Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian
Hệ điều khiển tuyến tính liên tục
Hệ điều khiển tuyến tính liên tục được mô tả bởi phương trình ˙x = A(t)x + B(t)u, với A ∈ KC d,d (J), B ∈ KC d,m (J) và u ∈ KC m,1 (J) là điều khiển Đối với mỗi cặp (t0, x0) ∈ J × R d, nghiệm của hệ (1.11) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 được ký hiệu là x(., t0, x0, u) Chúng tôi định nghĩa hệ (1.11) là điều khiển được đều trên J nếu tồn tại các hằng số K, α > 0 sao cho với mọi (t0, ξ) ∈ J × R d, luôn tồn tại một điều khiển u ∈ KC m,1 (J) thỏa mãn x(t0 + K, t0, 0, u) = ξ.
Hệ thống (1.11) có đặc trưng điều khiển được đều trên J nếu và chỉ nếu tồn tại các hằng số dương ρ và ϑ, đảm bảo rằng ma trận điều khiển thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Z t 0 Φ A (t 0 , s)B(s)B T (s)Φ T A (t 0 , s)ds, của (1.11) trên [t 0 , t 0 +ϑ] thỏa mãn bất đẳng thức ξ T W(t 0 , t 0 +ϑ)ξ ≥ρ||ξ|| 2 , (1.12) với mọi t 0 ∈ J và ξ ∈ R d
Chứng minh Trong trường hợp J = R + (xem chứng minh trong [20]). Trong trường hợp J= R (xem chứng minh trong [25]).
Sau đây chúng tôi xét hệ điều khiển một chiều và chỉ ra điều kiện cần và đủ để hệ này là điều khiển được đều.
Hệ điều khiển tuyến tính một chiều được mô tả bởi phương trình ˙ x(t) = a(t)x + b(t)u(t) là điều khiển được đều nếu và chỉ nếu tồn tại các hằng số ρ > b 0 và ϑ > 0 Điều này có nghĩa là các điều kiện cần thiết cho tính điều khiển được đều của hệ thống này phụ thuộc vào các hàm a và b thuộc lớp KC 1,1 trên R+.
Chứng minh Ma trận điều khiển của hệ (1.13) được cho bởi công thức
Sử dụng Định lý 1.17, hệ (1.13) là điều khiển được đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương ρ và ϑ sao cho W (t 0 , t 0 +ϑ) ≥ ρ với mọi t 0 ∈ R + Đặt κ := sup t∈ R + |a(t)| Dẫn đến e 2κϑ
Do đó, (1.14) thỏa mãn với ρb:= ρ e 2κϑ Ta có điều phải chứng minh.
Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc
Xét hệ điều khiển tuyến tính rời rạc xn+1 = Anxn+ Bnun, (1.16) trong đó A = (A n ) n∈
Z ∈ L Lya (Z,R s×d ) Đặt x(., k 0 , ξ, u) là nghiệm của hệ (1.16) với điều kiện ban đầu x(k 0 ) = ξ với ξ ∈ R d Nghiệm của (1.16) được cho bởi công thức x(n, k0, ξ, u) = ΦA(n, k0)ξ + n−1
X j=k 0 ΦA(n, j + 1)Bjuj, trong đó Φ A (n, k 0 ) là toán tử tiến hóa của hệ x n+1 = A n x n
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm điều khiển được đều và đặc trưng Kalman liên quan đến tính điều khiển được đều của hệ thống (1.16) Theo định nghĩa, hệ thống (1.16) được xem là điều khiển được đều nếu tồn tại một hằng số dương α và một số tự nhiên K, sao cho với mọi ξ ∈ R d và k 0 ∈ Z, luôn có một điều khiển u n, với n = k 0, k 0 +.
∥u n ∥ ≤ α∥ξ∥ với mọi n = k 0 , k 0 + 1, , k 0 +K −1. Định lý 1.20 (Đặc trưng Kalman) Đặt
Hệ (1.16) là điều khiển được đều nếu tồn tại một hằng số α > 0 và một số tự nhiên K sao cho
Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian
Vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển, đặc biệt với các hệ thống có hệ số không phụ thuộc thời gian Cụ thể, đối với hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t), với A ∈ R d×d, B ∈ R d×m và u ∈ KC m,1 (R) là điều khiển, khi áp dụng phản hồi tuyến tính u(t) = F x(t) với F ∈ R m×d, ta có thể chuyển đổi hệ thống thành dạng ˙ x(t) = (A + BF)x(t).
Bài toán gán phổ cho hệ (2.1) được phát biểu như sau: Nếu cho trước cặp ma trận (A, B) và đa thức
Tìm ma trận F ∈ R m×1 sao cho Q(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A + BF Điều kiện cần và đủ để giải bài toán này là cặp ma trận (A, B) phải có tính điều khiển Hiện nay, có nhiều phương pháp số để tìm nghiệm cho bài toán này.
Vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian là một thách thức lớn Gần đây, A Babiarz, I Banshchikova, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski và S Popova đã phát triển các kết quả liên quan đến gán phổ Lyapunov cho loại hệ thống này (xem [5], [27], [44]).
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc vào thời gian Những kết quả này đã được công bố trong các công trình nghiên cứu [CT2], [CT3], [CT4].
Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23
Đặt bài toán và kết quả
Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục ˙ x = A(t)x+B(t)u, t∈ J, (2.3) trong đó J = R ≥0 (thời gian một phía) hoặc J = R (thời gian hai phía),
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ thống điều khiển với A ∈ KC d,d (J), B ∈ KC d,m (J) và u ∈ KC m,1 (J) Đối với mỗi cặp (t0, x0) ∈ J× R d, nghiệm của hệ thống (2.3) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 được ký hiệu là x(., t0, x0, u) Khi hệ thống (2.3) có phản hồi tuyến tính F ∈ KC m,d (J), chúng ta có thể chuyển sang hệ thống mới được mô tả bởi phương trình ˙x = (A(t) + B(t)F(t))x, với t ∈ J.
Kí hiệu Σ J ED (A+BF) là phổ nhị phân mũ của hệ (2.4) (xem Định nghĩa 1.2).
Chúng tôi giới thiệu khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Theo định nghĩa 2.1, phổ nhị phân mũ Σ J ED (A+BF) được xem là gán được trên J nếu với mọi số tự nhiên 1 ≤ ℓ ≤ d và các đoạn đóng rời nhau [α1, β1], , [αℓ, βℓ] đã cho, tồn tại một phản hồi F thuộc KC m,d (J) sao cho Σ J ED (A+ BF) ℓ.
Câu hỏi nghiên cứu được đặt ra là:
Để hệ (2.3) tồn tại một phản hồi tuyến tính, cần đảm bảo rằng hệ tương ứng (2.4) có phổ nhị phân mũ trùng với tập phổ nhị phân mũ đã cho trước Điều này yêu cầu các điều kiện nhất định về cấu trúc và tính chất của hệ thống, nhằm đảm bảo sự đồng nhất giữa phổ của hệ và tập phổ mục tiêu.
Câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu được trình bày trong kết quả sau: Định lý 2.2 nêu rõ đặc trưng của tính gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Giả sử hệ (2.3) được xác định trên miền J, với J có thể là
Giả thiết B cho rằng J → R d×m là bị chặn và liên tục đều từng khúc Hệ (2.3) có khả năng gán được phổ nhị phân mũ trên J nếu và chỉ nếu (2.3) là điều khiển được đều trên J.
Chú ý 2.3 Ta nói B ∈ KC d,m (J) được gọi là liên tục đều từng khúc nếu
B thỏa mãn các điều kiện sau:
• Tồn tại ∆ 0 > 0sao cho độ dài của mỗi khoảng liên tục I j (j ∈ J ⊂ N) của B thỏa mãn |I j | ≥ ∆0.
• Với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho ∥B(t)−B(s)∥ ≤ ε với mỗi j ∈ J và với mọi t, s ∈ I j thỏa mãn |t−s| ≤ δ.
Một số kết quả chuẩn bị
Trong phần này, chúng tôi trình bày các chuẩn bị và kết quả liên quan đến phổ nhị phân mũ của một số hệ có cấu trúc đặc biệt Kết quả đầu tiên liên quan đến đặc trưng tính điều khiển được đều và tính ổn định hóa được: một hệ điều khiển tuyến tính được coi là điều khiển được đều nếu và chỉ nếu nó có khả năng ổn định hóa Để làm rõ kết quả này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về hệ điều khiển ổn định hóa được Cụ thể, một hệ được gọi là ổn định hóa được nếu với mọi α ∈ R +, tồn tại một phản hồi F thuộc KC m,d (J) và C thuộc R + sao cho điều kiện ổn định được thỏa mãn.
Định lý 2.5 chỉ ra rằng hệ thống (1.11) là điều khiển được đều trên khoảng J (có thể là R+ hoặc R) nếu và chỉ nếu hệ thống này là ổn định hóa được trên cùng khoảng J Cụ thể, mối quan hệ giữa điều khiển đều và ổn định hóa được thể hiện qua bất đẳng thức ||Φ A+BF (t2, t1)|| ≤ Ce −α(t2 −t1), với mọi t2, t1 thuộc J và t2 ≥ t1.
Chứng minh Trong trường hợp J = R + (xem chứng minh trên [19]). Trong trường hợp J= R (xem chứng minh trên [42]).
Chúng tôi chỉ ra rằng với một hệ tam giác trên có các hệ số đối xứng, phổ nhị phân mũ của hệ sẽ được biểu diễn như hợp tất cả phổ nhị phân mũ của các phương trình một chiều với hệ số là các phần tử trên đường chéo chính Tuy nhiên, điều này không đúng đối với bất kỳ hệ tam giác trên nào khác (xem Hệ quả 1.9).
Mệnh đề 2.6 đề cập đến phổ nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính có dạng tam giác trên Cụ thể, chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân tuyến tính trên R, được biểu diễn dưới dạng ˙x = U(t)x, với U thuộc KC d,d (R) Ma trận U(t) = (u_ij(t)) là ma trận tam giác trên cho mọi t ∈ R và thỏa mãn điều kiện u_ii(t) = u_ii(−t) đối với mọi t ∈ R.
Ta kí hiệu Σ R ED (U) là phổ nhị phân mũ của hệ (2.6) và Σ R ED (u ii ) là phổ nhị phân mũ của hệ ˙ x i = u ii (t)x i với i = 1,2, d.
Khi đó, ta có Σ R ED (U) d
Chứng minh rằng Σ R ED (u ii ) ⊂ Σ R ED + (uii)∪Σ R ED − (uii) với mọi i = 1,2, , d Để thực hiện điều này, ta cần xem xét trường hợp khi γ ̸∈ Σ R ED + (uii) Theo định nghĩa của nhị phân mũ, một trong các điều kiện sẽ xảy ra.
(A1) Tồn tại K ≥ 1 và α >0 sao cho exp
Từ (2.7) ta sẽ có exp
≤ Ke (γ−α)(t−s) Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ Σ R ED (u ii ).
(A2) Tồn tại K ≥ 1 và β > 0 sao cho exp
Từ (2.7) ta sẽ có exp
≤Ke (γ+β)(t−s) Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ Σ R ED (u ii ).Do đó, Σ R ED (u ii ) ⊂Σ R ED + (u ii ) và mệnh đề được chứng minh.
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng một hệ điều khiển được đều tương đương với một hệ tam giác thông qua phản hồi tuyến tính thích hợp Theo Định lý 2.7, nếu hệ (2.3) là điều khiển được đều trên J (với J là R+ hoặc R), thì điều này sẽ được khẳng định.
B là một hàm liên tục đều từng khúc, và với các hàm liên tục từng khúc p_i: J7→ R (i = 1,2, ,d), tồn tại một phản hồi tuyến tính F ∈ KC m,d (J) sao cho hệ vi phân ˙x = (A(t) + B(t)F(t))x, t ∈ J tương đương tiệm cận với hệ vi phân tuyến tính dạng tam giác, trong đó các phần tử trên đường chéo chính là các hàm liên tục đều từng khúc (p_1, p_2, , p_d).
Chứng minh Định lý đã được chứng minh trong trường hợp J = R (xem [27]) Trong trường hợp J = R + , trước hết ta mở rộng A : R + →R d×d và
A(t) = ¯A(−t) và B(t) = ¯B(−t) cho mọi t ∈ R−, trong khi A(t) = ¯A(t) và B(t) = ¯B(t) cho mọi t ∈ R+ Theo Định lý 1.17, nếu cặp (A, B) có tính điều khiển được đều, thì cặp (¯A, B) cũng sẽ có tính điều khiển được đều Áp dụng định lý này cho trường hợp của ¯A.
J = R và hàm p¯ i : R → R được định nghĩa với p¯ i (t) = 0 cho t ∈ R − và p¯ i (t) = p(t) cho t ∈ R + Ta có một phản hồi tuyến tính F¯ : R → R d×m, sao cho hệ phương trình ˙ x = A(t) + ¯¯ B(t) ¯F(t) x(t), với t ∈ R, sẽ tương đương với một hệ vi phân tuyến tính tam giác Do đó, có những hạn chế đối với F¯.
R + sẽ là phản hồi tuyến tính cần tìm Định lý được chứng minh.
Chứng minh kết quả
Chứng minh Định lý 2.2 Ta xét hai trường hợp: J = R + và J = R.
Trong trường hợp 1, giả sử phổ nhị phân mũ của hệ (2.3) được gán trên R+ Khi cố định α ∈ R+, có một phản hồi F bị chặn tồn tại, sao cho tổng Σ + ED (A+BF) = {−α ′ } với α ′ > α.
Do đó, khoảng (−α ′ ,∞) thuộc vào ρ + ED (A+BF), với ρ + ED (A+BF) được định nghĩa là R\Σ + ED (A+BF) Với mỗi γ trong khoảng (−α ′ ,∞), hệ phương trình ˙ x(t) = (A(t) + B(t)F(t)−γI n )x(t) có nhị phân mũ với các phép chiếu P γ : R + → R n×n Theo [33, Lemma 6.5], ta có imP γ 1 (t) = imP γ 2 (t) với γ 1 , γ 2 thuộc khoảng (−α ′ ,∞).
Từ A(t) + B(t)F(t) bị chặn trên R + , tồn tại các hằng số K, β > 0 sao cho
Nói theo cách khác, P β (t) = I n với mọi t ∈ R + Điều này cùng với (2.9) chỉ ra rằng P −α ′ (t) =I n với mọi t ∈ R + Vì vậy tồn tại C, ε > 0 sao cho
Từ α ∈ R + là tùy ý, do đó hệ (2.3) là ổn định hóa được và theo Định lý 2.5 thì hệ (2.3) là điều khiển được đều.
Ngược lại, giả sử rằng hệ (2.3) là điều khiển được đều Ta cố định ℓ,
1 ≤ ℓ ≤ n và lấy các đoạn rời nhau [α 1 , β 1 ], ,[α ℓ , β ℓ ] tùy ý Xét các hàm liên tục từng khúc uii : R + → R, i = 1, , l sao cho αi = lim inf t−s→∞
Theo định nghĩa với ℓ + 1 ≤ i ≤ nta, ta có ii = u11 Áp dụng Định lý 2.7, tồn tại một phản hồi F ∈ KC m,n, đảm bảo rằng hệ thống đóng (2.4) tương đương tiệm cận với hệ tam giác liên tục từng khúc và bị chặn, trong đó các phần tử trên đường chéo chính là (u11, , unn).
Do đó tính gán được của phổ nhị phân mũ trên R + được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 1.9 (i).
Trong trường hợp J = R, tính gán phổ nhị phân mũ trên R được suy ra từ điều khiển được đều thông qua việc chứng minh tương tự như trường hợp J = R+ Chúng tôi mở rộng hàm u ii : R + → R thành u¯ ii : R → R, với ¯u ii (−t) = ¯u ii (t) = u ii (t) cho mọi t ∈ R +, và áp dụng Mệnh đề 2.6 Định lý đã được chứng minh Cuối cùng, chúng tôi xem xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều điều khiển được đều và xây dựng phản hồi tuyến tính hiển để gán được phổ nhị phân mũ.
Hệ điều khiển tuyến tính được mô tả bởi phương trình ˙ x(t) = a(t)x + b(t)u(t), với a, b thuộc KC 1,1 (R + ) Để hệ (2.10) đạt được điều kiện điều khiển đều, cần có các tham số ρ > b0 và ϑ > 0 Điều kiện cần và đủ cho tính điều khiển đều của hệ này đã được nêu rõ trong Ví dụ 1.18.
Z t+ϑ t b(s) 2 ds≥ ρ,b với mọi t > 0 Gọi [α, β] là một khoảng phổ tùy ý cho trước Ta định nghĩa tập I := ∪ n∈ Z ≥0 {2 2n ,2 2n + 1, ,2 2n+1 −1} và f(t) :
R (k+1)ϑ kϑ b(s) 2 ds với t ∈ [kϑ,(k+ 1)ϑ), k ∈ Z ≥0 \ I. Khi đó f ∈ KC 1,1 (R + ) và phổ nhị phân mũ Σ + ED (a+bf) của hệ đóng ˙ x= (a(t) +b(t)f(t))x(t), thỏa mãn Σ R ED + (a+bf) = [α, β].
Chứng minh Ta có f ∈ KC 1,1 (R + ) Tiếp theo ta đi tính Σ R ED + (a+bf) Để ý rằng với mọi k ∈ Z ≥0 ta có
Từ định nghĩa của f ta nhận được
Do đó theo cấu trúc I ta có Σ + ED (a+bf) = [α, β].
Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc
Đặt bài toán và kết quả
Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc được mô tả bởi phương trình x n+1 = A n x n + B n u n, với n thuộc T, trong đó T có thể là Z ≥0 hoặc Z Ma trận A và B lần lượt thuộc các không gian L Lya và L ∞ Nghiệm của hệ thống được ký hiệu là x(ã, n, ξ, u) với điều kiện ban đầu x(n) = ξ, trong đó ξ thuộc R d Nếu u n được xác định bởi u n = U n x n, với U thuộc L ∞, ta có phản hồi tuyến tính và phương trình trở thành x n+1 = (A n + B n U n )x n.
Nếu A+ BU ∈ L Lya (T,R d×d ), thì phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) được kí hiệu là Σ T ED (A+BU) Theo Định nghĩa 2.1, khái niệm gán phổ nhị phân mũ cũng áp dụng cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc Định nghĩa 2.9 nêu rõ rằng phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) được gọi là gán được trên T nếu tồn tại các đoạn đóng rời nhau [a 1 , b 1 ], ,[a ℓ , b ℓ ], với điều kiện 1 ≤
ℓ ≤ d, sẽ tồn tại một phản hồi tuyến tính U ∈ L ∞ (T,R s×d ) sao cho
A+BU ∈ L Lya (T,R d×d ) và Σ T ED (A+BU) ℓ
Kết quả chính của mục này là tính gán được phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc Định lý 2.10 chỉ ra rằng nếu hệ (2.11) là điều khiển được đều trên T, thì phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) cũng sẽ gán được Cụ thể, trong trường hợp T = Z ≥0, nếu phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) gán được, thì hệ (2.11) sẽ là điều khiển được đều.
Một số kết quả chuẩn bị
Kết quả chuẩn bị đầu tiên cho thấy tính gán được phổ nhị phân mũ của hệ điều khiển tuyến tính rời rạc trên Z ≥0 dẫn đến tính ổn định hóa được Hệ (2.11) được coi là ổn định hóa được trên Z ≥0 nếu với mọi w > 0, tồn tại một phản hồi U ∈ L ∞ (Z ≥0 ,R s×d ) và C > 0 thỏa mãn điều kiện ổn định.
||Φ A+BU (m, n)|| ≤ Ce −w(m−n) , với mọi m, n ∈ Z ≥0 , m ≥ n. Định lý 2.12 Nếu phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) là gán được trên Z ≥0 khi đó hệ (2.11) là ổn định hóa được trên Z ≥0
Chứng minh rằng với w > 0 cố định, có thể chọn hằng số Γ sao cho Γ < −w Theo giả thiết về tính gán được phổ nhị phân mũ, tồn tại phản hồi tuyến tính F = (F(n)) n∈ N, sao cho phổ nhị phân mũ Σ + ED (A+BF) của hệ x(n+ 1) = (A(n) +B(n)F(n))x(n) được xác định bởi công thức Σ + ED (A+BF) = {Γ}.
Vì, (Γ,∞) ⊂ ρ + ED (A+ BF), với ρ + ED (A+BF) := R\Σ + ED (A+BF), do đó với mỗi γ ∈ (Γ,∞) hệ x(k+ 1) = e −γ (A(k) +B(k)F(k))x(k), có nhị phân mũ cùng với họ các phép chiếu bất biến (P γ (k)) k∈ N Sử dụng
[3, Lemma 3.2], ta có imP γ 1 (k) =imP γ 2 (k) với γ 1 , γ 2 ∈ (Γ,∞) (2.14)
Từ A+BF ∈ L Lya (N,R n×n ), tồn tại β > Γ sao cho
∥Φ A+BF (k, ℓ)∥ ≤ e β(k−ℓ) với k ≥ ℓ, và cho trước β ′ > β bất kì, ta có
Bất đẳng thức trên có nghĩa là β ′ ∈ ρ + ED (A+BF) và P β ′ (ℓ) = I n với mọi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét rằng ρ + ED (A + BF) là hợp hữu hạn của các tập mở, hay còn gọi là các khoảng phổ trống, và phép chiếu liên kết được xác định là I n Theo (2.14), ta có P −w (ℓ) = I n với mọi ℓ ∈ N Điều này dẫn đến sự tồn tại của các hằng số C và α lớn hơn 0.
∥Φ A+BF (k, ℓ)∥ ≤ Ce(−w−α)(k−ℓ) với k ≥ℓ. Định lý được chứng minh.
Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc trên Z ≥0 có tính ổn định hóa được, điều này dẫn đến việc hệ này cũng có tính ổn định đều Theo định lý 2.13, nếu hệ (2.11) ổn định hóa được trên Z ≥0, thì hệ này cũng có khả năng điều khiển đều trên cùng miền Z ≥0.
Chứng minh Do A ∈ L Lya (N,R n×n ), tồn tại C 1 > 0 sao cho
∥Φ A (k1, k2)∥ ≤ e C 1 |k 1 −k 2 | , (2.15) với mọi k 1 , k 2 ∈ N Theo giả thiết về tính ổn định hóa, tồn tại một phản hồi tuyến tính F ∈ L ∞ (N,R m×n ) và hằng số C 2 > 0 sao cho
∥Φ A+BF (k 2 , k 1 )∥ ≤ Ce −2C 1 (k 2 −k 1 ) , (2.17) với mọi k 1 , k 2 ∈ N, k 2 > k 1 và C > 0 Do ma trận chuyển Φ A+BF của hệ đóng tương ứng sẽ thỏa mãn Φ A+BF (k 2 , k 1 ) = Φ A (k 2 , k 1 ) + k 2 −1
X j=k 1 Φ A (k 2 , j + 1)B(j)F(j)Φ A+BF (j, k 1 ), với mọi k 1 , k 2 ∈ N Do đó ΦA(k1, k2) ΦA+BF (k2, k1) = In+ k 2 −1
X j=k 1 x T Φ A (k 1 , j + 1)B(j)F(j)Φ A+BF (j, k 1 ), với mọi x ∈ R n khác 0, vì vậy
Sử dụng (2.15) và (2.17) cùng với e −C 1 (k 2 −k 1 ) < 1 trong đó k 2 > k 1 ta nhận được
Giả sử hệ thống (2.11) không điều khiển được đều, điều này có nghĩa là tồn tại một số α > 0 và T thuộc tập số tự nhiên, sao cho với mọi k thuộc tập số tự nhiên, bất đẳng thức αI n ≤ W(k+T, k) luôn được thỏa mãn.
Nếu (2.11) không điều khiển được đều, thì với mỗi α > 0 và mỗi T ∈ N, tồn tại y ∈ R n sao cho bất đẳng thức y T W(k 0 + T, k 0 )y ≤ α∥y∥ 2 được thỏa mãn, với k 0 ∈ N nào đó Từ bất đẳng thức này, ta có thể suy ra k 0 + T − 1.
Sử dụng Bất đẳng thức (trong [39]) ta được k 0 +T −1
Kết hợp với bất đẳng thức (2.19) ta nhận được k 0 +T −1
Bây giờ, ta đặtC 3 = sup
, và chọn y và k 0 thỏa mãn (2.19) Do đó, nếu ta lấy x = y, k 1 = k 0 và k 2 = k 0 +T trong (2.18), ta được
3∥y∥. Dẫn đến vô lý Vì vậy hệ (2.11) là điều khiển được đều Định lý được chứng minh.
Kết quả trong định lý 2.14 cho thấy rằng đối với hệ phương trình sai phân điều khiển tuyến tính điều khiển được, với x n+1 = A n x n + B n u n, tồn tại một dãy ma trận tam giác trên C = (C n ) n∈ Z thuộc L Lya (T,R d×d ) Trong đó, các phần tử c (n) ii bằng p i n, với i = 1, , d Đồng thời, cũng tồn tại một phản hồi tuyến tính bị chặn U = (Un) n∈ T thuộc L ∞ (T,R d×s ).
L ∞ (T,R s×d ) sao cho hai hệ x n+1 = (A n +B n U n )x n , y n+1 = C n y n với n∈ T là tương đương.
Kết quả tiếp theo chúng tôi trình bày về cấu trúc phổ nhị phân mũ cho hệ sai phân tuyến tính có dạng khối tam giác trên Chứng minh dựa trên tính chất phổ nhị phân mũ của hệ sai phân rời rạc hóa hệ vi phân và Định lý 1.8 Định lý 2.15 khẳng định rằng phổ nhị phân mũ của hệ sai phân tuyến tính có cấu trúc dạng khối tam giác trên được xác định qua hệ phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = Dnxn, với Dn.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các chuỗi (A n) n∈Z thuộc không gian L Lya (Z, R k×k), (B n) n∈Z thuộc không gian L Lya (Z, R(d−k)×(d−k)), và (C n) n∈Z thuộc không gian L ∞ (Z, R k×(d−k)) Định nghĩa Σ ED (D) là phổ nhị phân mũ của hệ thống này Từ đó, ta có mối quan hệ giữa các phổ: Σ ± ED (A)∪ Σ ± ED (B) ⊂ Σ ED (D) ⊂ Σ ED (A)∪ Σ ED (B) Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xem xét hàm đo được và bị chặn W : R → R d×d được xác định bởi W(t).
Khi đó hệ (2.21) là hệ phương trình sai phân với thang thời gian là 1 của hệ liên kết ˙ x = W(t)x, trong đó t∈ R.
Ta sẽ chứng minh ΣED(W) = ΣED(D),Σ + ED (W) = Σ + ED (D),Σ − ED (W) = Σ − ED (D) (2.23)
Để chứng minh rằng Σ ED (W) = Σ ED (D), chúng ta cần thực hiện hai bước Các khẳng định bổ sung như Σ + ED (W) = Σ + ED (D) và Σ − ED (W) = Σ − ED (D) cũng có thể được chứng minh theo cách tương tự.
Bước 1: Ta sẽ chỉ ra rằng Σ ED (D) ⊂ Σ ED (W) Lấy γ ̸∈ Σ ED (W) bất kì, ta có e −γ(t−s) Φ W (t, s) là toán tử tiến hóa của hệ dịch chuyển ˙ x = (W(t)−γid)x.
Theo Định nghĩa 1.10 tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ phép chiếu bất biến P : R →R d×d sao cho
Ta đặt P n := P(n) với n ∈ Z và Φ D (m, n) là toán tử tiến hóa của hệ sai phân liên kết (2.21) Khi đó ta có
Do đó hệ sai phân xn+1 = e −γ Dnxn, n∈ Z, sẽ có nhị phân mũ Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ Σ ED (A).
Bước 2: Ta sẽ chỉ ra Σ ED (W) ⊂ Σ ED (A) Lấy γ ̸∈ Σ ED (A) bất kỳ, theo Định nghĩa 1.10 sẽ tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và họ phép chiếu bất biến (P n ) n∈ Z thuộc R d×d sao cho
Ta định nghĩa ánh xạ P : R→ R d×d
Do W(ã) là đo được và cú esssup t∈ R ∥W(t)∥ < ∞, ỏp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có đánh giá κ := sup
Với bất kì t ≥s ta đặt m := ⌈t⌉ (số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng t), n := ⌊s⌋ (số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng s) ta sẽ có:
≤ κ 2 Ke 2|γ−α| e (γ−α)(t−s) Tương tự với t≤ s ta có
∥Φ W (t, s)(id−P(s))∥ ≤ κ 2 Ke 2|γ+α| e (γ+α)(t−s) Điều đó chỉ ra rằng hệ dịch chuyển ˙ x = (W(t)−γid)x, có nhị phân mũ Vì vậy γ ̸∈ Σ ED (W).
Theo (2.23) ta có Σ ± ED (A)∪Σ ± ED (B) = Σ ± ED (X)∪Σ ± ED (Y), Σ ED (D) = Σ ED (W), Σ ED (A)∪Σ ED (B) = Σ ED (X)∪Σ ED (Y).
(2.25) Áp dụng Định lý 1.8, ta có Σ ± ED (X)∪Σ ± ED (Y) ⊂ Σ ED (W) ⊂Σ ED (X)∪Σ ED (Y), cùng với (2.25) ta được (2.22) Định lý được chứng minh.
Kết quả về phổ nhị phân mũ cho hệ tam giác trên được trình bày, trong đó các hệ số trên đường chéo chính là hàm số đối xứng theo thời gian Theo Định lý 2.16, với C = (C n ) n∈ Z ∈ L Lya (Z,R d×d ), ma trận tam giác trên C n = (c (n) ij ) 1≤i,j≤d thỏa mãn điều kiện c (n) ii = p i n cho mọi n∈ Z và i = 1, , d.
Giả sử p i n = p i −n với mọi n∈ Z. Khi đó phổ nhị phân mũ Σ ED (C) của hệ x n+1 = C n x n cho bởi công thức ΣED(C) d
Chứng minh Bằng cách sử dụng Định lý 2.15, ta sẽ có: d
[ i=1 Σ ED (p i ), trong đó Σ ± ED (p i ) = Σ + ED (p i )∪Σ − ED (p i ) Ta cần chứng minh ΣED(p i ) ⊂ Σ ± ED (p i ) với mọi i = 1, , d (2.26)
Cho i ∈ {1, , d} và γ ̸∈ Σ + ED (p i ) Thông qua định nghĩa về phổ nhị phân mũ (Định nghĩa 1.11) ta sẽ có một trong các hợp sau:
|p i −(m−1) p i −n | ≤Ke (γ−α)(m−n) với 0 ≥ m ≥ n. Điều đó có nghĩa là hệ dịch chuyển z n+1 = e −γ p i n z n , với n∈ Z có nhị phân mũ trên Z Dẫn đến, γ ̸∈ Σ ED (p i ).
≤ Ke (γ+α)(m−n) với m, n ∈ Z ≥0 và m ≤ n, dẫn đến p i m p i n−1
|p i −m p i −(n−1) | ≥ K 1 e γ(m−n) với 0≥ n ≥m. Điều đó có nghĩa hệ dịch chuyển z n+1 = e −γ p i n z n , với n∈ Z, có nhị phân mũ trên Z Dẫn đến, γ ̸∈ Σ ED (p i ).
Theo chứng minh trên thì γ ̸∈ Σ + ED (p i ) điều đó chỉ ra rằng Σ ED (p i ) ⊂ Σ + ED (p i ) Định lý được chứng minh.
Chứng minh kết quả
Chứng minh Định lý 2.10 (A1) Điều kiện cần i) Trường hợp T = Z, cho [a1, b1], ,[aℓ, bℓ], trong đó 1 ≤ ℓ ≤ d, là các đoạn đóng tùy ý Với 1≤ i ≤ ℓ, ta định nghĩa dãy dương (p i n ) n∈ Z trong đó p i n = p i −n với n∈ Z và p i n
Xét hệ tuyến tính một chiều tương ứng z n+1 = p i n z n với n ∈ Z (2.29)
Theo Định lý 2.16, phổ nhị phân mũ (2.15) thỏa mãn Σ ED (p i ) Σ + ED (p i ) Dễ thấy Σ + ED (p i ) = [a i , b i ] dẫn đến Σ ED (p i ) = [a i , b i ] với i = 1, , ℓ (2.30)
Cho ℓ+ 1 ≤ i ≤ d, đặt p i n = p 1 n Theo Định lý 2.14, tồn tại phản hồi
Z ∈ L ∞ (Z,R s×d ) và một dãy ma trận tam giác trên (C n ) n∈ Z ∈
L Lya (Z,R d×d ), trong đó C n = (c (n) ij ) 1≤i,j≤d với c (n) ii = p i n thỏa mãn x n+1 = (A n +B n U n )x n , y n+1 = C n y n với n ∈ Z là tương đương tiệm cận Kết hợp với Định lý 2.14 và Định lý 2.16 ta có Σ ED (A+BU) = Σ ED (C) d
Định lý đã được chứng minh cho trường hợp T = Z Đối với trường hợp T = Z ≥ 0, mệnh đề được xây dựng thông qua phản hồi tuyến tính như đã nêu ở phần i) Sự khác biệt ở đây là không cần thiết phải xây dựng p i để đảm bảo tính đối xứng, mà chỉ cần thỏa mãn điều kiện Σ ED (p i ) = [a i , b i ].
(A2) Điều kiện đủ trong trường hợp T = Z ≥0
Chứng minh được suy ra trực tiếp từ các mối quan hệ sau:
• Tính gán được của hệ sai phân điều khiển tuyến tính trên Z ≥0 suy ra tính ổn định hóa được (Định lý 2.12).
• Tính ổn định hóa được của hệ sai phân điều khiển tuyến tính trên
Z ≥0 suy ra tính ổn định được đều (Định lý 2.13).
Cuối cùng, chúng tôi trình bày một ví dụ về hệ sai phân điều khiển, trong đó có khả năng gán phổ Lyapunov tùy ý nhưng không thể gán phổ nhị phân mũ.
Hệ quả 2.17 Ta định nghĩa dãy (n k ) k∈ N bởi công thức n 1 = 1, n 2m = mn 2m−1 , n 2m+1 = m +n 2m , với mọi m ∈ N Dãy (n k ) k∈ N là tăng ngặt với k ≥ 2 và tiến tới +∞. Đặt b(k)
0 nếu k ∈ [n 2m , n 2m+1 −1], với m = 2,3, Xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều x(k + 1) = x(k) +b(k)u(k) (2.31)
Hệ (2.31) không điều khiển được đều nhưng có thể gán được phổ Lyapunov Tuy nhiên, theo Định lý 2.10, hệ này không thể gán được phổ nhị phân mũ Chúng tôi sẽ chứng minh rằng chỉ có tập phổ cho trước ở dạng [c, d] chứa 0 mới có khả năng gán được phổ nhị phân mũ.
Chứng minh Sử dụng [30, Proposition 2.4] ta có phổ nhị phân mũ của hệ một chiều x(k + 1) = a(k)x(k), có dạng β(a), β (a)
, trong đó β(a) và β(a) tương ứng là số mũ Bohl dưới và số mũ Bohl trên của dãy a = (a(k)) k∈ N , cho bởi β(a) = lim j→∞
Giả sử rằng có phản hồi tuyến tính (f(k)) k∈ N sao cho [c, d] là phổ nhị phân mũ của hệ x(k+ 1) = (1 +a(k)f(k))x(k).
Dễ thấy n 2m+1 −n 2m → ∞ khi m → ∞, do đó d = lim m→∞ sup k=1,2, ln k+n 2m+1 −n 2m −1
= 0. Điều đó có nghĩa là 0 ∈ [c, d] Ngược lại, cố định mức phổ [c, d] sao cho
0 ∈ [c, d], ta xây dựng một phản hồi (f(k))k∈ N như sau f(k)
e d −1 với k ∈ [n 4m−1 , n 4m −1], e c −1 với k /∈ [n 4m−1 , n 4m −1], với m ∈ N Theo công thức của f và e d −1≥ 0, ta có
Mặt khác do n 4m −n 4m−1 = (2m−1)n 4m−1 → ∞ khi m → ∞, nên ta có β(1 +bf)
= d, cùng với (2.32) chỉ ra rằng β(1 +bf) =d.
Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra được rằng β(1 +bf) = c.
Chương 2 trình bày về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian Các kết quả đạt được như sau:
(i) Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ vi phân điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ.
(ii) Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ.
Chương 3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm Định lý Hartman-Grobman là một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết định tính địa phương của phương trình vi phân ôtônôm Định lý chỉ ra rằng tại lân cận điểm cân bằng hyperbolic hệ phi tuyến sẽ có cấu trúc định tính giống với hệ tuyến tính hóa của nó Cụ thể là, xét phương trình vi phân ô tô nôm ˙ x = f(x), f(0) = 0, trong đó f ∈ C 1 (E) với E là tập mở chứa gốc Khi đó tồn tại một đồng phôi H trong lân cận điểm cân bằng sao cho với mọi x 0 thuộc lân cận đó ta luôn có
Định lý H ◦φ(t, x0) = e At H(x0) đã được P Hartman và D M Grobman chứng minh độc lập S.Sternberg là một trong những người đầu tiên đưa ra kết quả về tính trơn của các hàm f, H và H −1 Năm 1960, Hartman đã chứng minh rằng H là C 1 vi phôi trong trường hợp f ∈ C 2 và điều kiện không cộng hưởng xảy ra.
Năm 1978, Palmer đã phát triển định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho các phương trình vi phân không ôtônôm, với điều kiện cần là 0 không nằm trong phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính.
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu tính trơn của H và xây dựng Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm Để chứng minh định lý này, chúng tôi thực hiện việc làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến Cuối cùng, phương pháp đường mở rộng được áp dụng để khẳng định kết quả.
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm, được công bố trong công trình [CT1] Cấu trúc của chương được thiết kế để thuận tiện cho người đọc theo dõi.
• Đặt bài toán và phát biểu nội dung Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm (Mục 3.1).
• Kết quả chuẩn bị về làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng (Mục 3.2).
• Xây dựng hệ sai phân liên kết cho phương trình vi phân không ôtônôm (Mục 3.3).
• Thiết lập tiêu chuẩn tương đương của phương trình sai phân bằng phương pháp đường (Mục 3.4).
• Chứng minh kết quả chính (Mục 3.5).
Đặt bài toán và phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm
trình vi phân không ôtônôm
Xét phương trình vi phân không ôtônôm: ˙ x = A(t)x+f(t, x), t∈ R, (3.1) trong đó A :R →R d×d là ánh xạ đo được và thỏa mãn esssup t∈ R
Hàm f: R× R d → R d là hàm C k Carathéodory nếu với mỗi t ∈ R cố định, f(t, x) liên tục, và với mọi x ∈ R d, f(t, x) là hàm đo được Đồng thời, với mỗi t và mọi x ∈ R d, đạo hàm riêng D k x f(t, x) tồn tại, trong đó D j x f cũng là hàm Carathéodory cho mọi j ∈ {1, , k}.
Ta kí hiệu Φ A (., ) : R× R → R d×d là toán tử tiến hóa của hệ tuyến tính ˙ x = A(t)x, (3.2) tức là Φ A (., s)ξ là nghiệm của bài toán (3.2) với điều kiện ban đầu x(s) ξ.
Chúng tôi giả sử các điều kiện sau đây trong suốt chương này.
(A1) Hệ (3.1) có khai triển Taylor tại lân cận điểm cân bằng tầm thường thỏa mãn f(t,0) = 0 và Dxf(t,0) = 0 với mỗi t∈ R.
(A2) Hệ tuyến tính (3.2) có tăng trưởng bị chặn mũ (xem [13]), tức là đối với toán tử tiến hóa Φ : R×R → R d×d của hệ (3.2) tồn tại K, a > 0 sao cho
(A3) Hệ phi tuyến: Tồn tại M > 0 sao cho
∥D x j f(t, x)∥ ≤ M với j = 0, , k,với mỗi t ∈ R và với mọi x ∈ R d
Với mỗi k ∈ Nvà ma trận hàm khả tích địa phương A : R→ R d×d thỏa mãn (A2) ta định nghĩa tập các phương trình vi phân chấp nhận được
O k (A) := {x˙ = A(t)x+f(t, x) : f là một hàm C k Carathéodory thỏa mãn (A1) và (A3)}.
Hai hệ phương trình vi phân không ôtônôm được gọi là C k tương đương nếu tồn tại các tham số p, với p > 0 và r ∈ (0, p), cùng với các hàm liên tục Cụ thể, hai hệ phương trình có dạng O k (A) ˙ x = A(t)x + f(t, x) và ˙ y = A(t)y + g(t, y) sẽ được xem là C k tương đương khi thỏa mãn các điều kiện trên.
H: R×B r (0)→ R d và H −1 : R×B e r(0) →R d , gọi là C k tương đương địa phương giữa (3.3) và (3.4), thỏa mãn các điều kiện sau:
(ii) Nếu ν là nghiệm của (3.3) thuộc Br(0) thỡ H(ã, ν(ã)) là nghiệm của
(3.4) Nếu νe là nghiệm (3.4) thuộc B e r(0) thỡ H −1 (ã,νe(ã)) là nghiệm của (3.3).
(iii) Nghiệm tầm thường được ánh xạ đến nhau đều: x→0limH(t, x) = lim x→0H −1 (t, x) = 0 đều theo t ∈ R.
Một trong những kết quả quan trọng về tuyến tính hóa hệ (3.1) là nếu hệ (3.2) là hyperbolic, tức là 0 không thuộc vào tập hợp phổ nhị phân mũ ΣED(A), thì mọi hệ thuộc O 1 (A) sẽ tương đương tô pô với hệ (3.3) Trong quá trình nghiên cứu tính trơn của hàm H, chúng tôi đã đạt được kết quả như sau: Định lý 3.2 (Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm) chỉ ra rằng với ℓ ∈ N và ký hiệu ΣED(A) = λ1∪λ2∪ ∪λn là phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính (3.2), nếu hệ này là hyperbolic (0 không thuộc ΣED(A)), thì tồn tại một số k ∈ N nhỏ nhất, k ≥ ℓ, thỏa mãn điều kiện tách phổ.
(k−ℓ)Σ u > Σ u −ℓΣ s và (k−ℓ)Σ s < Σ s −ℓΣ u , (3.5) trong đó Σ s := Σ ED (A)∩R 0
Nếu không xảy ra điều kiện cộng hưởng đến bậc k, tức là λj∩ n
X i=1 kiλi = ∅ với mọi (k1, , kn) ∈ N n 0 với 2≤ n
X i=1 ki ≤k, (3.6) thì mọi hệ thuộc O k+2 (A) là C ℓ tương đương với hệ tuyến tính (3.2).
Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng
Kết quả trong mục này cho thấy rằng việc làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng là cần thiết để chứng minh rằng một hệ thuộc O k+2 (A) tương đương với một hệ thuộc O flat k (A) Khái niệm làm phẳng ở đây chỉ ra rằng các đa tạp ổn định và không ổn định của hệ phi tuyến trùng khớp với các đa tạp ổn định và không ổn định của hệ tuyến tính hóa tương ứng.
Giả sử A: R → R d×d là một hàm đo được và bị chặn với 0 không thuộc vào tập hợp Σ ED (A) Trong trường hợp này, có tồn tại một phép đổi biến S: R → R d×d sao cho y(t) = S(t)x(t) biến đổi hệ (3.2) thành dạng chéo khối ˙ y = diag(A 1 (t), A 2 (t), , A n (t))y, trong đó Ai: R → R d i ×d i là các hàm ma trận đo được và bị chặn với tổng kích thước d1 + d2 + + d n = d, và Σ ED (A i ) = λ i.
H: R×R d → R d , (t, x) 7→H(t, x) := S(t)x, thỏa món cỏc điều kiện (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 3.1 với H −1 (t,ã) S(t) −1 , ta có thể giả sử rằng A(t) có dạng đường chéo sau
A(t) = diag(A 1 (t), , A n (t)),với ΣED(Ai) = λi với i = 1, , n, ΣED(A) = ∪ n i=1 λi và λ1 > λ2 > ã ã ã > λ n Tồn tại m ∈ {0, , n} sao cho λ1 > ã ã ã > λm > 0> λm+1 > ã ã ã > λn, ta định nghĩa
(3.8) trong đó d u + d s = d, và nếu m = 0 thì d u = 0, A s = A, nếu m = d thì ds = 0, A u = A Kí hiệu πu và πs tương ứng là phép chiếu của
R d = R d u ×R d s lên R d u và R d s Trong hệ tọa độ (x u , x s ), với x u := π u x, x s := π s x, hệ (3.7) viết lại như sau ˙ x u = A u (t)x u +π u f(t, x u , x s ), ˙ x s = A s (t)x s +π s f(t, x u , x s ).
Ký hiệu φ(ã, t 0 , x u 0 , x s 0 ) là nghiệm của bài toán (3.9) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = (x u 0 , x s 0 ) Theo lý thuyết về đa tạp bất biến, còn được biết đến là đa tạp tích phân, các đa tạp này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ động lực.
S (t, x u , x s ) : lim s→∞φ(s, t, x u , x s ) = 0 của nghiệm tầm thường của hệ (3.9), được gọi là các đa tạp không ổn định và đa tạp ổn định.
Ta nói rằng U và S là làm phẳng, nếu chúng trùng với đa tạp không ổn định R×R d u × {0} ⊆ R 1+d và đa tạp ổn định R× {0} × R d s ⊆ R 1+d của hệ tuyến tính hóa ˙ x u = A u (t)x u , ˙ x s = A s (t)x s
Sử dụng tính bất biến của U và S, khi đó U và S được làm phẳng là tương đương với điều sau
Dựa trên kết quả [37], chúng ta sẽ loại bỏ các thành phần bậc cao và không cộng hưởng trong khai triển Taylor D x i f(t,0) với i = 2, , k thông qua các phép biến đổi C k tương đương Nhờ đó, hệ mới sẽ đáp ứng thêm hai điều kiện quan trọng.
(A4) Đa tạp ổn định và không ổn định là phẳng:π u f(t,0, x s ) = 0, π s f(t, x u ,0) 0 với hầu hết t ∈ R và mọi (x u , x s ) ∈ R d u ×R d s
(A5) Các phần tử trong khai triển Taylor đến bậc kđược loại bỏ:D i x f(t,0) 0 với i = 2, , k và hầu hết t∈ R (do D x f(t,0) = 0 bởi (A1)).
Ta định nghĩa tập O k flat (A) ⊆ O k (A) như sau:
Dưới điều kiện không cộng hưởng của Định lý 3.2, một hệ thuộc O k+2 (A) sẽ tương đương với một hệ thuộc O flat k (A) và được xác định là C k.
Mệnh đề 3.3 đề cập đến việc làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần khụng cộng hưởng Ký hiệu Σ ED (A) = λ 1 ∪ λ 2 ∪ ∪ λ n là phổ nhị phõn mũ của hệ tuyến tính (3.2) Giả sử 0 ̸∈ Σ ED (A) và k ∈ N Nếu điều kiện không cộng hưởng được thỏa mãn, thì λj ∩ n sẽ xảy ra.
X i=1 kiλi = ∅ với mọi (k1, , kn) ∈ N n 0 trong đó 2≤ n
Khi đó bất kì một hệ thuộc O k+2 (A) là C k tương đương với một hệ thuộc
Chứng minh Xét một hệ tùy ý ˙ x = A(t)x+f(t, x), (3.12) thuộcO k+2 (A)với nghiệmφ(ã, t 0 , x u 0 , x s 0 )thỏa mónφ(t0, t0, x u 0 , x s 0 ) = (x u 0 , x s 0 ).
Theo định nghĩa (3.8) về A u và A s, ta có tổng độ lệch Σ ED (A u ) lớn hơn 0 và tổng độ lệch Σ ED (A s ) nhỏ hơn 0 Gọi Φ u và Φ s lần lượt là toán tử tiến hóa cho hệ phương trình x˙ u = A u (t)x u và x˙ s = A s (t)x s Theo Định nghĩa 1.2 về phổ nhị phân mũ, tồn tại các hằng số K và α lớn hơn 0.
Bước 1: (Làm phẳng các đa tạp ổn định và không ổn định) Áp dụng [4,
Theorem 4.1], tồn tại hằng sốL > 0sao cho, nếusup t∈ R ,x∈ R d ∥D x f(t, x)∥ ≤
Hệ (3.12) sẽ có đa tạp ổn định và không ổn định của nghiệm tầm thường Áp dụng giả thiết (A3) cùng với định lý giá trị trung bình, ta có sup t∈ R, x∈ R d.
Để đảm bảo tính đồng nhất của hệ thống, ta có điều kiện ∥D 2 x f(s, y)∥∥x∥ ≤ M∥x∥ Khi thay thế hàm f bằng hàm cắt f˜, mà f và f˜ trùng nhau trên lân cận R×B r (0) ⊂ R×R d với r > 0 đủ nhỏ và f˜ vẫn thỏa mãn điều kiện (A3), ta có sup t∈ R ,x∈ R d ∥D x f˜(t, x)∥ ≤ L Hệ thống sau khi thay thế sẽ tương đương với hệ ban đầu, và để đơn giản hóa kí hiệu, chúng tôi sẽ bỏ dấu ngã và sử dụng f thay cho f˜.
Theo [4, Theorem 4.1], tồn tại một ánh xạ liên tục u: R×R d u → R d s sao cho đồ thị của hàm u
U (t, x u , x s ) : lim s→−∞φ(s, t, x u , x s ) = 0 Tức là, U là đa tạp không ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (3.12), u(ã,0) = 0 và ta cú tớnh bất biến sau π s ◦φ(t, s, x u ,u(s, x u )) = u t, π u ◦φ(t, s, x u ,u(s, x u ))
, (3.13) với mỗi t, s ∈ R, (x u , x s ) ∈ R d Theo [35, Theorem 5.20] thì u là một hàm
C k+2 Carathéodory với các đạo hàm riêng bị chặn toàn cục và ∂x ∂u u(t,0) = 0 với t ∈ R Ta định nghĩa H: R×R d → R d bởi
Khi đú H(ã,0) = 0, H(t,ã) là C k+2 vi phụi và khả nghịch với
H −1 (t, x) = (x u , x s + u(t, x u )) và lim x→0 H(t, x) = lim x→0 H −1 (t, x) = 0 đều theo t ∈ R do đó sup t∈ R ,x u ∈ R du ∥ ∂x ∂u u(t, x u )∥ < ∞.
Lấy đạo hàm của cả hai vế của phương trình bất biến ta có (3.13)
. Khi đó, ta thu được H là phép đổi biến đưa (3.12) về ˙ x = A(t)x+g(t, x), (3.14) với π u g(t, x u , x s ) =π u f(t, x u , x s +u(t, x u )), π s g(t, x u , x s ) =π s f(t, x u , x s +u(t, x u ))−π s f(t, x u ,u(t, x u ))
Hệ (3.14) thuộc O k+1 (A) và thỏa mãn điều kiện π s g(t, x u ,0) = 0, cho thấy đa tạp không ổn định của nó là phẳng Đa tạp ổn định S có thể được làm phẳng với một C k tương đương, thông qua phép biến đổi (t, x u , x s ) 7→ (x u −s(t, x s ), x s ) Việc xây dựng đồng thời hai phép biến đổi này đảm bảo rằng (3.12) sẽ là C k tương đương với hệ thuộc O k (A) thỏa mãn điều kiện (A4), tức là các đa tạp ổn định và không ổn định đều phẳng Trong bước 2, nếu k = 1, không có thành phần nào bị loại bỏ Ngược lại, nếu k ≥ 2, theo Định lý về dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm, mọi phần tử không cộng hưởng trong khai triển Taylor có bậc đến k có thể được loại bỏ để tạo ra một hệ thống mới.
C k tương đương được xác định bằng cách sử dụng giả thiết (3.11), trong đó mọi phần tử trong khai triển Taylor có bậc đến k đều không cộng hưởng Do đó, hệ thống được xây dựng thông qua Bước 1 là C k tương đương với một hệ thuộc O flat k (A).
Hệ sai phân liên kết
Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính chất 57
Hệ sai phân liên kết với một phương trình vi phân không ôtônôm được định nghĩa khi có k ∈ N và một ma trận hàm khả tích địa phương A : R→ R d×d thỏa mãn điều kiện (A2) Cụ thể, xét phương trình vi phân ˙ x = A(t)x + f(t, x), với φ(ã, t 0 , x0) là nghiệm của phương trình này, thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 Định nghĩa 3.4 đưa ra khái niệm về hệ sai phân liên kết với thang thời gian-κ, trong đó κ ∈ R và κ > 0, cùng với n ∈ Z và x ∈ R d.
A (κ) n := Φ((n+ 1)κ, nκ), f n (κ) (x) := F n (κ) (x)−A (κ) n x, trong đó Φ là toán tử tiến hóa của (3.2) Khi đó x n+1 = F n (κ) (x n ) (và tương đương x n+1 = A (κ) n x n +f n (κ) (x n )) (3.16) được gọi là hệ κ sai phân liên kết của (3.15).
Với k ∈ N và ánh xạ f: R d →R d là C k , ta đặt
Bổ đề 3.5 Xét hệ κ sai phân (3.16) liên kết của (3.15) Ta có các khẳng định sau:
(b) Nếu hệ (3.16) thuộc O k flat (A), thì fn (κ) ∈ C flat k (R d ) với n∈ N.
(c) Nếu hệ (3.16)thuộc O flat k (A), thì π u fn (κ) (0, x s ) = 0và π s fn (κ) (x u ,0) = 0 với n ∈ Z và (x u , x s ) ∈ R d
Để chứng minh, ta có ∥A (κ) n ∥ = ∥Φ((κ+ 1)n, κn)∥ ≤ Ke aκ, dẫn đến sup n∈ Z ∥A (κ) n ∥ < ∞ và tương tự sup n∈ Z ∥(A (κ) n ) −1 ∥ < ∞ Để chứng minh fn (κ) ∈ C flat k (R d ) với n ∈ N, cần chỉ ra D i fn (κ) (0) = 0 với i = 0, , k Ta có fn (κ) (x) = φ((n+ 1)κ, nκ, x) −Φ((n+ 1)κ, nκ)x, và do φ(ã,ã,0) = 0, mệnh đề này đúng với i = 0 Tiếp theo, ∂φ ∂x ((n+ 1)κ, nκ,0) = Φ((n+ 1)κ, nκ) chứng minh mệnh đề đúng với i = 1 Đối với i = 2, , k, từ khai triển Taylor cho hàm x 7→ φ((n + 1)κ, nκ, x) (C k khả vi) tại x = 0, ta cũng thu được D i fn (κ) (0) = 0.
Mệnh đề được suy ra từ phương trình bất biến (3.13) cho thấy rằng đa tạp ổn định và không ổn định của (3.16) là phẳng theo điều kiện (A4) Cụ thể, ta có π u f(t,0, x s ) = 0 và π s f(t, x u ,0) = 0 với hầu hết t ∈ R và mọi (x u , x s ) ∈ R d u ×R d s.
C k tương đương của hệ sai phân liên kết
Chúng tôi trình bày điều kiện C k tương đương cho hai hệ phương trình vi phân không ôtônôm thuộc O k (A) thông qua hệ sai phân liên kết Định lý 3.6 chỉ ra rằng hai hệ phương trình ˙ x = A(t)x+f(t, x) và ˙ y = A(t)y+g(t, y) thuộc O k (A) là C k tương đương nếu tồn tại κ > 0, sao cho hệ sai phân liên kết x n+1 = F n (κ)(x n ) và y n+1 = G n (κ)(y n ) cũng là C k tương đương Điều này có nghĩa là tồn tại các giá trị p, p > 0 và r ∈ (0, p) cùng với er ∈ (0, p)e và ánh xạ thích hợp.
Tn: Br(0) → R d và Sn: B e r(0) → R d , sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn
S n : B e r(0) →S n (B e r(0)) ⊂ B p (0), là C k vi phôi và thỏa mãn
(ii) Với x ∈ Br(0), y ∈ B e r(0) sao cho Fn (κ) (x) ∈ Br(0), G (κ) n (y) ∈ B e r(0) thì ta có
(iii) Nghiệm tầm thường được ánh xạ đến nhau thông qua Tn và Sn đều theo nghĩa sau x→0limT n (x) = 0 và lim y→0S n (y) = 0 đều theo n∈ Z.
Chứng minh Giả sử φ và ψ tương ứng là nghiệm của (3.17) và (3.18),
Do các hệ phương trình(3.17) và (3.18) thuộc lớp O k (A), hai hàm f và g là bị chặn toàn cục theo điều kiện (A3) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall
[18, Chapter 3, Theorem 1.1], tồn tại r ∗ > 0 và r˜ ∗ > 0 sao cho với mọi n ∈ Z φ(κn, t, x) ∈ Br(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], x ∈ Br ∗ (0), ψ(κn, t, y) ∈ Br ˜(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], y ∈ Br ˜ ∗ (0).
Sử dụng giả thiết (iii) và làm cho r ∗ , r˜ ∗ nhỏ đi, nếu cần thiết, ta có thể giả sử thêm rằng
Ta định nghĩa H : R×B r ∗ (0) → R d và H −1 : R×B ˜ r ∗ (0)→ R d như sau
Để hoàn thành chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng hai hệ (3.17) và (3.18) là C k tương đương thông qua phép biến đổi H, với H và H −1 được xác định từ (3.21) và (3.22) Cụ thể, chúng ta cần chứng minh rằng H và H −1 thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) trong Định nghĩa 3.1.
Bước 1: Kiểm tra điều kiện của Định nghĩa 3.1(i) cho thấy các nghiệm φ và ψ là C k, dựa trên kết quả về sự phụ thuộc trơn của nghiệm vào giá trị ban đầu Cả T n và S n đều là C k vi phụi, do đó các hàm H(t, ã) và H −1(t, ã) cũng là C k Chọn y ∈ B r ˜ ∗ (0) sao cho H −1(t, y) ∈ B r ∗ (0) và áp dụng định nghĩa (3.23) của H.
Từ (3.21), (3.22) và giả thiết (i), ta có T n ◦S n (ψ(κn, t, y)) = ψ(κn, t, y).
Do đó, H(t, H −1 (t, y)) =y Tương tự nếu x ∈ Br ∗ (0)với H(t, x) ∈ Br ˜ ∗ (0) ta cũng có H −1 (t, H(t, x)) = x.
Bước 2 (Kiểm tra điều kiện của Định nghĩa 3.1(ii)): Giả sử à(t) là một nghiệm bất kỳ của (3.17) trong Br ∗ (0) Theo định nghĩa (3.23) của H, với n ∈ Z và t ∈ [κn, κ(n+ 1))
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm ψ(t, κn, T n (à(κ n ))) và sử dụng tính chất à(t) là nghiệm của (3.3) để thiết lập đẳng thức Do đó, H(t, à(t)) trở thành nghiệm của (3.18) trong khoảng [κn, κ(n+ 1)), và nhờ tính liên tục, H(t, à(t)) cũng là nghiệm của (3.18) trên R Tương tự, nếu ν(t) là nghiệm bất kỳ của (3.18) thuộc Br ˜ ∗ (0), thì H −1 (t, ν(t)) cũng sẽ là nghiệm của (3.17).
Bước 3 kiểm tra điều kiện theo Định nghĩa 3.1(iii) cho hai hệ phương trình (3.17) và (3.18) thuộc lớp O k (A) Hai hàm f và g đáp ứng điều kiện bị chặn toàn cục (A3) với hằng số M > 0 Áp dụng định lý giá trị trung bình, chúng ta có thể rút ra các kết quả cần thiết.
Sử dụng công thức biến thiên hằng số, ta có với mọi t∈ [κn, κ(n+ 1)] ψ(t, κn, x) = Φ(t, κn)x+
Z t κn Φ(t, s)f(s, ψ(s, κn, x)) ds, trong đó Φ là toán tử tiến hóa của hệ x˙ = A(t)x Từ đó, sử dụng điều kiện (A2) ta suy ra
∥ψ(s, κn, x)∥ ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], tồn tại
Tương tự tồn tại C 2 > 0 sao cho
Từ (3.23) ta lấy tùy t∈ [κn, κ(n+ 1)) và có
Lấy cận trên đúng với t ∈ R, ta thu được sup t∈ R
Do đó từ giả thiết (iii) ta suy ra lim x→0 H(t, x) = 0đều theot ∈ R Chứng minh tương tự ta cũng có lim y→0 H −1 (t, y) = 0 đều theo t∈ R.
Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc O flat k (A)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét ma trận A: R→ R d×d có dạng A(t) = diag(A u (t), A s (t)) với điều kiện 0 ̸∈ Σ ED (A) = Σ u ∪ Σ s, trong đó Σ u = Σ ED (A) ∩ R >0 và Σ s = Σ ED (A) ∩ R 0 sao cho sup n∈ Z
∥B n −1 ∥ ≤ M, (3.24) và thỏa mãn điều kiện tách sau với γ ∈ (0,1) nào đó sup n∈ Z
(B2) Phi tuyến: g n ∈ C flat k (R d ) và thỏa mãn thêm điều kiện π u g n (0, x s ) = 0 and π s g n (x u ,0) = 0 (n ∈ Z).
Với k, ℓ ∈ N và B: Z × R d → R d , (n, x) 7→ Bnx, trong đó Bn diag(B n u , B n s ) ∈ Gl(d,R), B u : Z → R d u ×d u , B s : Z → R d s ×d s , thỏa mãn điều kiện (B1), ta định nghĩa
D flat k,ℓ (B) := {x n+1 = B n x n +g n (x n ) : g thỏa mãn điều kiện (B2)}. Mệnh đề 3.7 Giả sử hệ ˙ x = A(t)x+f(t, x), (3.26) thuộc O k flat (A), k ≥ 2 và thỏa mãn điều kiện tách phổ (3.5) với mọi ℓ ∈ N,
(k −ℓ)Σ u > Σ u −ℓΣ s và (k −ℓ)Σ s < Σ s −ℓΣ u (3.27) Khi đó tồn tại κ > 0 sao cho với hệ κ sai phân liên kết x n+1 = A (κ) n x n +f n (κ) (x n ) (3.28) của (3.26)có A (κ) thỏa mãn (B1) và hệ sai phân (3.28)thuộc lớpD k,ℓ flat (A (κ) ).
Áp dụng Bổ đề 3.5, mọi hệ κ sai phân x n+1 = A (κ) n x n + f n (κ) (x n ) với κ > 0 đều thỏa mãn điều kiện (B2) và (3.24) của (B1) Để chứng minh mệnh đề này, chỉ cần tìm κ > 0 sao cho phần tuyến tính được xác định.
Một toán tử tiến hóa Φ A được định nghĩa cho hệ tuyến tính ξ˙ = A(t)ξ = diag(A u (t), A s (t)) thỏa mãn điều kiện (3.25) của (B1), với A (κ) n = Φ A ((n+ 1)κ, nκ) Cụ thể, Φ A (ã,ã) = diag(Φ A u (ã,ã),Φ A s (ã,ã)) Do Σ ED (A u ) = Σ u > 0 và Σ ED (A s ) = Σ s < 0, nên tồn tại một hằng số K > 0 với mọi ε > 0 sao cho t ≥ s.
Theo giả thiết (3.27), tồn tại ε > 0 sao cho
Cùng với đánh giá (3.30), ta suy ra với t ≥ s
∥Φ A (t, s)∥∥Φ A u (s, t)∥ k−ℓ ∥Φ A (s, t)∥ ℓ ≤ K 3 e −β(t−s) , trong đó β := (max Σ u +ε) + (k −ℓ)(−min Σ u +ε) +ℓ(−min Σ s +ε) < 0.
Do đó với γ := 1 2 tồn tại κ 1 > 0 sao cho
Chứng minh tương tự ta cũng có tồn tại κ 2 > 0 sao cho
Với κ := max{κ1, κ2} > 0, phần tuyến tính (3.29) trong hệ κ sai phân liên kết của (3.26) thỏa mãn điều kiện (3.25) của (B1) Do đó hệ κ sai phân liên kết của hệ (3.26) thuộc D k,ℓ flat (A (κ) ).
Phương pháp đường cho phương trình sai phân
Trong phần này, chúng ta mở rộng phương pháp đường từ hệ sai phân ôtônôm sang hệ sai phân không ôtônôm Phương pháp này cung cấp cách chứng minh rằng hai hệ sai phân không ôtônôm x n+1 = F n (x n ) và y n+1 = G n (y n ) là C k tương đương, với Fn, Gn thuộc Diff k (R d ) và n thuộc N, thông qua việc xét đồng luân.
Phương trình sai phân đồng luân có thể được biểu diễn dưới dạng P: Z×R d ×[0,1] →R d , với (n, x, τ) 7→ P n τ (x) := (1−τ)Fn(x) +τ Gn(x) giữa F n và G n Phương trình này được định nghĩa cụ thể hơn qua phương trình sai phân đồng luân z n+1 = P n τ (z n ), với τ ∈ [0,1] Định nghĩa P: [0,1] → Diff k (R d ) Z , τ 7→ P τ : P ã τ (ã), cho phép chúng ta áp dụng định lý 3.8 (Phương pháp đường), với giả thiết rằng P τ ∈ Diff k 0 (R d ) Z với τ ∈ [0,1].
(ii) P: [0,1] →Diff k 0 (R d ) Z là liên tục,
(iii) Với mỗi τ ∈ [0,1] và n∈ N tồn tại Z n τ ∈ C 1 k (R d ) thỏa mãn
(3.36) với n ∈ N và Z: [0,1] → C 1 k (R d ) Z , τ 7→ Z τ := Z ã τ (ã), là liờn tục. Khi đó hai hệ (3.33) và (3.34) là C k tương đương. Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề phụ trợ sau.
Bổ đề 3.9 Cho η :R d → R d là hàm C k khả vi thỏa mãn ρ := sup x∈ R d
Khi đó ánh xạ f : R d → R d được định nghĩa bởi f(x) := x+η(x) là C k vi phôi Hơn nữa với mọi r > 0 ta có B (1−ρ)r (0)⊂ f(B r (0)) và do đó ta có
1−ρ∥x∥ với mọi x ∈ R d Chứng minh Trước hết, ta chứng minh f là đơn ánh Giả sử x, y ∈ R d thỏa mãn x ̸= y Sử dụng (3.37), ta có
Tiếp theo, ta chứng minh f là toàn ánh Lấy x ∈ R d tùy ý Xét T : R d →
Theo nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach, tồn tại một y ∈ R d sao cho T(y) = y, tương đương với f(y) = x Điều này chứng tỏ rằng f là toàn ánh, và từ đó suy ra f là song ánh.
Hàm η có tính trơn, cho phép chúng ta suy ra rằng hàm f là C k Theo định lý hàm ngược, hàm ngược f −1 cũng giữ tính chất C k Để hoàn tất chứng minh, hãy chọn r > 0 và y ∈ B (1−ρ)r (0) tùy ý Giả sử x ∈ R d thỏa mãn f(x) = y, do đó ∥x + η(x)∥ = ∥y∥ < (1−ρ)r.
∥x∥ < (1−ρ)r +∥η(x)∥ ≤ (1−ρ)r +ρ∥x∥, điều đó suy ra ∥x∥ < r Do đó ta có đến B (1−ρ)r (0) ⊂ f(B r (0)) và bổ đề được chứng minh.
Chứng minh Định lý 3.8 Từ giả thiết Z ∈ C([0,1], C 1 k (R d ) Z ), ta suy ra tồn tại K > 0 sao cho
Với n ∈ Z và x ∈ R, bài toán phương trình vi phân với giá trị ban đầu được mô tả bởi dξ/dτ(τ) = Z n τ (ξ(τ)), ξ(0) = x có nghiệm duy nhất trên khoảng [0,1] Nghiệm duy nhất này được ký hiệu là Tn(τ, x).
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có ∥T n (τ, x)∥ ≤ e Kτ ∥x∥, từ đó suy ra lim x→0 Tn(τ, x) = 0 với mọi n ∈ Z Để chứng minh rằng hàm (n, x) 7→T n (τ, x) là C k tương đương giữa (3.33) và (3.35), trước tiên cần chỉ ra điều kiện cần thiết.
T n+1 (τ, F n (x)) =P n τ (T n (τ, x)) với n∈ Z, x ∈ R d (3.39) Để làm được điều này, cho n∈ Z, x ∈ R d ta định nghĩa V : [0,1]×R d →
. Đạo hàm cả hai vế của đẳng thức trên theo biến τ ta có
Mặc khác ta có với T n (τ, F n −1 (x)) = (P n τ ) −1 (V(τ, x)) Do đó
Sử dụng (3.38), ta thu được
Kết hợp đẳng thức trên với (3.36), ta có
Với V(0, x) = x và nghiệm duy nhất của hệ (3.38) với n+1, ta có V(τ, x) = T n+1 (τ, x) và chứng minh được liên hệ (3.39) Để hoàn tất chứng minh, cần chỉ ra rằng T n (τ, x) là hàm C k vi phụ địa phương trên Br(0) với một giá trị r > 0 không phụ thuộc vào n ∈ Z Để thực hiện điều này, ta định nghĩa hàm η n (τ, x) : R d → R d, n ∈ N bởi ηn(τ, x) := Tn(τ, x)−x.
Do T n (0, x) = x, điều đó chỉ ra rằng η n (0, x) = 0 Do Z n (τ, x) là C k theo x nên ta cũng có T n (τ, x) và η n (τ, x) là C k theo x Hơn nữa, từ (3.38) ta có đánh giá
∂τ (τ, x) = D x Z n (τ, T n (τ, x))(id+D x η n (τ, x)), hoặc tương đương với
Do Z ∈ C([0,1], C 1 k (R d ) Z ), tồn tại L > 0 sao cho ∥D x Z n (τ, x)∥ ≤ L∥x∥. Kết hợp khẳng định trên với ∥T n (τ, x)∥ ≤ e Kτ ∥x∥ ≤ e K ∥x∥, ta suy ra được
Vì vậy, từ (3.40) ta có đánh giá
∥D x η n (s, x)∥ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], ta có
∥D x ηn(τ, x)∥ ≤ Le K ∥x∥e Le K ∥x∥τ Dẫn đến, tồn tại r > 0 sao cho ρ := sup n∈ Z max τ ∈[0,1]max
Xét bất đẳng thức ∥x∥≤r∥η n (τ, x)∥< 1, theo Bổ đề 3.9, ánh xạ T n (τ, x) : B r (0) → T n (τ, B r (0)) là một C k vi phôi và B (1−ρ)r (0) ⊂ Tn(τ, Br(0)) Hơn nữa, hàm ngược S n (τ, x) : B (1−ρ)r (0) → B r (0) cũng thỏa mãn lim x→0 S n (τ, x) = 0 cho mọi n ∈ Z Do đó, phép biến đổi (n, x) 7→ T n (τ, x) là một C k tương đương giữa (3.33) và (3.35) Khi đặt τ = 1, ta có (3.33) và (3.34) là C k tương đương, từ đó định lý được chứng minh.
Chứng minh Định lý Sternberg
Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh Định lý 3.2 về tuyến tính hóa trơn cho phương trình vi phân không ôtônôm Cụ thể, ma trận A: R → R d×d có dạng A(t) = diag(A u (t), A s (t)), với điều kiện 0 ̸∈ ΣED(A) = Σ u ∪ Σ s Tập hợp Σ u và Σ s được xác định là Σ u = Σ ED (A) ∩ R >0 và Σ s = Σ ED (A) ∩ R 0 nào đó Lưu ý rằng bước kĩ thuật này không làm thay đổi nghiệm của phương trình vi phân (3.41) và (3.42) trên lân cận R×Br(0).
Bước làm này chỉ giúp chúng ta đảm bảo tính khả nghịch của P n τ Ta kí hiệu
Bổ đề 3.12 khẳng định tính khả nghịch của phương trình đồng luân sai phân Đối với mỗi δ > 0, tồn tại một r > 0 sao cho từ phương trình (3.41) và (3.42) theo Mệnh đề 3.11 cùng với hàm ψ từ (3.46), ta có hàm P: Z×R d ×[0,1] →R d được định nghĩa bởi (n, x, τ) 7→P n τ (x).
P n τ (x) := B n x+ (1−τ)ψ(f n (x)) +τ ψ(g n (x)), (3.47) thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
(i) P n τ ∈ Diff k 0 (R d ) với n ∈ N và ánh xạ P: [0,1] → Diff k 0 (R d ) Z , τ 7→
(ii) sup n∈ Z ,x∈ R d ∥DP n τ (x)−B n ∥,sup n∈ Z ,x∈ R d ∥D(P n τ ) −1 (x)−B n −1 ∥ ≤ δ. Chứng minh Từ (B1), tồn tại M > 1 sao cho sup n∈ Z
Lấy δ >0 tùy ý Khi đó tồn tại δ ∗ ∈ (0,min{ M δ , M 1 2}) thỏa mãn 1−M M 3 δ 2 ∗ δ ∗ ≤ δ Do f n , g n ∈ C flat k (R d ) với n ∈ N, tồn tại r > 0 sao cho hàm ψ được xác định ở (3.46) thỏa mãn sup n∈ Z ,x∈ R d
Khi đó, từ (3.49) ta có đánh giá ∥Dη τ n (x)∥ ≤ M δ ∗ < 1 Vì vậy, áp dụng
Bổ đề 3.9, ánh xạ x 7→ x+η n τ (x) là một C k vi phôi Theo (3.47), ta có
P n τ (x) = B n (x + η n τ (x)) cho thấy P n τ thuộc Diff k (R d ) Tính liên tục của P n τ theo τ được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa (3.47) của P n τ, do đó điểm (i) đã được xác nhận Đối với τ ∈ [0,1], chúng ta tiến hành định nghĩa tiếp theo.
Như ở phần (i), từ (3.48) và (3.49) ta có đánh giá sau
Từ đó ta suy ra
Để chứng minh Mệnh đề 3.11, chúng ta chọn r > 0 sao cho các khẳng định của Bổ đề 3.12 được thỏa mãn đối với P n τ Ngoài ra, dựa vào (B1), ta có các bất đẳng thức sau đúng với n ∈ Z.
Theo Định lý 3.8, để chứng minh Mệnh đề 3.11 ta cần chỉ ra sự tồn tại của Z n τ ∈ C 1 k (R d ) thỏa mãn
(3.53) với n∈ N Trong bổ đề sau ta thiết lập một số tính chất của vế bên phải của (3.53) Để thực hiện việc này, với ℓ ∈ N, 1≤ ℓ ≤ k, R > 0, ta đặt
Bổ đề 3.13 Vế phải của (3.53)
(τ ∈ [0,1], n ∈ N), (3.55) có các tính chất sau:
(ii) Tồn tại R >0 sao cho X n ∈ M k,ℓ R với n∈ Z.
Chứng minh Từ (3.47) và (3.55), ta suy ra
Nếu f n − g n ∈ C flat k (R d ) và ta có X n (τ, ã) ∈ C flat k (R d ), thì theo (B2), không gian con {(0, x s ) ∈ R d u × R d s } là bất biến đối với f n và g n Kết hợp với (3.45) và Bn = diag(B n u , B n s ), ta có thể suy ra rằng πuP n τ (0, x s ) = πuBn(0, x s ) T + (1−τ)πufn(0, x s ) + τ πugn(0, x s ).
Do đó, không gian con {(0, x s ) ∈ R d u ×R d s } là bất biến đối với P n τ , tức là π u (P n τ ) −1 (0, x s ) = 0 Sử dụng (3.43), ta thu được f n −g n ∈ C flat,u k (R d ).
Do đú, từ (3.56) ta suy ra D x i X n (τ,0, x s ) = 0 và X n (τ,ã) ∈ C flat,u k (R d ). (ii) Đặt
Khi đó với mỗi τ ∈ [0,1] ta sử dụng khai triển Taylor của hàm ∂ ∂x ℓ X ℓ n (τ, x) đến bậc k−ℓ tại (0, x s ) và thu được
Bổ đề đã được chứng minh.
Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạL n : C [0,1], C ℓ (R d )
Tư (3.54), ta có M k,ℓ R ⊂ C([0,1], C ℓ (R d )) Trong bổ đề sau, chúng tôi đưa ra một vài đỏnh giỏ về cỏc toỏn tử tuyến tớnh L j n := L n+j−1 ã ã ãL n khi hạn chế trên M k,ℓ R , trong đó n ∈ Z và j ∈ N.
Bổ đề 3.14 Với mỗi W ∈ M k,ℓ R những khẳng định sau thỏa mãn với mọi (τ, x) ∈ [0,1]×R d và n∈ Z, j ∈ N.
(ii) Tồn tại ε > 0 sao cho ∥π u x∥ ≤ ε
Chứng minh (i) Từ (3.57), ta có
Do W ∈ M k,ℓ R và áp dụng định lý về giá trị trung bình ta thu được
(k−r+ 1)ã ã ãk∥π u x∥ k Mặt khác, sử dụng tính bất biến của {0} × R d s đối với P n τ và áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có
Vì vậy, từ (3.59) ta suy ra
Khẳng định trên cùng với (3.50) và (3.51) suy ra khẳng định (i) của mệnh đề.
(ii) Trước hết, sử dụng [9, Bổ đề 4] ta có khẳng định của mệnh đề khi j = 1, tức là tồn tại ε > 0 sao cho với ∥π u x∥ ≤ ε
Sử dụng qui nạp theo j, ta thu được khẳng khẳng định của mệnh đề với mọi j ∈ N Mệnh đề được chứng minh.
Chứng minh Mệnh đề 3.11 Áp dụng Bổ đề 3.14(i), chuỗi
L j n−j X n−1−j (τ, x) =: Z n τ (x), (3.60) với X n (τ, x) xác định như ở (3.55), hội tụ với mỗi n ∈ Z Theo định nghĩa của Z n , ta có
Do đó, ta có (Z n τ (x)) n∈ Z là nghiệm của (3.53) Hơn nữa sử dụng Bổ đề 3.14(ii), ta thu được
Nếu ∥x∥ ≤ ε với ε > 0, thì ta có ≤Lγ j ∥π u x∥ k−i với i = 1, , ℓ Bằng cách cắt các hàm số f n và g n, chúng ta có thể khẳng định điều này với mọi x ∈ R d Điều này dẫn đến việc Z n τ (ã) là một hàm số C ℓ, với Z n τ (0) = 0 và DZ n τ (0) = 0 Do đó, Z n τ thuộc C 1 ℓ (R d).
Chuỗi P∞ j=0L j n+1−j X n−j (τ, x) hội tụ đều theo τ tới Z n τ trong ∥ ã ∥ ℓ, dẫn đến ánh xạ Z: [0,1] → C 1 ℓ (R d ) Z, τ 7→ Z τ := Z ã τ (ã) là liên tục Áp dụng Định lý 3.8, hệ (3.41) và (3.42) được chứng minh là C ℓ tương đương Mệnh đề đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh kết quả chính của chương này.
Chứng minh Định lý 3.2 Theo Mệnh đề 3.3, với mỗi hệ bất kì thuộc
Hệ phương trình ˙ x = A(t)x + g(x) thuộc O flat k (A) sẽ tương đương với O k+2 (A) Theo Mệnh đề 3.7, có tồn tại một hằng số κ > 0 sao cho hệ sai phân liên kết xn+1 = A(κ)n xn + f n(κ)(xn) là một phần tử của D k,ℓ flat (A) Nhận xét 3.10 chỉ ra rằng tồn tại các hàm φ n ∈ C flat,u k (R d ) và ψ n ∈ C flat,s k (R d ) với n ∈ N, cho phép viết lại hệ phương trình (3.63) dưới dạng x n+1 = A(κ)n x n + φ n(x n) + ψ n(x n).
Dựa vào Mệnh đề 3.11, với φ n ∈ C flat,u k (R d ) và n ∈ N, ta có thể chuyển đổi hệ (3.64) thành hệ C ℓ tương đương với phương trình xn+1 = A (κ) n xn+ψn(xn) Khi áp dụng Mệnh đề 3.11 lần nữa, hệ này tiếp tục được chứng minh là C ℓ tương đương với hệ tuyến tính xn+1 = A (κ) n xn.
Vì vậy, theo Mệnh đề 3.6 hệ (3.62) là C ℓ tương đương với hệ tuyến tính hóa x˙ = A(t)x Định lý được chứng minh.
Chương 3 tập trung vào việc tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân không ôtônôm Kết quả chính là xây dựng một phiên bản của định lý Sternberg, liên quan đến điều kiện tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân này.
Luận án đã đạt được các kết quả sau:
(i) Xây dựng và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ.
(ii) Xây dựng và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ.
(iii) Xây dựng một phiên bản của Định lý Sternberg về điều kiện đủ để tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân không ôtônôm.
2 Một số hướng nghiên cứu tiếp theo
Bên cạnh những kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề tồn tại cần được nghiên cứu mở rộng trong thời gian tới:
(i) Bài toán gán phổ đối với một số loại phổ khác.
(ii) Nghiên cứu thêm về một số các khía cạnh khác của hệ động lực không ôtônôm có cấu trúc.
Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án
Le Viet Cuong and Doan Thai Son contributed significantly to the field of differential equations and control systems through their research In their 2019 paper, "A Sternberg theorem for nonautonomous differential equations," published in the Journal of Dynamics and Differential Equations, they explore advanced concepts in nonautonomous systems Additionally, their 2020 study, "Assignability of dichotomy spectrum for discrete time-varying linear control systems," featured in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, addresses the complexities of discrete control systems Both articles are recognized in the SCIE, highlighting their impact on the mathematical community.
[CT3] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectra of continuous time-varying linear systems, Automatica 125(2021),