĐt cÊ cĂc h m bà ch°n tành tián trong L 2 loc (R;L 2 (Ω)) Ta ành nghắa khổng gian V l tĐt cÊ cĂc h m ω ∈ L p (Ω) thọa mÂn ω| ∂Ω = 0 v ∂
2 u)] 2 Dạ thĐy rơng náu u ∈ L p (Ω) v ξ ∈ V, thẳ a(u, ξ) xĂc ành.
Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu
V ∗ = L 2 (0, T;H −1 (Ω)) +L p 0 (Ω T ). ð õ p 0 l số mụ liản hủp cừa p, tực l 1 p + 1 p 0 = 1. ành nghắa 2.2.1 H m u(x, t) ữủc gồi l nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1) trản khoÊng (τ, T) náu u ∈ L p (τ, T;V)∩L q (Q τ,T ), Q τ,T = (τ, T)×Ω, du dt ∈ L p 0 (τ, T;V ∗ ) +L q 0 (Qτ,T), u| t=τ = u τ h¦u kh p nìi trong Ω. v
(g(t), ϕ)dt, vợi mồi h m thỷ ϕ∈ L p (τ, T;V)∩L q (Q τ,T ). ành lỵ 2.2.2 Náu iãu kiằn (H 1 )−(H 3 ) thọa mÂn vợi τ, T ∈ R, T > τ bĐt kẳ cho trữợc thẳ B i toĂn (2.1) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm yáu trản khoÊng (τ, T).
Chứng minh rằng sự tồn tại của các yếu tố ổn định trong môi trường là cần thiết để đảm bảo sự phát triển bền vững Chúng ta cần chỉ ra rằng các yếu tố này không chỉ ảnh hưởng đến sự tồn tại của hệ sinh thái mà còn tác động đến toàn bộ hệ thống tự nhiên Việc nghiên cứu và chứng minh các yếu tố ổn định này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các thành phần trong môi trường.
Sỷ dửng giÊ thiát (2.2) v bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ
(2.6) Vẳ Ω l miãn bà ch°n kát hủp vợi Bờ ã 1.5.1 vã bĐt ¯ng thực Holder v Bờ ã 1.5.2 vã bĐt ¯ng thực Young ta cõ tỗn tÔi C 5 > 0 sao cho
2||g(t)|| 2 L 2 (Ω) ≤C(1 +||g(t)|| 2 L 2 (Ω)). p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, ta ữủc
1−e −1 ||g|| 2 L 2 b,Vêy u l nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1)
Sỹ tỗn tÔi têp hút ãu trong L 2 (Ω)
Khi hiểu D τ,σ (u τ) là tập hợp các nghiêm yếu tố cần thiết (tức là các nghiêm yếu xác định với mọi t ≥ τ) của B toán (2.1) với ngôi lực g σ thay cho g với điều kiện ban đầu Ưu u(τ) = u τ Đặt Σ = H ω (g), ràng buộc T(s)Σ = Σ, trong đó T(s)σ = σ(.+s), s ∈ R và ảnh xô n y liễn tửc Với mỗi σ = g σ ∈ Σ ta định nghĩa ảnh xô.
Bờ ã 2.3.1 U σ (t, τ, u τ ) l mởt nỷa quĂ trẳnh a trà ng°t Hỡn nỳa,
Chựng minh Cho trữợc z ∈ U σ (t, τ, u τ ) ta cƯn chựng minh z ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ )) L§y y(.) ∈ D τ,σ (U τ ) sao cho y(τ) = u τ v y(t) = z Ró r ng,y(s) ∈ U σ (s, τ, u τ ) Khi õ náu ta ành nghắaz(t) = y(t) vợi t ≥ s ta cõ z(s) = y(s) v hiºn nhiản l z(.) ∈ D s,σ (y(s)) Tứ õ ta ữủc z(t) ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ )).
Ngữủc lÔi, náu giÊ sỷz ∈ U σ (t, s, U σ (s, τ, u τ ))thẳ tỗn tÔiy ∈ U σ (s, τ, u τ ), vợi τ ≤ s ≤ t sao cho z ∈ U σ (t, s, y) Do õ, tỗn tÔi u(.) ∈ D τ,σ (u τ ) v v(.) ∈ D s,σ (y) sao cho y = u(s) v z = v(t) V ta cõ v(s) = y, s ≥ τ Vẳ vêy, v(s) =u(s),∀s ≥τ Khi õ v(.) ∈ D τ,σ (u τ ).
GiÊ sỷ z ∈ U σ (t+ s, τ + s, u τ ) Khi õ tỗn tÔi u(.) ∈ D τ+s,σ (u τ ) sao cho z = u(t+s) v v(.) =u(.+s) ∈ D τ,T (s)σ (u τ ), sao cho z = v(t) ∈ D τ,T (s)σ (uτ).
Ngữủc lÔi, náu z ∈ U τ,T (s)σ (u τ ), khi õ cõ z ∈ D T (s)σ (t, τ, u τ ) sao cho z = u(t) v v(.) =u(−s+.) ∈ D τ+s,σ (u τ ) sao cho z = v(t+s) ∈ U σ (t+ s, τ +s, u τ ).
Bờ ã 2.3.2 GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn v cho trữợc {u n } ⊂ D τ,σ n (η) là một dÂy tũy ỵ nghiằm cừa B i toĂn (2.1) với u n (τ) → η yáu trong L 2 (Ω), σ n → σ trong Σ Khi õ vợi bĐt kẳ T > τ và t n → t 0, t n , t 0 ∈ (τ, T], tồn tÔi mởt dÂy con u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω), trong õ u(.) ∈ D τ,σ (η) là một nghiằm yáu cừa B i toĂn (2.1) thọa mÂn u(τ) = η.
Sỷ dửng giÊ thiát (2.2) v bĐt ¯ng thực Cauchy, ta ữủc
Do â theo b§t ¯ng thùc Gronwall suy ra{u n }bà ch°n trongL ∞ (τ, T;L 2 (Ω)). LĐy tẵch phƠn (2.8) trản [τ, T], ta cõ
Z T τ a(un(t), un(t))dtl bà ch°n (2.10)
Tứ (2.9) suy ra {f(un)} bà ch°n trong L q 0 (Qτ,T).
M°t kh¡c du n dt = a(un, )−f(un) +g v ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau
|hg, vi| ≤ ||g|| L q 0 (Q τ,T )||v|| L q (Q τ,T ) , vợi mồi v ∈ L p (τ, T;V)∩L q (Qτ,T), khi õ{du n dt }bà ch°n trong khổng gian
L p 0 (τ, T;V ∗ ) + L q 0 (Qτ,T) Kát hủp iãu n y vợi (2.10) v sỷ dửng Mằnh ã 2.4 trong [2] ta thu ữủc {u n } l tiãn compact trong L p (Qτ,T) Do õ, un →u trong L p (Qτ,T), khi â u ∈ L 2 (τ, T;L 2 (Ω)).
BƠy giớ ta x²t t n → t 0 , vợi t n , t 0 ∈ (τ, T] Ta s³ chựng minh u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω).
Vẳ un(tn) * u(t0) trong L 2 (Ω), nản n→∞lim inf||u n (t n )|| L 2 (Ω) ≥ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω) Náu ta chựng minh ữủclim sup n→∞ ||u n (tn)|| L 2 (Ω) ≤ lim inf n→∞ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω) thẳ u n (t n ) → u(t 0 ) trong L 2 (Ω).
(g σ (v), u n (v))dv, vợi mồi t ≤ s, t, s ∈ [τ, T], trong õ σ = g σ v hơng số K > 0 khổng phử thuởc v o n Do õ, h m
(g σ (v), u n (v))dv, l liản tửc v khổng tông trản [τ, T] Hỡn nỳa, vẳ u n (t) → u(t) trong
L 2 (Ω) h¦u kh p t ∈ (τ, T), u n → u trong L 2 (τ, T;L 2 (Ω)) v g σ n * g σ trong L 2 (τ, T;L 2 (Ω)), ta câ J n (t) → J(t) h¦u kh p t ∈ (τ, T).
Tiáp theo ta chựng minh lim sup n→∞ J n (t n ) ≤ J(t 0 ) Thêt vêy, °t τ < t m < t 0 sao cho J n (t m ) → J(t m ) khi n → ∞ GiÊ sỷ t m < t n Vẳ J n khổng tông, ta cõ
Vợi bĐt kẳ > 0 tỗn tÔi t m v n 0 (t m ) sao cho J n (t n ) ≤ , vợi mồi n ≥ n 0
Vẳ vêy, n→∞lim supJ n (t n ) = lim n→∞sup||u n (t)|| 2 L 2 (Ω) −Kt−2
Do â, lim n→∞ sup||u n (t n )|| L 2 (Ω) ≤ ||u(t 0 )|| L 2 (Ω) ành lỵ 2.3.3 [1] GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn Khi õ hồ nỷa quĂ trẳnh a trà {U σ } σ∈Σ cõ mởt têp hút to n cửc ãu compact
Chựng minh Tứ (2.7), ta cõ
R 2 +} l têp hĐp thử cừa Ănh xÔ (t, u) 7→U Σ (t,0, u), nghắa l vợi bĐt kẳ B ∈ B(L 2 (Ω)) tỗn tÔi
Ta ành nghắa têp K = U Σ (1,0, B 0 ) Tứ Bờ ã vã sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc trong L 2 (Ω), ta cõ K l compact.
Hỡn nỳa, vẳ B 0 l têp hĐp thử, ta cõ
Khi õ mồi dÂy{ξ n } ∈ U σ n (t n , τ, B 0 ), σ n ∈ Σ và t n → +∞, B ∈ B(L 2 (Σ)) là compact, ta có Ănh xÔ U σ cõ giĂ trà compact với mọi σ ∈ Σ Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng Ănh xÔ (σ, x) 7→ U σ (t, τ, x) là liên tục với mọi t ≥ τ ≥ 0 cố định Giả sử tồn tại u 0 ∈ L 2 (Ω), t ≥ τ ≥ 0, σ 0 ∈ Σ, > 0, δ n → 0, u n ∈ B δ n (u 0 ), σ n → σ 0 và v ξ n ∈ U σ n (t, τ, u n ) sao cho {ξ n } ∉ B (U σ 0 (t, τ, u 0 ) Theo Bờ, tồn tại một tập hợp hội tụ trong L 2 (Ω) dẫn đến ξ n → ξ ∈ U σ 0 (t, τ, u 0 ) (sai khác một dÂy con), điều này chứng minh tính chất liên tục của hệ thống Tồn tại tập hợp hội tụ compact kết hợp với ảnh liên tục dẫn đến sự hội tụ trong quá trình này.
Tẵnh trỡn cừa têp hút ãu trong trữớng hủp duy nhĐt nghiằm v p = 2
Têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hút ãu
Ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa mÂn iãu kiằn:
(H3 1 )g ∈ L 2 n (R;L 2 (Ω)), trong õ L 2 n (R;L 2 (Ω)) l têp cĂc h m chuân tưc tành tián trong L 2 loc (R;L 2 (Ω)).
Náu g ∈ L 2 n (R;L 2 (Ω)), thẳ vợi bĐt kẳ τ ∈ R, γ→+∞lim sup t≥τ
Z t τ e −γ(t−τ) ||ϕ|| 2 L 2 (Ω)ds = 0,vợi mồi ϕ∈ Σ. º ch¿ ra hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ)} σ∈Σ l (L 2 (Ω), L q (Ω)) - compact tiằm cên ãu, ta sỷ dửng kát quÊ sau.
Bờ ã 2.4.4 [6] Gồi {U σ (t, τ)} σ∈Σ l hồ cĂc quĂ trẳnh trản L 2 (Ω) v l (L 2 (Ω), L 2 (Ω))- compact tiằm cên ãu (ối vợiσ ∈ Σ) Khi õ{U σ (t, τ)} σ∈Σ l (L 2 (Ω), L q (Ω)) - compact tiằm cên ãu, 2≤ q < ∞,náu
1 {U σ (t, τ)} σ∈Σ cõ mởt têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hĐp thử ãu B 0 ;
2 Vợi bĐt kẳ >0, τ ∈ R v bĐt kẳ têp con bà ch°n B ⊂L 2 (Ω), tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng M = M(, B) v T = T(, B, τ), sao cho
B¥y gií ta chùng minh ành lỵ 2.4.5 [1] Vợi cĂc iãu kiằn (H1), (H2 1 ) v (H3 1 ), hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ)} σ∈Σ cõ mởt têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hút ãu A q , compact trong
L q (Ω) v hút mồi têp con cừa L 2 (Ω) trong tổpổ cừa L q (Ω) Hỡn nỳa
A q = ω τ,Σ (B 0 ), trong õ B0 l têp (L 2 (Ω), L q (Ω)) - hĐp thử ãu.
Chựng minh Theo Bờ ã 2.4.4 v ành lẵ 3.9 trong [7], ta ch¿ cƯn chựng minh: vợi mồi > 0, τ ∈ R v bĐt kẳ têp con bà ch°n B ⊂ L 2 (Ω), tỗn tÔi hai hơng số dữỡng T = T(B, , τ) v M = M(B, ), sao cho
2 (u−M) q + NhƠn phữỡng trẳnh (2.11) vợi |(u−M)+| q−1 v sỷ dửng bĐt ¯ng thực trản, ta thu ữủc
Ω 1 q 2C 1 |σ| 2 Theo Mằnh ã 2.4.2, tỗn tÔi ρ q > 0 v T B > τ sao cho
L°p lÔi cĂc bữợc trản, lĐy|(u+M)−| q−2 (u+M)−thay cho|(u−M)+| q−1 , tỗn tÔi M2 v T2 sao cho
Têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ) ∩ L q (Ω)) - hút ãu
º chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ)∩L q (Ω)) - hút ãu, ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc g thọa mÂn iãu kiằn mÔnh hỡn sau:
Trữợc tiản, ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 2.4.6 Dữợi cĂc iãu kiằn (H1), (H2 1 ) v (H3 2 ),vợi mồi têp con bà ch°n B ⊂ L 2 (Ω) v τ ∈ R, tỗn tÔi hơng số dữỡng T = T(B, τ) ≥τ sao cho
||d dt(U σ (t, τ)u τ )| t=s || 2 L 2 (Ω) ≤ C vợi bĐt kẳ u τ ∈ B, s ≥ T, σ ∈ Σ, trong õ C ởc lêp vợi B v σ.
Chựng minh °t u(t) = Uσ(t, τ)uτ sau õ lĐy Ôo h m (2.11) vợi ngoÔi lỹc σ(t) theo thới gian t v °t v = ut, ta ữủc
||u t || 2 L 2 (Ω) ≤C, vợi t ừ lợn. p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall ãu, ta ữủc
|u t | 2 dx ≤ C,khi t ừ lợn, trong õ C ởc lêp vợi B v σ. ành lỵ 2.4.7 [1] Vợi cĂc iãu kiằn (H1), (H2 1 ) v (H3 2 ), hồ cĂc quĂ trẳnh {U σ (t, τ)} σ∈Σ sinh bði b i toĂn (2.11) cõ mởt têp (L 2 (Ω), D 1 0 (Ω, ρ)∩
L q (Ω)) - hút ãu A, compact trong D 0 1 (Ω, ρ)∩L q (Ω) v hút mồi têp con bà ch°n cừa L 2 (Ω) theo tổpổ cừa D 1 0 (Ω, ρ)∩L q (Ω) Hỡn nỳa,
A= ω τ,Σ (B 0 ), trong õ B 0 l mởt têp (L 2 (Ω), D 0 1 (Ω, ρ)∩L q (Ω)) - hĐp thử ãu.
Để chứng minh rằng B 0 l têp trong không gian D 0 1 (Ω, ρ)∩L q (Ω), ta cần chỉ ra rằng tập hợp {U σ n (t n , τ n )u τ n } là tiểu compact Theo định lý (2.4.5), điều này có thể được thực hiện bằng cách chứng minh rằng {U σ n (t n , τ n )u τ n } là dãy Cauchy trong D 0 1 (Ω, ρ) Đồng thời, chúng ta cũng cần chứng minh rằng {U σ n (t n , τ n )u τ n } là dãy Cauchy trong L 2 (Ω) Cuối cùng, nếu hiểu rằng u n (t n ) = U σ n (t n , τ n )u τ n, ta sẽ có được kết quả mong muốn.
+||σ n (t n )−σ m (t m )|| L 2 (Ω) ||u n (t n )−u m (t m )|| L 2 (Ω) Theo Bờ ã (2.4.6) , ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Kát luên cừa luên vôn
Trong luên vôn n y, chúng tổi  trẳnh b y mởt số nởi dung chẵnh sau ¥y:
1 Trẳnh b y mởt số kián thực vã khổng gian h m, têp hút to n cửc v sỹ tỗn tÔi têp hút to n cửc, số chiãu fractal cừa têp hút to n cửc, têp hút ãu trong quĂ trẳnh ỡn trà v têp hút ãu trong nỷa quĂ trẳnh a trà.
2 Ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu, sỹ tỗn tÔi têp hút ãu v mởt số kát quÊ vã têp hút ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm.
C.T Anh, N.D Binh, and L.T Thuy (2012) explore uniform global attractors for a specific class of non-autonomous degenerate parabolic equations in their invited paper published in the International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations, Volume 4, Issues 1/2, pages 35-55, as part of a special issue dedicated to degenerate and singular parabolic and elliptic equations.
[2] C.T.Anh, N.M.Chuong and T.D.Ke (2010),Global attractors for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equa- tion, J Math Anal Appl 363, 444-453
[3] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), Up- per semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559
[4] C T Anh and L T Thuy (2012), Global attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations onR N , Bull Pol Acad. Math Sci., accepted for publication.
[5] C.T Anh and N.V Quang (2011) , Uniform attractors for non- autonomous parabolic equation involving Grushin operator, ActaMath.Vietnm 36, no 1, 19-33.